广东省中山市东升高中 高建彪

在中学，数、理、化是课程中最重要的一部分，如果数学学不好，那么物理、化学也不可能学好。

在理工科大学中，数学更是一个基础。

在工农业生产中，我们都希望能够多、快、好、省地完成任务。

例如，在现有条件中，如何合理安排生产过程，使产量最好，使消耗费用最小，而又在最短时间内完成任务，就存在有大量的数学理论和计算问题。

所以，数学在我们社会主义建设中能够并且应该起很大作用。

首先要有决心、信心和恒心。

扎扎实实地打好基础，练好基本功。

从一点一滴做起，日积月累逐步有所提高。

在学习中不可平均使用力量，而要把劲特别用在一门新功课，一个新篇章的开头，用再最基本的内容上。

例如，一个中学生加、减、乘、除经常算错，那他就不可能学好代数、三角、几何、物理、化学等课程。

所以加、减、乘、除，就是一个基础。

打好扎实的基础，要循序渐进，自然科学，特别是数学，有很强的系统性和连贯性，只有把前面的基础打牢，才好进入后一步，只有一步一个脚印，学得扎扎实实，才可能逐步提高，最后才有希望达到科学的顶峰。

第二，要注意独立思考。

拿数学来说，它是一门着重于理解的学科，在学习中要防止不求甚解的倾向，一定要勤分析、多思考。

对每部分内容，每个问题，要从正面、反面各个角度多想想，要善于找出它们之间的联系，总结出规律性的东西。

另外，不要一遇到不会的东西就马上去问别人，自己不动脑子，专门依赖别人，要先自己认真地思考一下，这样就可能依靠自己的努力，克服其中的某些困难，对经过很大努力仍不能解决的问题，再虚心地请教别人，这样才能对自己有更大的帮助和锻炼。

第三，学习态度要端正，要注意培养良好的习惯，刻苦钻研，要做到专心致志。

例如，有些同学，一边看电视，一边看数学书或算习题，这样的效率一定是很低的。

所以，不论复习、做题、阅读参考书籍都要精力集中，要争分夺妙，切忌分心。

学习中还要养成严肃认真、踏踏实实的好学风，不要好高鹜远，更不能夸夸其谈。

第四，知识面要宽些，基础要打扎实。

前些年，在学习上出现了一些偏差，有的同学以为学好数理化就行了，至于语文学得好不好无所谓，这种看法是错误的。

高中数学网络资源的个人建设与发掘广东省中山市东升镇高级中学高建彪摘要：本文介绍个人如何发掘高中数学网络资源，摸索新时期信息技术与高中数学课程的整合，分析资源共享的发展趋势及高中数学学科网站建设的关键步骤，并探讨个人进行网络资源建设的重要性，从而充分认识网络沟通的价值，重视良好积累习惯的养成。

关键词：网络资源高中数学信息技术学科网站资源共享网络联系信息技术迅速发展的时代，互联网络如同无边无际的大海，在这茫茫的网海之中，高中数学教育教学资源极其丰富，给学习、工作带来了极大的便利，但也有着不足之处，如部分资源泛滥、陈旧，个别资源急缺。

全国各地的高中数学老师，面对目前的网络状况，有个别能遨游网海之中，运用自如，享用着网络资源对高中数学教育教学的价值，但更多的还是比较茫然，具体体现在两个方面：一是网海无边，资源太多而不知所措；二是知音难求，适用的资料难以找寻。

本人“触网”较多，对网络有着一种极其深厚的情感，下面谈谈个人在高中数学网络资源发掘与建设方面的体会。

一、重视网络资源搜索，合理分类归档资料网络搜索是帮助我们从茫茫网海中寻找资源的强有力的工具，刚入电脑门坎的高中数学老师，认识与操作上有两点误区：一是怎么搜索？二是搜索之后，怎么也找不到？解答误区一，必须记住或收藏一些常见的搜索网站，如百度, Google搜索, 搜狗搜索，一搜，3721实名搜索, 中国搜索等等. 同时，也记住或收藏一些常见的上网导航网站，如网址之家，265上网导航，教育网站导航等等.解答误区二，需要更新初识，网络并非万能，有些较新的资源，别人并没有发布在网上，所以搜索不到；有些较旧的资源，以前发布在网上，但随着时间的推移，网址已经发生变化，或者网站空间都已经停办，虽然能搜索到标题和简介，但链接的内容已经不存在。

还有一个问题是搜索时输入的关键词是否准确，准确的关键词可以帮助我们迅速找到想要的资源。

作为一名高中数学老师，还必须熟记或收藏一些常用的大型数学网站，如中山市中学数学网, 数学教研网, 数学之家，数学联盟等等。

锥形独立基础=1/3h（上底面积+下底面积+上底边长*下底边长）长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)三角形面积公式的应用与探究广东省中山市东升高中高建彪设△ABC的三边为a，b，c，由解直角三角形易得三边上的高h a，h b，h c，根据面积公式，可以推导出另一面积公式. 由此公式，可以直接计算已知两边及夹角的三角形面积，并解决一些与面积相关的问题.一、应用面积公式，推导正弦定理例1设△ABC的三边为a，b，c，求证：.证明：由三角形面积公式，得到，即.上式同时除以abc，得到.所以，.点评：三角形面积公式由直角三角形的边角关系表示出各边上的高之后再推导出来，再运用它推导正弦定理，实质就是教材中正弦定理推导过程的简化.二、活用代数变形，推导海伦公式例2 △ABC的三边为a，b，c，设，求证：.证明：======== .点评：此例的结论，就是海伦公式，可以由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积. 海伦公式据说是由古希腊数学家阿基米德解决的，但最早出现于古希腊数学家海伦（Heron）的著作《测地术》中，公式的形式漂亮，且便于记忆. 我国大数学家秦九韶在也发现与海伦公式本质上相同的“三斜求积”公式，并记载于他写的《数书九章》中. 如果由三角形面积和，得，，根据，整理后也可得到海伦公式.三、结合面积公式，研究三角问题例3 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.（1）若a=4，b=5，S=5，求c的长度；（2）若三角形的面积S=，求∠C的度数；（3）若a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.解：（1）∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝；当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝.∴ c的长度为或.（2）由S=，得absinC=. ∴ tanC=1，得C=.（3）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.∴ bcsinA=b2sinB，则=sinA=.点评：解三角形时，需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系，根据条件合理选用正弦定理或余弦定理，结合三角形的面积公式来解决问题.四、综合面积公式，探讨数学领域例4 已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4. 求四边形ABCD的面积.解：如图，连结BD，则四边形面积S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC∵ A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，∴ S＝（AB·AD＋BC·CD）·sinA＝16sinA.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝22＋42－2·2·4cosA＝20－16cosA.在△CDB中，BD2＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC.又cosC＝－cosA，∴cosA＝－，∴A＝120°，得S＝16sinA＝8.点评：在印度婆罗摩笈多（约593-665后）的书中，出现了有圆内接四边形的求积公式（其中a,b,c,d为四边形的四条边，p为四边形的周长之半）. 当d=0时，这个公式即为海伦公式. 推广到任意四边形，则得到婆罗摩笈多公式.三角形的面积公式有许多，例如已知三角形的三边a、b、c及外接圆、内切圆的半径为R，r，则有S△=abc/4R与.又如，在△ABC中，若=()，= ()，则△ABC的面积为S=.此三角形面积的向量公式可如下证明.证明：由上例公式，不必求三角形的边长和角度，只要知道任意两边所对应的向量即可，而其向量在已知三角形三个顶点的坐标时不难求得. 由此，我们知道三角形三个顶点的坐标，也可以得到如下面积公式.，，则＝ .三角形面积公式的应用与探究作者：广东省中…文章来源：转载点击数：5819 更新时间：4/2/2007点评：此例的结论，就是海伦公式，可以由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积. 海伦公式据说是由古希腊数学家阿基米德解决的，但最早出现于古希腊数学家海伦（Heron）的著作《测地术》中，公式的形式漂亮，且便于记忆. 我国大数学家秦九韶在也发现与海伦公式本质上相同的“三斜求积”公式，并记载于他写的《数书九章》中. 如果由三角形面积和，得，，根据，整理后也可得到海伦公式.三、结合面积公式，研究三角问题例3 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.（1）若a=4，b=5，S=5，求c的长度；（2）若三角形的面积S=，求∠C的度数；（3）若a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.解：（1）∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝；当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝.∴c的长度为或.（2）由S=，得absinC=. ∴tanC=1，得C=.（3）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.∴bcsinA=b2sinB，则=sinA=.点评：解三角形时，需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系，根据条件合理选用正弦定理或余弦定理，结合三角形的面积公式来解决问题钢筋工程量计算规则1、钢筋工程，应区别现浇、预制构件、不同钢种和规格，分别按设计长度乘以单位重量，以吨计算。

收稿日期：2012-07-12作者简介：徐勇（1958-），男，安徽芜湖人，教研员，主要从事中学数学教育研究.借助TI图形计算器CAS功能解高考题徐勇（广东省教育研究院）高建彪（广东省中山市东升高中）摘要：广大TI图形计算器的使用者，对其强大的CAS功能略显陌生，笔者精选2012年广东高考理科数学部分试题，结合TI图形计算器的CAS功能进行研究与探索，经历之后必将感受TI技术之CAS功能替代成为高级草稿纸之绝妙，同时意识到技术背景下的计算能力不再是烦琐的死算，而是形成并掌握解决数学问题的算理.关键词：广东高考；CAS功能；TI教育技术；图形计算器大约在20世纪60年代，人们需要利用计算机进行代数运算的研究，于是诞生了计算机代数系统（Computer Algebra System），简称CAS，它是一种智能化的运算，处理的是符号，其显著标志是能够以字符串作为运算单位，所以又称为符号运算，例如，2*2是数值运算，而2*a是符号运算. 符号可以代表整数、有理数、实数和复数，也可以代表多项式、函数，还可以代表数学结构，如集合、群的表示，等等. 人们在数学的教学和研究中，用笔和纸进行的数学运算多为符号运算.一般来说，一个常见的计算机代数系统包含以下基本功能：超大型整数快速运算、任意精度的浮点数运算、整数的素数判定、因子分解、数论函数等；多项式的基本运算、最大公因子、因式分解等；矩阵的基本运算、线性方程组、特征值、矩阵函数、精确线性代数等；方程求解和方程组求解、丰富的基本函数与特殊函数支持、数学常数、表达式的化简与归约、极限过程、符号微分、符号积分、符号求和、微分方程符号求解等.具有CAS功能的计算机软件很多，但大多较为庞大，还需要借助一台电脑完成，而具有“移动数理实验室”之称的TI图形计算器，推出了CAS运算功能，最先进的一款机型是TI-Nspire TM CX CAS（OS版本3.2），下面笔者结合2012年全国普通高考广东理科数学试题，谈谈TI图形计算器CAS运算功能的应用.一、CAS功能再现函数单调性定义法例1（理4）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）。

有效建设年级学科备课组，开拓新老教师专业成长路广东省中山市东升高中高建彪摘要：本文介绍了具有一定规模学校的年级学科备课组建设中一些有效的策略，结合具体的实例，总结了较为科学的做法，提出了针对一些问题的改进方式. 在备课组丰富多彩的集体活动中，促进成员之间的相互提高，专业能力水平方面都得到发展.关键词：集体备课教研活动专业成长交流提高在学校教育教学管理工作中，年级学科备课组是贯彻执行学校教育教学任务的最底层的组织，是学校教学工作、教研过程中的基本单元. 对一定规模的学校，建设一支强有力的备课组队伍，可以充分发挥骨干教师的作用，促进青年教师的专业成长，增强集体协调作战的能力，开创学校的办学特色，提高学校教育教学质量.一、科学分析实际情况，制定具体计划措施：自古有“因材施教”、“因人而异”，每所学校的情况各不相同，同一个学校的各备课组之间也各有特色. 即使是同一个备课组，各学期之间的情况也有差别. 既要认真分析本备课组成员的各自特点，也要结合学校与学生的实际情况，科学的制定出切合实际情况的备课组短期与长期的工作目标，学期与学年的工作计划与措施.例如，某校高一数学备课组7人，基本情况如下表：从教学阅历的角度来分析，毫无疑问该备课组属于“弱势群体”，教学经验严重不足，对教材的把握也可能很肤浅，但不可否认该群体也具有年轻特有的优势，敢闯好拼、勤学肯钻. 学校领导安排该组中资格较老的老师牵头，负责这支年轻队伍的建设，结合实际情况，制定了几条具体的措施，如：加强集体备课，形成电子讲义；走出学校学习，请进专家指导；结合学校青蓝工程，开展其子课题（“有效建设年级学科备课组，促进青年教师迅速成长”）研究，……等等.在措施执行的过程中，有比较理想的时候，但也不排除措施执行力度不够，或者效果不够，甚至有负面的影响. 这时，需要及时针对所出现问题中的症结，科学调整目标并对措施进行改进.假如3～5年之后，该备课组发展为一支“强势群体”，肯定会积累一系列值得借鉴的经验，并相应制定一些新的措施，如：加强教学研究与总结，编印系列教学资料；走出学校开设讲座与报告；……等等.二、高效进行集体备课，强化电子讲义特色：备好课是上好课的前提，对于教学经验不足的老师，备课这一环节尤其重要. 备课的内容有许多，如备教材与学生，备课内与课外，备教法与学法. 上海市一位著名语文特级教师，其迅速成长的经历，就是深入进行备课研究的典型案例.具备特色的个人备课，需要个人一种顽强的毅力支撑着，其成功也仅限于个人的进步.如何有效发挥集体的团结协作能力，高效进行集体备课，将集体的智慧化为巨大的力量，改进各教师独自备课中的不足之处，这些都是实施集体备课环节能达到的预期效果.集体备课活动，是教学研究中不可缺少的形式，有这样一种典型的做法：把全期的教学内容分成两个阶段，如高一、高二的新课标数学课程，有明显阶段性的特点，上半期、下半期各完成一本必修教材的学习，每本必修的单元数为3～4个，课时数为36个. 按单元数量及课时数量，将课时任务按两批分配到备课组各成员，限定于期初与期中两次完成，并形成电子讲义. 每周开始由主备人负责组织研讨，既谈上周讲义执教后的应有改进之处，又谈本周备课中的一些设想. 然后以公用的电子讲义为基础，切合本班的学生实际与个人想法进行修改，形成个人教学特色的教案.这种典型的集体备课，能把老师从大量的、繁复的备课劳动中解脱出来，不必面面俱到，思考整个教材各个课时的处理，每个人都可以集中精力，专心研究一个或几个单元的教学内容，提高各单元的备课质量. 特别是电子讲义的形成，既是一种电子资料的积累整理归档，也方便于高中教学三年一个循环，在以前的基础上改进与提高，更能使各教师思维的亮点集中且传承下去.然而，在集体备课过程中，也可能会遇到各种各样的问题，需要我们进行具体分析，并加以改进，例如：（1）教师任务繁重，难以集中时间或集中精力. 这就需要学校统筹安排，每周确定2～3课时的时间，备课组内教师都可集中交流，从时间上保证集体备课会议的进行. 也需要学校统筹安排各教师的工作任务，从精力上保证教师能专心于教学研究. 更需要我们的老师勤勉，有钉子般的钻研精神，善于挤时间，规划自己，保质保量完成任务.（2）部分教师经验不足，或者对某单元的教材把握不够，备课的质量有待提高. 这时，需要发挥备课组中骨干教师的作用，或者增强一些外来支援的力量，在分配备课任务之前，集中半天或一天，学习各单元教材内容，研究相应的教法，让集体的智慧资源得以共享.（3）电子讲义的运用，对教师掌握信息化技术的要求较高，往往各自形成的讲义排版效果不一致，影响集体备课的效果. 如果能在备课前对统一规格的备课模板进行学习，适当进行电子排版的培训，并交流使用各种备课中常用软件，特别是数学公式编辑器和作图软件的规范使用，这样日积月累，经过教师自我钻研、对比、调整、欣赏之下，电子文稿的处理效果会逐步统一，并能够提高集体各成员信息技术的操作水平.（4）简单克隆教案，纯粹拿来主义. 这种行为的教师，往往不注重自身的发展，教学上得过且过. 学校检查集体备课形成的电子讲义，需注重各自在特色方面的体现，发挥群体中的榜样力量，在集体的力量下感染，互相监督、勉励而提高.三、有效研讨特色课堂，发掘教学研讨成效：学校教研的亮点是“竞赛课”、“公开课”，在这些形式的特色课堂中，能展示出执教者的个人教学丰采，也能发掘备课组群体的智慧. 对待这样的特色研究课，一般都遵循如下的基本程序：①上课教师根据自己专长选定课题，确定自己的一份讲义初稿；②召开集体备课会议，研讨此课时的教法，发挥集体智慧，设计一些课堂的亮点，形成讲义第2稿；③执教者试教，备课组老师听课，根据试教的情况修改讲义，形成第3稿，并反复几次试教与修改；④最后，带着一些问题，在没有十分把握的情况下，走上特色课堂.这样的课，虽说执教者辛苦几轮回，年轻教师甚至一段时间内吃不好睡不好，但通过这样一次实践，确实能提高自己的教学水平，也能发挥出集体的智慧. 特色课堂，不但是展示个人才华，更是集体智慧的结晶.某校在这样一堂公开课的前后，不单是由执教者上课，公开课之前，由骨干老师就同样的内容上示范研讨课；在公开课之后，由年轻教师用同样的讲义与课件来上学习感悟课. 这样，特色公开课可以更好的发挥研讨效果，也让同备课组的成员都得到一定程度内教学水平上的提高.特色课的开展，需要注重发挥运用集体的智慧与力量，也着眼在促进集体水平的提高，学校要尽量避免一人兼任特色课的陋习，上升到教师整体水平提高的角度，给每一个老师以机会，甚至扶持某个老师走一段路程.四、整合教研新旧模式，开创教改崭新局面：教学研究上一来一往的友善交流，是兄弟学校之间的教研老传统，增强了两所学校之间的友好合作与两校老师之间的友谊. 各学校都重视与兄弟学校的交流，采用“请进来”与“走出去”相结合的教研传统模式.“请进来”的一般情况是本校开设公开课，邀请外校老师来听课；“走出去”的一般情况是前往兄弟学校，吸取兄弟学校的先进理念.我们知道，这种教研传统，对执教者的提高幅度较大，“请进来”或许只是执教者一人的提高，“走出去”往往是走走过场，毫无收获. 教师的专业成长历程中，是否真的“听了就能懂，懂了就会用”呢？结果往往相反，听了未必能接受，接受了未必会用.最简单的事实是“同样的教案不能复制出同样的教学效果”. 教师直接参与活动，在行为实践活动上积极跟紧，才能有较大的专业水平上升空间.某校在传统教研交流的模式上，增加了两个亮点：一是“走出去”时，派出本校的1～2名教师用外校的老师同时上研讨课，或者在外校开设讲座；二是“请进来”时，邀请外校的1～2名教师在本校上示范课，或者在本校开设报告.一次教研活动中，两校教师同时上课，开创了教学研究的新模式. 双方参与教研的老师都感触很深，没有谁高谁低，只有如何更好改进教学的研究；没有上课辛劳的意识，只有锻炼提高的期望. 在外校上课的年轻教师深有感触地说：“我走上讲台不到半年，第一次尝试在外校上课，感觉到对自己在教材把握、课堂组织教学等方面都有所促进，我希望借此能多一点展示自己，以便得到多一些的指导，发现我上课的问题不要紧，关键是能在今后的教学中得到改进”. 参与教研的数学备课组老师也达成共识，虽然辛苦一点，但下一次教研也继续争取在外校能上研讨课，发现自己的一些问题加以改进.我们相信，这种教研模式，能开创现代学校教研交流的新局面. 其实，孔子游学之初，携其弟子周游列国，我们正是重温孔子的讲学之道，以求自身的发展.五、敞开心怀各抒己见，互相交流促进提高：备课组的活动除了集体备课及备课组会议，更多的是课堂内外交流. 大部分学校，为了促进备课组的建设，既规定每周的备课会议时间，又将同一备课组成员编排在同一办公室，保障了备课组集体研讨与平时个体之间随机交流活动的相结合原则的贯彻. 老师们同处一个办公室，学科上有什么问题，可以随时讨论，及时解决，形成一种自我学习、自发研究的良好氛围.办公室内自发讨论的同时，本备课组教师之间的自发“推门听课”（不提前招呼，直接走进课堂学习），听者虚心学习同事的长处，诚恳谈及假如自己来上的改进措施；被听者也真诚欢迎同事来指导，在一种压力下提高教学水平与教学效果.两种自发形式的交流，都需要全组的老师能敞开心怀，各抒己见. 美国学者的乔哈里相识模型即乔哈里窗（Joseph Luft & Havry Ingham, 1984），提供了知识共享的处方性模型（如下图），通过如图所示人际交往的两种方式扩大开放区，它能正确解读并实现群体中的对话与知识共享. 在公开自我及倾听与回应相结合的情况下，可以更好的扩大知识共享的区域，这正是互相交流促进提高的认知原理.图：乔哈里相识模型（乔哈里窗）在备课组的活动中，备课组长的牵头作用至关重要. 能以普通一员的心态向同组的各位老师学习，抱着一种与本组成员共建合作桥梁的心态. 每位老师都要认识到在一定的压力下，行走于人的能力极限边缘下，能较大幅度地提高自身专业能力水平，再苦再难的事情能坚持与克服，就是最大的胜利.备课组的建设还有许多措施，例如“同时互助还需专家引领”，上海长期以来的中小学经验表明，没有专家与骨干教师等高一层次人员的协助与带领，同事互助常常会“萝卜烧萝卜”，自囿于同水平反复. 备课组的活动，也需要学校经费方面支持. 当然，在备课组建设的过程中也将出现若干问题，需要我们积极对待并加以解决. 实践证明，以丰富多彩的备课组活动为铺垫，在集体智慧的结晶下，能开拓新老教师专业成长之路.参考文献:[1]兴旺，《21世纪中学数学创新教学实验设计与探索全书.下》，内蒙古少年儿童出版社，1999[2]顾泠沅，《教师专业发展的范式革新》，2005我知我不知你知你不知未变化的更加开放更加开放知识共享正在公开自我正在倾听与回应。

利用 TI 图形计算器绘制美丽的极坐标曲线规定有单位长度的射线 Ox ，O 为极点，Ox 为极轴，这样就建立了极坐标系. 又把平 面上一点 P 到极点 O 的距离称为极径 ρ，OP 与 Ox 轴的夹角 θ 称为极角，于是得到点 P 的极坐标为 (,) P r q . 在这些概念的基础上，可得到常见曲线的极坐标方程，如下：（1）过极点倾斜角为a 的直线： () R q a r =Î 或写成q a = 及q a p =+ ；（2）过 (,) A a a 垂直于极轴的直线： cos cos a r q a ×= ；（3）以极点O 为圆心，a 为半径的圆(0): a > a r = ；（4）若 (0,0) O ， (2,0) A a ，以OA 为直径的圆(0):2cos a a r q >= .然而，极坐标系下的曲线远不只是这些，还有更为美丽漂亮的极坐标曲线，下面我们借助 TI­Nspire TM CX CAS 图形计算器，对几类常见的极坐标曲线进行绘制与赏析.一、玫瑰线玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方 程来描述，方程为： ()cos r a k q q = g 或 ()sin r a k q q = g ，其中 k 是整数，常量 a 代表玫瑰线 花瓣的长度. 当 k 是奇数时，曲线有 k 个花瓣；当 k 是偶数时，曲线有 2k 个花瓣. 我们作出几例玫瑰线如下：⑴三叶玫瑰线 ()6sin 3,[0,2] r q q q p =Î g ⑵四叶玫瑰线 ()6sin 2,[0,2] r q q q p =Î g⑶k 叶玫瑰 ()6sin ,[0,2] r k q q q p =Î g ,k 奇 ⑷2k 叶玫瑰 ()6sin ,[0,2] r k q q q p =Î g ,k 偶 操作提示：按/~2 添加图形页，再按 b33 选择极坐标作图，按/G 可 显示或隐藏输入栏，按¹ 选择常数p ；按 b1A 可插入游标，用x 键拖动其位置， 按/b1 能对游标进行设置.进一步作出 ()cos r a n q q = g 的各种情形如下：二、圆盘线玫瑰线的极坐标方程 ()cos r a k q q = g 或 ()sin r a k q q = g 中，如果 k 为非整数，将产生圆 盘(disc)状图形，且花瓣数也为非整数. 我们作出几例圆盘线如下：⑴ ()6sin ,[0,4] 2 r q q q p =Î g ⑵ ()6sin ,[0,24] r nq q q p =Î g⑶ 12 ()6sin ,[0,10] 5r q q q p =Î g ⑷ ()6sin ,[0,30] r q pq q p =Î g , 操作提示：按/~2 添加图形页，再按 b33 选择极坐标作图，按/G 可 显示或隐藏输入栏，按¹ 选择常数p ；按 b1A 可插入游标，用x 键拖动其位置， 按/b1 能对游标进行设置；按/p 调用分式符号.进一步作出 ()cos n r mq q = 及 ()6sin r q pq = g 的各种情形如下：⑴ ()cos n r mq q = ⑵ ()6sin , r q pq q = g 在以上各区间 三、螺线螺线即螺旋线，它可以这样定义：在平面极坐标系中，如果极径 ρ 随极角 θ 的增加 而成比例增加（或减少），这样的动点所形成的轨迹叫做螺线. 螺线也可以理解为由两种 运动形成. 设想一个虫子站在匀速旋转的圆盘之上，从圆心沿某个半径向外爬行，它的影 子会在天花板上绘出一条螺线. 螺线在实际生产中有一些应用， 例如有些凸轮的轮廓线和 三爪卡盘的轨线都是等速螺线；对数螺线在刀具的设计，航行导向等方面，也有它重要 的应用. 螺线有许多中，下面研究常见几种.1. 阿基米德螺线.阿基米德螺线又称“等速螺线”. 当一点 P 沿动射线OP 用速度 v 做等速率直线运动 的同时，这条射线又以等角速度 ω 绕点 O 旋转，点 P 的轨迹称为“阿基米德螺线” ，其 极坐标表示式是：r (θ)＝aθ，这里 a 为实数. 阿基米德螺线在极坐标中通用方程形式是： r (θ) = a +bθ，改变参数 a 将改变螺线形状，b 控制螺线间距离，通常其为常量.⑴ (),[0,6]r a q q q p =Î g ⑵ ()20,[0,20]r q q q p =Î g 2. 渐开螺线. 渐开螺线也有许多，例如：双曲螺线，又称倒数螺线，方程形式为 (), a r q q= 其中 a 为常数，它是极径与极角成反比的点的轨迹，图像的特征是有一条平行于极轴的渐近线；连锁螺线，又称平方倒数螺线，方程形式为 (), a r q q =其中 a 为常数；等角螺线，又称对数螺线，方程形式为 (), a r e q q = g 其中 a 为常数. 我们作出几例渐开螺线如下：⑴ 双曲螺线 1 (),[0.5,30] r q q q =Î ⑵ 连锁螺线 1(),[0.1,40]r q q q =Î⑶ 等角螺线 0.4 (),[0,10] r e q q q p =Î ⑷ 等角螺线 ()2,[0,10]r q q q p =Î 操作提示：按/~2 添加图形页，再按 b33 选择极坐标作图，按/G 可 显示或隐藏输入栏；按b4A 选择适合窗口或按b4 再选择其它窗口模式. 等角 螺线中，e 不是自然科学常数，而是离心率，所以不能按¹键得到，而需要按字母键 E .四、圆锥曲线圆锥曲线方程如下：r (θ) = l / (1－e *cosθ) ，其中 l 表示半径，e 表示离心率. 如果 e < 1，曲线为椭圆；如果e = 1，曲线为抛物线；如果e > 1，则表示双曲线. 方程形式也可以 为 r (θ) =e *p / (1－e *cosθ) ，其中 e 表示离心率，p 表示焦点到准线的距离. 试看如下图：操作提示：用x 键选择游标，指针变{，按/b1 对游标设置，步长设为 0.2.五、其它曲线漂亮的极坐标曲线还有许多， 我们多尝试， 必然会有层出不穷的发现. 赏析几例如下：⑴ 钉螺线 25 ()sin ,[0,80] 23 r q q q q =Î g ⑵ 莲花线 3 5 ()sin sin ,[0,4] 2r q q q q p =+Î⑶ 单页贝壳线 ()sin ,[0,20] r q q q q p =Î g ⑷ 双页贝壳线 ()sin ,[15,15] r q q q q p p =Î- g⑸ 心形线 ()2(1sin ),[0,2] r q q q p =+Î ⑹ ()6sin(cos ),[0,10]r q q q q p =Î g⑺ 蔓叶线 ()tan sin ,[0,2] r q q q q p =Î g ⑻ 蚌线 1 ()2,[0,2] cos r q q p q=+Î⑼ 蜗线 ()32cos ),[0,2] r q q q p =+Î ⑽ 钳线 ()23cos ),[0,2]r q q q p =+Î⑾ 四叶草线 ()sin cos ,[0,2] r q q q q p =Î g ⑿ 费马螺线 12(),[0,10] r q q q p =Î 操作提示：用x 键选择图像，指针变 ø，按/b6 可修改曲线方程.小结语：高中数学学习阶段，对极坐标的学习要求比较低，仅限于掌握极坐标与直角坐标的 互化，掌握简单曲线（直线、圆）的极坐标方程. 笔者在此用 TI 图形计算器，绘制了各 种漂亮的极坐标曲线，体现了数学之美，也激发同学们升入大学进一步深入学习与研究. （作者：高建彪 邮箱:dsgjb@ ，QQ:76456245 2011年 5 月28 日完稿于中山市东升高中） *****如果您发现了更为漂亮的极坐标曲线，敬请将其方程形式发至邮箱，谢谢您的支持.******。

知难而上勇于拼搏------记我市青年数学教师赴广州参赛中山市石岐职中曾学文2006年9月13日至15日，在市教研室徐山洪老师的组织下，我市青年数学教师一行十人赴广州参加两年一度的广东省高中青年数学教师优秀课评比大会。

今年的大会与上届相比，有了相当大的改进。

从会场的安排，选手的表现，无不体现出大会组织者的辛勤与智慧。

比赛在14日上午正式拉开帷幕，来自全省各市、县的44位教师依次上台说课，紧张激烈的竞争持续一天半。

很多选手不能在规定的时间内（十分钟）完成演讲，抱憾走下讲台，我市教师知难而上，发扬勇于拼搏的精神，在赛前有限的时间内对讲稿作了有效的修改，表现在语言的简练、课件的精美与专业，获一等奖两名、二等奖四名载誉而归。

值得一提的是，我市教师东升高中高建彪、刘华山、隆山中学关丽琼、濠头中学左张佳、实验高中杨朝钢、市华侨中学邓力、曾繁邦、周岛、石岐职中曾学文在比赛期间互相关心、互相帮助、互相鼓励，结下了深厚的友谊。

特别是关丽琼老师对大家的演讲进行了悉心的辅导，为我市获两个一等奖立下了汗马功劳；曾繁邦、周岛老师丰富的计算机知识让大家受益良多；高建彪、刘华山老师热心的拍录为我们保留了本次说课比赛宝贵的学习资料。

中山市青年教师团结友爱的表现给到会的同行们留下了深刻的印象，同时也受到大会评委们的关注，会后热情地邀请我们一起合影，老师们感到无比的兴奋与骄傲。

赛后郭秘书长的话引起大家深深的思考。

在对选手的表现给予充分肯定之后，他非常中肯地指出说课内容中存在的问题，并鼓励大家把精力放在高考的同时，更要关注课堂教学，为我们今后的工作指明了方向。

最后，省教厅教研室徐勇老师对大会作了总结，并向老师们提出殷切希望：在与2008年北京奥运会同步的下一届省数学说课比赛中争取更好成绩。

卡西欧图形计算器 CAS 代数运算功能在高中数学中的应用探索广东省中山市东升高中 高建彪摘要：图形计算器能直观形象的分析处理图形问题，更能简单直接的解决众多数学 计算问题，在教学中应用计算器的最大争议是是否由此降低了学生计算能力. 其实，具 备 CAS 运算功能的计算器，将更多的从算理（计算步骤与原理）上熏陶学生.本文结合 CASIO ClassPad ­400图形计算器CAS 运算功能， 阐述 CAS 运算在高中数学中的经典应用.关键词：CAS 代数运算；信息技术；高中数学；图形计算器计算机代数系统（Computer Algebra System ），简称 CAS ，它是一种智能化的符号运 算. 在20 世纪 60 年代，人们利用计算机进行代数运算研究，诞生了符号运算，其显著的 特点是能够以字符串作为运算单位，例如 2*2 是数值运算，而 2*a 是符号运算，符号可 以代表数、式、函数、集合等. 一般来说，人们在数学研究中，用笔和纸进行的数学运算 多为符号运算.能够实施 CAS 运算功能的计算机软件较大，但大多较为庞大，需要借助一台计算机 完成，而 CASIO ClassPad 图形计算器，具备移动便携的特点，且具有较强的 CAS 运算功 能，最先进的是一款彩屏触摸机型 CASIO ClassPad ­400. 下面结合此款图形计算器，谈 谈 CAS 运算功能在解决高中数学问题中的经典应用.一、CAS 运算功能研究函数性质例 1 对于函数 2 ()() 21x f x a a R =-Î + . （1）探索函数 () f x 的单调性； （2）是否存在实数a 使得 () f x 为奇函数. （人教A 版《数学1》 83 P B 组第3 题） 解析：如图1 所示，先定义函数 () f x ，再计算差值 ()() f b f c - ，进一步因式分解， 最后人工判别符号，这里运用机器进行 CAS 运算的过程，突显出定义法讨论单调性的步 骤（作差→因式分解→判别符号→结论），当然亦可求导分析. 关于奇偶性的研究，如图 2 所示，抓住奇偶性定义，轻松利用 solve 求解方程指令可解，亦可一步步符号运算.图 1 图2点评：中学阶段研究的函数性质包括单调性、奇偶性、最大（小）值，其中奇偶性 与单调性都可以运用机器 CAS 功能再现定义法的解题步骤，最大（小）值的研究需直接 调用机器 Fmax 与Fmin 指令计算. 研究函数性质的另法是作出函数图像进行观察与分析.二、CAS 运算功能求解轨迹方程例 2 已知点 M 与两个定点O (0,0)、 A (3,0)的距离的比为 1 2， 求点 M 的轨迹方程.（人 教A 版《数学 2》 124 P B 组第 3 题）解析：如图3 所示，根据两点距离公式及已知条件，列出距离之比为 1 2的等式，然后 利用 CAS 运算功能进行代数变形（平方→去分母→移项→化简），配方易知轨迹为圆.图 3例 3 求平面内到两定点 1 (3,0) F - 、 2 (3,0) F 距离之和为常数 10 的动点M 的轨迹方程. 解析：如图 4、图 5 所示，根据两点距离公式及已知条件，列出距离之和为常数 2a 的等式，再利用 CAS 运算功能进行代数变形（移项→平方→展开→移项→平方→移项→ 化简→…），易知轨迹为椭圆.图 4 图5点评：从以上两例可以看出，求解轨迹方程的 CAS 运算过程，强化了求轨迹方程的 算理，先由条件列方程，再进行化简（平方→去分母→移项→化简系数→配方，…），这 些才是学习数学应当掌握的知识与方法， 至于繁琐的计算交给机器完成即可. 例3 的解答 过程，若改变已知条件，如“ 6 a = ， 4 c = ” ，立即可得出新的结论，如图 6、图7 所示.图 6图7三、CAS 运算功能探索数列通项 例 4 设数列{} n a 满足 1 1 1 1 1(1) n n a a n a - = ì ï í =+> ï î，写出这个数列的前5 项. （人教 A 版《数学5》 31 P 例3）解析：由已知递推公式，易知前5 项为1，2， 3 2 ， 5 3 ， 8 5，若想进一步探索通项呢？ 如图8 所示，运用 rSolve 指令可轻松求解，还同时探索了《数学5》 33 P , 34 P , 69 P数列通项. 图8例 5 如果一个等比数列前5 项的和等于10，前10 项的和等于 50， 那么它前15 项 的和等于多少？（人教 A 版《数学5》 58 P 第 3 题）解析：如图 9 所示，先定义等比数列前 n 项和公式 () S n ，再解由已知条件联立的方程组，得到首项 1 a 与公比 q ，代入 () S n 即得 (15) S . 亦可由整体思想，令 1 1 a b q= - ，再如 图 10 所示进行 CAS 运算求解.图 9 图10点评：ClassPad 的rSolve 指令，轻松求出递推数列通项，让人感觉到CASIO 图形计 算器 CAS 功能的强大. 例 5 的CAS 运算，则强化了前n 项和公式及整体思想、方程思想.四、CAS 运算功能化解三角最值例 6 满足条件 AB =2，AC = 2 BC 的△ABC 的面积的最大值是多少？为什么？ 解析：如图11、图 12 所示，设 BC =x ，则 AC = 2x ，由AB =2 及海伦公式写出三角 形面积的函数表达式，再求函数的最大值；或者先由余弦定理求出某内角余弦，再由平方关系 22 sin cos 1 x x += 求出正弦，由面积公式 1 sin 2S ab C D = 写出函数式，再求最大值.图 11 图12点评：此例CAS 运算过程，强化了解题中所涉及到的数学知识与方法，包括海伦公 式、余弦定理变式、平方关系、正弦面积公式等以及函数建模思想，繁琐计算交由机器.五、CAS 运算功能求解切线方程例 7 已知函数 ln y x x = . （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图像在点 1 x = 处的切线方程. （人教A 版《选修2­2》 18 P A 组第6 题）解析：如图13 所示，先定义函数 () f x ，将切点横坐标赋予初值 0 x ，再对 () f x 求导， 并求 0 x x = 时的导数值，即切线的斜率，再由切线方程的点斜式算出切线方程.例 8 求曲线 sin x y x=在点 (,0) M p 处的切线方程.（人教A 版《选修2­2》 18 P 第7 题） 解析：修改例7 的 CAS 运算过程中 () f x 定义及初值 0 x ，得本例解答，如图14 所示.图 13 图14点评：同一 CAS 运算过程，轻松求解了两个例题，在利用计算器的运算过程中，强 化的是求切线方程的步骤（求导→切线斜率→点斜式方程→化简），这才是学习的精髓.六、CAS 运算功能破解曲边面积例 9 直线 y kx = 分抛物线 2 y x x =- 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分， 求 k 的值.（人教A 版《选修2­2》 67 P B 组第 7 题）解析：如图 15 所示，先解直线与抛物线所联立的方程组，得到两交点横坐标，再由 定积分的几何意义，列出与面积有关的积分等式，进一步求出 k 值，还可如图 16 拓展.图 15 图16点评：此例CAS 运算过程，强化了应用定积分求面积的思路（交点→积分区间→被 积函数→结果)，并借助技术可进行轻松拓展.七、CAS 运算功能速算概率分布例 10 将一枚硬币连续抛掷5 次，求正面向上的次数X 的分布列. （人教 A 版《选修 2­3》 58 P 第2 题）解析：如图 17 所示，先由二项分布概率公式，定义概率分布函数，再直接得到分布 列. 并可以将问题拓展，研究二项分布中概率值的最大项，由图17 的 CAS 运算可知，解 不等式 () 1 (1)(1)q x m x q - > +- 即可，可得01 x mq q <<+- .图 17 图18点评：此例CAS 运算过程，强化了二项分布概率公式，并拓展研究分布列中最大项. 小结语：以上各例 CAS 运算过程，仅是 CASIO ClassPad ­400 图形计算器功能之一，其强大的 功能见界面（如图 18 所示），除了 CAS 运算，还有图形、几何、电子表格、统计、矩阵 等. 文中的 CAS 运算，也仅是 CAS 系统的一部分，一个常见的 CAS 代数系统包含以下基 本功能：超大型整数运算、任意精度浮点运算、因子分解、数论函数等；多项式基本运 算、最大公因子、因式分解等；矩阵基本运算、线性方程组、特征值、矩阵函数、精确 线性代数等；方程和方程组、表达式化简、极限、微分、积分、求和、微分方程求解等.在 CAS 运算解决高中数学经典问题的各例过程中，充分突出了如下两大特点：① 机器替代草稿，操作演练构建算理（解题步骤与方法）. CAS 运算之下，繁琐的 计算交给了机器，机器相当于高级草稿纸，在机器上进行草稿演算之后形成正确的操作 指令，而系列操作指令就是数学学习的精髓，即解题步骤与方法所构成的算理. 数学学习 与研究中，计算手段改进之后，运算能力内涵发生了巨大的改变.② 利用 CAS 运算，主要是进行验证、求解、探索，并解决实际应用问题.总而言之，图形计算器手持教育技术的应用，让数学探究与发现插上了飞翔的翅膀！ 参考文献：[1] 外文翻译，《计算机代数系统（CAS ）带来数学教学的改变 》[2] 高建彪，借助图形计算器 CAS 功能解高考题，《中国数学教育》2012 年第11 期。