第六讲 公钥密码原理与数学基础

公钥密码算法
公钥密码算法是一种非对称加密算法，它使用一对公钥和私钥来加密和解密信息。

公钥密码算法的基本原理是：用户A将
要发送的信息使用用户B的公钥进行加密，然后发送给用户B，用户B收到信息后，使用自己的私钥进行解密，从而获得
原始信息。

公钥密码算法的安全性主要取决于公钥和私钥的安全性，因此，在使用公钥密码算法之前，需要先生成公钥和私钥。

一般来说，生成公钥和私钥的过程可以分为以下几个步骤：
1. 选择一个大质数p和一个小质数q，并计算出n=pq；
2. 选择一个大于1小于n的整数e，使得e与(p-1)(q-1)互质；
3. 计算出d，使得ed=1 mod (p-1)(q-1)；
4. 将公钥(n,e)和私钥(n,d)发布出去。

在使用公钥密码算法进行加密时，可以使用以下步骤：
1. 将要发送的信息m转换成一个整数M，使得0<M<n；
2. 计算出密文C，C=M^e mod n；
3. 将密文C发送给接收方。

在使用公钥密码算法进行解密时，可以使用以下步骤：
1. 接收方收到密文C后，计算出明文M，M=C^d mod n；
2. 将明文M转换成原始信息m。

公钥密码算法的安全性取决于公钥和私钥的安全性，因此，在使用公钥密码算法时，应该采取有效的措施来保护公钥和私钥，以防止被攻击者破解。

例如，可以采用数字签名技术来验证公钥和私钥的真实性，以及采用加密技术来保护公钥和私钥，以防止被攻击者窃取。

公钥密码学的数学基础公钥密码学是一种采用数学方法来确保数据安全的技术，主要用于加密通信和认证。

它涉及大量的数学原理和技术，例如数论、代数、密码、编码和其他一些有关计算机安全的理论和技术。

数论中的基本概念有素数、素数的分解、欧拉函数、离散对数问题和乘法原理等。

素数的性质可用来设计公钥密码系统。

欧拉函数是一个估算不同数字的素数因子的强大工具，它可以帮助安全系统进行更复杂的加密和认证。

离散对数问题和乘法原理是两种重要的数学理论，它们可以用来破译和解决古典的公钥密码。

代数是一门研究属性和关系的数学学科。

代数在公钥密码学中也得到了广泛应用，特别是在密码变换和基于椭圆曲线加密中。

在密码变换中，代数学家们提出了许多算法，如Rijndael、Twofish 和AES，以帮助用户安全地加密和解密数据。

基于椭圆曲线加密利用椭圆曲线上的点来进行加密和解密，而这里面也用到了许多代数的原理。

密码学主要涉及密码分析和安全性评估。

密码分析是一种利用统计加密算法来评估和攻击加密系统的技术。

它旨在检测密码系统中潜在的漏洞，并尽可能地破解密码。

安全性评估是一种对加密系统进行合理测试和评估的方法，以确定其是否可以抵御恶意攻击和其他威胁。

编码是一种用来表示数据的技术，它可以帮助保护数据免受攻击和窃取。

为了确保编码技术的安全性，一般使用许多复杂的数学原理。

例如，RSA算法就是一种基于大整数的加密算法，它可以非常有效地加密信息。

最后，公钥密码学还涉及计算机安全的一些理论和技术，如访问控制、身份验证和安全协议等。

计算机安全的目的是保护用户的数据和信息安全，因此它也涉及各种安全算法和技术，以解决面临的安全挑战。

公钥加密的原理
公钥加密是一种安全的加密方式，它的原理是通过使用两个相关的密钥来加密和解密数据。

其中一个密钥是公开的，称为公钥，另一个密钥是私密的，称为私钥。

公钥可以自由地分发，而私钥则必须保持在安全的地方。

公钥加密的过程如下：
1. 接收者生成一对密钥，一个是公钥，另一个是私钥。

2. 发送者使用接收者的公钥来加密数据。

3. 接收者使用自己的私钥来解密数据。

4. 公钥加密保证了数据的私密性，因为只有接收者知道自己的私钥，其他人无法解密数据。

公钥加密的安全性基于数学问题的困难性，例如大整数的因数分解问题和离散对数问题。

公钥加密算法主要有RSA、DSA、ECC等。

RSA是目前应用最广泛的公钥加密算法之一，它采用大素数的乘积作
为模数，并选取与模数互质的公钥和私钥。

RSA的加密和解密速度比较慢，但是安全性较高。

另外，RSA还可以用于数字签名。

DSA是一种数字签名算法，它使用离散对数问题来保证数字签名的真实性。

与RSA相比，DSA的加密速度较快，但是安全性稍低。

ECC是一种基于椭圆曲线的公钥加密算法，它与RSA和DSA相比既具有更高的安全性，也更节省存储空间和计算资源，因此被广泛应用于移动设备和物联网等环境中。

总之，公钥加密是一种安全可靠的加密方式，它可以保障数据的私密性和完整性，是当今信息安全领域中不可或缺的一部分。

公钥和私钥的加密原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠公钥和私钥的加密原理，这可有意思啦！你就把公钥想象成一把公开的钥匙，谁都能拿到。

这就好比是你家大门上挂了一把钥匙，路过的人都能看见它。

而私钥呢，那就是只有你自己知道的秘密钥匙啦，就像你藏在兜里的那把小钥匙，只有你能摸到。

当你要给别人发个秘密消息的时候，就用公钥把消息锁起来。

这就好像你把一个宝贝放在一个盒子里，然后用那把公开的钥匙把盒子锁上。

这时候，别人拿到这个锁着的盒子，可他们没有私钥呀，就打不开这个盒子，也就看不到里面的宝贝啦。

那你自己呢，因为你有私钥呀，你就能轻松地打开这个盒子，看到自己的秘密消息。

这多神奇呀！这不就相当于你和别人之间有了一个只有你们俩懂的秘密通道嘛。

比如说，你在网上买东西，你的信息可不能随便让人看到呀，这时候公钥和私钥就发挥大作用啦。

商家用你的公钥给你发信息，你用私钥就能解开看到内容，别人就算截到了也白搭，他们没钥匙呀，哈哈！再想想，要是没有公钥和私钥这玩意儿，那网络世界得乱成啥样呀？谁都能随便看别人的信息，那还有啥隐私可言呀！而且哦，公钥和私钥的安全性可高啦！就像一个坚不可摧的堡垒，保护着你的秘密。

你说，这是不是特别厉害？咱平时生活里也有类似的呀，比如你有个只有你自己知道的小秘密地方，别人都不知道怎么进去，只有你能自由出入，这感觉是不是很棒？公钥和私钥就是这样，给你的信息加上了一层厚厚的保护罩。

所以呀，公钥和私钥的加密原理真的是太重要啦！它让我们在网络世界里也能安心地交流和分享，不用担心自己的秘密被别人知道。

这就像是给我们的信息穿上了一层隐身衣，只有我们自己能让它现身。

你们说这是不是很神奇呢？是不是很值得我们好好去了解和掌握呀？反正我是觉得这玩意儿太牛啦，给我们的生活带来了好多便利和安全呢！。

公钥密码原理公钥密码学是一种根据密码技术原理实现信息保密与数据安全传输的安全技术，它通过建立信息发送者与接收者之间的加密技术实现信息的安全传输，从而在安全技术领域中受到广泛应用。

公钥密码学是一种非常重要的安全技术，它利用了一种叫做“公钥密码”的技术，来保护信息免受未经授权的第三方间谍的窃取或窃听的行为。

这种安全技术的原理是，一个称为公钥的需要保密的信息发送者将信息编码成一个数字算法后，便将这个数字算法发送给收件人，收件人拥有相应的数字算法，称为私钥，这样收件人就可以用自己的私钥对发件人发来的公钥进行解密，解密后就可以和发件人进行安全的信息传输，而且任何未经授权的第三方无法从中获得任何有关信息。

公钥密码学技术的发展有着悠久的历史，它最初出现在1970年代，当时由美国国家安全局（NSA）主导的一系列称之为“曲折历史”的项目中首次被提出。

该项目的最终成果是美国国家安全局（NSA）与加拿大安全局（CSEC）的MD5数学算法，它是支持公钥密码学技术最早的瑞士中央银行发放的那批椭圆曲线函数及数字签名标准（ECDSA）和统一椭圆曲线算法（ECC）之前被研发出来的最初算法。

为了更有效地支持公钥密码学技术，一些重要的数学原理和安全算法，如Diffie-Hellman算法、RSA算法等，被开发出来，它们被广泛用于公钥加密、数字签名和数字信封等安全性高的应用场景中。

由于Diffie-Hellman算法的特殊性，它被公认为是现代公钥密码学中的主要基础，而RSA算法被认为是现代公钥密码学中最为重要的数学基础，它是现代公钥密码学最基本的算法。

公钥密码学技术通过在发送信息时使用一个公钥，在接收信息时使用一个私钥，实现了信息的安全传输，从而应用于很多安全性要求较高的场景，如网络支付、金融支付、网上银行、电子商务等，从而大大提高了信息传输的安全性。

当今，公钥密码学技术已成为信息安全领域最重要的一种技术，它被广泛地应用于各种安全场景中，如电子商务、金融支付、网上银行等，这些安全场景中所使用的公钥密码学技术有效地保护了个人信息不被未经授权的第三方间谍窃取和窃听。

公钥密码的基本原理
公钥密码是一种密码机制，使用了两个密钥，一个是公钥（用于加密数据），另一个是私钥（用于解密数据）。

其基本原理如下：
1. 密钥生成：使用一种特定的算法生成一对密钥，其中一个是公钥，另一个是私钥。

公钥可以公开给任何人使用，而私钥必须保密。

2. 加密：使用公钥对要传输的数据进行加密。

只有拥有相应私钥的人才能解密该数据。

3. 解密：使用私钥对加密的数据进行解密，恢复原始数据。

这种机制的安全性基于一个重要的数学问题，即大数因式分解问题。

该问题指的是将一个大的合数分解为其素数因子的乘积。

目前没有有效的算法可以在合理时间内解决大数因式分解问题，这就保证了公钥密码的安全性。

公钥密码的基本原理是通过使用不同的密钥进行加密和解密，确保数据的机密性和完整性，并阻止未经授权的访问。

由于公钥是公开的，因此任何人都可以使用公钥对数据进行加密，但只有拥有私钥的人才能解密数据。

这种机制广泛应用于网络通信、数据加密和数字签名等领域。

公钥密码体制原理简介及补遗（陈云川ybc2084@ UESTC,CD 2007年6月26日）核心思想公钥密码体制的核心思想是：加密和解密采用不同的密钥。

这是公钥密码体制和传统的对称密码体制最大的区别。

对于传统对称密码而言，密文的安全性完全依赖于密钥的保密性，一旦密钥泄漏，将毫无保密性可言。

但是公钥密码体制彻底改变了这一状况。

在公钥密码体制中，公钥是公开的，只有私钥是需要保密的。

知道公钥和密码算法要推测出私钥在计算上是不可行的。

这样，只要私钥是安全的，那么加密就是可信的。

显然，对称密码和公钥密码都需要保证密钥的安全，不同之处在于密钥的管理和分发上面。

在对称密码中，必须要有一种可靠的手段将加密密钥（同时也是解密密钥）告诉给解密方；而在公钥密码体制中，这是不需要的。

解密方只需要保证自己的私钥的保密性即可，对于公钥，无论是对加密方而言还是对密码分析者而言都是公开的，故无需考虑采用可靠的通道进行密码分发。

这使得密钥管理和密钥分发的难度大大降低了。

两种密码体制的特征对比表1将对称密码和公钥密码的特征进行了对比。

如前所述，公钥密码体制使用两个密钥，习惯上，为了将其与对称密码体制中的密钥相区分，把公钥密码体制中使用的两个密钥分别称为公钥和私钥。

公钥是可公开的，而私钥则是要保密的。

表 1 对称密码和公钥密码的对比对称密码公钥密码加解密使用相同的密钥和相同的算法同一算法用于加解密，但加密和解密使用不同的密钥一般要求收发双方必须共享密钥收发双方共享公钥，但各自的私钥是保密的密钥必须是保密的私钥必须是保密的若没有其它信息，则解密消息是不可能的或至少是不可行的若没有其它信息，则解密消息是不可能的或至少是不可行的安全性要求知道算法和若干密文不足以确定密钥知道算法和其中一个密钥以及若干密文不足以确定另一密钥公钥密码的两种基本用途公钥密码的两种基本用途是用来进行加密和认证。

为了便于说明，不妨假设消息的发送方为A，相应的公钥对为（PU A,PR A）。

公钥密码体制的原理
公钥密码体制是一种基于数学难题的密码体制，其原理是利用数学上的难题来保证信息的安全性。

公钥密码体制由两个密钥组成，一个是公钥，一个是私钥。

公钥可以公开，任何人都可以使用它来加密信息；而私钥只有密钥的持有者才能使用，用来解密信息。

公钥密码体制的原理基于数学上的难题，如大质数分解、离散对数等。

这些难题在计算机上是非常难以解决的，因此可以用来保证信息的安全性。

例如，RSA加密算法就是一种基于大质数分解难题的公钥密码体制。

在使用公钥密码体制进行加密时，发送方使用接收方的公钥对信息进行加密，只有接收方持有私钥才能解密信息。

这样，即使信息被截获，也无法解密信息，保证了信息的机密性。

公钥密码体制还可以用来实现数字签名，即发送方使用自己的私钥对信息进行签名，接收方使用发送方的公钥来验证签名的真实性。

这样可以保证信息的完整性和真实性。

总之，公钥密码体制是一种基于数学难题的密码体制，利用数学上的难题来保证信息的安全性。

它具有安全性高、方便性好等优点，在现代通信和信息安全领域得到广泛应用。

公钥加密系统及其工作原理计算机加密建立在人类历史中一直使用的密码术的基础上。

在数字时代之前，使用密码术最多的是政府，尤其是用于军事目的。

据考证，远在罗马帝国时代就存在经过编码的消息。

但是，现今人们使用的大多数密码术形式均依赖于计算机，原因在于仅凭借人脑编写的代码非常容易被计算机破解。

大多数计算机加密系统都属于以下两种类型之一：对称密钥加密、公钥加密，一般的都是对称密钥加密，我们对电脑直接操作，登录时使用。

公钥加密方法结合使用了私钥和公钥。

私钥只有您的计算机知道，而公钥则由您的计算机提供给任何希望与其安全通信的其他计算机。

若要解码被加密的消息，计算机必须使用发出消息的计算机提供的公钥，以及它自己的私钥。

Pretty Good Privacy（PGP）是一种非常流行的公钥加密实用工具，它几乎可用于对任何数据加密。

发出消息的计算机使用对称密钥对文档进行加密，然后又使用接收消息的计算机的公钥对对称密钥进行加密。

后者使用其私钥来解码对称密钥，然后使用对称密钥来解码文档。

大规模实施公钥加密（例如，安全Web服务器可能需要这种加密）要求采取另一种方式。

这时数字证书能派上用途。

从根本上讲，数字证书是一段信息，声明Web服务器受称为证书颁发机构的独立源的信任。

证书颁发机构充当两台计算机均信任的“中间人”。

它确认每台计算机的身份与其声明的身份相符，然后将每台计算机的公钥提供给对方。

公钥加密中的密钥以散列值为基础。

这个值是使用散列算法、根据输入的一个基础数字计算出来的。

从本质上讲，散列值是原始值的概要。

关于散列值的重要一点是，如果不知道用于创建散列值的数据，就几乎不可能推导出原始输入数字。

下面是一个简单示例：输入数字散列算法散列值10,667输入数字乘以1431,525,381您可以看到，要确定值1,525,381原来是10,667和143相乘的结果是多么困难。

但是，如果您知道乘数是143，就很容易计算出值10,667。