(完整版)专项练习:菱形的判定
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全等菱形的判定精选练习题(分专题)题目1: 判定全等菱形的条件判定以下四边形为全等菱形的条件是什么?在图纸上标出所有已知等长和等角的边和角。
两个条件需要满足才能判定一个四边形为全等菱形:1. 所有四条边的长度相等。
2. 所有角度都是直角(90度)。
题目2: 证明全等菱形已知图中的四边形 ABCD 是一个全等菱形,现在请你证明它是全等菱形。
证明方法如下:1. 根据已知信息,可以得出 AB = AD 和∠ABC = ∠ADC。
2. 因为ABCD是一个菱形,所以 AB = BC,AD = DC。
3. 根据等长和等角的性质,我们可以得出∠BAC = ∠ACD。
4. 综上所述,根据SSS和ASA全等定理,可以证明四边形ABCD 是全等菱形。
题目3: 判定对角线平分全等菱形的条件判定以下四边形为对角线平分全等菱形的条件是什么?在图纸上标出所有已知等长和等角的边和角。
两个条件需要满足才能判定一个四边形为对角线平分全等菱形:1. 对角线 AC 和 BD 的长度相等。
2. 对角线 AC 和 BD 互相垂直且平分彼此。
题目4: 证明对角线平分全等菱形已知图中的四边形 ABCD 是一个对角线平分全等菱形,现在请你证明它是对角线平分全等菱形。
证明方法如下:1. 根据已知信息,可以得出 AC = BD。
2. 因为 ABCD 是一个菱形,所以 AD = BC。
3. 设交点为 E,连接 BE 和 DE。
4. 因为 AC = BD,且对角线互相垂直且平分彼此,所以 AE = CE,BE = DE。
5. 综上所述,根据 SSS和ASA全等定理,可以证明四边形ABCD 是对角线平分全等菱形。
题目5: 判定已知两角和边长的全等菱形判定以下四边形为全等菱形的条件是什么?在图纸上标出所有已知等长和等角的边和角。
菱形的判定练习一、选择题〔每题2分,共30分〕1 .菱形和矩形一定都具有的性质是〔〕A .对角线相等.B .对角线互相平分.C.对角线互相垂直. D .每条对角线平分一组对角.2. 四边相等的四边形是〔〕A .菱形B .矩形C.正方形D .梯形3. 菱形是轴对称图形,它的对称轴有〔〕A . 1条B. 2条C. 3条D. 4条4. 如图19-2-2-14,在菱形ABCD中,E、F、G、H分别是菱形四边的中点,连结EG与FH交于点0,那么图中的菱形共有〔〕A . 4个B. 5个C. 6个D. 7个图19-2-2-145. 在菱形ABCD中,AC=6, BD=8,那么菱形的边长为〔〕A . 5 B. 10 C . 6 D . 86. 如图19-2-2-15,在菱形ABCD 中,AB=5,/ BCD=120° 那么对角线AC等于〔〕A. 20B. 15 C . 10 D . 5图19-2-2-157. 如图19-2-2-16,在菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,如果EF=2,那么ABCD的周长是〔〕A. 4B. 8C. 12D. 168. 菱形的边长和一条对角线的长均为'1 r ,那么菱形的面积为〔〕A. 3cm2B. 4cm2C. 仏叶D. 2-讥叶9. 以下条件之一能使口ABCD是菱形的为〔〕①AC丄BD ②/ BAD=90°③AB=BC ④AC=BDA .①③B .②③ C.③④ D .①②③10. 以下说法正确的选项是〔〕A .对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B .对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D .对角线相等的四边形是菱形11. 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是〔〕A .平行四边形B .正方形C.矩形D .菱形12. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图19-2-2-17所示, 仁'■… K,那么点B的坐标为〔〕A. dB.(i 应)C.D.(L】)13. 如图19-2-2-18,菱形ABCD 中,/ B=60° AB=2, E、F 分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,那么△ AEF的周长为〔〕A. B.・疵C. 4 2 D. 3图19-2-2-1814. 如图19-2-2-19,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下,再翻开,得到的菱形的面积为〔〕A. 10cm2B. 20cm2C. 40cm2D. 20cm2DB图19-2-2-1915. 将矩形纸片ABCD按如图19-2-2-20所示的方式折叠,得到菱形AECF.假设AB=3,那么BC的长为〔〕A. 1B. 2C.亡D.曲图19-2-2-20二、填空题〔每空3分,共15分〕16. 假设一个菱形的周长是40cm,它的一条对角线长10cm,那么菱形相邻的两个角度数分别是—.17. 如图19-2-2-21, P为菱形ABCD的对角线上一点,PE丄AB于点E, PF丄AD于点F, PF=3cm,那么P点到AB的距离是cm.图19-2-2-2118. 菱形的一个内角为60° 一条对角线的长为2舘,那么另一条对角线的长为19. 菱形的周长为40,—条对角线长为12,那么这个菱形的面积为—.20. 如图19-2-2-22, 一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm 假设墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,那么/仁—度.图19-2-2-2221 .如图19-2-2-23,在菱形ABCD 中,/ ADC=72° AD 的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,那么卍口円? = ________ 度.图19-2-2-2322. _____________________________________ 如图19-2-2-24,在菱形ABCD中,AC、BD相交于点O, DE丄BC 于点E, 且DE=OC, OD=2,那么AC= _____________________ .三. 解答题 23. 〔本小题总分值 5分〕如图19-2-2-25,菱形ABCD 中,BE 丄AD , BF 丄CD , E 、F 为垂足,AE=ED ,求/ EBF 的度数.24. 〔本小题总分值 5分〕:如图19-2-2-26,矩形ABCD 中,DE // AC , CE // BD .试说明四边形 OCED 是菱形的理由.25. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-27,^ABC 中,AC 的垂 直平分线MN 交AB 于点D ,交AC 于点O , CE / AB 交MN 于E ,连 结 AE 、CD .〔1〕求证:AD=CE ;图 19-2-2-24C图 19-2-2-25E〔2〕填空:四边形ADCE的形状是图19-2-2-2726. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-28,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ ACD沿CA方向平移得到△ A C .〔1〕证明:△ A AD^A CC B;〔2〕假设/ ACB=30°,试问当点C'在线段AC上的什么位置时,四边形ABC D是菱形,并请说明理由.图19-2-2-2827. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-29, ABCD的对角线AC的垂直平分线与两边AB、CD的延长线分别相交于E、F,求证: 四边形AECF为菱形28. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-30,在厶ABC中,/ BAC=90° AD 丄BC 于D, CE 平分/ ACB,交AD 于G,交AB 于E, EF丄BC于F,求证:四边形AEFG是菱形;29. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-31,四边形ABCD是菱形,DE丄AB交BA的延长线于E, DF丄BC,交BC的延长线于F .请你猜测DE与DF的大小有什么关系?并证明你的猜测图19-2-2-3130. 〔本小题总分值6分〕如图19-2-2-32,矩形ABCD中,0 是AC 与BD的交点,过0点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F.〔1〕求证:△ BOE^A DOF;〔2〕当EF与AC满足什么关系时,以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形?证明你的结论.FDCE图19-2-2-3231. 〔本小题总分值7分〕如图19-2-2-33,有一矩形纸片ABCD , AB=6, BC=8,将纸片沿EF 折叠,使B 与D 重合.〔1〕四边形BEDF 是菱形吗?为什么? 〔2〕求EF 的长. 图 19-2-2-3332. 〔本小题总分值7分〕如图19-2-2-34,在四边形ABCD 中, E 为AB 上一点,△ ADE 和厶BCE 都是等边三角形,AB 、BC 、CD 、 DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ,试判断四边形PQMN 为怎样的四边 形,并证明你的结论.图 19-2-2-34参考答案 1. B 2. A 3. B4. B 5. A 6. D 7. D 8. D 9. A 10. B11. D 12. C 13. B 14. A 15. D16. 60 °120° 17.3 18.6 19 .96 20.12021. .72 22.4 323. 60° 24. ・・ DE // AC , CE // BD , 二四边形OCED 是平行四边形, 又T 四边形ABCD 是矩形,••• AC 与BD 互相平分且相等,即OC=OD,•••(■■ OCED 是菱形.25. 〔1〕证明:T MN是AC的垂直平分线•OA=OC ,Z AOD= / EOC=90°, T CE// AB,•/ DAO= / ECO,•△ADO^A CEO,•AD=CE,〔2〕四边形ADCE是菱形.26. 〔1〕由平移得AA=CC'AD二A D=BC,Z DAC= / D A =A ACB,• △A AD^ CC B;1〔2〕当AC = 2AC时,四边形ABC D是菱形, 由〔1〕可得BC =AD , AB=CD ,•四边形ABC D是平行四边形,T AC =2AC,Z ABC=90°1二BC =2AC,••• BC =AC ,vZ ACB=30°,•/ CAB=60°,•AB二BC ,•四边形ABC D是菱形.27. v四边形ABCD是平行四边形,•AB// CD,•Z EOA= Z CFO,又vZ EOA= Z COF, OA=OC,•△AOE^A COF,•OE=OF,即AC与EF互相垂直平分,•四边形AECF为菱形28. 如图19-2-2-35,v CE 平分Z ACB, EA丄CA, EF 丄BC,•AE=FE,vZ 仁Z 2,•△ AEC^^ FEC,•AC=FC,v CG=CG,•••△ACG^A FCG,•••/ 5 二/ 7 二/B,•GF // AE,v AD 丄BC, EF 丄BC,•AG/ EF,v AG=GF〔或AE=EF〕,•四边形AGFE 是菱形〔一组邻边相等的平行四边形是菱形〕29.DE=DF.证明如下:连结BD,v四边形ABCD是菱形,•/ CBD= / ABD〔菱形的对角线平分一组对角〕,v DF 丄BC, DE 丄AB,•DF=DE〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕.30. 〔1〕证明:v四边形ABCD是矩形,•OB=OD〔矩形的对角线互相平分〕,AE / CF〔矩形的对边平行〕.•/ E=Z F,/ OBE二/ ODF .•△BOE^A DOF〔AAS〕.〔2〕当EF丄AC时,四边形AECF是菱形.证明:v四边形ABCD是矩形,•OA=OC〔矩形的对角线互相平分〕.又由〔〔〕△ BOE^A DOF 得,OE=OF,•四边形AECF 是平行四边形〔对角线互相平分的四边形是平行四边形〕 ,又EF丄AC,•四边形AECF 是菱形〔对角线互相垂直的平行四边形是菱形〕.31. 〔 1〕如图,四边形BEDF 是菱形.:沿EF 折叠,使B 与D 重合, ••• EF 垂直平分BD ,即 OB=OD ,Z BOF 二/DOE=90°. v AD // BC ,• / 仁/2.• △ BOF ^A DOE .• OE=OF ,即EF 与BD 互相垂直平分.•四边形BEDF 是菱形.〔2〕设 CF=x ,那么 BF=DF=8-x=DF ,32. 如图 19-2-2-36, x 解得 7 4 , DF 8x25•/ BD 62 82 10,• OD 1£BD 2 5在 Rt A DOF中,OF 2得 DF 2 OD 2 22516 .• OF 154 .• EF 2OF 2 154 7.5在 Rt A DCF 中,由CF 2 DC 2 DF 2得,x 2 62图19-2-2-36连结AC、BD.v PQ为仏ABC的中位线,••• PQ_ 2AC.同理MN仝2AC.•MN PQ,•四边形PQMN为平行四边形.在厶AEC和厶DEB中,AE=DE,EC=EB,Z AED=60°/ CEB, 即/ AEC= / DEB.•△ AEC^^ DEB.•AC=BD.1 1•PQ=2AC=2BD=PN,•. PQMN为菱形.。
菱形的判定2一、选择题1、在平面直角坐标系中,已知点 A (0, 2), B (- 恥,0) , C (0, - 2), D (2方,0),贝U 以这四个点为顶点的四边形ABCD 是( )A 、矩形B 菱形C 正方形D 、梯形2如图,下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为()① AC 丄 BD ;② / BAD=90°;③ AB=BC ;④ AC=BD .A 、①③B 、②③D 、①②③3、 能判定一个四边形是菱形的条件是()A 、对角线相等且互相垂直B 对角线相等且互相平分C 对角线互相垂直D 、对角线互相垂直平分4、 四边形的四边长顺次为a 、b 、c 、d ,且a 2+b 2+c 2+d 2=ab+bc+cd+ad ,则此四边形一定是( )A 、平行四边形B 、矩形C 菱形D 、正方形填空2、如图,平行四边形 ABCD 中,AF 、CE 分别是/ BAD 和/BCD 的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,个即可,图中不能再添加别的 点”和 线”)3、在四边形 ABCD 中,对角线 AC BD 交于点 0,从(1) AB=CD (2) AB // CD; (3) OA=OC; (4) OB=OD; ( 5)AC 丄BD; (6) AC 平分/ BAD 这六个条件中,选取三个推出四边形 ABCD 是菱形.如(1) (2) ( 5) => ABCD 是菱形, 再写出符合要求的两个: __________________ => ABCD 是菱形; ________________ => ABCD 是菱形C ③④ ABCD 成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是使四边形 AECF 为菱形,则添加的一个条件可以(只需写出1、如图,如果要使平行四边形 是D 是BC 的中点,连接AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连接BE ,(1) 求证:△ ABEBA ACE(2)当AE 与AD 满足什么数量关系时,四边形 ABEC 是菱形?并说明理由.2、如图,在?ABCD 中,E, F 分别为边 AB , CD 的中点,连接 DE 、BF 、BD.(1) 求证:△ ADEBA CBF.(2) 若AD 丄BD ,则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论.3、(2007?娄底)如图,已知点 D 在厶ABC 的BC 边上,DE// AC 交AB 于E , DF// AB 交AC于F .(1) 求证:AE=DF ;(2) 若AD 平分/ BAC,试判断四边形 AEDF 的形状,并说明理由.ABCD 中,AB// CD, BC=CD AD 丄 BD , E 为 AB 中点,求证:四边形 BCDE 是5、如图,在 △ ABC 和厶DCB 中,AB=DC AC=DB, AC 与DB 交于点 M .(1) 求证:△ ABCBA DCB;(2) 过点C 作CN// BD,过点B 作BN // AC, CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系,并证明你的结 论.A三、解答题(共11小题)菱形.6如图,△ ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O, CE// AB交MN于E,连接AE、CD.(1)求证:AD=CE(2)_________________________________________ 填空:四边形ADCE的形状是 .7如图△ ABC与厶CDE都是等边三角形,点E、F分别在AC BC上,且EF// AB(1)求证:四边形EFCD是菱形;(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.8 (2007?双柏县)如图,在梯形纸片ABCD中,AD// BC, AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C处,折痕DE 交BC于点E,连接C'.求证:四边形CDC E是菱形.9已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F. 求证:四边形AFCE是菱形.A E D/A/B F C10、如图,等边△ ABC的边长为2, E是边BC上的动点,EF// AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB 连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线)(2)探究:当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形,请说明理由;(1)11若如图,在四边形ABCD中,点E、F分别是AD BC的中点,G H分别是BDAC的中点,AB CD满足什么条件时,四边形EGFH是菱形?请证明你的结论。
菱形的判定证明题(5篇)第一篇:菱形的判定证明题菱形的判定证明题练习1如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB 于点E.求证:四边形AECD是菱形.CBAE已知:如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.(1)求证:BE=DG;(2)若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?证明你的结论. DBEF3如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点,AB,CD满足什么条件时,四边形EGFH是菱形?请证明你的结论.4如图,在□ABCD中,EF∥BD,分别交BC、CD于点P、Q,分别交AB、AD的延长线于点E、F.已知BE=BP.求证:(1)∠E=∠F.(2)□ABCD是菱形.BE平分∠ABC交AD于点E,DF平分∠ADC5.如图,在平行四边形ABCD中,交BC于点F.求证:(1)△ABE≌CDF;(2)若BD⊥EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形,请证明你的结论.DEABCF6.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连接BE、CF.(1)求证:△BDF≌△CDE;(2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.7.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.AOEB8.已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点.求证:四边形BCDE是菱形.9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.(1)说明四边形ACEF是平行四边形;(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.11.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.(1)求证:DE∥BF;(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形.k的图像经过点(1,x4),菱形OABC的顶点A在函数的图像上,对角线OB在x轴上.(1)求反比例函数的关系式;(2)直接写出菱形OABC的面积.12.如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,反比例函数y=13.如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为点E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗?为什么?F A B C E14.(2011 山东省济宁市)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD、BC于点E 和F.求证:四边形BEDF是菱形.DC F15.(2011 山东省临沂市)如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线. F(1)求证:AC=AD;(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形.AB E C16.(2011 山东省青岛市)已知:□ABCD中,E、F分别是AB、CD 的中点,连接AF、CE.(1)求证:△BEC≌△DFA;(2)连接AC,当CA=CB时,判断四边形AECF是什么特殊四边形?并证明你的结论.DEFC第二篇:菱形的判定证明题练习姓名1、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD、BC于点E和F.求证:四边形BEDF是菱形.DFC2.已知:□ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,连接AF、CE.(1)求证:△BEC≌△DFA;(2)连接AC,当CA=CB时,判断四边形AECF是什么特殊四边形?并证明你的结论.ED F C3、已知:如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE 沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.(1)求证:BE=DG;(2)若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?证明你的结论.DBEF4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.(1)说明四边形ACEF是平行四边形;(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.5.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.(1)求证:DE∥BF;,(2)若∠G=90°求证:四边形DEBF是菱形.(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)第三篇:菱形的判定证明题练习菱形的判定证明题练习1如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB 于点E.求证:四边形AECD是菱形.CBA E已知:如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.(1)求证:BE=DG;(2)若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?证明你的结论. DψB EF3如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点,AB,CD满足什么条件时,四边形EGFH是菱形?请证明你的结论.4如图,在□ABCD中,EF∥BD,分别交BC、CD于点P、Q,分别交AB、AD的延长线于点E、F.已知BE=BP.求证:(1)∠E=∠F.(2)□ABCD是菱形.5.如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,DF平分∠ADC交BC于点F.求证:(1)△ABE≌CDF;(2)若BD⊥EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形,请证明你的结论.接BE、CF.(1)求证:△BDF≌△CDE;(2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.7.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.AEDBFC6.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.求证:四边形BCDE是菱形.AOBE8.已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点.9.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥CA,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是菱形;(2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”,其余条件不变,则四边形AODE是_____________.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC 于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.(1)说明四边形ACEF是平行四边形;(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.11.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.(1)求证:DE∥BF;,(2)若∠G=90°求证:四边形DEBF是菱形.12.如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,反比例函数y=k的图像经过点(1,4),菱形xOABC的顶点A在函数的图像上,对角线OB在x轴上.(1)求反比例函数的关系式;(2)直接写出菱形OABC的面积.13.如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为点E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗?为什么?FABCEAC、BD相交于点O,过14.(2011 山东省济宁市)如图,在平行四边形ABCD中,对角线点O作直线EF⊥BD,分别交AD、BC于点E和F.求证:四边形BEDF是菱形.角的平分线.(1)求证:AC=AD;(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形.(1)求证:△BEC≌△DFA;DFC15.(2011 山东省临沂市)如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外F ABCE16.(2011 山东省青岛市)已知:□ABCD中,E、F分别是AB、CD 的中点,连接AF、CE.(2)连接AC,当CA=CB时,判断四边形AECF是什么特殊四边形?并证明你的结论.ED FC第四篇:证明题(旋转得到菱形)64363811、平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= 根号5,对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形。
菱形判定练习题一、选择题1. 下列哪个条件不能判定一个四边形是菱形?A. 对角线互相垂直平分B. 四边相等C. 一组邻边相等D. 对角线相等2. 如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形可能是:A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形3. 菱形的对角线长度之和是:A. 等于边长B. 等于对角线长度的两倍B. 不能确定D. 等于对角线长度的四倍4. 在菱形中,对角线将菱形分成四个部分,这四个部分的面积是:A. 相等B. 互为倍数关系C. 不能确定D. 互为倒数关系5. 一个四边形的对角线互相平分,且一组对边相等,这个四边形是:A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形二、填空题6. 菱形的对角线互相________,并且每条对角线平分一组对角。
7. 如果一个四边形的四条边都相等,那么这个四边形是________形。
8. 菱形的面积可以通过________来计算,公式为S=d1*d2/2,其中d1和d2是两条对角线的长度。
9. 在菱形ABCD中,如果AC=6,BD=8,那么菱形的面积是________。
10. 菱形的对角线将菱形分成四个________形。
三、判断题11. 菱形的对角线一定相等。
()12. 菱形的对角线相互垂直。
()13. 菱形的对角线平分一组对角。
()14. 菱形的面积可以通过边长和高来计算。
()15. 菱形的对角线将菱形分成四个全等三角形。
()四、简答题16. 请简述菱形的判定方法有哪些?17. 菱形的对角线有哪些性质?18. 为什么菱形的对角线将菱形分成四个全等的三角形?19. 如果已知菱形的边长,如何计算其面积?20. 菱形的对称性有哪些特点?五、计算题21. 已知菱形ABCD的边长为5cm,求其对角线AC和BD的长度。
22. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm,BD=6cm,求菱形的面积。
六、证明题23. 证明:菱形的对角线互相垂直。
24. 证明:菱形的对角线互相平分。
菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是()A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直C.邻边相等D.对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍,则该平行四边形一定为()A.矩形.B.菱形.C.矩形和菱形.D.正方形.3. 满足下列()的是菱形.A.两对角线相等B.两对角线垂直C.两条对角线垂直且互相平分D.两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形,则原来的四边形必是()A.等腰梯形B.矩形C.对角线相等D.菱形5. 将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是()A.矩形B.三角形C.正方形D.菱形6. 已知四边形的两条对角线相等,那么顺次连结四边形各边中点,得到的四边形是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起,则重叠部分的图形一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定8. 已知四边形ABCD 是平行四边形,下列结论中不一定正确的是( ) A .AB CD = B .AC BD =C .AC BD ⊥时,它是菱形 D .当90ABC ∠=时,它是矩形 二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是.10. 在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,从(1)AB CD =;(2)AB CD ∥;(3)OA OC =;(4)OB OD =;(5)AC BD ⊥;(6)AC 平分BAD ∠这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD 是菱形.如(1)(2)(5)⇒ABCD是菱形,再写出符合要求的两个: ⇒ABCD 是菱形;⇒ABCD 是菱形.11. 延长等腰ABC △顶角平分线AD 到E 使DE AD =,连结BE CE ,,则四边形ABEC 是_________形.12. 对角线__________的四边形是菱形.13. 将矩形ABCD 绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后,使A 与B 重合,得矩形BFDE ,BF 交AD 于M ,DE 交BC 于N ,则四边形BMDN 是______(填特殊四边形的名称). 三、证明题14. 已知,如图,从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线,垂线分别是E ,F ,G ,H .求证:四边形EFGH 是矩形.15. 已知四边形ABCD 的四边分别为a ,b ,c ,d ,且满足A DMBCE NFAB44444a b c d abcd +++=,求证:四边形ABCD 是菱形.16. 已知ABCD 是对角线AC BD 、相交于O,如图,且6AD AC ==,4BD =,你能说明四边形ABCD 是菱形吗17. 如图所示,ABC Rt △中,90ACB ∠=,ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ,CH AB ⊥交BD 于F ,DE AB ⊥于E ,四边形CDEF 是菱形吗18. 如图,在五边形ABCDE 中,AB BC CD DE EA ====,2ABC DBE ∠=∠.请说明:四边形ACDE 是菱形.AODBADCBHEFAB19. 如图,在ABC △中,AD 是BAC ∠的平分线,EF 垂直平分AD 交AB 于E ,交AC 于F ,求证:四边形AEDF 是菱形.20. 如图,矩形ABCD 中,O 是两对角线的交点,AF 垂直平分线段OB ,垂足为E ,CH 垂直平分线段OD ,垂足为G . 求证:(1)AOB △是等边三角形; (2)四边形AFCH 是菱形.21. 如图,矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB ,CD 的延长线分别交于E ,F . (1)求证:BOE DOF △≌△;(2)当EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 为菱形并证明你的结论.22. 如图所示,AD 是Rt△ABC 斜边BC 上的高,B ∠的平分线交AD 于M ,交AC 于E ,DAE ∠的平分线交CD 于N .求证:四边形AMNE 为菱形.CDBCFBEB23. 如图所示,在四边形ABCD 中,对边AB CD =,M ,N ,P ,Q 分别是AD ,BC ,AC ,BD 的中点,求证:MN PQ ⊥.24. 如图,四边形ABCD 中,点E 在AB 上,且△ADE 与△BCE 都是正三角形,点P ,Q ,M ,N 分别为边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.求证:四边形PQMN 为菱形.25. 如图,四边形ABCD 中,90ABC ADC ∠=∠=,M 为AC 中点,且MN BD ⊥与MD 的平行线BN 交于N ,求证:四边形BNDM 为菱形.CNDBCNBAP EBQCMDN26. 如图Rt△ABC 中,90BAC ∠=,AD BC ⊥于D ,CE 平分ACB ∠交AD 于G ,交AB 于E ,EF BC ⊥于F ,求证:四边形AEFG 为菱形. 27.ABCD 的对角线的垂直平分线与边AD BC ,分别交于E F ,,求证:四边形AFCE 是菱形.28. 已知:如图,过ABCD 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG FH,与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E F G H ,,,. 求证:四边形EFGH 是菱形.BCCDF B29. 如图,在ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边A D,BC分别交于E,F.求证:四边形AFCE是菱形.四、应用题30. 如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,请添加一个条件,使四边形EFGH为菱形,并说明理由.AB C DOEGF H参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、填空题 9. 菱形10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形 三、证明题14. 先证四边形HEFG 为平行四边形,再证HF EG =.15. 解:因为44444a b c d abcd +++=,所以4444222280a b c d abcd +++-=,所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0a a b b b a c c c c d d d a d a a b abcd c d a d abcd b c -++-++-++-++-++-+=所以22222222222222()()()()2()2()0a b b c c d d a ab cd ad bc -+-+-+-+-+-=由非负数性质得,220a b -=,220b c -=,220c d -=,220d a -=,0ab cd -=,0ad bc -=.所以a b c d ===. 所以四边形ABCD 是菱形.16. 解:四边形ABCD 是平行四边形,64AC BD ==,.32OA OC OB OD ∴====,. 又13AD =.222.90AD OA OD AOD AC BD∴=+∴∠=即,:⊥∴ABCD 是菱形.17. 解:四边形CDEF 是菱形.理由如下: DE AB CH AB ⊥,⊥,DE CH ∴∥. 即:DE CF ∥. 又BD 是角平分线,DE DC ∴=, 且.BDE BDC ∠=∠....DE CH BDE CFD CDF DFC CD CF CF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=∥, ∴四边形CDEF 是平行四边形,又因DC DE =. ∴四边形CDEF 是菱形.18. 提示:只需证四边形EACD 为平行四边形,只需证明AE CD ∥,过B 作BM AE ∥经证BM CD ∥即可.19. EF ∵垂直平分AD ,AE DE =∴,AF DF =,AD ∵平分BAC ∠,AED AFD ∴△≌△,AE AF =∴,AE DE AF DF ===∴,故四边形AEDF 是菱形. 20. (1)可证12OA AC =,12OB BD =,OA OB =∴.AF ∵垂直平分OB ,OA AB OB ==∴,故AOB △为等边三角形. (2)在等边AOB △中,AF OB ⊥,30OAE BAE ∠=∠=∴, 可证明FCA DAC ∠=∠,FCA EAO ∠=∠,AF CF =∴,可证明四边形AFCH 是平行四边形,而AF CF =,故四边形AFCH 是菱形. 21. (1)∵在矩形ABCD 中,AB CD ∥,E F ∠=∠∴,EBO FDO ∠=∠,又BO OD =,BOE DOF ∴△≌△.(2)当EF 与AC 垂直时,四边形AECF 为菱形. 证明:BOE DOF ∵△≌△,EO FO =∴. 又AO OC =,∴四边形AECF 为平行四边形. 又EF AC ⊥,∴四边形AECF 为菱形.22. 证明:设AN 与ME 交于点O ,因为AD 是Rt△ABC 斜边BC 上的高, 所以ABD CAD ∠=∠.又BE ,AN 分别平分ABD ∠和CAD ∠, 所以EAN ABE ∠=∠.所以在Rt△ABE 中,90AOB ∠=,△AME 是等腰三角形,AN 平分ME , 又因为ABO NBO =∠∠,OB OB =,所以Rt△AOB ≌Rt△NOB ,AO ON =,即ME 垂直平分AN ,四边形AMNE 是菱形.23. 证明四边形MQNP 是菱形即可.24. 连结AC ,BD ,△ADE 与△BCE 都是正三角形,AE DE ∴=,CE BE =,60AED BEC ∠=∠=,60AEC DEC DEB ∴∠=+∠=∠证△AEC ≌△DEB(SAS )AC DB ∴=,又P ,Q ,M ,N 分别为各边中点,得12PQ MN AC ==,12QM PN BD ==PQ QM MN NP ∴===.∴四边形PQMN 为菱形. 25. 设MN 与BD 交于O ,易证MB MD =,再证△DOM ≌△BON ,从而BN DM =,又由BN DM ∥,可证得四边形BNDM 为菱形.26. 易证AE FE =,而且AD EF ∥,AEG AGE ∠=∠AG EA EF ∴==又AG EF ∥AEFG ∴为菱形.27. 证明:EF 垂直平分AC ,AF FC ∴=,AE EC =,FAC FCA ∴∠=∠,EAC ECA ∠=∠.AD BC ∥,EAC FCA ∴∠=∠,ECA FCA ∴∠=∠.EF AC ⊥,CEF CFE ∴∠=∠,FC EC ∴=,AF FC CE AE ∴===,∴四边形AFCE 是菱形.28.略29. 先证明四边形AFCE 为平行四边形,再由AC ⊥EF 即可得证.四、应用题30. 添加的条件是:AC BD =.理由略.。
菱形的判定专项练习30 题(有答案)1.如图,梯形ABCD 中, AD ∥ BC,BA=AD=DC=BC ,点 E 为 BC 的中点.(1)求证:四边形 ABED 是菱形;(2)过 A 点作 AF ⊥ BC 于点 F,若 BD=4cm ,求 AF 的长.2.如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点O,且 AC ⊥ BD .点 M ,N 分别在 BD 、AC 上,且 AO=ON=NC ,BM=MO=OD .求证: BC=2DN .3.如图,在△ ABC 中, AB=AC ,D ,E, F 分别是 BC ,AB , AC 的中点.(1)求证:四边形 AEDF 是菱形;(2)若 AB=12cm ,求菱形 AEDF 的周长.4.如图,在 ?ABCD 中, EF∥ BD ,分别交 BC , CD 于点 P, Q,交 AB ,AD 的延长线于点 E, F.已知 BE=BP .求证:( 1)∠ E= ∠F;( 2) ?ABCD 是菱形.5.如图,在△ ABC 中, D 是 BC 的中点, E 是 AD 的中点,过点 A 作 AF ∥ BC , AF 与 CE 的延长线相交于点 F,连接BF.( 1)求证: AF=DC ;( 2)若∠ BAC=90 °,求证:四边形AFBD 是菱形.6.已知平行四边形ABCD 中,对角线BD 平分∠ ABC ,求证:四边形ABCD 是菱形.7.如图,在一个含 30°的三角板 ABC 中,将三角板沿着 AB 所在直线翻转 180°得到△ ABF ,再将三角板绕点 C 顺时针方向旋转 60°得到△ DEC ,点 F 在 AC 上,连接 AE .(1)求证:四边形 ADCE 是菱形.(2)连接 BF 并延长交 AE 于 G,连接 CG.请问:四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形?为什么?8.如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,DE ⊥ AB , DF ⊥BC ,垂足分别是为E F,并且 DE=DF .求证:四边形 ABCD 是菱形.9.如图,在△ ABC 中, DE∥ BC,分别交 AB ,AC 于点 D , E,以 AD , AE 为边作 ?ADFE 交 BC 于点 G, H,且EH=EC .求证:( 1)∠ B= ∠ C;(2) ?ADFE 是菱形.10.如图,在△ ABC 中,∠ACB=90 °, CD 是 AB 边上的高,∠BAC 的平分线AE 交 CD 于 F, EG⊥ AB 于 G.(1)求证:△ AEG ≌ △ AEC ;(2)△ CEF 是否为等腰三角形,请证明你的结论;(3)四边形 GECF 是否为菱形,请证明你的结论.11.如图,在△ ABC 中, AB=AC ,点 D 、E、 F 分别是△ABC 三边的中点.求证:四边形ADEF 是菱形.12.如图,在四边形 ABCD 中, AB=CD , M 、 N、 E、 F 分别为 AD 、 BC 、BD 、 AC 的中点,求证:四边形 MENF 为菱形.13.已知:如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC, AB=AD ,∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E,连接 DE .求证:四边形ABED 是菱形.14.如图,在△ ABC 中, AB=AC , M 、 O、 N 分别是 AB 、 BC 、 CA 的中点.求证:四边形AMON 是菱形.15.如图:在△ ABC 中,∠BAC=90 °, AD ⊥ BC 于 D, CE 平分∠ ACB ,交 AD 于 G,交 AB 于 E, EF⊥ BC 于 F.求证:四边形AEFG 是菱形.16.如图,矩形ABCD 绕其对角线交点旋转后得矩形AECF , AB 交 EC 于点 N , CD 交 AF 于点 M .求证:四边形ANCM 是菱形.17.如图,四边形 ABCD 、 DEBF 都是矩形, AB=BF , AD 、BE 交于 M , BC 、DF 交于 N,那么四边形 BMDN 是菱形吗?如果是,请写出证明过程;如果不是,说明理由.18.已知如图所示, AD 是△ ABC 的角平分线, DE ∥ AC 交 AB 于 E, DF∥AB 交 AC 于 F,四边形 AEDF 是菱形吗?说明理由.19.已知:如图所示,BD 是△ABC 的角平分线, EF 是 BD 的垂直平分线,且交AB 于 E,交 BC 于点 F.求证:四边形 BFDE 是菱形.20.如图,在平行四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,过点O 作 AC 的垂线与边AD 、 BC 分别交于E、 F.求证:四边形AFCE 是菱形.21.如图,在矩形ABCD 中, EF 垂直平分BD .(1)判断四边形 BEDF 的形状,并说明理由.(2)已知 BD=20 , EF=15 ,求矩形 ABCD 的周长.22.如图所示,在?ABCD 中,点 E 在 BC 上, AE 平分∠BAF ,过点 E 作 EF∥ AB .求证:四边形ABEF 为菱形.23.已知,如图,矩形 ABCD 中, AB=4cm , AD=8cm ,作∠ CAE= ∠ ACE 交 BC 于 E,作∠ ACF= ∠ CAF 交 AD 于F.( 1)求证: AECF 是菱形;( 2)求四边形AECF 的面积.24.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E、F.问四边形 AFCE 是菱形吗?请说明理由.25.如图:在平行四边形 ABCD 中, E、F 分别是边 AB 、CD 的延长线上一点,且 BE=DF ,连接 EF 交 AC 于 O.( 1) AC 与 EF 互相平分吗?为什么?( 2)连接 CE、AF ,再添加一个什么条件,四边形AECF 是菱形?为什么?26.已知:如图,△ABC 和△ DBC 的顶点在 BC 边的同侧, AB=DC ,AC=BD 交于 E,∠ BEC 的平分线交 BC 于 O,延长EO 到 F,使 EO=OF .求证:四边形 BFCE 是菱形.27.如图,在△ ABC 中, D 是 BC 边的中点, F, E 分别是 AD 及其延长线上的点,CF∥ BE.(1)求证:△ BDE ≌ △ CDF ;(2)请连接 BF, CE,试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形,并说明理由;(3)在( 2)下要使 BECF 是菱形,则△ABC 应满足何条件?并说明理由.28.如图,在△ ABC 中,∠ACB=90 °, BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ,交 AB 于 E, F 在 DE 上,并且AF=CE .( 1)求证:四边形 ACEF 是平行四边形;( 2)当∠ B 的大小满足什么条件时,四边形ACEF 是菱形?请回答并证明你的结论.29.如图,在△ ABC 中, AD 是∠ BAC 的平分线, EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E,交 AC 于 F.求证:四边形AEDF 是菱形.30.如图,△ ABC 中,点 O 是边 AC 上一个动点,过 O 作直线 MN ∥ BC,设 MN 交∠ BCA 的平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F.( 1)探究:线段OE 与 OF 的数量关系并加以证明;( 2)当点 O 运动到何处,且△ ABC满足什么条件时,四边形AECF 是正方形?( 3)当点 O 在边 AC 上运动时,四边形BCFE 会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由.矩形的判定专项练习30 题参考答案:1. 1)证明:∵点 E 为 BC 的中点,∴BE=CE= BC,∵BA=AD=DC= BC ,∴AB=BE=ED=AD ,∴四边形 ABED 是菱形;( 2)解:过点 D 作 DH ⊥BC ,垂足为H ,∵CD=DE=CE ,∴ ∠ DEC=60 °,∴ ∠ DBE=30 °,在 Rt△ BDH 中, BD=4cm ,∴ DH=2cm ,∵AF=DH ,∴AF=2cm .2.∵ AO=ON ,BM=MO ,∴ 四边形 AMND 是平行四边形,∵ AC ⊥ BD ,∴ 平行四边形 AMND 是菱形,∴ MN=DN ,∵ ON=NC , BM=MO ,∴ MN= BC ,∴ BC=2DN3.( 1)∵ D, E 分别是 BC , AB 的中点,∴DE∥ AC 且 DE=AF= AC .同理 DF∥ AB 且 DF=AE=AB .又∵ AB=AC ,∴DE=DF=AF=AE ,∴四边形 AEDF 是菱形.( 2)∵ E 是 AB 中点,∴ AE= AB=6cm ,因此菱形AEDF ∴∠1=∠2,在△AEF 和△DEC 中,∴ △ AFE ≌ △ DCE( AAS ),∴AF=DC ;(2)证明:∵ D 是 BC 的中点,∴ DB=CD= BC,∵AF=CD ,∴ AF=DB ,∵AF ∥BD ,∴四边形AFBD 是平行四边形,∵∠ BAC=90 °, D 为 BC 中点,∴AD= CB=DB ,∴四边形 AFBD 是菱形.6.∵对角线 BD 平分∠ ABC ,∴∠1=∠2,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB ∥DC ,∴∠ 3=∠ 1,∴∠ 3=∠ 2,∴DC=BC ,又∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴四边形 ABCD 是菱形.的周长为 4×6=24cm .4.( 1)∵ BE=BP ,∴∠ E=∠BPE,7.( 1)∵三角板 ABC 中,将三角板沿着AB 所在直线∵BC∥AF ,翻转 180°得到△ ABF ,∴ ∠ BPE=∠ F,∴ ∠ E=∠ F.∴ △ ABC ≌ △ABF ,且∠BAC= ∠BAF=30 °,(2)∵EF∥BD ,∴ ∠ FAC=60 °,∴ ∠ E=∠ABD ,∠ F=∠ ADB ,∴ AD=DC=AC ,∴∠ABD= ∠ADB ,又∵ △ ABC ≌△ EFC,∴ AB=AD ,∴ CA=CE ,∵四边形 ABCD 是平行四边形,又∵ ∠ ECF=60 °,∴ □ABCD 是菱形.∴ AC=EC=AE ,(2)证明:由( 1)可知:△ ACD ,△ AFC 是等边三角形,△ACB ≌△ AFB ,∴ ∠ EDC= ∠BAC=∠ FAC=30°,且△ ABC为直角三角形,∴BC= AC ,∵EC=CB ,∴EC= AC,∴E为AC 中点,∴DE⊥ AC ,∴AE=EC ,∵AG∥BC,∴ ∠ EAG= ∠ ECB ,∠AGE= ∠ EBC ,∴△AEG≌△CEB ,∴AG=BC ,( 7 分)∴四边形 ABCG 是平行四边形,∵ ∠ ABC=90 °,∴四边形 ABCG 是矩形8.在△ ADE 和△CDF 中,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥ AB , DF⊥ BC,∴ ∠ AED= ∠ CFD=90 °.又∵ DE=DF ,∴△ADE ≌△CDF(AAS )∴DA=DC ,∴平行四边形 ABCD 是菱形9.( 1)∵在 ?ADFE 中, AD ∥EF,∴ ∠ EHC= ∠B (两直线平行,同位角相等).∵EH=EC (已知),∴ ∠ EHC= ∠C(等边对等角),∴ ∠ B=∠ C(等量代换);( 2)∵ DE ∥ BC (已知),∴∠AED= ∠C,∠ADE= ∠B.∵∠B=∠C,∴∠AED= ∠ADE ,∴AD=AE ,∴?ADFE 是菱形.10. 1)证明:∵ ∠ACB=90 °,在 Rt△AEG 与 Rt△ AEC 中,,∴Rt△AEG ≌ Rt△ AEC (HL );( 2)解:△ CEF 是等腰三角形.理由如下:∵CD 是 AB 边上的高,∴CD⊥AB .又∵ EG⊥AB ,∴EG∥ CD ,∴∠ CFE=∠ GEA .又由( 1)知, Rt△ AEG ≌ Rt△ AEC ,∴∠GEA= ∠ CEA,∴ ∠ CEA= ∠ CFE,即∠ CEF=∠ CFE,∴ CE=CF ,即△CEF 是等腰三角形;( 3)解:四边形GECF 是菱形.理由如下:∵由( 1)知,Rt△AEG ≌ Rt△ AEC ,则 GE=EC ;由( 2)知, CE=CF ,∴GE=EC=FC .又∵ EG∥CD ,即 GE∥ FC,∴四边形 GECFR 是菱形.11.∵ D、 E、F 分别是△ ABC 三边的中点,∴DE AC,EF AB ,∴四边形 ADEF 为平行四边形.又∵ AC=AB ,∴DE=EF .∴四边形 ADEF 为菱形.12.∵ M 、 E、分别为AD 、 BD 、的中点,∴ME∥AB ,ME= AB ,同理: FH∥AB , FH=AB ,∴四边形 MENF 是平行四边形,∵M.F 是 AD ,AC 中点,∴MF= DC,∵AB=CD ,∴MF=ME ,∴四边形 MENF 为菱形∴平行四边形 AEFG 是菱形.∵,证法二:∵ AD ⊥BC,∠ CAB=90 °, EF⊥ BC, CE 平分∴ △ BAE ≌△ DAE ( SAS)( 2 分)∠ACB ,∴ BE=DE ,( 3 分)∴ AD ∥EF,∠ 4=∠ 5,AE=EF ,∵AD ∥BC,∵ ∠ 1=180°﹣ 90°﹣∠ 4,∠ 2=180 °﹣ 90°﹣∠ 5,∴ ∠ DAE= ∠ AEB ,( 4 分)∴∠1=∠2,∴ ∠ BAE= ∠AEB ,∵ AD ∥EF,∴ AB=BE ,( 5 分)∴∠2=∠3,∴ AB=BE=DE=AD ,(6 分)∴∠1=∠3,∴四边形 ABED 是菱形.∴ AG=AE ,∵ AE=EF ,∴ AG=EF ,∵ AG ∥EF,∴四边形 AGFE 是平行四边形,14.∵ AB=AC ,M 、 O、 N 分别是 AB 、 BC、 CA 的中∵ AE=EF ,点,∴平行四边形 AGFE 是菱形.∴AM= AB= AC=AN ,M0 ∥ AC , NO ∥AB ,且 MO= AC=AN ,NO= AB=AM (三角形中位线定理),16.∵ CD∥ AB ,∴ AM=MO=AN=NO ,∴∠FMC= ∠FAN,∴四边形 AMON 是菱形(四条边都相等的四边形是菱∴ ∠ NAE= ∠ MCF (等角的余角相等),形)在△ CFM 和△ AEN 中,15.证法一:∵ AD ⊥BC ,∴ ∠ ADB=90 °,,∵ ∠ BAC=90 °,∴ ∠ B+∠ BAD=90 °,∠ BAD+ ∠ CAD=90 °,∴ △ CFM ≌△ AEN (ASA ),∴∠B=∠CAD ,∴ CM=AN ,∵ CE 平分∠ ACB , EF⊥ BC,∠ BAC=90 °( EA ⊥CA ),∴四边形 ANCM 为平行四边形,∴ AE=EF (角平分线上的点到角两边的距离相等),在△ADM 和△CFM 中,∵ CE=CE ,∴由勾股定理得: AC=CF ,,∵△ACG 和△FCG 中∴△ADM ≌△CFM (AAS ),,∴ AM=CF ,∴四边形 ANCM 是菱形∴△ACG≌△FCG,17.四边形 BMDN 是菱形.∴ ∠ CAD= ∠ CFG,∵AM ∥BC,∵∠B=∠CAD ,∴∠AMB= ∠MBN ,∴ ∠ B=∠ CFG,∵BM ∥FN∴GF∥AB ,∴∠MBN= ∠BNF ,∵AD ⊥BC,EF⊥ BC,∴∠AMB= ∠BNF ,∴AD ∥EF,又∵ ∠ A= ∠ F=90°, AB=BF ,∴DM=DN ,∵ED=BF=AB ,∠ E=∠ A=90 °,∠ AMB=∠EMD ,∴△ABM ≌△ EDM,∴ BM=DM ,∴ MB=MD=DN=BN ,∴四边形 BMDN 是菱形18.如图,由于 DE ∥ AC ,DF∥ AB ,所以四边形 AEDF 为平行四边形.∵DE∥ AC ,∴ ∠3=∠ 2,又∠ 1=∠ 2,∴∠ 1=∠3,∴ AE=DE ,∴平行四边形 AEDF 为菱形.19.∵ EF 是 BD 的垂直平分线,∴EB=ED ,∴∠ EBD= ∠EDB .∵BD 是△ ABC 的角平分线,∴ ∠ EBD= ∠FBD .∴ ∠ FBD=∠EDB ,∴ED∥BF.同理, DF∥ BE ,∴四边形 BFDE 是平行四边形.又∵ EB=ED ,∴四边形 BFDE 是菱形.20.方法一:∵ AE ∥ FC.∴ ∠ EAC= ∠FCA .( 2 分)又∵ ∠ AOE= ∠ COF, AO=CO ,∴△AOE≌△COF.(5 分)∴EO=FO .又 EF⊥AC ,∴AC 是 EF 的垂直平分线.( 8 分)∴AF=AE , CF=CE ,又∵ EA=EC ,∴AF=AE=CE=CF .∴四边形 AFCE 为菱形.( 10 分)方法二:同方法一,证得△ AOE ≌ △ COF.( 5 分)∴AE=CF .∴四边形 AFCE 是平行四边形.( 8 分)方法三:同方法二,证得四边形 AFCE 是平行四边形.( 8 分)又 EF⊥ AC ,(9 分)∴四边形 AFCE 为菱形21.( 1)四边形 BEDF 是菱形.在△ DOF 和△BOE 中,∠FDO= ∠ EBO ,OD=OB ,∠ DOF=∠BOE=90 °,所以△ DOF ≌ △BOE ,所以 OE=OF .又因为 EF⊥BD , OD=OB ,所以四边形 BEDF 为菱形.(5 分)(2)如图,在菱形 EBFD 中, BD=20 , EF=15,则 DO=10 , EO=7.5 .由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 .S 菱形EBFD= EF?BD=BE ?AD ,即所以得 AD=12 .根据勾股定理可得AE=3.5 ,有 AB=AE+EB=16 .由 2(AB+AD ) =2( 16+12 )=56 ,故矩形 ABCD 的周长为 5622.∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AF ∥ BE,又∵EF∥AB ,∴四边形 ABEF 为平行四边形,∵AE 平分∠ BAF ,∴∠ BAE= ∠ FAE,∵∠FAE=∠BEA ,∴∠BAE= ∠ BEA ,∴BA=BE ,∴平行四边形 ABEF 为菱形23.( 1)证明:在矩形ABCD 中,∵AB ∥CD ,∴∠BAC= ∠ DCA ,又∠CAE= ∠ ACE,∠ACF= ∠CAF,∴∠EAC= ∠ FCA.∴AE ∥ CF.∴四边形 AECF 为平行四边形,又∠CAE= ∠ ACE,∴AE=EC .∴?AECF 为菱形.(2)设 BE=x ,则 EC=AE=8 ﹣ x,在 Rt△ABE 中,222菱形的判定 ---第10页共12页所以 EC=5 ,即 S 菱形AECF=EC ×AB=5 ×4=20.24.四边形 AFCE 是菱形,理由是:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,∴= ,∵AO=OC ,∴ OE=OF ,∴四边形 AFCE 是平行四边形,∵EF⊥AC ,∴平行四边形AFCE 是菱形25.( 1) AC 与 EF 互相平分,连接CE,AF ,∵平行四边形ABCD ,∴AB ∥ CD ,AB=CD ,又∵BE=DF ,∴AB+BE=CD+DF ,∴AE=CF ,∴AE ∥ CF, AE=CF ,∴四边形 AECF 是平行四边形,∴AC 与 EF 互相平分;( 2)条件: EF⊥ AC ,∵EF⊥AC ,又∵四边形 AECF 是平行四边形,∴平行四边形AECF 是菱形.26.∵ AB=DC AC=BD BC=CB,∴△ABC ≌△DCB ,∴∠DBC= ∠ACB ,∴BE=CE ,又∵ ∠ BEC 的平分线是EF,∴EO 是中线(三线合一),∴BO=CO ,∴四边形 BFCE 是平行四边形(对角线互相平分),又∵ BE=CE ,∴四边形 BFCE 是菱形.27.( 1)证明:∵ CF∥BE ,∴∠ EBD= ∠ FCD ,D是 BC 边的中点,则 BD=CD ,∠BDE= ∠CDF ,∴△BDE ≌△CDF .( 2)如图所示,由( 1)可得 CF=BE ,又 CF∥ BE ,所以四边形 BECF 是平行四边形;( 3)△ ABC 是等腰三角形,即 AB=AC ,理由:当AB=AC 时,则有 AD ⊥ BC,又( 2)中四边形为平行四边形,所以可判定其为菱形.28.( 1)∵ DE 为 BC 的垂直平分线,∴ ∠ EDB=90 °, BD=DC ,又∵ ∠ ACB=90 °,∴DE∥AC ,∴E 为 AB 的中点,∴在 Rt△ ABC 中, CE=AE=BE ,∴∠ AEF= ∠ AFE ,且∠ BED= ∠AEF ,∠ DEC= ∠ DFA ,∴AF ∥ CE,又∵ AF=CE ,∴四边形 ACEF 为平行四边形;( 2)要使得平行四边形ACEF 为菱形,则 AC=CE 即可,∵DE∥AC ,∴∠BED= ∠BAC ,∠DEC=∠ECA,又∵ ∠ BED= ∠ DEC,∴∠EAC= ∠ ECA,∴ AE=EC ,又 EB=EC ,∴ AE=EC=EB ,∵CE= AB ,∴AC= AB 即可,在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90 °,∴当∠ B=30 °时, AB=2AC ,故∠ B=30 °时,四边形ACEF 为菱形.29.∵ AD 平分∠BAC∴ ∠ BAD= ∠CAD又∵EF⊥AD ,∴ ∠ AOE= ∠ AOF=90 °∵在△AEO 和△ AFO 中,∴ △ AEO ≌ △AFO ( ASA ),∴EO=FO即 EF、 AD 相互平分,∴四边形 AEDF 是平行四边形又 EF⊥AD ,∴平行四边形AEDF 为菱形30. 1)解: OE=OF .理由如下:∵ CE 是∠ACB 的角平分线,∴ ∠ ACE= ∠BCE ,又∵ MN ∥BC,∴ ∠ NEC= ∠ECB ,∴ ∠ NEC= ∠ACE ,∴OE=OC ,∵ OF 是∠ BCA 的外角平分线,∴ ∠ OCF= ∠FCD ,又∵ MN ∥BC,∴ ∠ OFC= ∠ECD ,∴ ∠ OFC= ∠COF,∴OF=OC ,∴OE=OF ;( 2)解:当∠ ACB=90 °,点 O 在 AC 的中点时,∵OE=OF ,∴四边形 AECF 是正方形;( 3)答:不可能.解:如图所示,∵CE 平分∠ ACB ,CF 平分∠ ACD ,∴ ∠ ECF=∠ ACB+∠ ACD=(∠ACB+∠ACD)=90 °,若四边形BCFE 是菱形,则BF ⊥ EC,但在△ GFC 中,不可能存在两个角为 90°,所以不存在其为菱形.。
菱形的判定练习题菱形的判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)四条边都相等的四边形是菱形。
1.下列四边形中不一定为菱形的是()A.对角线相等的平行四边形 B.每条对角线平分一组对角的四边形C.对角线互相垂直的平行四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.四个点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD= BC; ⑤AD∥BC.这5个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有().A.1种 B.2种 C.3种 D.4种3.菱形的周长为32cm,一个内角的度数是60°,则两条对角线的长分别是()A.8cm和43cm B.4cm和83cm C.8cm和83cm D.4cm和43cm 4.如图1所示,已知□ABCD,AC,BD相交于点O,•添加一个条件使平行四边形为菱形,添加的条件为________.(只写出符合要求的一个即可)图1 图25.如图2所示,D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且DE∥AB,DF∥CA,要使四边形AFDE是菱形,则要增加的条件是________.(只写出符合要求的一个即可)6.菱形ABCD的周长为48cm,∠BAD: ∠ABC= 1:•2,•则BD=•_____,•菱形的面积是______.7.在菱形ABCD中,AB=4,AB边上的高DE垂直平分边AB,则BD=_____,AC=_____.8.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=BC,四边形ABCD是菱形吗?•说明理由.DACFH E BKDACFHG EB9.如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,PD∥AC,PC∥BD,PD ,PC 相交于点P ,四边形PCOD 是菱形吗?试说明理由.10.(一题多解题)如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ,CH⊥AB 于H ,且交BD 于点F ,DE⊥AB 于E ,四边形CDEF 是菱形吗?请说明理由.11.如图所示,已知△ABC 中,AB=AC ,D 是BC 的中点,过点D•作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E ,F ,再过E ,F 作EG⊥AC,FH⊥AB,垂足分别为G ,H ,且EG ,•FH 相交于点K ,试说明EF 和DK 之间的关系.D A CFH GEB12.菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱,在生产生活中有极其广泛的应用.如图所示是一块长30cm ,宽20cm 的长方形的瓷砖,E ,F ,G ,H 分别是边BC ,CD ,DA ,•AB 的中点,涂黑部分为淡蓝色花纹,中间部分为白色.现有一面长4.2m ,宽2.8m•的墙壁准备贴这种瓷砖,试问: (1)这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满瓷砖后,这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形?•其中有花纹的菱形有多少个?13.(宜宾)已知:如图所示,菱形ABCD 中,E ,F 分别是CB ,CD 上的点,且BE=DF . (1)试说明:AE =AF ;(2)若∠B=60°,点E ,F 分别为BC 和CD 的中点,试说明:△AEF 为等边三角形.参考答案1.A 2.D 3.C 4.AB=BC 还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等.5.点D在∠BAC的平分线上(或AE=AF)6.12cm;723cm2 7.4;43 8.解:四边形ABCD是菱形,因为四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形,又因为AB=BC,所以ABCD是菱形.9.解:四边形PCOD是菱形.四边形PCOD是平行四边形.又因为OC=OD,10.解法一:四边形CDEF是菱形.理由:如图所示,因为△CBD≌△EBD,所以CD=DE,因为∠1+∠4=90°,∠2+∠5=90°,∠1=∠2,∠3=∠5,•所以∠3=∠4.所以CF=CD.所以CF=DE.因为CF//DE.•所以四边形CDEF是平行四边形.又因为CF=CD,所以□CDEF是菱形.解法二:如答图20-3-4所示,连结CE交DF于点O.因为△BCD≌△BED.所以BC=BE.又因为∠1=∠2,所以BD⊥CE,且OC=OE.因为∠1+∠4=90°,∠2+∠5=90°,∠1=∠2,∠3=∠5,所以∠3= ∠4.所以CF=CD.又因为CE⊥DF,所以OF=OD.所以四边形CDEF是平行四边形,•又因为DF⊥CE,所以CDEF是菱形.点拨:解法一利用了菱形的定义,•解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法,本题除以上两种解法外,还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决.11.解:EF与DK互相垂直平分.理由:因为DE⊥AB,FH⊥AB,所以DE∥FH.•因为DF⊥AC,EG⊥AC,所以DF∥EG.所以四边形DEKF是平行四边形.因为AB=AC,所以∠B=∠C.又因为BD=CD,∠BED=∠CFD=90°,所以△BDE≌△CDF,所以DE=DF.所以DEKF是菱形,•所以EF与DK互相垂直平分.点拨:要说明EF与DK互相垂直平分,只要说明四边形DEKF是菱形,•要说明四边形DEKF是菱形,可先说明四边形DEKF是平行四边形,再说明一组邻边相等即可.12.解:(1)因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76(m2),每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06(m2),所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196(块).(2)因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形(如图),在长4.2m,宽2.8m的墙壁上贴长30cm,宽20cm的长方形瓷砖,可贴4.2÷0.3=14(列),2.8÷0.2=14(•行).因此构成的有花纹的菱形共13列13行,所以有花纹的菱形共13×13=169(个).同时,白色菱形的个数与瓷砖的块数相同,故有白色菱形196个.从而面积相等的菱形最多有169+196=365(个).13.解:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AB=AD,∠B=∠D,又因为BE=DF,•所以△ABE≌△ADF,所以AE=AF.(2)连结AC.因为AB=BC,∠B=60°,所以△ABC 是等边三角形,因为E是BC的中点,所以AE⊥BC,所以∠BAE=90°-60°=30°,同理∠DAF=30°.因为∠BAD=180°-∠B=120°,所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°.又因为AE=AF,•所以△AEF是等边三角形.。
完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。
2.较短对角线长为10cm。
3.边长为5cm。
4.各角分别为72°和108°。
5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。
6.错误的说法是A,即两组对边分别平行。
7.对角线互相垂直。
8.菱形。
9.不正确的说法是B,即菱形的对角线平分各内角。
10.周长为40cm。
11.互相垂直且不平分。
12.AB长为8cm。
13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm,则它的边长为4cm。
18.在菱形ABCD中,由对角线AC和BD相交于点O可知,菱形的对角线相等,即AC=BD。
又已知BD=6,则AC=6.设菱形ABCD的边长为a,则2a=20,即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。
$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$,代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$,因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中,由$\angle ADC=120^\circ$可知,$\angle ADB=60^\circ$。
设$\angle ABD=\theta$,则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。
由余弦定理可得,$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$,化简可得$\cos\theta=1/2$,因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。
由正弦定理可得,$BD/\sin\theta=2a$,其中a为菱形的边长。
又已知BD=15,代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。
设B、D两点之间的距离为h,则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$,因此选项D 正确。
20.设菱形的较长对角线为2x,较短对角线为x,则菱形的面积为$x^2$。
菱形的判定练习题1 、菱形的一边与两条对角线构成的角的差为30°,则菱形的各角度数为多少?分析:根据菱形的性质,对角线互相垂直且平分每一组对角,可知菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形.解:因为菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角,所以可知两邻角一半的和为90°,又因为它们的差是30°,所以可得,每一组邻角的对角相等,所以菱形的各角为60°,120°,60°,120°.2 、如图,菱形ABCD,E、F分别为BC、CD上的点,且∠B=∠EAF=60°,若∠BAE=20°,求∠CEF的度数.分析:连结AC,由菱形的性质与已知条件可得△ABC为等边三角形,所以∠BAC=∠ACD=60°,由∠EAF=60°,可得∠BAE=∠CAF,进而可得△ABE≌△ACF,∴AE=AF得△AEF为等边三角形,从而求出∠CEF.解:连结AC,∵菱形ABCD∴AB=BC,∠ACB=∠ACD(菱形的四条边相等,每一条对角线平分一组对角)∵∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°∴AB=AC∵∠EAF=60°∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°∴∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF(ASA)∴AE=AF∴△AEF是等边三角形∴∠AEF=60°∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE(三角形的外角定理)∴∠CEF=∠BAE=20°说明:菱形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的性质外,还有特性:(1)菱形的四条边相等.(2)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.3、如图,AD是△ABC的角平分线,AD的垂直平分线交AB于E,交AC于F,求证:四边形AEDF是菱形.分析:只需判定四边形AEDF是平行四边形即可.证明:∵EF是AD的垂直平分线∴AE=DE.∴∠1=∠3∴AD平分∠BAC ∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴AC∥DE(内错角相等,两直线平行)同理AB∥DF四边形AEDF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形) ∵AD⊥EF∴AEDF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)说明:菱形常用的判定方法有:。
专题01 菱形的性质与判定(四大类型)【题型1 菱形的性质】【题型2 菱形的判定】【题型3 菱形的性质与判定综合运用】【题型4 菱形中最小值问题】【题型1 菱形的性质】1.(2023•新郑市模拟)关于菱形,下列说法错误的是()A.对角线垂直B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线互相平分2.(2023春•鹤山市校级期中)如图,菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,若EF=3,则菱形ABCD的周长是()A.12B.24C.20D.16 3.(2023•邗江区一模)图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是()A.30°B.45°C.60°D.75°4.(2023•河西区一模)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是,(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的面积等于()A.B.C.D.5.(2023春•通州区期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC,O 为坐标原点,点C在x轴上,A的坐标为(﹣3,4),则顶点B的坐标是()A.(﹣5,4)B.(﹣6,3)C.(﹣8,4)D.(2,4)6.(2023春•朝阳区校级期中)如图,在菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC 的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是()A.12B.16C.20D.247.(2023春•江阴市期中)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=4,S=24,则OH的长菱形ABCD为()A.6B.5C.3D.2.5 8.(2023春•金坛区期中)如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120°,则菱形ABCD的面积是()A.B.C.D.9.(2023春•鄞州区期中)如图,菱形ABCD的顶点A,B分别在y轴正半轴,x轴正半轴上,点C的横坐标为10,点D的纵坐标为8,若直线AC平行x 轴,则菱形ABCD的边长值为()A.9B.C.6D.3 10.(2023春•朝阳区校级期中)把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,则菱形ABCD 的等积线段长度a取值范围是()A.B.C.D.11.(2023•川汇区一模)如图,在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,AH⊥BC,垂足为点H,则AH的长为()A.3B.4C.4.8D.5【题型2 菱形的判定】12.(2023•西安二模)在下列条件中,能判定平行四边形ABCD为菱形的是()A.AB⊥BC B.AC=BD C.AB=BC D.AB=AC 13.(2023•张家口二模)依据所标数据(度为所在角的度数,数字为所在边的长度),下列平行四边形不一定是菱形的是()A.B.C.D.14.(2023•新城区校级一模)在平行四边形ABCD中,添加下列条件,能判定平行四边形ABCD是菱形的是()A.AB=AD B.AC=BD C.∠ABC=90°D.AB=CD 15.(2023春•长寿区校级月考)下列说法错误的是()A.角平分线上的点到角两边的距离相等B.同旁内角互补C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形16.(2023春•秦皇岛月考)已知如图,在▱ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角,将△ABC沿对角线AC边平移,得到△A′B′C′,连接AB′和C′D,若使四边形AB′C′D是菱形,需添加一个条件,现有三种添加方案,甲方案:AB′=DC′;乙方案:B′D⊥AC′;丙方案:∠A′C′B′=∠A′C′D;其中正确的方案是()A.甲、乙、丙B.只有乙、丙C.只有甲、乙D.只有甲17.(2022秋•兴平市期末)下列条件中,能判定四边形是菱形的是()A.对角线垂直B.两对角线相等C.两对线互相平分D.两对角线互相垂直平分18.(2023春•海珠区期中)如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC 的中点,G、H分别是BD、AC的中点,依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH,要使四边形EGFH是菱形,可添如条件.19.(2023春•通州区期中)如图,AE∥BF,AC平分∠BAE交BF于点C,CD ∥AB交AE于点D.求证:四边形ABCD是菱形.20.(2023春•天河区校级期中)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC 至E,使点C是BE的中点,连接AD,AC,CE,DE,AG与DE相交于点O.(1)求证:AC=DE;(2)当∠BAE=90°时,求证:四边形ACED是菱形.21.(2023•崂山区一模)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点B作BP∥AC,过点C作CP∥BD,BP与CP相交于点P.(1)证明四边形BPCO为平行四边形;(2)给▱ABCD添加一个条件,使得四边形BPCO为菱形,并说明理由.22.(2023春•栖霞区校级期中)如图,在▱ABCD中,E、F分别为AD、BC的中点,点M、N在对角线AC上,且AM=CN.(1)求证:四边形EMFN是平行四边形;(2)当△ABC满足条件时,▱EMFN是菱形.23.(2023春•青秀区校级月考)如图,在平行四边形ABCD中,边AB的垂直平分线交AD于点E,交CB的延长线于点F,连接AF,BE.(1)求证:△AGE≌△BGF;(2)求证:四边形AFBE是菱形.【题型3 菱形的性质与判定综合运用】24.(2023•西山区一模)如图,将两条宽度都为1的纸条重叠在一起,使∠ABC =60°,则四边形ABCD的面积为()A.B.C.D.25.(2022春•高邑县期末)如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;再分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;再连接AC,BC,AB,OC.若AB=2,OC=4.则四边形AOBC的面积是()A.4B.8C.4D.26.(2022秋•青羊区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧,两弧交于点D.连接BD、AD.若∠ABD=130°,则∠CAD=.27.(2022春•互助县期中)如图,线段AB=10,分别以A、B两点为圆心,以6长为半径画弧,两弧交于点C、点D,连接CD,则CD=.28.(2023春•长沙期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若,BD=2,求OE的长.29.(2023春•璧山区校级期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若菱形BNDM的周长为68,MN=16,求菱形BNDM的面积.30.(2023•安岳县一模)如图,在▱ABCD中,O为BD的中点,过点O作EF ⊥BD,交AD于点E,交BC于点F.(2)若AB=2,AD=4,∠BAD=120°,求DE的长.31.(2023•市一模)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=6,BD=4,求OE的长.32.(2023•九台区一模)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,过点D作∠ADC 的角平分线交AB于点E,连接AC交DE于点O,AD∥CE.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AD=10,△ACD的周长为36,求菱形AECD的面积.33.(2023春•天津期中)如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线交BC于点D,DE∥AB,DF∥AC.(2)若∠BAC=90°,且,求四边形AFDE的面积.34.(2023•长沙模拟)如图,在Rt△ABF中,∠F=30°,E,D分别是AF,BF的中点,延长ED到点C,使得CD=2DE,连接CB.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若DE=,求菱形ABCD的面积.【题型4 菱形中最小值问题】35.(2022春•铜山区期中)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=12,BD=16,点P为边BC上一动点,且点P不与点B、C重合.作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,连结EF,取EF的中点M,则PM的最小值为()A.2B.2.4C.3D.2.5 36.(2022春•东营区期末)已知菱形ABCD,E、F是动点,边长为5,BE=AF,∠BAD=120°,则下列命题中正确的是()①△BEC≌△AFC;②△ECF为等边三角形;③△ECF的边长最小值为3;④若AF=2,则S△FGC =S△EGC.A.①②B.①③C.①②④D.①②③37.(2022春•孝感期末)如图,菱形ABCD的两条对角线长AC=6,BD=8,点E是BC边上的动点,则AE长的最小值为()A.4B.C.5D.38.(2022春•余姚市期末)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边CD,BC 上的动点,连结AE,EF,G,H分别为AE,EF的中点,连结GH.若∠B =45°,BC=2,则GH的最小值为()A.B.C.2D.339.(2023•泰山区一模)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=6,BD =8,点P为边BC上一点,且P不与B、C重合.过P作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,连接EF,则EF的最小值等于.40.(2023春•溧阳市期中)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,点H是线段BC的动点,连接OH.若OB=4,S菱形ABCD=24,则OH的最小值是.41.(2022春•东城区期末)如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,点E是AD边上一动点(不与A,D重合),点F是CD边上一动点,DE+DF =2,则∠EBF=°,△BEF面积的最小值为.42.(2022春•泗阳县期中)如图,在菱形ABCD中,∠A=2∠B,AB=2,点E 和点F分别在边AB和边BC上运动,且满足AE=CF,则DF+CE的最小值为4.【答案】4.43.(2022春•民勤县校级期中)如图所示,在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB(提=60°,点E为AB中点,点F是AC上一动点,则EF+BF的最小值为.示:根据轴对称的性质)44.(2022春•桥西区校级期中)如图所示,在菱形ABCD中,AB=8,∠BAD =120°,△AEF为等边三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合.(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动,总有BE=CF.(2)当点E、F在BC、CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.。
(完整版)菱形的性质和判定练习题菱形检测题⼆1.菱形的两条对⾓线长分别为16cm,12cm,那么这个菱形的⾼是_______.2.已知菱形两邻⾓的⽐是1:2,周长是40cm,则较短对⾓线长是________.3.菱形的⾯积为50cm2,⼀个内⾓为30°,则其边长为______.4.菱形⼀边与两条对⾓线所构成两⾓之⽐为2:7,则它的各⾓为______.5.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,添加⼀个条件使四边形ABCD是菱形,那么所添加的条件可以是__________(写出⼀个即可).6、已知在菱形ABCD中,下列说法错误的是().A. 两组对边分别平⾏B. 菱形对⾓线互相平分C. 菱形的对边相等D. 菱形的对⾓线相等7、菱形具有⽽矩形不⼀定具有的性质是().A.对边相等B.对⾓相等C.对⾓线互相垂直D.对⾓线相等8、能够找到⼀点使该点到各边距离相等的图形为().A.平⾏四边形B.菱形C.矩形D.不存在9、下列说法不正确的是().A.菱形的对⾓线互相垂直B.菱形的对⾓线平分各内⾓C.菱形的对⾓线相等D.菱形的对⾓线交点到各边等距离10、菱形的两条对⾓线分别是12cm、16cm,则菱形的周长是().A.24cm B.32cm C.40 cm D.60cm11.菱形ABCD,若∠A:∠B=2:1,∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是().A.相等B.互相垂直且不平分C.互相平分且不垂直D.垂直且平分12.在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,菱形ABCD⾯积等于24cm2,AE=6cm,则AB长为().A.12cm B.8cm C.4cm D.2cm13.如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,作EF∥BC,交AC 于点F,如果EF=4,那么CD的长为().A.2 B.4 C.6 D.814.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对⾓线BD的长是( )A.1B.3C.2D.2315.菱形的两条对⾓线长分别是6和8,则此菱形的边长是( )A.10B.8C.6D.516.如图所⽰,菱形ABCD 中,对⾓线AC 、BD 相交于点O ,H 为AD 边的中点,菱形ABCD 的周长为28,则OH 的长等于( )A.3.5B.4C.7D.1417.若菱形的周长20 cm,则它的边长是__________cm.18.如图,菱形ABCD 的周长是20,对⾓线AC ,BD 相交于点O ,若BD=6,则菱形ABCD 的⾯积是( )A.6B.12C.24D.4819、菱形ABCD 中,AB=15,∠ADC=120°,则B 、D 两点之间的距离为().A .15B .3215C .7.5D .315 20、菱形的两邻⾓之⽐为1:2,如果它的较短对⾓线为3cm ,则它的周长为().A .8cmB .9cmC .12cmD .15cm21、菱形的周长为8cm ,⾼为1cm ,则该菱形两邻⾓度数⽐为().A .3:1B .4:1C .5:122.如图,已知AC ,BD 是菱形ABCD 的对⾓线,那么下列结论⼀定正确的是( )A.△ABD 与△ABC 的周长相等B.△ABD 与△ABC 的⾯积相等C.菱形的周长等于两条对⾓线之和的两倍D.菱形的⾯积等于两条对⾓线之积的两倍23.如图,在菱形ABCD 中,AC ,BD 是对⾓线,若∠BAC =50°,则∠ABC 等于( )A.40°B.50°C.80°D.100°24.已知⼀个菱形的周长是20 cm ,两条对⾓线的⽐是4∶3,则这个菱形的⾯积是( )A.12 cm 2B.24 cm 2C.48 cm 2D.96 cm2 25.如图,在菱形ABCD 中,AB=5,对⾓线AC=6,过点A 作AE ⊥BC ,垂⾜为E ,则AE 的长为( )A.4B.125C.245D.526.如图,菱形ABCD 中,AB=4,∠B=60°,AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,垂⾜分别为点E ,F ,连接EF ,则△AEF 的⾯积是__________.27.如图,将菱形纸⽚ABCD 折叠.使点A 恰好落在菱形的对称中⼼O 处,折痕为EF.若菱形ABCD 的边长为2 cm ,∠A =120°,则EF =__________cm.28.如图,四边形ABCD是菱形,对⾓线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.29.如图,已知四边形ABCD是菱形,点E,F分别是边CD,AD的中点.求证:AE=CF.30、如图,菱形ABCD中,E是AB中点,DE⊥AB,AB=4.求(1)∠ABC的度数;(2)AC的长;(3)菱形ABCD的⾯积.31.如图,四边形ABCD是菱形,对⾓线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.32、如图,在ABC ?中,BD 平分ABC ∠,BD 的中垂线交AB 于点E ,交BC 于点F ,求证:四边形BEDF 是菱形33、如图,在四边形ABCD 中,点E ,F 分别是AD ,BC 的中点,G ,H 分别是BD ,AC的中点,AB ,CD 满⾜什么条件时,四边形EGFH 是菱形?请证明你的结论.34.如图,点O 是菱形ABCD 对⾓线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD ,连接OE.求证:OE =BC.35.如图所⽰,等边三⾓形CEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等.(1)求证:∠AEF=∠AFE ;(2)求∠B 的度数.。
菱形的判定练习题一、选择题1. 菱形的定义是具有四条相等边的四边形,下列哪个选项不是菱形的特征?A. 对角线互相垂直平分B. 对边相等C. 四边相等D. 内角和为180度2. 在菱形ABCD中,若AB=CD=10,BC=AD=8,下列哪个选项是正确的?A. 对角线AC=8B. 对角线BD=10C. 对角线AC=6D. 对角线BD=83. 菱形的面积可以通过以下哪种方式计算?A. 边长×边长B. 边长×高C. 对角线乘积的一半D. 以上都是二、填空题4. 若菱形的对角线AC=16,BD=12,则菱形的面积为________。
5. 菱形ABCD中,若AB=6,∠A=60°,则菱形的对角线BD的长度为________。
三、判断题6. 菱形的对角线一定互相垂直。
()7. 菱形的对角线不一定相等。
()8. 菱形的内角一定都是90度。
()四、简答题9. 描述如何通过已知菱形的一条边长和其中一个内角来求得菱形的面积。
10. 假设菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且AC=10,BD=8,求菱形的边长。
五、计算题11. 在菱形ABCD中,已知AB=5,∠A=120°,求菱形的对角线AC和BD的长度。
12. 菱形PQRS中,PQ=6,对角线PR和QS相交于点O,且PR=8,求点O到各边的距离。
六、证明题13. 证明:菱形的对角线互相垂直。
14. 证明:菱形的对角线平分每组对角。
七、应用题15. 一个菱形的花坛,其边长为10米,求这个花坛的面积。
16. 一个菱形的风筝,其对角线长度分别为12米和16米,求风筝的面积。
八、拓展题17. 如果菱形的一边增加2米,而其他边保持不变,求新的菱形面积与原菱形面积的比值。
18. 菱形ABCD中,若AB=5,∠A=60°,求菱形的周长。
九、综合题19. 菱形EFGH中,EF=8,∠E=120°,求菱形的对角线长度,并计算菱形的面积。
菱形的判定练习题菱形的判定练习题菱形,作为一种几何形状,常常出现在我们的生活中。
无论是在建筑设计中的窗户,还是在珠宝设计中的吊坠,菱形都给人一种独特而美妙的感觉。
然而,要判断一个图形是否为菱形并不是一件简单的事情。
在这篇文章中,我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握菱形的判定方法。
练习题一:给定一个图形,边长分别为a、b、c和d,判断该图形是否为菱形。
解答提示:要判断一个图形是否为菱形,我们需要满足两个条件:首先,该图形必须是四边形;其次,该四边形的四条边必须相等。
因此,我们可以通过比较四条边的长度来判断该图形是否为菱形。
练习题二:给定一个图形,顶点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)和D(x4, y4),判断该图形是否为菱形。
解答提示:要判断一个图形是否为菱形,我们可以利用菱形的性质:菱形的对角线互相垂直且长度相等。
因此,我们可以计算出该四边形的对角线长度,然后比较它们的长度和垂直关系来判断该图形是否为菱形。
练习题三:给定一个图形,已知其内角的度数分别为α、β、γ和δ,判断该图形是否为菱形。
解答提示:要判断一个图形是否为菱形,我们可以利用菱形的性质:菱形的内角都是直角。
因此,我们可以计算出该四边形的内角度数,然后判断它们是否都等于90度来判断该图形是否为菱形。
练习题四:给定一个图形,已知其外角的度数分别为α、β、γ和δ,判断该图形是否为菱形。
解答提示:要判断一个图形是否为菱形,我们可以利用菱形的性质:菱形的外角都是锐角。
因此,我们可以计算出该四边形的外角度数,然后判断它们是否都小于90度来判断该图形是否为菱形。
练习题五:给定一个图形,已知其对边的夹角分别为α、β、γ和δ,判断该图形是否为菱形。
解答提示:要判断一个图形是否为菱形,我们可以利用菱形的性质:菱形的对边夹角相等。
因此,我们可以计算出该四边形的对边夹角,然后判断它们是否都相等来判断该图形是否为菱形。
菱形的判定专项练习30题(有答案)1.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BA=AD=DC=BC,点E为BC的中点.(1)求证:四边形ABED是菱形;(2)过A点作AF⊥BC于点F,若BD=4cm,求AF的长.2.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD.点M,N分别在BD、AC上,且AO=ON=NC,BM=MO=OD.求证:BC=2DN.3.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.(1)求证:四边形AEDF是菱形;(2)若AB=12cm,求菱形AEDF的周长.4.如图,在▱ABCD中,EF∥BD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E,F.已知BE=BP.求证:(1)∠E=∠F;(2)▱ABCD是菱形.5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC,AF与CE的延长线相交于点F,连接BF.(1)求证:AF=DC;(2)若∠BAC=90°,求证:四边形AFBD是菱形.6.已知平行四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,求证:四边形ABCD是菱形.7.如图,在一个含30°的三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF,再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC,点F在AC上,连接AE.(1)求证:四边形ADCE是菱形.(2)连接BF并延长交AE于G,连接CG.请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形?为什么?8.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是为E F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.9.如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,以AD,AE为边作▱ADFE交BC于点G,H,且EH=EC.求证:(1)∠B=∠C;(2)▱ADFE是菱形.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠BAC的平分线AE交CD于F,EG⊥AB于G.(1)求证:△AEG≌△AEC;(2)△CEF是否为等腰三角形,请证明你的结论;(3)四边形GECF是否为菱形,请证明你的结论.11.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别是△ABC三边的中点.求证:四边形ADEF是菱形.12.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点,求证:四边形MENF 为菱形.13.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.求证:四边形ABED是菱形.14.如图,在△ABC中,AB=AC,M、O、N分别是AB、BC、CA的中点.求证:四边形AMON是菱形.15.如图:在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F.求证:四边形AEFG是菱形.16.如图,矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF,AB交EC于点N,CD交AF于点M.求证:四边形ANCM是菱形.17.如图,四边形ABCD、DEBF都是矩形,AB=BF,AD、BE交于M,BC、DF交于N,那么四边形BMDN是菱形吗?如果是,请写出证明过程;如果不是,说明理由.18.已知如图所示,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,四边形AEDF是菱形吗?说明理由.19.已知:如图所示,BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交AB于E,交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.20.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.21.如图,在矩形ABCD中,EF垂直平分BD.(1)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.(2)已知BD=20,EF=15,求矩形ABCD的周长.22.如图所示,在▱ABCD中,点E在BC上,AE平分∠BAF,过点E作EF∥AB.求证:四边形ABEF为菱形.23.已知,如图,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=8cm,作∠CAE=∠ACE交BC于E,作∠ACF=∠CAF交AD于F.(1)求证:AECF是菱形;(2)求四边形AECF的面积.24.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.问四边形AFCE是菱形吗?请说明理由.25.如图:在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AB、CD的延长线上一点,且BE=DF,连接EF交AC于O.(1)AC与EF互相平分吗?为什么?(2)连接CE、AF,再添加一个什么条件,四边形AECF是菱形?为什么?26.已知:如图,△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧,AB=DC,AC=BD交于E,∠BEC的平分线交BC于O,延长EO到F,使EO=OF.求证:四边形BFCE是菱形.27.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)请连接BF,CE,试判断四边形BECF是何种特殊四边形,并说明理由;(3)在(2)下要使BECF是菱形,则△ABC应满足何条件?并说明理由.28.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.(1)求证:四边形ACEF是平行四边形;(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请回答并证明你的结论.29.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交AB于E,交AC于F.求证:四边形AEDF是菱形.30.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA 的外角平分线于点F.(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由.矩形的判定专项练习30题参考答案:1.1)证明:∵点E为BC的中点,∴BE=CE=BC,∵BA=AD=DC=BC,∴AB=BE=ED=AD,∴四边形ABED是菱形;(2)解:过点D作DH⊥BC,垂足为H,∵CD=DE=CE,∴∠DEC=60°,∴∠DBE=30°,在Rt△BDH中,BD=4cm,∴DH=2cm,∵AF=DH,∴AF=2cm.2.∵AO=ON,BM=MO,∴四边形AMND是平行四边形,∵AC⊥BD,∴平行四边形AMND是菱形,∴MN=DN,∵ON=NC,BM=MO,∴MN=BC,∴BC=2DN 3.(1)∵D,E分别是BC,AB的中点,∴DE∥AC且DE=AF=AC.同理DF∥AB且DF=AE=AB.又∵AB=AC,∴DE=DF=AF=AE,∴四边形AEDF是菱形.(2)∵E是AB中点,∴AE=AB=6cm,因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm.4.(1)∵BE=BP,∴∠E=∠BPE,∵BC∥AF,∴∠BPE=∠F,∴∠E=∠F.(2)∵EF∥BD,∴∠E=∠ABD,∠F=∠ADB,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴□ABCD是菱形.5.1)证明:∵E是AD的中点,∴∠1=∠2,在△AEF和△DEC 中,∴△AFE≌△DCE(AAS),∴AF=DC;(2)证明:∵D是BC的中点,∴DB=CD=BC,∵AF=CD,∴AF=DB,∵AF∥BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD=CB=DB,∴四边形AFBD是菱形.6.∵对角线BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠3=∠1,∴∠3=∠2,∴DC=BC,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.7.(1)∵三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF,∴△ABC≌△ABF,且∠BAC=∠BAF=30°,∴∠FAC=60°,∴AD=DC=AC,又∵△ABC≌△EFC,∴CA=CE,又∵∠ECF=60°,∴AC=EC=AE,∴AD=DC=CE=AE,(2)证明:由(1)可知:△ACD,△AFC是等边三角形,△ACB≌△AFB,∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°,且△ABC为直角三角形,∴BC=AC,∵EC=CB,∴EC=AC,∴E为AC中点,∴DE⊥AC,∴AE=EC,∵AG∥BC,∴∠EAG=∠ECB,∠AGE=∠EBC,∴△AEG≌△CEB,∴AG=BC,(7分)∴四边形ABCG是平行四边形,∵∠ABC=90°,∴四边形ABCG是矩形8.在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF(AAS)∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形9.(1)∵在▱ADFE中,AD∥EF,∴∠EHC=∠B(两直线平行,同位角相等).∵EH=EC(已知),∴∠EHC=∠C(等边对等角),∴∠B=∠C(等量代换);(2)∵DE∥BC(已知),∴∠AED=∠C,∠ADE=∠B.∵∠B=∠C,∴∠AED=∠ADE,∴AD=AE,∴▱ADFE是菱形.10.1)证明:∵∠ACB=90°,∴AC⊥EC.在Rt△AEG与Rt△AEC中,,∴Rt△AEG≌Rt△AEC(HL);(2)解:△CEF是等腰三角形.理由如下:∵CD是AB边上的高,∴CD⊥AB.又∵EG⊥AB,∴EG∥CD,∴∠CFE=∠GEA.又由(1)知,Rt△AEG≌Rt△AEC,∴∠GEA=∠CEA,∴∠CEA=∠CFE,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,即△CEF是等腰三角形;(3)解:四边形GECF是菱形.理由如下:∵由(1)知,Rt△AEG≌Rt△AEC,则GE=EC;由(2)知,CE=CF,∴GE=EC=FC.又∵EG∥CD,即GE∥FC,∴四边形GECFR是菱形.11.∵D、E、F分别是△ABC三边的中点,∴DE AC,EF AB,∴四边形ADEF为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF为菱形.12.∵M、E、分别为AD、BD、的中点,∴ME∥AB,ME=AB,同理:FH∥AB,FH=AB,∴四边形MENF是平行四边形,∵M.F是AD,AC中点,∴MF=DC,∵AB=CD,∴MF=ME,∴四边形MENF为菱形13.∵AE平分∠BAD,∵,∴△BAE≌△DAE(SAS)…(2分)∴BE=DE,…(3分)∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,…(4分)∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,…(5分)∴AB=BE=DE=AD,…(6分)∴四边形ABED是菱形.14.∵AB=AC,M、O、N分别是AB、BC、CA的中点,∴AM=AB=AC=AN,M0∥AC,NO∥AB,且MO=AC=AN,NO=AB=AM(三角形中位线定理),∴AM=MO=AN=NO,∴四边形AMON是菱形(四条边都相等的四边形是菱形)15.证法一:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠BAC=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,∵CE平分∠ACB,EF⊥BC,∠BAC=90°(EA⊥CA),∴AE=EF(角平分线上的点到角两边的距离相等),∵CE=CE,∴由勾股定理得:AC=CF,∵△ACG和△FCG中,∴△ACG≌△FCG,∴∠CAD=∠CFG,∵∠B=∠CAD,∴∠B=∠CFG,∴GF∥AB,∵AD⊥BC,EF⊥BC,∴AD∥EF,即AG∥EF,AE∥GF,∴平行四边形AEFG是菱形.证法二:∵AD⊥BC,∠CAB=90°,EF⊥BC,CE平分∠ACB,∴AD∥EF,∠4=∠5,AE=EF,∵∠1=180°﹣90°﹣∠4,∠2=180°﹣90°﹣∠5,∴∠1=∠2,∵AD∥EF,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AG=AE,∵AE=EF,∴AG=EF,∵AG∥EF,∴四边形AGFE是平行四边形,∵AE=EF,∴平行四边形AGFE是菱形.16.∵CD∥AB,∴∠FMC=∠FAN,∴∠NAE=∠MCF(等角的余角相等),在△CFM和△AEN中,,∴△CFM≌△AEN(ASA),∴CM=AN,∴四边形ANCM为平行四边形,在△ADM和△CFM中,,∴△ADM≌△CFM(AAS),∴AM=CF,∴四边形ANCM是菱形17.四边形BMDN是菱形.∵AM∥BC,∴∠AMB=∠MBN,∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF,∴∠AMB=∠BNF,又∵∠A=∠F=90°,AB=BF,∴△ABM≌△BFN,∴DM=DN,∵ED=BF=AB,∠E=∠A=90°,∠AMB=∠EMD,∴△ABM≌△EDM,∴BM=DM,∴MB=MD=DN=BN,∴四边形BMDN是菱形18.如图,由于DE∥AC,DF∥AB,所以四边形AEDF 为平行四边形.∵DE∥AC,∴∠3=∠2,又∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AE=DE,∴平行四边形AEDF为菱形.19.∵EF是BD的垂直平分线,∴EB=ED,∴∠EBD=∠EDB.∵BD是△ABC的角平分线,∴∠EBD=∠FBD.∴∠FBD=∠EDB,∴ED∥BF.同理,DF∥BE,∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB=ED,∴四边形BFDE是菱形.20.方法一:∵AE∥FC.∴∠EAC=∠FCA.(2分)又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF.(5分)∴EO=FO.又EF⊥AC,∴AC是EF的垂直平分线.(8分)∴AF=AE,CF=CE,又∵EA=EC,∴AF=AE=CE=CF.∴四边形AFCE为菱形.(10分)方法二:同方法一,证得△AOE≌△COF.(5分)∴AE=CF.∴四边形AFCE是平行四边形.(8分)又∵EF是AC的垂直平分线,方法三:同方法二,证得四边形AFCE是平行四边形.(8分)又EF⊥AC,(9分)∴四边形AFCE为菱形21.(1)四边形BEDF是菱形.在△DOF和△BOE中,∠FDO=∠EBO,OD=OB,∠DOF=∠BOE=90°,所以△DOF≌△BOE,所以OE=OF.又因为EF⊥BD,OD=OB,所以四边形BEDF为菱形.(5分)(2)如图,在菱形EBFD中,BD=20,EF=15,则DO=10,EO=7.5.由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5.S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD,即所以得AD=12.根据勾股定理可得AE=3.5,有AB=AE+EB=16.由2(AB+AD)=2(16+12)=56,故矩形ABCD的周长为5622.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥BE,又∵EF∥AB,∴四边形ABEF为平行四边形,∵AE平分∠BAF,∴∠BAE=∠FAE,∵∠FAE=∠BEA,∴∠BAE=∠BEA,∴BA=BE,∴平行四边形ABEF为菱形23.(1)证明:在矩形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又∠CAE=∠ACE,∠ACF=∠CAF,∴∠EAC=∠FCA.∴AE∥CF.∴四边形AECF为平行四边形,又∠CAE=∠ACE,∴AE=EC.∴▱AECF为菱形.(2)设BE=x,则EC=AE=8﹣x,在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,所以EC=5,即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20.24.四边形AFCE是菱形,理由是:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴=,∵AO=OC,∴OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边形,∵EF⊥AC,∴平行四边形AFCE是菱形25.(1)AC与EF互相平分,连接CE,AF,∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD,AB=CD,又∵BE=DF,∴AB+BE=CD+DF,∴AE=CF,∴AE∥CF,AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AC与EF互相平分;(2)条件:EF⊥AC,∵EF⊥AC,又∵四边形AECF是平行四边形,∴平行四边形AECF是菱形.26.∵AB=DC AC=BD BC=CB,∴△ABC≌△DCB,∴∠DBC=∠ACB,∴BE=CE,又∵∠BEC的平分线是EF,∴EO是中线(三线合一),∴BO=CO,∴四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分),又∵BE=CE,∴四边形BFCE是菱形.27.(1)证明:∵CF∥BE,∴∠EBD=∠FCD,D是BC边的中点,则BD=CD,∠BDE=∠CDF,∴△BDE≌△CDF.(2)如图所示,由(1)可得CF=BE,又CF∥BE,所以四边形BECF是平行四边形;(3)△ABC是等腰三角形,即AB=AC,理由:当AB=AC 时,则有AD⊥BC,又(2)中四边形为平行四边形,所以可判定其为菱形.28.(1)∵DE为BC的垂直平分线,∴∠EDB=90°,BD=DC,又∵∠ACB=90°,∴DE∥AC,∴E为AB的中点,∴在Rt△ABC中,CE=AE=BE,∴∠AEF=∠AFE,且∠BED=∠AEF,∠DEC=∠DFA,∴AF∥CE,又∵AF=CE,∴四边形ACEF为平行四边形;(2)要使得平行四边形ACEF为菱形,则AC=CE即可,∵DE∥AC,∴∠BED=∠BAC,∠DEC=∠ECA,又∵∠BED=∠DEC,∴∠EAC=∠ECA,∴AE=EC,又EB=EC,∴AE=EC=EB,∵CE=AB,∴AC=AB即可,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴当∠B=30°时,AB=2AC,故∠B=30°时,四边形ACEF为菱形.29.∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD,∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中,∴△AEO≌△AFO(ASA),∴EO=FO即EF、AD相互平分,∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD,∴平行四边形AEDF为菱形30.1)解:OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的角平分线,∴∠ACE=∠BCE,又∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵OF是∠BCA的外角平分线,∴∠OCF=∠FCD,又∵MN∥BC,∴∠OFC=∠ECD,∴∠OFC=∠COF,∴OF=OC,∴OE=OF;(2)解:当∠ACB=90°,点O在AC的中点时,∵OE=OF,∴四边形AECF是正方形;(3)答:不可能.解:如图所示,∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=90°,若四边形BCFE是菱形,则BF⊥EC,但在△GFC中,不可能存在两个角为90°,所以不存在其为菱形.。
菱形的判定专项练习30题(有答案)ok菱形的判定专项练习30题(有答案)1.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BA=AD=DC=BC,点E为BC的中点.(1)求证:四边形ABED是菱形;(2)过A点作AF⊥BC于点F,若BD=4cm,求AF的长.2.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD.点M,N分别在BD、AC上,且AO=ON=NC,BM=MO=OD.求证:BC=2DN.3.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.(1)求证:四边形AEDF是菱形;(2)若AB=12cm,求菱形AEDF的周长.4.如图,在▱ABCD中,EF∥BD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E,F.已知BE=BP.求证:(1)∠E=∠F;(2)▱ABCD是菱形.5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC,AF与CE的延长线相交于点F,连接BF.(1)求证:AF=DC;(2)若∠BAC=90°,求证:四边形AFBD是菱形.6.已知平行四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,求证:四边形ABCD是菱形.7.如图,在一个含30°的三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF,再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC,点F在AC上,连接AE.(1)求证:四边形ADCE是菱形.(2)连接BF并延长交AE于G,连接CG.请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形?为什么?8.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是为E F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.9.如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,以AD,AE为边作▱ADFE交BC于点G,H,且EH=EC.求证:(1)∠B=∠C;(2)▱ADFE是菱形.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠BAC的平分线AE交CD于F,EG⊥AB于G.(1)求证:△AEG≌△AEC;(2)△CEF是否为等腰三角形,请证明你的结论;(3)四边形GECF是否为菱形,请证明你的结论.11.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别是△ABC三边的中点.求证:四边形ADEF是菱形.12.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点,求证:四边形MENF 为菱形.13.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.求证:四边形ABED是菱形.14.如图,在△ABC中,AB=AC,M、O、N分别是AB、BC、CA的中点.求证:四边形AMON是菱形.15.如图:在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F.求证:四边形AEFG是菱形.16.如图,矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF,AB交EC于点N,CD交AF于点M.求证:四边形ANCM是菱形.17.如图,四边形ABCD、DEBF都是矩形,AB=BF,AD、BE交于M,BC、DF交于N,那么四边形BMDN是菱形吗?如果是,请写出证明过程;如果不是,说明理由.18.已知如图所示,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,四边形AEDF是菱形吗?说明理由.19.已知:如图所示,BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交AB于E,交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.20.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.21.如图,在矩形ABCD中,EF垂直平分BD.(1)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.(2)已知BD=20,EF=15,求矩形ABCD的周长.22.如图所示,在▱ABCD中,点E在BC上,AE平分∠BAF,过点E作EF∥AB.求证:四边形ABEF为菱形.23.已知,如图,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=8cm,作∠CAE=∠ACE交BC于E,作∠ACF=∠CAF交AD于F.(1)求证:AECF是菱形;(2)求四边形AECF的面积.24.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.问四边形AFCE是菱形吗?请说明理由.25.如图:在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AB、CD的延长线上一点,且BE=DF,连接EF交AC于O.(1)AC与EF互相平分吗?为什么?(2)连接CE、AF,再添加一个什么条件,四边形AECF是菱形?为什么?26.已知:如图,△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧,AB=DC,AC=BD交于E,∠BEC的平分线交BC于O,延长EO到F,使EO=OF.求证:四边形BFCE是菱形.27.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)请连接BF,CE,试判断四边形BECF是何种特殊四边形,并说明理由;(3)在(2)下要使BECF是菱形,则△ABC应满足何条件?并说明理由.28.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.(1)求证:四边形ACEF是平行四边形;(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请回答并证明你的结论.29.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交AB于E,交AC于F.求证:四边形AEDF是菱形.30.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA 的外角平分线于点F.(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由.参考答案:1.1)证明:∵点E为BC的中点,∴BE=CE=BC,∵BA=AD=DC=BC,∴AB=BE=ED=AD,∴四边形ABED是菱形;(2)解:过点D作DH⊥BC,垂足为H,∵CD=DE=CE,∴∠DEC=60°,∴∠DBE=30°,在Rt△BDH中,BD=4cm,∴DH=2cm,∵AF=DH,∴AF=2cm.2.∵AO=ON,BM=MO,∴四边形AMND是平行四边形,∵AC⊥BD,∴平行四边形AMND是菱形,∴MN=DN,∵ON=NC,BM=MO,∴MN=BC,∴BC=2DN 3.(1)∵D,E分别是BC,AB的中点,∴DE∥AC且DE=AF=AC.同理DF∥AB且DF=AE=AB.又∵AB=AC,∴DE=DF=AF=AE,∴四边形AEDF是菱形.(2)∵E是AB中点,∴AE=AB=6cm,因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm.4.(1)∵BE=BP,∴∠E=∠BPE,∵BC∥AF,∴∠BPE=∠F,∴∠E=∠F.(2)∵EF∥BD,∴∠E=∠ABD,∠F=∠ADB,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴□ABCD是菱形.5.1)证明:∵E是AD的中点,∴∠1=∠2,在△AEF和△DEC 中,∴△AFE≌△DCE(AAS),∴AF=DC;(2)证明:∵D是BC的中点,∴DB=CD=BC,∵AF=CD,∴AF=DB,∵AF∥BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD=CB=DB,∴四边形AFBD是菱形.6.∵对角线BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠3=∠1,∴∠3=∠2,∴DC=BC,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.7.(1)∵三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF,∴△ABC≌△ABF,且∠BAC=∠BAF=30°,∴∠FAC=60°,∴AD=DC=AC,又∵△ABC≌△EFC,∴CA=CE,又∵∠ECF=60°,∴AC=EC=AE,∴AD=DC=CE=AE,(2)证明:由(1)可知:△ACD,△AFC是等边三角形,△ACB≌△AFB,∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°,且△ABC为直角三角形,∴BC=AC,∵EC=CB,∴EC=AC,∴E为AC中点,∴DE⊥AC,∴AE=EC,∵AG∥BC,∴∠EAG=∠ECB,∠AGE=∠EBC,∴△AEG≌△CEB,∴AG=BC,(7分)∴四边形ABCG是平行四边形,∵∠ABC=90°,∴四边形ABCG是矩形8.在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF(AAS)∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形9.(1)∵在▱ADFE中,AD∥EF,∴∠EHC=∠B(两直线平行,同位角相等).∵EH=EC(已知),∴∠EHC=∠C(等边对等角),∴∠B=∠C(等量代换);(2)∵DE∥BC(已知),∴∠AED=∠C,∠ADE=∠B.∵∠B=∠C,∴∠AED=∠ADE,∴AD=AE,∴▱ADFE是菱形.10.1)证明:∵∠ACB=90°,∴AC⊥EC.在Rt△AEG与Rt△AEC中,,∴Rt△AEG≌Rt△AEC(HL);(2)解:△CEF是等腰三角形.理由如下:∵CD是AB边上的高,∴CD⊥AB.又∵EG⊥AB,∴EG∥CD,∴∠CFE=∠GEA.又由(1)知,Rt△AEG≌Rt△AEC,∴∠GEA=∠CEA,∴∠CEA=∠CFE,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,即△CEF是等腰三角形;(3)解:四边形GECF是菱形.理由如下:∵由(1)知,Rt△AEG≌Rt△AEC,则GE=EC;由(2)知,CE=CF,∴GE=EC=FC.又∵EG∥CD,即GE∥FC,∴四边形GECFR是菱形.11.∵D、E、F分别是△ABC三边的中点,∴DE AC,EF AB,∴四边形ADEF为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF为菱形.12.∵M、E、分别为AD、BD、的中点,∴ME∥AB,ME=AB,同理:FH∥AB,FH=AB,∴四边形MENF是平行四边形,∵M.F是AD,AC中点,∴MF=DC,∵AB=CD,∴MF=ME,∴四边形MENF为菱形13.∵AE平分∠BAD,∵,∴△BAE≌△DAE(SAS)…(2分)∴BE=DE,…(3分)∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,…(4分)∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,…(5分)∴AB=BE=DE=AD,…(6分)∴四边形ABED是菱形.14.∵AB=AC,M、O、N分别是AB、BC、CA的中点,∴AM=AB=AC=AN,M0∥AC,NO∥AB,且MO=AC=AN,NO=AB=AM(三角形中位线定理),∴AM=MO=AN=NO,∴四边形AMON是菱形(四条边都相等的四边形是菱形)15.证法一:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠BAC=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,∵CE平分∠ACB,EF⊥BC,∠BAC=90°(EA⊥CA),∴AE=EF(角平分线上的点到角两边的距离相等),∵CE=CE,∴由勾股定理得:AC=CF,∵△ACG和△FCG中,∴△ACG≌△FCG,∴∠CAD=∠CFG,∵∠B=∠CAD,∴∠B=∠CFG,∴GF∥AB,∵AD⊥BC,EF⊥BC,∴AD∥EF,即AG∥EF,AE∥GF,∴平行四边形AEFG是菱形.证法二:∵AD⊥BC,∠CAB=90°,EF⊥BC,CE平分∠ACB,∴AD∥EF,∠4=∠5,AE=EF,∵∠1=180°﹣90°﹣∠4,∠2=180°﹣90°﹣∠5,∴∠1=∠2,∵AD∥EF,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AG=AE,∵AE=EF,∴AG=EF,∵AG∥EF,∴四边形AGFE是平行四边形,∵AE=EF,∴平行四边形AGFE是菱形.16.∵CD∥AB,∴∠FMC=∠FAN,∴∠NAE=∠MCF(等角的余角相等),在△CFM和△AEN中,,∴△CFM≌△AEN(ASA),∴CM=AN,∴四边形ANCM为平行四边形,在△ADM和△CFM中,,∴△ADM≌△CFM(AAS),∴AM=CF,∴四边形ANCM是菱形17.四边形BMDN是菱形.∵AM∥BC,∴∠AMB=∠MBN,∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF,∴∠AMB=∠BNF,又∵∠A=∠F=90°,AB=BF,∴△ABM≌△BFN,∴DM=DN,∵ED=BF=AB,∠E=∠A=90°,∠AMB=∠EMD,∴△ABM≌△EDM,∴BM=DM,∴MB=MD=DN=BN,∴四边形BMDN是菱形18.如图,由于DE∥AC,DF∥AB,所以四边形AEDF 为平行四边形.∵DE∥AC,∴∠3=∠2,又∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AE=DE,∴平行四边形AEDF为菱形.19.∵EF是BD的垂直平分线,∴EB=ED,∴∠EBD=∠EDB.∵BD是△ABC的角平分线,∴∠EBD=∠FBD.∴∠FBD=∠EDB,∴ED∥BF.同理,DF∥BE,∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB=ED,∴四边形BFDE是菱形.20.方法一:∵AE∥FC.∴∠EAC=∠FCA.(2分)又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF.(5分)∴EO=FO.又EF⊥AC,∴AC是EF的垂直平分线.(8分)∴AF=AE,CF=CE,又∵EA=EC,∴AF=AE=CE=CF.∴四边形AFCE为菱形.(10分)方法二:同方法一,证得△AOE≌△COF.(5分)∴AE=CF.∴四边形AFCE是平行四边形.(8分)又∵EF是AC的垂直平分线,方法三:同方法二,证得四边形AFCE是平行四边形.(8分)又EF⊥AC,(9分)∴四边形AFCE为菱形21.(1)四边形BEDF是菱形.在△DOF和△BOE中,∠FDO=∠EBO,OD=OB,∠DOF=∠BOE=90°,所以△DOF≌△BOE,所以OE=OF.又因为EF⊥BD,OD=OB,所以四边形BEDF为菱形.(5分)(2)如图,在菱形EBFD中,BD=20,EF=15,则DO=10,EO=7.5.由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5.S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD,即所以得AD=12.根据勾股定理可得AE=3.5,有AB=AE+EB=16.由2(AB+AD)=2(16+12)=56,故矩形ABCD的周长为5622.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥BE,又∵EF∥AB,∴四边形ABEF为平行四边形,∵AE平分∠BAF,∴∠BAE=∠FAE,∵∠FAE=∠BEA,∴∠BAE=∠BEA,∴BA=BE,∴平行四边形ABEF为菱形23.(1)证明:在矩形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又∠CAE=∠ACE,∠ACF=∠CAF,∴∠EAC=∠FCA.∴AE∥CF.∴四边形AECF为平行四边形,又∠CAE=∠ACE,∴AE=EC.∴▱AECF为菱形.(2)设BE=x,则EC=AE=8﹣x,在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,所以EC=5,即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20.24.四边形AFCE是菱形,理由是:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴=,∵AO=OC,∴OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边形,∵EF⊥AC,∴平行四边形AFCE是菱形25.(1)AC与EF互相平分,连接CE,AF,∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD,AB=CD,又∵BE=DF,∴AB+BE=CD+DF,∴AE=CF,∴AE∥CF,AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AC与EF互相平分;(2)条件:EF⊥AC,∵EF⊥AC,又∵四边形AECF是平行四边形,∴平行四边形AECF是菱形.26.∵AB=DC AC=BD BC=CB,∴△ABC≌△DCB,∴∠DBC=∠ACB,∴BE=CE,又∵∠BEC的平分线是EF,∴EO是中线(三线合一),∴BO=CO,∴四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分),又∵BE=CE,∴四边形BFCE是菱形.27.(1)证明:∵CF∥BE,∴∠EBD=∠FCD,D是BC边的中点,则BD=CD,∠BDE=∠CDF,∴△BDE≌△CDF.(2)如图所示,由(1)可得CF=BE,又CF∥BE,所以四边形BECF是平行四边形;(3)△ABC是等腰三角形,即AB=AC,理由:当AB=AC 时,则有AD⊥BC,又(2)中四边形为平行四边形,所以可判定其为菱形.28.(1)∵DE为BC的垂直平分线,∴∠EDB=90°,BD=DC,又∵∠ACB=90°,∴DE∥AC,∴E为AB的中点,∴在Rt△ABC中,CE=AE=BE,∴∠AEF=∠AFE,且∠BED=∠AEF,∠DEC=∠DFA,∴AF∥CE,又∵AF=CE,∴四边形ACEF为平行四边形;(2)要使得平行四边形ACEF为菱形,则AC=CE即可,∵DE∥AC,∴∠BED=∠BAC,∠DEC=∠ECA,又∵∠BED=∠DEC,∴∠EAC=∠ECA,∴AE=EC,又EB=EC,∴AE=EC=EB,∵CE=AB,∴AC=AB即可,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴当∠B=30°时,AB=2AC,故∠B=30°时,四边形ACEF为菱形.29.∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD,∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中,∴△AEO≌△AFO(ASA),∴EO=FO即EF、AD相互平分,∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD,∴平行四边形AEDF为菱形30.1)解:OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的角平分线,∴∠ACE=∠BCE,又∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵OF是∠BCA的外角平分线,∴∠OCF=∠FCD,又∵MN∥BC,∴∠OFC=∠ECD,∴∠OFC=∠COF,∴OF=OC,∴OE=OF;(2)解:当∠ACB=90°,点O在AC的中点时,∵OE=OF,∴四边形AECF是正方形;(3)答:不可能.解:如图所示,∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=90°,若四边形BCFE是菱形,则BF⊥EC,但在△GFC中,不可能存在两个角为90°,所以不存在其为菱形.。
菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是()A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.邻边相等D.对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍,则该平行四边形一定为()A.矩形.B.菱形.C.矩形和菱形.D.正方形.3. 满足下列()的是菱形.A.两对角线相等B.两对角线垂直C.两条对角线垂直且互相平分D.两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形,则原来的四边形必是()A.等腰梯形B.矩形C.对角线相等D.菱形5. 将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是()A.矩形B.三角形C.正方形D.菱形6. 已知四边形的两条对角线相等,那么顺次连结四边形各边中点,得到的四边形是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起,则重叠部分的图形一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定8. 已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不一定正确的是()A.AB CD=B.AC BD=C .AC BD ⊥时,它是菱形 D .当90ABC ∠=o 时,它是矩形 二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是.10. 在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,从(1)AB CD =;(2)AB CD ∥;(3)OA OC =;(4)OB OD =;(5)AC BD ⊥;(6)AC 平分BAD ∠这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD 是菱形.如(1)(2)(5)⇒ABCD是菱形,再写出符合要求的两个: ⇒ABCD 是菱形;⇒ABCD 是菱形.11. 延长等腰ABC △顶角平分线AD 到E 使DE AD =,连结BE CE ,,则四边形ABEC 是_________形.12. 对角线__________的四边形是菱形.13. 将矩形ABCD 绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后,使A 与B 重合,得矩形BFDE ,BF 交AD 于M ,DE 交BC 于N ,则四边形BMDN 是______(填特殊四边形的名称). 三、证明题14. 已知,如图,从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线,垂线分别是E ,F ,G ,H .求证:四边形EFGH 是矩形.15. 已知四边形ABCD 的四边分别为a ,b ,c ,d ,且满足44444a b c d abcd +++=,求证:四边形ABCD 是菱形.A D MBCENFA16. 已知ABCD Y 是对角线AC BD 、相交于O,如图,且6AD AC ==,4BD =,你能说明四边形ABCD 是菱形吗?17. 如图所示,ABC Rt △中,90ACB ∠=o ,ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ,CH AB ⊥交BD 于F ,DE AB ⊥于E ,四边形CDEF 是菱形吗?18. 如图,在五边形ABCDE 中,AB BC CD DE EA ====,2ABC DBE ∠=∠.请说明:四边形ACDE 是菱形.19. 如图,在ABC △中,AD 是BAC ∠的平分线,EF 垂直平分AD 交AB 于E ,交AC 于F ,求证:四边形AEDF 是菱形.AODBADCBHEFA20. 如图,矩形ABCD 中,O 是两对角线的交点,AF 垂直平分线段OB ,垂足为E ,CH 垂直平分线段OD ,垂足为G . 求证:(1)AOB △是等边三角形; (2)四边形AFCH 是菱形.21. 如图,矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB ,CD 的延长线分别交于E ,F . (1)求证:BOE DOF △≌△;(2)当EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 为菱形?并证明你的结论.22. 如图所示,AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,B ∠的平分线交AD 于M ,交AC 于E ,DAE ∠的平分线交CD 于N .求证:四边形AMNE 为菱形.BCDB23. 如图所示,在四边形ABCD 中,对边AB CD =,M ,N ,P ,Q 分别是AD ,BC ,AC ,BD 的中点,求证:MN PQ ⊥.24. 如图,四边形ABCD 中,点E 在AB 上,且△ADE 与△BCE 都是正三角形,点P ,Q ,M ,N 分别为边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.求证:四边形PQMN 为菱形.25. 如图,四边形ABCD 中,90ABC ADC ∠=∠=o ,M 为AC 中点,且MN BD ⊥与MD 的平行线BN 交于N ,求证:四边形BNDM 为菱形.AP EBQCMDNB26. 如图Rt △ABC 中,90BAC ∠=o ,AD BC ⊥于D ,CE 平分ACB ∠交AD 于G ,交AB 于E ,EF BC ⊥于F ,求证:四边形AEFG 为菱形. 27.ABCDY 的对角线的垂直平分线与边AD BC ,分别交于E F ,,求证:四边形AFCE 是菱形.28. 已知:如图,过ABCD Y 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG FH ,与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E F G H ,,,. 求证:四边形EFGH 是菱形.BDGY中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边A D,29. 如图,在ABCDBC分别交于E,F.求证:四边形AFCE是菱形.四、应用题30. 如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,请添加一个条件,使四边形EFGH为菱形,并说明理由.参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、填空题 9. 菱形10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形 三、证明题14. 先证四边形HEFG 为平行四边形,再证HF EG =.15. 解:因为44444a b c d abcd +++=,所以4444222280a b c d abcd +++-=,所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0a a b b b a c c c c d d d a d a a b abcd c d a d abcd b c -++-++-++-++-++-+=所以22222222222222()()()()2()2()0a b b c c d d a ab cd ad bc -+-+-+-+-+-=由非负数性质得,220a b -=,220b c -=,220c d -=,220d a -=,0ab cd -=,0ad bc -=.所以a b c d ===. 所以四边形ABCD 是菱形.16. 解:Q 四边形ABCD 是平行四边形,64AC BD ==,.32OA OC OB OD ∴====,.又AD =Q .222.90AD OA OD AOD AC BD∴=+∴∠=o即,:⊥∴ABCD Y 是菱形.17. 解:四边形CDEF 是菱形.理由如下: DE AB CH AB Q ⊥,⊥,DE CH ∴∥. 即:DE CF ∥. 又BD Q 是角平分线,DE DC ∴=, 且.BDE BDC ∠=∠....DE CH BDE CFD CDF DFC CD CF CF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=Q ∥,∴四边形CDEF 是平行四边形,又因DC DE =. ∴四边形CDEF 是菱形.18. 提示:只需证四边形EACD 为平行四边形,只需证明AE CD ∥,过B 作BM AE ∥经证BM CD ∥即可.19. EF ∵垂直平分AD ,AE DE =∴,AF DF =,AD ∵平分BAC ∠,AED AFD ∴△≌△,AE AF =∴,AE DE AF DF ===∴,故四边形AEDF 是菱形. 20. (1)可证12OA AC =,12OB BD =,OA OB =∴. AF ∵垂直平分OB ,OA AB OB ==∴,故AOB △为等边三角形. (2)在等边AOB △中,AF OB ⊥,30OAE BAE ∠=∠=o ∴, 可证明FCA DAC ∠=∠,FCA EAO ∠=∠,AF CF =∴,可证明四边形AFCH 是平行四边形,而AF CF =,故四边形AFCH 是菱形. 21. (1)∵在矩形ABCD 中,AB CD ∥,E F ∠=∠∴,EBO FDO ∠=∠,又BO OD =,BOE DOF ∴△≌△.(2)当EF 与AC 垂直时,四边形AECF 为菱形. 证明:BOE DOF ∵△≌△,EO FO =∴. 又AO OC =,∴四边形AECF 为平行四边形. 又EF AC ⊥,∴四边形AECF 为菱形.22. 证明:设AN 与ME 交于点O ,因为AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高, 所以ABD CAD ∠=∠.又BE ,AN 分别平分ABD ∠和CAD ∠, 所以EAN ABE ∠=∠.所以在Rt △ABE 中,90AOB ∠=o ,△AME 是等腰三角形,AN 平分ME , 又因为ABO NBO =∠∠,OB OB =,所以Rt △AOB ≌Rt △NOB ,AO ON =,即ME 垂直平分AN ,四边形AMNE 是菱形.23. 证明四边形MQNP 是菱形即可.24. 连结AC ,BD ,Q △ADE 与△BCE 都是正三角形,AE DE ∴=,CE BE =,60AED BEC ∠=∠=o ,60AEC DEC DEB ∴∠=+∠=∠o 证△AEC ≌△DEB(SAS )AC DB ∴=,又P ,Q ,M ,N 分别为各边中点,得12PQ MN AC ==,12QM PN BD ==PQ QM MN NP ∴===.∴四边形PQMN 为菱形. 25. 设MN 与BD 交于O ,易证MB MD =,再证△DOM ≌△BON ,从而BN DM =,又由BN DM ∥,可证得四边形BNDM 为菱形.26. 易证AE FE =,而且AD EF ∥,AEG AGE ∠=∠AG EA EF ∴==又AG EF ∥AEFG ∴为菱形.27. 证明:EF Q 垂直平分AC ,AF FC ∴=,AE EC =,FAC FCA ∴∠=∠,EAC ECA ∠=∠.AD BC Q ∥,EAC FCA ∴∠=∠,ECA FCA ∴∠=∠.EF AC Q ⊥,CEF CFE ∴∠=∠,FC EC ∴=,AF FC CE AE ∴===,∴四边形AFCE 是菱形.28.略29. 先证明四边形AFCE为平行四边形,再由AC⊥EF即可得证.四、应用题30. 添加的条件是:AC BD.理由略.11/ 11。