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【⾼等代数】04-多项式环1. 多项式环1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。
虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。
以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。
先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。
要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。
a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。
系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。
另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。
有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。
为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。
系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。
由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。
环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。
ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2} 其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。
摘要本文主要以多项式环的运算性质为基础,讨论了多项式环的一些重要的性质.通过推广,得出了幂级数环的一些性质.关键字：环上一元多项式环；环上多元多项式环；幂级数环ABSTRACTThis article mainly discusses some important nature of the polynomial ring that is based on the operational properties of it.By means of generated, we can obtain the nature of infinite polynomial with coefficients in a ring.Key words：Polynomial with coefficients in a ring with one variable；The polynomial with coefficients in a ring with variables；Infinite polynomial with coefficients in a ring目录第一章引言 (1)第二章一元多项式环 (3)2.1一元多项式环的定义 (3)2.2一元多项式环的运算 (6)第三章环上多项式的性质 (9)3.1环上的一元多项式的性质 (9)3.2环上多元多项式的性质 (12)3.3环上幂级数环的性质 (13)第四章总结 (17)参考文献 (19)致谢 (21)第一章引言多项式是代数学中所研究的基本对象之一,它不但与高次方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到.但我们一般对多项式的讨论,总是在一个预先定的数域作为前提.数学渐渐进步,我们发现可以对若干不是数的事物,用类似数的普通计算方法来加以计算,我们后来碰到的环就是其中一种.由此我们便可以把数域上的多项式推广到任意环上的多项式,从而得到一类特殊的多项式——环上多项式.对环上多项式定义加法和乘法两种运算,由环定义,我们可以得到一类特殊的环——环上多项式.在抽象代数中,多项式环推广了初等数学中的多项式.一个环R上的多项式环是由系数在R中的多项式构成的环,其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义.在数域上,多项式在加法适合交换律、结合律,对乘法适合交换律、结合律和消去律,同时乘法对加法适合交换律.在环上,多项式对以上定理基本上成立,但乘法交换律和消去率在环上不成立.如果环是一个有单位的交换环,那么交换律在环上是成立的,可消去律是不成立的.幂级数是多项式的延伸,是把多项式从有限项扩展到了无限项.环上多项式与数域上多项式存在许多相同和不同之处,同样,环上幂级数与数域上幂级数存在许多相同之处. 在本文中,重点讨论了环上多项式的一些特殊的性质.第二章 一元多项式环2.1一元多项式环的定义定义2.1.1 设K 是一个数域,x 是一个不定元.下面的形式表达式2012()n n f x a a x a x a x =+++++（其中012,,,...a a a 属于K ,且仅有有限个不为0）称为数域K 上的一个不定元x 的一元多项式.数域K 上一个不定元x 的多项式的全体记作[]K x .下面定义[]K x 内加法、乘法如下： 加法 设20122012(),(),f x a a x a x g x b b x b x =+++=+++则定义2001122()()()()()f x g x a b a b x a b x +=++++++为()f x 和()g x 的和. 乘法 设20122012(),(),f x a a x a x g x b b x b x =+++=+++令011220(0,1,2,...)k k k k k c a b a b a b a b k --=++++=定义2012()(),f xg x c c x c x =+++为()f x 和()g x 的乘积.容易验证,上面定义的加法、乘法满足如下运算法则： (1) 加法有交换律：()()()()f x g x g x f x +=+；(2) 加法有结合律：(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++；(3)20()000x x x =+++称为零多项式,满足()0()()(()[])f x x f x f x K x +=∀∈ ；(4) 2012()f x a a x a x ∀=+++,都有逆元2012()()()f x a a x a x -=-+-+-+,使得()(())0f x f x +-=；(5) 乘法有交换律：()()()()f x g x g x f x ⋅=⋅；(6) 乘法有结合律：(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ⋅=⋅；(7) 2()100I x x x =+++称为（乘法的）幺元,使得()[]f x K x ∀∈有()()()f x I x f x =；(8) 加法与乘法有分配律：()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+；(9) 乘法有消去律：如果()()()()f x g x f x h x ⋅=⋅且()0f x ≠,那么()()g x h x =.定义2.1.2 []K x 连同上面定义的加法与乘法,称为数域K 上的一元多项式环.下面我们把数域上的多项式扩广到任意环上的多项式.设0R 是一个含有单位元01R 的可变换环.又设R 是0R 的子环且R R ∈01,现考察0R 中含R 及任取一元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα显然每个()0100R a a a a f n n ni i i ∈+++==∑=αααα .定义2.1.3 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个子环)()()∑∑====∀nj j j mi ii b g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当m n <)()()()∑=+=+nj j j j b a g f 0ααα, 必定假设 021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中∑=+=kj i ji k ba C又 ()()∑∑==-=-=-mi i i mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,,∴ []R α确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环)定义2.1.4 如果上方得到的环[]R α叫做R 上的α的多项式环.显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么Z 中的零元()()2222200+-=+=α.∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:()02210=++++=n n a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论.定义2.1.5 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到 不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni i i ,022100αααα ( 即 002100=====⇔=∑=n ni i i a a a a a α ) .否则称α为R 上的代数元.习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的其他运算问题.2.2一元多项式环的运算设R 是有单位元的交换环,x 是一个不定元,形如2012n n a a x a x a x +++⋅⋅⋅+的元叫做环的一个多项式,其中012,,,,n a a a a R ⋅⋅⋅∈,n 是非负整数.为了表示这种和是有限元的,也可用下式表示：i i a x <∞∑,其中规定01x =,将环R 上的所有一元多项式构成的集合表示为[]R x ,并定义如下加法和乘法：()()()()()()i j ki j kk iji j ki j ki j i j ijki j ka x a x ab x a x a x a b x αβαβ+=+=+=+=+⋅==∑∑∑∑∑∑∑对于这样的定义加法与乘法运算具有如下一些性质：（1）加法适合交换律,即对(),()[]f x g x R x ∀∈,必有()()()()f x g x g x f x +=+. 证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,则2001122()()()()()()n n n f x g x a b a b x a b x a b x +=++++++⋅⋅⋅++, 2001122()()()()()()n n n g x f x b a b a x b a x b a x +=++++++⋅⋅⋅++；由于环对于加法来说是一个加群,所以0000a b b a +=+,1111a b b a +=+,n n n n a b b a +=+,故()()()()f x g x g x f x +=+.（2）加法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,0()h x c =+212n n c x c x c x ++⋅⋅⋅+,则000111(()())()[()][()][()]n n n n f x g x h x a b c a b c x a b c x ++=++++++⋅⋅⋅+++, 000111()(()())[()][()][()]n n n n f x g x h x a b c a b c x a b c x ++=++++++⋅⋅⋅+++,由于环R 对于加法来说是一个加群,所以000000()=()a b c a b c ++++,111()=a b c ++111()a b c ++,⋅⋅⋅,()=()n n n n n n a b c a b c ++++故(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++.（3）乘法适合交换律,即对(),()[]f x g x R x ∀∈,必有()()()()f x g x g x f x =. 证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,等式左边()()f x g x 中s 次幂项系数为：i ji j sa b+=∑,等式右边()()g x f x 中s 次幂项系数为：j ii j sb a +=∑.因为环R 适合交换律,所以i j j i a b b a =,ijj ii j si j sa bb a +=+==∑∑,故()()()()f x g x g x f x =.（4）乘法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有(()())()()f x g x h x f x ⋅⋅=⋅(()())g x h x ⋅.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,01()h x c c x =+22n n c x c x ++⋅⋅⋅+,等式左边()()f x g x ⋅中s 次幂项系数为：i j i j sa b +=∑,因此左边t 次幂项系数为：()i jki j k s k t i j ki j k ta b ca b c +=+=++==∑∑∑；等式右边()()g x h x ⋅中r 次幂项系数为：j kj k rb c+=∑因此右边t 次幂项系数为：()ij ki j k i r tj k ri j k ta b c a b c +=+=++==∑∑∑,与左边的t 次幂项系数一样,所以左边等于右边,这就证明了乘法满足结合律.（5）乘法对加法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有()(()())f x g x h x +=()()()()f x g x f x h x +.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,01()h x c c x =+22n n c x c x ++⋅⋅⋅+,由乘法和加法的定义,等式左边()(()())f x g x h x +中k 次幂项的系数为()ijj i jiji j ki j k i j ka bc a b a c+=+=+=+=+∑∑∑,同样,等式右边()()()()f x g x f x h x +中k 次幂项的系数为ijiji j ki j ka b a c+=+=+∑∑,所以()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+.但是环R 上的多项式和数域上的多项式也存在许多不同之处,例如：环R 上的多项式对乘法不适合消去率.集合[]R x 中的元素,对于上面定义的加法和乘法运算,显然是一个环,我们称它为环R上的一元多项式环,记作[]R x.第三章 环上多项式的性质一般环上的多项式是不可逆的.本章将探讨一类非整环上的可逆多项式存在问题,也讨论了有限项多项式环上以及无限项的幂级数环上的性质.3.1环上的一元多项式的性质首先,我们称[]R x 中次数为零的可逆元（即R 的可逆元）为平凡可逆元, 次数不为零的可逆元为非平凡可逆元.我们先叙述一个后面将多次用到的事实.定理3.1.1 设R 是一个有单位元1的交换环.a 是R 的一个幂零元,那么1a +是R 中一个可逆元,并且由此推出,环R 的幂零元与可逆元之和是R 的可逆元.证明：若0,a =引理显然成立.假定0,a ≠必有某正整数n ,使0na =.由初等数学知,有如下两种情形:1)若n 为偶数,2,n k =那么有 222111(1)(1)kk aa a a a -=-=+-+-⋅⋅⋅-2)若n 为奇数,21n k =+,那么有 212211(1)(1)k k aa a a a +=+=+-+-⋅⋅⋅+无论哪种情形,1a +右边的因子都不等于零.又由于R 是交换的,故1a +为可逆元. 下面证明第二个断言.由于R 是交换的,故易知R 中可逆元与幂零元之积是幂零元,可逆元与可逆元之积是可逆元.令b 是R 中一个可逆元,于是1b a R -∈是一个幂零元.按前证,11b a -+是可逆元.所以 1()b I b a b a -+=+是可逆元,即证明了可逆元与幂零元之和为可逆元.定理证毕.定理 3.1.2 设01,0,nn n f a a x a x a =++⋅⋅⋅+≠是[]R x 中的一个多项式.那么,f 在[]R x 中可逆的充分必要条件是0a 为R 中的可逆元,12,,,n a a a ⋅⋅⋅为幂零元.证明：如果f 是[]R x 中的可逆多项式.设它的逆为01,mm g b b x b x =++⋅⋅⋅+不妨假定.n m ≤于是有200121.n mn m fg a b P x P x P x++==+++⋅⋅⋅+ 因为x 是不定元,由定义得 001,0,1,2,,.i j kj k ia b P a bi m n +=====⋅⋅⋅+∑我们对r 使用归纳法证明10()r n m r a b r n +-=≤ b.当r 为0时,0,n m a b =因为0.n m n m a b P +==假定对r <的一切自然数t 都有11t n m a b +-.考察乘积fg 中x 的n m r +-次项的系数n m r P +-,我们有10n m rn m r j n m r j n rP a b +-+-+--=-==∑1111.n r m n r m n m r n m r a b a b a b a b --+---+-=++⋅⋅⋅++等式两端乘以rn a ,因为R 是可交换环,由归纳假设,可得0r n n r m n r n m a a b a a b --==.221111110,,r r r n n r m n r n n m n n m r a a b a a a b a a b --+--+---+==⋅⋅⋅(1)11(1)0r n n m r a a b -+---==,从而由上面等式的最后一项得10r n m r a b +-=.所以对于一切自然数r n ≤,都有10r n m r a b +-=成立,特别的,当r n m ==时,就得 100m n a b +=.已有001a b =,知0a 为可逆元.同时0b 也是可逆元.即有10b -存在,于是由上面最后的等式知10m na +=,从而n a 与n n a x 为幂零元.令1nn f f a x =-,这是一个可逆元与幂零元的和式,故知1f 为可逆元.但101f a a x =++⋅⋅⋅11n n a x --+,与上面证明n a 为幂零元的过程完全一样,在1f 为可逆元的条件下可以证得1n a -为幂零元,…,如此逐步证明下去,我们就得到11,,,n n a a a -⋅⋅⋅都是幂零元.反之,假定在01nn f a a x a x =++⋅⋅⋅+中,0a 为可逆元,12,,,n a a a ⋅⋅⋅为幂零元,那么,因为212,,,n n a x a x a x ⋅⋅⋅都是幂零元,由引理,显然易得多项式01n n f a a x a x =++⋅⋅⋅+是可逆的,即充分性得证.这个定理指出了,一类有幂零元零因子的非整环上的多项式环,可能有非平凡的可逆多项式.定理同时给出了一个在这种环上的可逆多项式的判别法则. 下面我们给出一个例子.考虑剩余类环m Z ,这里1212t a a at m p p p =⋅⋅⋅为整数,i p 是互不相等的素数,0i a >为整数.若,(,)1a Z a m ∈=,则m a Z ∈为可逆元.m b Z ∈为幂零元的充要条件是可写 21,t b kp p p k Z =⋅⋅⋅∈易知m Z 中幂零元的个数是1211112t a a a t s p p p ---=⋅⋅⋅.如果121t a a a ===,那么m Z 中仅有1s =个幂零元,没有其他非零的幂零元,m Z 为整环.我们考虑m Z 为非整环的情形.若对某1(1),i m a i t Z >≤≤中有非零的幂零元,由前面我们证明的定理知.[]m Z x 中有非平凡的可逆元(多项式),这些可逆多项式形如01mii i a b x =+∑其中021(,)1,,i i t i m a m b k p p p k Z ==⋅⋅⋅∈,即0a 是m Z 中的可逆元,i b 是m Z 中的幂零元. 特别值得一提的是,当12,1i a i t ≤≤≤≤时,[]m Z x 中次数不高于一个定数u 的一切 可逆元关于此环的乘法作成一个有限群.读者可自行验证之.回到开头提出的问题.若D 是一个整环,那么,D 上不定元x 的多项式环[]D x 中的可逆多项式就是D 中的可逆元素即[]D x 中的“零次”多项式.因此时D 中仅有唯一的幂零元0.于是我们直接得出与通常整环上相一致的结果.定理3.1.3 多项式f 是幂零的当且仅当它的所有系数都是幂零的.证明：（1）先证“充分性”.我们易证,如果,m n 是幂零元,则m n ±也是幂零元.f 是幂零元,显然0a 是幂零元,则有1012()n n f a x a a x a x --=++⋅⋅⋅+是幂零元.令112n n g a a x a x -=+++⋅⋅⋅+,则g 也是幂零元,那么1a 必为幂零元.依此类推可知01,,,n a a a ⋅⋅⋅是R 中的幂零元.（2）再证“必要性”.01,,,n a a a ⋅⋅⋅是R 中的幂零元,那么01,,,nn a a x a x ⋅⋅⋅也是[]R x 中的幂零元,因为,m n 是幂零元,则m n ±也是幂零元.所以可以推出f 是[]R x 的幂零元. 下面我们给出一个可逆多项式的判别法则.首先约定,后面提到的多项式的系数环,乃指有单位元的可交换环,不论其有无零因子.定理3.1.4 f 是[]R x 的零因子当且仅当有R 中的非零元a ,使得0af =. 证明：（1）先证“充分性”,显然成立.我们来证明必要性.（2）“必要性”.考察最低次得多项式01m m g b b x b x =++⋅⋅⋅+,使得0fg =.由于0()0m nki j k i j kfg a b x +=+===∑∑,由定理3.1.2可知0n m a b =,可以推出0n a g =；否则n a g 将是次数小于m 的零化f 的多项式,这就矛盾.由110n m n m a b a b --+=及0n m a b =可得210n m a b -=.于是得到10n a g -=.否则1n m a b g -将是次数小于m 的零化f 的多项式,这也矛盾. 依此类推可得：0n r a g -= 0r n ≤≤由于0g ≠,故01,,,m b b b ⋅⋅⋅中必有一元素不为零,令0i b ≠,由前边的证明可知：0i j a b =0,1,,i n =⋅⋅⋅.所以令j a b =,就有0af =.推论3.1.1 环R 是整环当且仅当[]R x 是整环.3.2环上多元多项式的性质同环上一元多项式一样,环上的多元多项式也具有一些类似的性质.设0R 是可变换的幺环,而R 是0R 的子环且R R ∈01.现任取0R 中n 个元素12,,,n x x x ⋅⋅⋅,我们可以依次做如下工作:首先作R 上的1x 的多项式环1[]R x , 再作2[]R x 上的2x 的多项式环 12[][]R x x ,最后作上12[][][]n R x x x ⋅⋅⋅的n x 的多项式环1[][].n R x x 其中, ()1212,,,[][][]n n f x x x R x x x ∀⋅⋅⋅∈⇒121212n n i i i i i i na x x x =∑ 其中,,21R a n i i i ∈ 系数只有有限个0≠.定义3.2.1 上述描述的每个()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅称为R 上的12,,,n x x x ⋅⋅⋅的多元多项式,而每个n i i i a 21叫做()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅的系数.习惯上, R 上的12,,,n x x x ⋅⋅⋅的多项式环1[][]n R x x 写成12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅. 对于多元多项式环中加法和乘法的运算为:(11211n nni i i i i n i i a xx ∑)11211n j n j nj j j j n j b x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()11111nnnni i i i i i ni i ab xx =+∑(11211nn n i i i i i ni i a xx ∑)(1111n n n j j j j n j j bxx ∑)1111nn nk k k k nk k cxx =∑ 其中,111nn nm m mk k i i j j i j k c a b +==∑定理3.2.1 a 是12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅中的幂零元,那么f 的常数项必为幂零元.证明：a 为的f 常数项,那么1()f a f x =+且112()[,,,]n f x R x x x ∈⋅⋅⋅.因为f 为12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅中的幂零元,则存在n Z ∈,使得0n f =,即1(())n n f a f x =+.由1(())na f x +展开可知,n f 的展开式中只有n a 为常数项,于是2()n n f a f x =+,2()f x 为含有不定元得所有项.若0n f =,则必有0n a =,所以a 必为幂零元.3.3环上幂级数环的性质在以上章节中,我们讨论了有限项的多项式,下面我们来讨论项数无限的幂级数环的性质.定义3.3.1 R 设是有单位元的交换环,x 是一个未定元,系数取自环R 的幂级数有如下表达式：2012n n a a x a x a x +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅其中012,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是环R 中的元素,n 是非负整数,上式也可表示为0i i i a x ∞=∑,并规定01x =.在环R 中所有的幂级数构成的集合[]R x ,并定义如下加法和乘法：000()()()()()()ijki j k k i j k i j ki j k k i j k i j ka xb x a b x a x b x a b x ∞∞∞===∞∞∞===+=+=+=∑∑∑∑∑∑∑定义3.3.2 所有系数在环R 上的幂级数全体构成的集合称为R 上的幂级数环[]R x .同环上多项式一样,环上幂级数也具有一些类似的性质,设R 是有单位元的交换环,而[]R x 是系数属于R 的一个未定元x 幂级数环. 令2012[]n n f a a x a x a x R x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∈ ,定理3.3.1 若0a 是R 中的可逆元,则f 是[]R x 的可逆元.证明：把2012[]n n f a a x a x a x R x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∈变成0()f a xg x =+的形式,则()[]g x R x ∈.因为0a 是R 中的可逆元,我们用待定系数法来求一个1101()f a xg x -=+使得11ff =.设2012();g x x x βββ=+++⋅⋅⋅21012()g x x x γγγ=+++⋅⋅⋅ i γ待定,则方程组：1000010100101020110201001100000n n n n a a a a a a a a γβγβγβγβγβγβγβγβγβ------+=++=+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅可逐次求出012,,,γγγ⋅⋅⋅⋅⋅⋅.所以1f 存在.故当2012n n f a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅,0a 为R 中的可逆元时,f 是[]R x 的可逆元.定理3.3.2 如果f 是[]R x 的幂零元,那么对于一切0n ≥,n a 都是幂零元.证明：因为f 是[]R x 的幂零元,则存在0n >,使得0()0nn n n n f a x ∞===∑,则00na =,所以0a 是幂零元.于是可以得出0f a -也是幂零元. 又因为20123()()f a x a a x a x xg x -=+++⋅⋅⋅=,因此2123()g x a a x a x =+++⋅⋅⋅也必为幂零元,故可以得出1a 是幂零元.依此类推可得012,,,a a a ⋅⋅⋅都是幂零元.第四章总结本文从一般的数域上的多项式出发,经过推广,得出在环上的多项式,并通过对环上的多项式定义加法和乘法,得出了环上的多项式环.我们也进一步讨论了多项式的运算性质.而在有单位的交换环上,环上多项式环具有许多与其它环不同的性质,本文着重讨论了具有单位元的交换环上的环上多项式的一些特性.本文首先讨论的是有限项的多项式环,并将其推广至无限项的多项式环上——幂级数环. 同有限项的多项式一样,环上幂级数也具有一些类似的性质.我们根据环R的幂零元与可逆元之和是R的可逆元,得到了[]R x的可逆元和幂零元存在的条件.数域上的多项式环和环上的多项式环存在着许多不同的性质,同样,有限项多项式和无限项多项式也存在着很多联系和区别,这些联系和区别都有待于我们进一步思考.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）[M].高等教育出版社,1988.[2] 张禾瑞. 近世代数基础[M] . 北京: 高等教育出版社, 1978.[3] 周伯勋. 同调代数[M]. 科学出版社,1997.[4] 李正师. 多项式代数[M]. 山东人民出版社,1981.[5] 范崇金. 近世代数基础[M]. 哈尔滨工程大学出版社,2008.[6] 辛林. 近世代数[ M] . 北京:当代中国出版社, 2000.[7] 高绪珏. 近世代数[M]. 沈阳:辽宁人民出版社, 1985.[8] 吴品三. 近世代数[M] . 北京:高等教育出版社, 1979.[9] 刘绍学. 环与代数[M] . 科学出版社, 1983.[10] 高绪珏. 近世代数[M]. 沈阳:辽宁人民出版社, 1985.致谢首先,非常感谢欧阳伦群老师对我完成论文这一过程的指导,他渊博的知识,扎实的基础和严谨的科研态度,悉心的指导,才使我的论文能够顺利完成.其次,我要感谢数学学院的老师,他们在我四年的学习中,传授了我宝贵的知识,为我论文的顺利完成打下了基础.同时我也要感谢我所有的同学,在与他们的讨论中我获得了很多知识和启迪.最后,感谢我的家人和朋友给我的支持和鼓励,我一定会继续努力,争取以更优异的成绩回报社会.。
§ 6 多项式环我们已经有了一般环的定义，现在要认识一种特殊的环——多项式环. 这种环在数学里非常重要.设R是一个有单位元的交换环，R 是环R0 的子环，且R 包含环R0 的单位元.设n 为非负整数，R，a i R,i 0,1, ,n，则0 1 na0 a1 a R0 .n定义一个可以写成na0 a1 a a R, n为非负整数n i形式的R0 的元叫做R上的的一个多项式.a i 叫做多项式的系数.R 上的的多项式所作成的集合，用R 表示.注意到当m n 时，把所有m m m 1 na0 a1 a a0 a1 a 0 0 ，m m故当我们只考虑R 的有限多个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数都是一样的.R 的两个元相加相乘有如下公式：对于n n n a0 a1 a b0 b1 b a0 b0 a1 b1 a b ,n n n nm n m na0 a1 a b0 b1 b c0 c1 c ,m n m n其中c a0b a1b 1 a b0 a b .k k k k i ji j k于是，R 对加法和乘法来说都是闭的.又因na a a a a a R ，0 1 n 0 1 nR是一个环. R 是环R的一个子环，且是包括R 和的最小子环.故R 叫做R 上的的多项式环.定义R中取一个元a0 a1 a n ，当a0,a1, ,a n 不全为零时，可能有在na0 a1 a 0.n如，当R时，取a0 , a1 1，则a0 a1 1 0.定义R的一个元x叫做R 上的一未定元，如果在R里不存在不全为零的元a0, a1, ,a n 使0得na0 a1 x a x 0.nR 上未定元的x的多项式（简称一元多项式式）只能用一种方法写成na a x a x a R 的形式（不计系数是零的项）.0 1 n i定义设na0 a1x a x , a 0n nR 上的一个一元多项式，那么非负整数n 叫做这个多项式的次数.多项式0 没有次数.是环对于给定的R0 ，R0 不一定含有R 的未定元.R整数环，R 包含所有a bi a, b是整数的整环.对于R0 的每一个元 a bi 来说，例2 2 , 2a b R a R，但22 2 2 2 2a b 2a a b 2a a bi a bi2 2 2 2 2a b 2a 2abi a 2 a bi b 0.定理设R是一个有单位元的交换环，则存在R上的未定元x ，从而存在R上的一元多项式R x .环证 1.利用R 作一个环P. 设P a0 ,a1, |a i R,i 0,1, ,但只有有限个a i 0 ，P 的元素a0 ,a1, 是一个无穷序列.设a0,a1, , b0,b1, P ，规定当且仅当a b ,i 0,1,i i时，a0,a1, b0 ,b1, .规定一个加法；a0,a1, b0,b1, a0 b0,a1 b1, ，P 的一个代数运算，且P 对这个加法来说作成一个加群，其零元是0,0, .这是再规定一个乘法：a0,a1 , b0,b1, c0 ,c1, ，其中c a0b a1b 1 a b0 ,k0,1, .易知这也是P 的一个代数运算，这个乘法适合k k k k交换律.下面证明，这个乘法还适合结合律，即证明a0 ,a1, b0,b1, c0 ,c1, a0,a1, b0,b1, c0,c1, .按照乘法定义，a0,a1, b0,b1, d0,d1, ，d a b ,m 0,1, .故这里m i ji j ma0 ,a1, b0 ,b1, c0 ,c1, d0,d1, c0 ,c1, e0,e1, ，这里e d c a b c a b c a b c,n 0,1, .n m k i j k i j k i j k m k n m k n i j m m k n i j m i j k n对a0,a1, b0,b1, c0,c1, 进行计算，结果也是一样的.这两个运算还适合分配律：a0,a1, b0,b1, c0,c1, a0,a1, b0 ,b1, a0 ,a1, c0,c1, .这是因为a ab bc c a a b c b cd d ，0, 1 , 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 0, 1 1, 0, 1,这里d a b c a b a c a b a c ,k0,1, .k i j j i j i j i j i ji j k i j k i j k i j k而a0,a1 , b0,b1, e0 ,e1, ，a0,a1, c0 ,c1, f0, f1, ,e k a i b j ,k0,f k a i c j ,k 0,1, .这里i j k i j k从而a , a ,b ,b, a ,a ,c , c , e , e , f , f ,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1e f ,e f , .0 0 1 1易知，e f a b a c d ,k 0,1, ，k k i j i j ki j k i j k故a0,a1, b0,b1, c0,c1, a0,a1, b0 ,b1, a0 ,a1, c0,c1, .因此，P 作成一个交换环.在P有如下等式：（1）a0,0,0, b0,b1, a0b0 ,a0b1, .特别地，有1,0,0, b ,b, b ,b , .0 1 0 1P有单位元1,0,0, .故2.利用P 作出一个包含R的环P.由（1）式可得（2）a,0,0, b,0,0, ab,0,0, .由假法定义（3）a,0,0, b,0,0, a b,0,0, .由（2）和（3）得R a,0,0, |a RP 的一个子环，且是环: R Ra,0,0, a是环R 与环R 间的的一个同构映射.R与P没有共同元，故R 与R在P里的补足集合P R也没有共同元，故由挖补定理，因R来代替R ，而得到一个与环P 同构且包含R的环P .我们可以用P是一个有单位元的交换环，故P也是一个有单位元的交换.且环P 与环P间的同构映射因下，P 的单位元1,0,0, 的象1（这是环R 的单位元）就是环P 的单位元.3.最后证明，P包含R 的未定元.令x 0,1,0,0, ，则x P .下面用数学归纳法证明，对任意正整数k ，有k个k（4）x (0, ,0,1,0, ).当k1时，结论是正确的.假设对于k 1（k 2）结论是正确的，那么k 1个k kx xx1 0,1,0, (0, ,0,1,0, )a b , a b , ,i j i j ij 0 i j 1其中，a i 1,i 1,0,i 0,2,3,4,，bj1, j k 1,0, j 0,1, ,k 2,k ,k 1, .故i j s a bi j1,s k,0,s 0,1, ,k 1,k 1,k 2, .于是，k个kx (0, ,0,1,0, ).设在环P 里，na0 a1x a x 0, a R ，n i则在环P 里nna0,0, a1,0, x a ,0, x 0,0, .于是，由（4）和（1）得a0,a1, ,a n,0, 0,0, .从而a0 a1 a n 0 .这就证明了x 是R上的未定元.习题解答（P109）1. 证明, 假定R是一个整环,那么R 上的一个多项式环R[x] 也是一个整环.证R!是交换环R[ x] 交换环,R 有单位元1 1是R[ x] 的单位元,R 没有零因子R[x]没有零因子n事实上， (x) 0 a x a x ,a 0f a 1 nmg x b b b m x b( ) 01x, m 0则 f (x)g(x) a b 0 0 n a n b xm m因为 R 没有零因子 ,所以 0a n bm因而 f (x)g(x) 0这样 R[ x] 是整环2． 假定 R 是模 7 的剩余类环 ,在 R[ x] 里把乘积 3 x x 2 x ([ 3]x [5] [ 4])([ 4][ 3]) 计算出来解 原式 =[5] 5 [3] x x [5] x [5] [5] x [4] x 4 x 3 [5] x [2]4 3x 53. 证明:(ⅰ) R[ 1, 2] R[ 2, 1](ⅱ) 若 x 1, x 2 , , x n 是 R 上的无关未定元 ,那么每一个 x i 都是 R 上的未定元. i 1 i 2证 （ⅰ） R[ , ] {一切 a }1 2 i 1i 2 2 1j 2 j1R[ 2, 1] { 一切 a }j 2 j1 2 1由于 a i1i 2 i1 2 i 2 1 a j 2 j1 j 2 2 j11因而 [ , ]R R[ 2, 1 ]1 2nk（ⅱ）设 0a k xink 00 0 h 0 0即 a k x x x x x1 i 1 i i 1 nk 0因为 x 1, x 2, x n 是 R 上的无关未定元 ,所以 即 x 是R 上的未定元i 4. 证明:(ⅰ) 若是 x 1, x 2 , x n 和 y 1, y 2 , y n 上的两组无关未定元 ,那么 R[ x 1,x 2, x n ] R[ y 1, y 2, y n ](ⅱ) R !上的一元多项式环 R[x] 能与它的一个真子环同构 .证(ⅰ) : ( , , ) ( , , )f x1 x x n f y y y n2 1 2根据本节定理 3 [ , , ] ~ [ , , ]R x1 x x n R y y y n2 1 2容易验证( , , ) ( , , )f1 x x x n f x x x n f1( y1, y2, y n) f2( y1, y2, y n)1 2 2 1 2这样[ , , ] [ , , ]R x1 x x n R y y y n2 1 22 2n（ⅱ）令R[ x] { 一切a a x n x }a0 1显然R[ x2 ] R[x]但x R[ x2 ] 不然的话x b2b x12m 2 2m bm x b x b x b x0 1 m这与x 是R上未定元矛盾.所以R[ x2 ] 是R[x] 上未定元显然故有（ⅰ）R[x] R[x2}这就是说, R[x2 ] 是R[x] 的真子环,且此真子环与R[ x] 同构.。
多项式环的定义设0R 是一个含有单位元01R 的可变换环。
又设R 是0R 的子环且R R ∈01，现考察0R 中含R 及 任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个子环) ()()∑∑====∀nj jjm i i ib g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j jb ag f 0ααα, 必定假设 021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中 ∑=+=kj i jik ba C又 ()()∑∑==-=-=-mi i i mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,, ∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环.显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么 []2Z 中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:()02210=++++=n n a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论. 定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义4. 设()()0210≠++++=n nn a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。
循环多项式
遥远的夏日午后，阳光透过窗户洒在书桌上，我静静地坐在那里，思绪飘向了数学世界的远方。
今天，我要与大家一起探索一种神奇的数学对象——循环多项式。
循环多项式是一种特殊的多项式，它具有循环对称性。
简单来说，循环多项式在变量上进行循环操作后，结果仍然是原来的多项式。
这种特性使得循环多项式在数学领域中具有重要的应用价值。
假设我们有一个循环多项式f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0是多项式的系数。
我们可以简单地将x的n次幂与x的0次幂相连，形成一个环状结构。
当我们将x进行循环移位时，循环多项式的系数也会按照相应的规律进行移位。
循环多项式在代数学、密码学等领域中有广泛的应用。
例如，在代数学中，循环多项式可以用来描述一些特殊结构的代数对象，如循环群、循环域等。
在密码学中，循环多项式可以用来构造一些高效且安全的密码算法，如循环置换密码、循环冗余校验等。
除了数学应用之外，循环多项式还可以帮助我们更好地理解自然界中的循环现象。
例如，循环多项式可以用来研究自然界中的周期性现象，如天体运动、生物生命周期等。
通过对循环多项式的研究，我们可以揭示出其中隐藏的规律和奥秘，进一步推动科学的发展。
总结起来，循环多项式是一种具有循环对称性的多项式，具有广泛的应用价值。
它在代数学、密码学以及自然科学中都有重要的作用。
通过对循环多项式的研究，我们可以深入理解数学世界的奥秘，探索自然界中的循环规律。
让我们一起用心感受数学的魅力，探索循环多项式的无限魔力吧！。
