【浙教版初中数学】《二次函数的性质》综合练习

《1.3二次函数的性质》同步练习一、基础过关1.如果抛物线y =－x 2+2(m －1)x +m +1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，则m 的取值范围应是A.m >1B.m >－1C.m <－1D.m <12.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y (万元)与新增加的投资额x (万元)之间函数关系为A.y =25x +15B.y =2.5x +1.5C.y =2.5x +15D.y =25x +1.53.某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m 4.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是①当c =0时，函数的图象经过原点 ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称 ③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根A.0个B.1个C.2个D.3个5.某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为A.130元B.120元C.110元D.100元6.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根7.如图2所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为A.424 mB.6 mC.15 mD.25 m 8.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是A.(－1，0)B.(1，0)C.(－1，3)D.(1，3)二、综合训练9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系).(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.10.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？三、拓展应用11.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？参考答案一、基础过关1.B2.C3.B4.B5.C6.C7.D8.D二、综合训练9 解：(1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元.②前4月份亏盈吃平.③前5月份盈利2.5万元.④1~2月份呈亏损增加趋势.⑤2月份以后开始回升.(盈利)⑥4月份以后纯获利.……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为 y =21(x －2)2－2, 当x =6时，y =6(万元)(问题不唯一)10.解：(1)y =－2x 2+180x －2800.(2) y =－2x 2+180x －2800=－2(x 2－90x )－2800=－2(x －45)2+1250.当x =45时，y 最大=1250.∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.三、拓展应用11解：(1)依题意得鸡场面积y =－.350312x x +- ∵y =－31x 2+350x =31-(x 2－50x ) =－31(x －25)2+3625, ∴当x =25时，y 最大=3625, 即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为3625m 2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为nx -50m. ∴y =n x -50·x =－n 1x 2+n50x =－n 1(x 2－50x ) =－n 1(x －25)2+n625, 当x =25时，y 最大=n625, 即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为n 625 m 2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.（2）证明：∵点P 在抛物线y =14x 2上， ∴可设点P 的坐标为（x ，14x 2）， 过点P 作P B ⊥y 轴于点B ，则BF =14x 2﹣1，PB =x ， ∴Rt △BPF 中，PF 2114x =+， ∵PM ⊥直线y =﹣1，∴PM =14x 2+1， ∴PF =PM ，∴∠PFM =∠PMF ，又∵PM ∥x 轴，∴∠MFH =∠PMF ，∴∠PFM =∠MFH ，∴FM 平分∠OFP ；（3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°，∴∠FMH =30°，在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4，∵PF =PM =FM ，∴14x 2+1=4，解得：x =±∴14x2=14×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（3）或（﹣3）．。

专题1.3 二次函数的性质【六大题型】【浙教版】【题型1 利用二次函数的性质判断结论】............................................................................................................ 1 【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】........................................................................................................ 2 【题型3 二次函数的对称性的应用】 ................................................................................................................... 3 【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】 .................................................................................................... 3 【题型5 利用二次函数的性质求最值】 ............................................................................................................... 4 【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】.. (4)【知识点1 二次函数2y ax bx c =++的性质】①当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．②当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．【题型1 利用二次函数的性质判断结论】【例1】已知函数y ＝2mx 2+（1﹣4m ）x +2m ﹣1，下列结论错误的是（ ） A ．当m ＝0时，y 随x 的增大而增大B ．当m =12时，函数图象的顶点坐标是（12，−14）C ．当m ＝﹣1时，若x ＜54，则y 随x 的增大而减小 D ．无论m 取何值，函数图象都经过同一个点【变式1-1】关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（）A．开口向上B．当a＝2时，经过坐标原点OC．不论a为何值，都过定点（1，﹣2）D．a＞0时，对称轴在y轴的左侧【变式1-2】对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；①对称轴为直线x＝1：①顶点坐标为（﹣1，3）；①x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-3】对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列结论：①它的图象与x轴有两个交点；①如果当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，则m＝﹣1；①如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝1；①如果当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，则m＝5．其中一定正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】【例2】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【变式2-1】抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞cC．a＞b＞c D．无法比较大小【变式2-2】已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3＞y1＞y2．结合图象，则m的取值范围是．【知识点2 二次函数的对称性】①如果抛物线上x=m与x=n对应的函数值相等，那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=m+n2.②如果抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=x1+x22.【题型3 二次函数的对称性的应用】【例3】在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣1134…y…﹣6m n﹣6…则m、n的大小关系为（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定【变式3-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32【变式3-2】已知二次函数y＝2x2﹣9x﹣34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值应当与（）A．x＝1时的函数值相等B．x＝0时的函数值相等C．x=14的函数值相等D．x=94的函数值相等【变式3-3】已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（）A．﹣2≤a≤−32B．﹣2≤a≤﹣1C．﹣3≤a≤−32D．0≤a≤2【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】【例4】设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【变式4-1】若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．【变式4-2】已知抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+9，当m ≤x ≤5时，0≤y ≤9，则m 的值可以是（ ） A ．﹣2B ．1C ．3D ．4【变式4-3】若抛物线y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）经过四个象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣3B ．﹣1＜m ＜2C ．﹣3＜m ＜0D ．﹣2＜m ＜1【题型5 利用二次函数的性质求最值】【例5】若实数m 、n 满足m+n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______． 【变式5-1】已知抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +t 经过A （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P （m ，n ）在该抛物线上，求m +n 的最大值．【变式5-2】抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≤2或m ≥3B ．m ≤3或m ≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜4【变式5-3】已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1经过第一象限内的点A （m ，y 1）和B （2m +1，y 2），1＜y 1＜y 2，则满足条件的m 的最小整数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】【例6】若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3，那么m 的值是（ ） A ．﹣4或72B ．﹣2√3或72C ．﹣4 或2√3D ．﹣2√3或2 √3【变式6-1】已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【变式6-2】已知二次函数y ＝mx 2﹣4m 2x ﹣3（m 为常数，m ≠0），点P （x p ，y p ）是该函数图象上一点，当0≤x p ≤4时，y p ≤﹣3，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1或m ＜0B ．m ≥1C ．m ≤﹣1或m ＞0D ．m ≤﹣1【变式6-3】若二次函数y ＝x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6，那么m 的值是 ．。

13二次函数的性质-培优练习浙教版九年级数学上册（含答案）1.3二次函数的性质一、选择题1．对于二次函数y＝－(某－1)2＋2的图象与性质，以下说法正确的选项是()A．对称轴是直线某＝1，最小值是2B．对称轴是直线某＝1，最大值是2C．对称轴是直线某＝－1，最小值是2D．对称轴是直线某＝－1，最大值是22．如图，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，那么函数值y随自变量某的增大而减小的某的取值范围是()A．某≥3B．某≤3C．某≥1D．某≤13．抛物线y＝a某2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，那么以下关系式一定正确的选项是()A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞04．如图，二次函数y＝－某2＋2某，当－1＜某＜a时，y随某的增大而增大，那么实数a的取值范围是()A．a＞1B．－1＜a≤1C．a＞0D．－1＜a＜25．二次函数y＝a某2＋b某＋c的图象如图K－5－3所示，那么()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞06、两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，假设，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．7、二次函数y=a某2+b某+c〔a≠0〕的图象如下图，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．ac＞0 B．当某＞1时，y随某的增大而减小C．b﹣2a=0 D．某=3是关于某的方程a某2+b某+c=0〔a≠0〕的一个根二．填空题8．函数y＝－(某－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，那么y1与y2的大小关系是y1____y2(选填“＜”“＞”或“＝”)．9．a，b，c是实数，点A(a＋1，b)，B(a＋2，c)在二次函数y＝某2－2a某＋3的图象上，那么b，c的大小关系是b____c(填“＞”或“＜”)．10．定义：给定关于某的函数y，对于该函数图象上任意两点(某1，y1)，(某2，y2)，当某1＜某2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有____(填上所有正确答案的序号)．①y＝2某；②y＝－某＋1；③y＝某2(某＞0)；④y＝－.11．当某1＝a，某2＝b，某3＝c时，二次函数y＝某2＋m某对应的函数值分别为y1，y2，y3.假设正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a<b<c时，都有y1<y2<y3.那么实数m的取值范围是____．三．解答题12.函数y=某2+b某-1的图象经过点(3, 2)．(1)求这个函数的解析式；(2)当某>0时，求使y≥2的某的取值范围．13.如图，抛物线y=-18某2+b某+c与一次函数y=-12某+6的图象交于A(8, m)和y轴上的同一点B，P是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)求出抛物线顶点P的坐标及S△APB．14.如图，二次函数y=a某2+b某+c的图象过点A(-1, 0)和点C(0, 3)，对称轴为直线某=1．(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标；(2)结合图象，解答以下问题：①当-1<某<2时，求函数y的取值范围．②当y<3时，求某的取值范围．15.抛物线的顶点是C(0，a)〔a>0，a为常数〕，并经过点(2a，2a)，点D(0，2a)为一定点．(1)求含有常数a的抛物线的解析式；(2)设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥某轴，垂足是H，求证：PD＝PH；(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点．假设DA＝2DB，且S△ABD＝4，求a的值．1．[解析]B 二次函数y＝－(某－1)2＋2的图象的对称轴是直线某＝1.∵－1<0，∴抛物线的开口向下，有最大值，最大值是 2.2．[解析]C 因为图象开口向下，顶点的横坐标为1，所以当某≥1时，y随某的增大而减小．应选C.3．[解析]C ∵a>0，∴抛物线y＝a某2的开口向上，对称轴为y轴，点A(－2，y1)在对称轴的左侧，点B(1，y2)在对称轴的右侧，点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1>y2>0.应选C.4．[答案]B5．[答案]B6.B7.D8【解析】∵二次项系数为－1，小于0，∴在对称轴某＝1的左侧，y随某的增大而增大；在对称轴某＝1的右侧，y随某的增大而减小，∵a＞2＞1，∴y1＞y2.9.＜【解析】由题意知函数图象的对称轴为－＝a，又∵图象开口向上，∴对称轴右侧的函数值随自变量增大而增大，又∵a＋2＞a＋1，∴c＞b.10.①③【解析】y＝－在每个象限是增函数，但当某1＜0＜某2时，y1＞y2，∴④不是增函数．综上所述，①③是增函数．11.m>－12.解：(1)∵函数y=某2+b某-1的图象经过点(3, 2)，∴9+3b-1=2，解得：b=-2，那么函数解析式为y=某2-2某-1；(2)当某=3时，y=2，根据二次函数性质当某≥3时，y≥2，那么当某>0时，使y≥2的某的取值范围是某≥3．13.解：(1)由直线y=-12某+6过点A(8, m)和y轴上的点B，知当某=8时，m=-12某8+6=2，当某=0时，y=6，故点A坐标为(8, 2)，点B坐标为(0, 6)，根据题意，将A坐标(8, 2)，点B坐标(0, 6)代入y=-18某2+b某+c得：-8+8b+c=2c=6，解得：b=12c=6，故抛物线的解析式为：y=-18某2+12某+6；(2)将抛物线y=-18某2+12某+6配方得：y=-18(某-2)2+132，那么顶点P的坐标为(2, 132)，过点P作PN⊥y轴，过点A作AM⊥y轴于点M，那么S△ABP=S梯形APNM-S△A BM-S△PBN=12某(2+8)某(132-2)-12某8某4-12某2某(132-6)=6．14.解：(1)根据题意得a-b+c=0c=3-b2a=1，解得a=-1b=2c=3，所以二次函数关系式为y=-某2+2某+3，因为y=-(某-1)2+4，所以抛物线的顶点坐标为(1, 4)；(2)①当某=-1时，y=0；某=2时，y=3；而抛物线的顶点坐标为(1, 4)，且开口向下，所以当-1<某<2时，0<y≤4；②当y=3时，-某2+2某+3=3，解得某=0或2，所以当y<3时，某<0或某>2．15.(1)(2)略(3)a＝2。

2019年浙教版数学中考复习二次函数的图象与性质综合测试一．选择题1．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y ＝(x－1)2－4，则b，c的值为( )A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝22．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(易错题)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋25．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是26．(2018·湖南益阳中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A．ac＜0 B．b＜0C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＜07．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．abc<0，b 2－4ac>0B ．abc>0，b 2－4ac>0C ．abc<0，b 2－4ac<0D ．abc>0，b 2－4ac<08．已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A.34或1B.14或1 C.34或12D.14或349．(2018·山东德州中考)如图，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a(a 是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )10．如图，反比例函数y ＝k x 的图象经过二次函数y ＝ax 2＋bx 图象的顶点(－12，m)(m>0)，则有( )A ．a ＝b ＋2kB ．a ＝b －2kC ．k<b<0D ．a<k<0 二．填空题11．抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的顶点坐标是______________．12．如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________________________．13. 已知函数y ＝－(x －1)2图象上两点A(2，y 1)，B(a ，y 2)，其中a>2，则y 1与y 2的大小关系是y 1______y 2(填“<”“>”或“＝”)．14．(2019·改编题)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为________________________．15．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系y ＝－29x 2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为______m.16．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为B(－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b 2－4ac ＝0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a －b ＝0；④c －a ＝3，其中正确的有________．(填序号)17．(2018·四川南充中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点P(m ，n)．给出下列结论： ①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ； ④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确结论是________(填写序号)．18. (2017泸州)若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，则1x1＋1x2的值为________．19. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m 的解集为____________．20. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为____________．三．解答题21．(2018·浙江杭州中考)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.22. (2017宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．23. 正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线L的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．24. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．25.已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c(a>0)的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CP ∶PD ＝2∶3. (1)求A 、B 两点的坐标；(2)若tan ∠PDB ＝54，求这个二次函数的关系式．参考答案 1-5 BDBDB 6-10 BBABD 11. (1，4)12. y ＝－19(x ＋6)2＋413. >14. y ＝x 2＋8x ＋14 15. 5 16. ③④ 17. ②④ 18. －4 19. x<1或x>3 20. x 1＝－1，x 2＝321. 解：(1)由题意知Δ＝b 2－4a[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2≥0， ∴该二次函数图象与x 轴的交点的个数有2个或1个． (2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0 ∴该二次函数图象不经过点C. 把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. ∴该二次函数的表达式为y ＝3x 2－2x －1. (3)证明：当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0，① ∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0.② ① ＋②得2a ＞0，∴a ＞0.22. 解：(1)把B(3，0)代入抛物线解析式，得0＝－32＋3m ＋3， 解得m ＝2， ∴y ＝－x 2＋2x ＋3，∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点坐标为(1，4)．(2)如解图，连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，连接AP ，此时PA ＋PC 的值最小． 由抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3得点C 的坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b(k≠0)，把点B(3，0)，C(0，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b 3＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3. 当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2.∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．23. 解：如解图，以OA 所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以OC 所在直线为纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系．①O(0，0)，P(2，2)，A(4，0)；②设抛物线L 的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将点O ，P ，A 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝04a ＋2b ＋c ＝216a ＋4b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝2c ＝0，∴抛物线L 的解析式为y ＝－12x 2＋2x.(2)【思路分析】用点E 的横坐标表示△OAE 与△OCE 的面积之和，根据二次函数的性质即可确定最大值． 解：设点E 的横坐标为m. ∵点E 在正方形内的抛物线上， ∴点E 的纵坐标为－12m 2＋2m,∴S △OAE ＋S △OCE ＝12×4×(－12m 2＋2m)＋12×4×m ＝－m 2＋6m ＝－(m －3)2＋9.(10分)∴当m ＝3时，△OAE 与△OCE 的面积之和的值最大，最大值是9.24. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)方法1：如图1，过点P 作PG ∥CF 交CB 于点G ，由题意知∠BCO ＝∠CFE ＝45°，F(0，m)，C(0，3)， ∴△CFE 和△GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF ＝22CF ＝22(3－m)，PE ＝22PG. 设x P ＝t(1<t<3)， 则PE ＝22PG ＝22(－t ＋3－t －m) ＝22(－m －2t ＋3)，t 2－4t ＋3＝t ＋m ， ∴PE ＋EF ＝22(－m －2t ＋3)＋22(3－m)＝22(－2t －2m ＋6)＝－2(t ＋m －3)＝－2(t 2－4t)＝－2(t －2)2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 的最大值为4 2.方法2：(几何法)如图2，由题易知直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，OC ＝OB ＝3， ∴∠OCB ＝45°. 同理可知∠OFE ＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形，以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F′CE ，作PH ⊥CF′于点H ，则PE ＋EF ＝PF′＝2PH. 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF)max ＝2×(3＋1)＝4 2. (3)①由(1)知对称轴x ＝2，设D(2，n)，如图3.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2， 即(2－0)2＋(n －3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2， 即(2－3)2＋(n －0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1.∴当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图4，以BC 的中点T(32，32)，12BC 为半径作⊙T ，与对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角，得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°. 设D(2，m)，由DT ＝12BC ＝322得(32－2)2＋(32－m)2＝(322)2， 解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)．又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上时(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1<y D <32－172或32＋172<y D <5.25. 解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．如解图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)，∴CE ＝OQ ＝1.∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ，∴CP CD ＝CE CF. 又∵CP ∶PD ＝2∶3，∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25， ∴CF ＝2.5，∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5，∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5，∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(2)∵tan ∠PDB ＝54， ∴CF DF ＝54， ∴DF ＝45CF ＝45×2.5＝2， ∵△CFD ∽△CEP ，∴PE DF ＝CE CF， ∴PE ＝DF·CE CF ＝2×12.5＝0.8. ∵P(1，c －a)，C(0，c)，∴PE ＝PQ －OC ＝c －(c －a)＝a ，∴a ＝0.8，∴y ＝0.8x 2－1.6x ＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c ＝0， 解得c ＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y ＝0.8x 2－1.6x －1.。

二次函数的性质综合练习题1. 综合题型在数学中，二次函数是一种常见的函数类型。

掌握二次函数的性质对于解决相关问题和推导数学结论非常重要。

在本篇文章中，我们将通过一些综合练习题来巩固对于二次函数性质的理解。

首先，我们回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

下面是一些与二次函数性质相关的题目：2. 题目一：图像情况判断给定二次函数 y = 3x^2 - 6x + 1，判断以下哪个选项描述了它的图像特点：a) 开口向上，顶点坐标为 (1, -2)b) 开口向下，顶点坐标为 (1, -2)c) 开口向上，顶点坐标为 (-1, 2)d) 开口向下，顶点坐标为 (-1, 2)解析：由于 a 值为正数，该二次函数的抛物线图像开口向上。

顶点的坐标可通过求解二次函数的导数为零的点得到。

通过求导，我们发现该二次函数的导函数为 f'(x) = 6x - 6，令其为零，可以解得 x = 1。

将x = 1 代入原函数，可以得到对应的 y 值为 f(1) = -2。

因此，正确答案应该是选项a) 开口向上，顶点坐标为 (1, -2)。

3. 题目二：对称轴和焦点给定二次函数 y = -2x^2 + 4x + 3，求其对称轴和焦点的坐标。

解析：二次函数的对称轴可以通过求解 x 坐标的平均值得到。

由于对称轴与导数为零的点一致，我们可以求导得到 f'(x) = -4x + 4，令其为零可以得到 x = 1。

因此，对称轴的方程为 x = 1。

焦点的坐标可以通过求解二次函数的标准形式得到。

将二次函数的一般形式转化为标准形式可得：y + 2x^2 - 4x - 3 = 0。

完成配方后，得到 (y - 2) = -2(x - 1)^2。

因此，焦点的 x 坐标为 1，代入标准形式可求得焦点的 y 坐标为 2。

所以，该二次函数的焦点坐标为 (1, 2)。

4. 题目三：零点和值域给定二次函数 y = x^2 - 5x + 6，求其零点和值域。

九年级上册第一章第三节《二次函数的性质》综合练习一、单选题1.对于二次函数y=ax2+(1−2a)x(a>0)，下列说法错误的是（）．A. 该二次函数图象的对称轴可以是y轴B. 该二次函数图象的对称轴不可能是x=1C. 当x>2时，y的值随x的值增大而增大D. 该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧2.关于抛物线y=−x2+2x−3的判断，下列说法正确的是（）A. 抛物线的开口方向向上B. 抛物线的对称轴是直线x=−1C. 抛物线对称轴左侧部分是下降的D. 抛物线顶点到x轴的距离是23.对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A. 图象过点（0，﹣3）B. 图象与x轴的交点为（1，0），（﹣3，0）C. 此函数有最小值为﹣6D. 当x＜1时，y随x的增大而减小4.某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )A. 15元B. 400元C. 800元D. 1250元5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2经过平移得到抛物线y=12x2−2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A. 2B. 4C. 8D. 166.已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系是h＝﹣53t2+20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为（）A. 6sB. 5sC. 4sD. 3s7.已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（√2，y1），B（2，y2），C（﹣√5，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A. y1＞y2＞y3B. y2＞y1＞y3C. y3＞y1＞y2D. y3＞y2＞y18.设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y3＞y2＞y1D. y3＞y1＞y2二、填空题9.已知函数满足下列两个条件：①当x>0时，y随x的增大而减小；②它的图象经过坐标原点，请写出一个符合上述条件的函数的表达式________．10.若点(1,5), (5,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点,则此抛物线的对称轴是________.11.二次函数y=x2−2x，当x________时y随x增大而增大.12.抛物线y=(x−3)(x+5)的顶点坐标是________.13.顶点为P的抛物线y=−316x2+32x+m与y轴交于Q，则PQ的长为________．14.若二次函数y＝（m+1）x|m|+4x﹣16的图象开口向下，则m＝________.15.二次函数y=2x2-4x-1的最小值是________．16.二次函数y=2(x+1)2−3上一动点P(x,y)，当−2<x≤1时，y的取值范围是________．三、解答题17.已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．18.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式：h＝v0t﹣12gt2（0＜t＜4），其中g 以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升，问：这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地面最远？19.已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标.20.已知关于x的二次函数y=x2+(k−1)x+3，其图像经过点(1，8).（1）求k的值.（2）求出函数图像的顶点坐标.21.在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：（1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x________时，y的值随x的值增大而增大；22.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)。

1.3二次函数的性质一.选择题1. 已知抛物线的顶点坐标是（－3，－5），且开口向下，则此抛物线对应的二次函数有（）A.最小值－3B.最大值－3C.最小值－5D.最大值－52.已知二次函数22y ax bx=++的大致图象如图所示，那么函数y ax b=-的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在二次函数266y x x=-+的图象中，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A.3x<B.6x>C.3x>D.6x<4.给出下列四个函数：①2y x=；②51y x=--；③6yx=；④23y x=.0<x时，y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题5.已知二次函数231y x mx=-++，当1x=-时，y有最大值，则2m= .6.函数234y x x=--与x轴的交点坐标是 .7.已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是 .8.如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中： （1）0a <；（2）0c <；（3）方程2ax bx c ++=0的根为11x =，23x =；（4）当1x > 时，y 随着x 的增大而增大.正确的说法有 .（请写出所有正确说法的序号）三.解答题9.如图，二次函数的图象与x 轴相交于A .B 两点，与y 轴相交于点C ，点C .D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B .D .(1)求D 点的坐标；(2)求一次函数的表达式；(3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.。

九年级上册数学第一章综合练习卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D.2. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（）A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1 个单位，再向下平移2个单位3. 下列函数中，属于二次函数的是（）A. B.C. D.4. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（）A. B.C. D. 或5. 向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且高度与时间关系为．若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A. 第秒B. 第秒C. 第秒D. 第秒6. 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A. B.B.C. D.7. 设函数（，，是实数，），当时，；当时，，（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8. 矩形的两条对称轴为坐标轴，点的坐标为．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点重合，此时抛物线的函数表达式为，再次平移透明纸，使这个点与点重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A. B. C. D.9. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（）A.B.C.D. 当（为实数）时，10. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（）A. B.C. 且D. 或二、填空题（共6小题；共24分）11. 抛物线的顶点坐标是．12. 把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的表达式是．13. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于的不等式的解集是．14. 若函数是二次函数，则的值为．15. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入株时，平均单株盈利元，以同样的栽培条件，若每盆增加株，平均单株盈利就减少元（可以每盆增加一株），则每盆植株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于元，则每盆需要植株．16. 如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，若抛物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是．三、解答题（共7小题；共66分）17. 已知函数．（1）当函数是二次函数时，求的值；（2）当函数是一次函数时，求的值．18. 已知二次函数的图象的对称轴是直线，且图象过点，与一次函数的图象交于．（1）求两个函数解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点．19. 已知抛物线经过点．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；（3）判断点是否在此抛物线上；（4）求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标．20. 已知抛物线经过点，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．21. 如图，排球场长为，宽为，网高为，队员站在底线点处发球，球从点的正上方的点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即，这时水平距离，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图．（1）若球向正前方运动（即轴垂直于底线），求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式（不必写出取值范围）．并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地号位内的点（如图，点距底线，边线），问发球点在底线上的哪个位置?（参考数据：取）22. 如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为，连接，．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为，当满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别是直线与坐标轴的交点，点的坐标为，点是边上的一点，于点，点在边上，且，两点关于轴上的某点成中心对称，连接，．设点的横坐标为，为，请探究：①线段长度是否有最小值．②能否成为直角三角形．小明尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到随变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图）．请你在图中连线，观察图象特征并猜想与可能满足的函数类别．（2）小明结合图，发现应用三角形和函数知识能验证（）中的猜想，请你求出关于的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现能成为直角三角形，请你求出当为直角三角形时的值．参考答案第一部分1. D2. D3. C4. D 【解析】由图可知，或时，5. B6. C7. C 【解析】当时，；当时，；代入函数式得：，整理得：，若，则，故A错误；若，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误．8. A9. D 【解析】由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，又对称轴方程为，所以，所以，，故A错误；一次函数的图象与轴交于，两点，，，故B错误；，，当时，，，，故C错误；当（为实数）时，，，，，，故D正确．10. A【解析】由图象可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴是，根据抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点的坐标为．由图象看出当时，函数图象在轴上方，所以不等式的解集是．第二部分11.12.【解析】抛物线的顶点坐标为，点向右平移个单位，再向上平移个单位所得对应点的坐标为，所以平移后抛物线的表达式为．13. 或14.15. 或，或或或16.【解析】由图可知，，则直线的解析式为．将解析式联立成方程组消掉得．，即时，抛物线与有一个交点，此交点的横坐标为．点的坐标为，，点的坐标为，交点在线段上；当抛物线经过点，解得．要使抛物线与扇形的边界总有两个公共点，实数的取值范围是．第三部分17. （1）【解析】依题意，得，解得或；又因，解得或；因此．（2）【解析】依题意，得，解得；又因，解得或；因此．18. （1）二次函数的图象的对称轴是直线，且图象过点，，．的图象交于．．．（2）由题意得，解得或．两个函数图象的另一个交点．19. （1）抛物线经过点，，，此抛物线对应的函数解析式为．（2）由题可得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴．（3）把代入得，，点不在此抛物线上．（4）把代入，解得，抛物线上纵坐标为的点的坐标为或．20. （1）把和代入，得解得抛物线的函数表达式为．（2），顶点坐标为．将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．（答案不唯一）平移后的函数表达式为．21. （1）设抛物线的表达式为：，将，代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：，当时，，当时，，故这次发球过网，但是出界了．（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线，交于点，在中，，当时，，解得：舍去），，而，故，，发球点在底线上且距右边线米处．22. （1）点为直线与轴的交点，．又点横坐标为，代入可求得，．抛物线顶点在轴上，可设抛物线解析式为．把，两点坐标代入可得解得抛物线解析式为．（2）为直角三角形．理由如下：由（1）抛物线解析式为可知点坐标为，，，..为直角三角形．（3）当抛物线平移后顶点坐标为时，其解析式为，即，联立，可得消去整理可得.平移后的抛物线总有不动点，方程总有实数根.，即.解得，即当时，平移后的抛物线总有不动点．23. （1）用描点法画出图形如图，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图，过点，分别作，垂直于轴，垂足分别为，，则，记交轴于点，因为点与点关于轴上的点成中心对称，所以，因为，所以，所以，因为直线的解析式为，所以时，，所以，又因为，设直线的解析式为，所以解得所以直线的解析式为，过点作轴于点，所以点的橫坐标为，所以，所以，，因为，所以，令，得，所以．当时，的最小值为，所以的最小值为．（3）①为定角，不可能为直角．②时，点与点重合，点与点，点重合，此时．③如图，时，有．由（）得，又因为，，所以，又因为，所以，化简得，，解得，（不合题意，舍去），所以．综合以上可得，当为直角三角形时，或．。

九年级数学上册 第二章第3节二次函数的性质同步练习 浙江版（答题时间：30分钟）1. 抛物线22m m x 3mx y ++-＝经过原点，则其顶点坐标为__________。

2. 抛物线过点（3，2）和点（0，－1），对称轴方程为x ＝1，则它的解析式为_______。

3. 若关于x 的方程0n x x 2＝--没有实数根，则抛物线n x x y 2--＝的顶点在第__________象限。

4. 如图抛物线过点（－1，2）和（1，0），且与y 轴交于负半轴，给出四个结论①a>0②b>0 ③c>0 ④0c b a ＝++，其中正确结论的序号为___________。

x5. 二次函数c bx x y 2++＝中，若0c b ＝+，则它的图象一定过点（ ）A. （－1，－1）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （1，1）6. 若二次函数k x y 21x y 22+-+＝与＝的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）A. 它们有相同的对称轴B. 它们的开口方向相反C. 方程0k x 2＝+-无实根D. 二次函数k x y 2+-＝的最大值为21 7. 反比例函数xky ＝中，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数kx 2kx y 2+＝的图象大致为（ ）yyyyxxxxA B C D8. 已知抛物线c bx ax y 2++＝经过点A （m ，p ），B （n ，p ）和C （m ＋n ，q ），求cq的值。

9. 已知二次函数c bx ax y 2++＝的图象如图，判断下列各式的符号：①a ，b ，c ，ac 4b 2-∆＝ ②c b a ++，c b a +-③22b )c a (b a 2b a 2-+-+和，x10. 如图，已知抛物线d x )2b (x 21y c x )2b (x 21y 22+-++++＝与抛物线＝，一条的顶点为P （0，1），另一条与x 轴交于M ，N 两点，其中N （－2，0）。

2022-2023年浙教版数学九年级上册1.3《二次函数的性质》课时练习一、选择题1.二次函数y=(x﹣1)2+2的最小值是( )A.2B.1C.﹣1D.﹣22.二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是( )A.x＝﹣3B.x＝﹣2C.x＝﹣1D.x＝03.若二次函数y=x2﹣6x+9的图象经过A(﹣1，y1)，B(1，y2)，C(3+3，y3)三点.则关于y1，y2，y3大小关系正确的是( )A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y2＞y1＞y3D.y3＞y1＞y24.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列说法中，正确的是( ).A.abc＜0，b2－4ac＞0B.abc＞0，b2－4ac＞0C.abc＜0，b2－4ac＜0D.abc＞0，b2－4ac＜05.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.下列4个结论：①abc<0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④b2－4ac>0.其中正确的结论有( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.若点M在抛物线y=(x+3)2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是( )A.(3，﹣4)B.(﹣3，0)C.(3，0)D.(0，﹣4)7.将抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是( )A.y ＝(x ﹣1)2﹣1B.y ＝(x+3)2﹣1C.y ＝(x ﹣1)2﹣7D.y ＝(x+3)2﹣78.已知二次函数y ＝x 2﹣5x+m 的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(1，0)，则另一个交点的坐标为( )A.(﹣1，0)B.(4，0)C.(5，0)D.(﹣6，0)9.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y ＞2时，自变量x 的取值范围是()A.0＜x ＜12B.0＜x ＜1C.12＜x ＜1 D.－1＜x ＜210.若函数y=x 2﹣2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( ).A.b ＜1且b≠0B.b ＞1C.0＜b ＜1D.b ＜1二、填空题11.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ＞0)的对称轴为直线x=1，且经过点(﹣1，y 1)，(﹣2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1y 2(填“＞”，“＜”或“=”).12.若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=abx+c 不过第_____象限.13.二次函数y ＝x 2﹣8x 的最低点的坐标是 .14.把二次函数y=2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 .15.请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值,使二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x≤2时,y随x的增大而增大；当x≥2时,y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是 .16.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a.如：min{2，﹣4}＝﹣4，min{1，5}＝1，则min{﹣x2＋1，﹣x}的最大值是　.三、解答题17.二次函数y＝x2﹣2mx＋5m的图象经过点(1，﹣2).(1)求二次函数图象的对称轴；(2)当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围.18.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10234…y…522510…(1)根据上表填空：①这个抛物线的对称轴是 ,抛物线一定会经过点(﹣2, )；②抛物线在对称轴右侧部分是 (填“上升”或“下降”)；(2)如果将这个抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线表达式.19.已知抛物线y=mx2+(3–2m)x+m–2(m≠0)与x轴有两个不同的交点.(1)求m的取值范围；(2)判断点P(1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点Q的坐标.20.画出二次函数y=x2－2x的图象.利用图象回答：(1)方程x2－2x=0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.21.下表给出了二次函数y=﹣x2+bx+c中两个变量y与x的一些对应值：x…﹣2﹣10123…y…5n c2﹣3﹣10…(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值；(2)直接写出抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点坐标和对称轴；(3)当y＞0时，求自变量x的取值范围.参考答案1.A2.B3.A4.B5.B6.B7.B8.B9.B10.A11.答案为：＜.12.答案为：四；13.答案为：(4，﹣16).14.答案为：y=2(x+1)2﹣2.15.答案为：y=－x2+4x+1(答案不唯一)16.答案为：﹣5＋1 2.17.解：(1)把点(1，﹣2)代入y＝x2﹣2mx＋5m中，可得：1﹣2m＋5m＝﹣2，解得：m＝﹣1，所以二次函数y＝x2﹣2mx＋5m的对称轴是x＝﹣1，(2)∵y＝x2＋2x﹣5＝(x＋1)2﹣6，∴当x＝﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x＝﹣4时y＝3，当x＝﹣1时y＝﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3.18.解：(1)①∵当x＝0和x＝2时,y值均为2,∴抛物线的对称轴为x＝1,∴当x＝﹣2和x＝4时,y值相同,∴抛物线会经过点(﹣2,10).②∵抛物线的对称轴为x ＝1,且x ＝2、3、4时的y 的值逐渐增大,∴抛物线在对称轴右侧部分是上升.(2)将点(﹣1,5)、(0,2)、(2,2)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中,,解得：,∴二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ＋2.∵点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,∴平移后的抛物线表达式为y ＝x 2﹣2x ＋5.19.解：(1)由题意得，(3–2m)2–4m(m–2)＞0，m≠0，解得，m ＜94且m≠0；(2)当x=1时，mx 2+(3–2m)x+m–2=m+(3–2m)+m–2=1，∴点P(1，1)在抛物线上； (3)当m=1时，函数解析式为：y=x 2+x–1=(x+12)2–54，∴抛物线的顶点Q 的坐标为(–12，–54).20.解：列表：描点并连线：(1)方程x 2－2x=0的解是x 1=0，x 2=2.(2)当x ＜0或x ＞2时，函数值大于0.(3)当0＜x ＜2时，函数值小于0.21.解：(1)根据表格得：，解得：，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，把x=﹣1代入﹣x2﹣2x+5=6，则：n=6；(2)函数解析式为y=﹣x2﹣2x+5，∵a=﹣1，b=﹣2，c=5，∴﹣=﹣1，=6，∴顶点坐标为(﹣1，6)，对称轴为x=﹣1；(3)令y=0，则0=﹣x2﹣2x+5，解得：x1=﹣1﹣6，x2=﹣1+6，抛物线与x轴的交点是(﹣1﹣6，0)(﹣1+6，0)，∵抛物线开口向下，且y＞0，∴自变量x的取值范围为﹣1﹣6＜x＜﹣1+6.。

本文由一线教师精心整理/word 可编辑1 / 41.3 二次函数的性质1.抛物线 y=x 2+2x+3 的对称轴是（ B ）A.直线 x=1B.直线 x=-1C.直线 x=-2D.直线 x=22.二次函数 y=x 2-2x-1 图象的顶点位于（ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知二次函数 y=a （x-1）2+3，当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是（ D ）A.a ≥0 B .a≤0 C.a ＞0 D.a ＜04.若二次函数 y=-x 2+2x+m 2+1 的最大值为 4，则实数 m 的值为（ A ）A ．2B ．3C ．±2D ．±1 【解析】∵y=-x 2+2x+m 2+1=-（x-1）2+m 2+2，二次函数 y=-x 2+2x+m 2+1 的最大值为 4，∴m 2+2=4，解得 m=±2.故选 A.5.已知二次函数 y=-x 2+2x+3，当 x ≥2 时，y 的取值范围是（ B ）A. y ≥3B. y ≤3C. y ＞3D. y ＜3【解析】当 x=2 时，y=-4+4+3=3.∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴当 x ＞1 时，y 随 x 的增大而减小.∴当 x ≥2 时，y 的取值范围是 y≤3.故选 B.6.已知抛物线 y=x 2+bx+3 的对称轴为直线 x=1，则实数 b 的值为 -2 .7.抛物线 y=2（x-3）（x+2）的顶点坐标是（12，25-2） ．8.已知函数 y=x 2+2x+1，当 y=0 时，x= -1 ；当 1＜x ＜2 时，y 随 x 的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）.9.已知二次函数 y=-2x 2+8x-6.（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于 0 时 x 的取值范围.【解析】（1）∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线 x=2.（2）图象如图所示： 函数值不小于 0 时，1≤x ≤3.10.我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线 C 1：y=2x 2-4x+3.（1）下列抛物线中，与抛抛物 C 1 是同位抛物线的是 B .A. y=2x 2-4x+4B. y=3x 2-6x+4C. y=-2x 2-4x+3D. y=2x 2（2）若抛物线 C 2：y=ax 2-2ax+c （a≠0）与 C 是同位抛物线，则 a 与 c 需满足什么关系？【解析】（1）将抛物线 C 1 配方，得y=2x 2-4x+3=2（x 2-2x+1-1）+3=2（x-1）2+1，∴抛物线 C 1 的顶点为（1，1）.故选 B.（2）将抛物线C2 配方，得y=ax2-2ax+c=a（x2-2x+1-1）+c=a（x-1）2-a+c，∴抛物线C2 的顶点为（1，-a+c）.∵抛物线C 2：y=ax2-2ax+c（a≠0）与C 是同位抛物线，∴-a+c=1，即c-a=1.∴a与c 需满足的函数关系为c-a=1.11.已知二次函数y=ax2+bx+c，自变量x 与函数y 的对应值如下表所示：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法中，正确的是（ B ）A.抛物线的开口向下B.抛物线的对称轴是直线x=-5 2C.二次函数的最小值是-2D.当x＞-3 时，y 随x 的增大而增大12.若二次函数y=x2+mx 的对称轴是直线x=3，则关于x 的方程x2+mx=7 的解为（ D ）A.x1=0，x2=6B.x1=1，x2=7C.x1=1，x2=-7D.x1=-1，x2=7【解析】∵二次函数y=x2+mx 的对称轴是直线x=3，∴-=3，解得m=-6.∴关于x 的方程x2+mx=7 可化为x2-6x-7=0，即（x+1）（x-7）=0，解得x =-1，x =7.故选D.1 213.已知二次函数y=x2+（m-1）x+1，当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ D ）A. m=-1B. m=3C. m≤-1D. m≥-1【解析】抛物线的对称轴为直线x=-1 2 m-∵当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，∴-12m-≤1，解得m≥-1.故选D.14.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c 上的两点，那么该抛物线的顶点坐标是（1，4）. 【解析】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c 上两点，∴代入得3423cb c=⎧⎨-++=⎩解得23bc=⎧⎨=⎩∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，顶点坐标为（1，4）.15.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= 016.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c 经过点A（2，0），B（0，2），点P 是抛物线上一动点，连结BP，OP.（1）求这条抛物线的函数表达式.（2）若△BOP是以BO 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标.【解析】（1）将点 A （2，0），B （0，2）代入 y=-x 2+bx+c ，得4202b c c -++=⎧⎨=⎩解得12b c =⎧⎨=⎩∴这条抛物线的函数表达式为 y=-x 2+x+2.（2）∵△BOP 是以 BO 为底边的等腰三角形，且 B （0，2），∴点 P 的纵坐标为 1.当 y=1 时，-x 2+x+2=1， 解得 x 1=5+12，x 2=5+12-. ∴点 P 5+1，15+1- 1.） 17.已知抛物线 y=x 2+bx+c 的对称轴为直线 x= -1 ，且经过点（-4，5）.（1）求抛物线的函数表达式.（2）抛物线 y 存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（3）当-2＜x ＜3 时，求 y 的取值范围.【解析】（1）∵抛物线的对称轴为直线 x=-1，∴x =21b -⨯=-1，解得 b=2. ∵抛物线 y=x 2+2x+c 经过点（-4，5）， ∴5=（-4）2+2×（-4）+c ，解得 c=-3.∴抛物线的函数表达式为 y=x 2+2x-3.（2）∵a=1＞0,∴抛物线 y=x 2+2x-3 有最小值， 最小值为 y=（-1）2+2×（-1）-3=-4.（3）∵y=x 2+2x-3，当 x=-2 时，y=-3；当 x=3 时，y=12.∵对称轴为 x=-1，最小值为 y=-4，∴当-2＜x ＜3 时，-4≤y ＜12.18.已知关于 x 的函数 y=kx 2+（2k-1）x-2（k 为常数）.（1）试说明：不论 k 取何值，此函数图象一定经过（-2，0）.（2）当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围.（3）该函数是否存在最小值-3？若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将 x=-2 代入，得 y=k ·（-2）2+（2k-1）·（-2）-2=0，∴不论 k 取何值，此函数图象一定经过点（-2，0）.（2）①若 k=0，此函数为一次函数 y=-x-2，当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴k=0 符合题意.②若 k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（-2，0）,（0，-2），∴要使当x＞0 时，y 随x 的增大而减小须满足k＜0 且x=-212kk-120122k-+=-∴k＜0. 综上所述，k 的取值范围是k≤0.（3）若k=0，此函数为一次函数y=-x-2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值.若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为-3，则28(21)34k kk-----，且k＞0，解得k=232±符合题意.∴当23±时，函数存在最小值-3.。

1.3 二次函数的性质1．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x ＝－2的是(A )A. y ＝(x ＋2)2B. y ＝2x 2－2C. y ＝－2x 2－2D. y ＝2(x －2)22．已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋1，当x >1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是(D )A. m ＝－1B. m ＝3C. m ≤－1D. m ≥－13．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其自变量x 与函数y 的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y …4－2 －24 …则下列说法正确的是(D ) A. 抛物线的开口向下B. 当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大C. 二次函数的最小值是－2D. 抛物线的对称轴是直线x ＝－524．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A (1，0)，B (3，0)，则此抛物线的对称轴是直线x ＝2．5．已知函数y ＝2x 2－4x －3，当－2≤x ≤2时，该函数的最小值是__－5__，最大值是__13__．(第6题)6．如图，在直角坐标系中，直线y ＝kx ＋1()k ≠0与双曲线y ＝2x (x ＞0)相交于点P (1，m )．(1)求k 的值．(2)若点Q 与点P 关于直线y ＝x 对称，求点Q 的坐标．(3)若过P ，Q 两点的抛物线与y 轴的交点为N ⎝⎛⎭⎫0，53，求该抛物线的函数表达式及其对称轴．【解】 (1)把点P (1，m )代入y ＝2x ，得m ＝2，∴点P (1，2)．把点P (1，2)代入y ＝kx ＋1，得k ＝1.(2)设点Q (a ，b )．∵点Q 与点P 关于直线y ＝x 对称，点P (1，2)， ∴1＋a 2＝2＋b2，∴b ＝a －1. ∵直线y ＝x 过原点，∴OP ＝OQ ，∴22＋12＝a 2＋（a －1）2，解得a 1＝2，a 2＝－1(不合题意，舍去)．∴点Q (2，1)． (3)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝1，c ＝53，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝1，c ＝53.∴y ＝－23x 2＋x ＋53，∴对称轴为直线x ＝－12×⎝⎛⎭⎫－23＝34.7．已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a－b 为整数时，ab 的值为(A )A. 34或1B. 14或1C. 34或 12D. 14或 34【解】 由题意可知a ＞0，－－b2a＞0，a ＋b －2＝0，∴b ＞0，且b ＝2－a ，∴a －b ＝a －(2－a )＝2a －2. 易得0＜a ＜2，∴－2＜2a －2＜2.又∵a －b 为整数，∴2a －2＝－1或0或1， ∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.∴ab ＝34或1.8．已知抛物线y ＝(x －m )2－(x －m )，其中m 是常数．(1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点．(2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52.①求该抛物线的函数表达式．②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？ 【解】 (1)y ＝(x －m )2－(x －m )＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ， ∵Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2＋m )＝1＞0，∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点． (2)①∵对称轴为直线x ＝－－（2m ＋1）2＝52，∴m ＝2，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6.②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6＋k .∵抛物线y ＝x 2－5x ＋6＋k 与x 轴只有一个公共点，∴Δ＝52－4(6＋k )＝0，∴k ＝14，∴把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．9．已知在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，∠BOA ＝30°，AB ＝2.若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．(第9题)(1)求点C 的坐标．(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过C ，A 两点，求此抛物线的函数表达式．(3)若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，P 为线段DB 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M .问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)如解图，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H .(第9题解)在Rt △OAB 中， ∵∠OAB ＝90°，∠BOA ＝30°，AB ＝2，∴OB ＝4，OA ＝2 3. 由折叠可知，∠COB ＝30°，OC ＝OA ＝2 3， ∴∠COH ＝60°，∴OH ＝3，CH ＝3， ∴点C 的坐标为(3，3)．(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过C (3，3)和A (2 3，0)两点，∴⎩⎨⎧3＝（3）2a ＋3b ，0＝（2 3）2a ＋2 3b ， 解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2 3.∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2 3x .(3)存在．∵抛物线y ＝－x 2＋2 3x 的顶点坐标为(3，3)，即为点C ，∴CD ⊥x 轴． ∵MP ⊥x 轴，∴MP ∥C D.如解图，设MP 的延长线与x 轴的交点为N ，PN ＝t .∵∠BOA ＝30°，∴ON ＝3t ，∴点P (3t ，t )．过点P 作PQ ⊥CD 于点Q ，过点M 作ME ⊥CD 于点E .把x ＝3t 代入y ＝－x 2＋2 3x ，得y ＝－3t 2＋6t ，∴点M (3t ，－3t 2＋6t )，E (3，－3t 2＋6t )．同理可得点Q (3，t )，D (3，1)．要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD ， 即3－(－3t 2＋6t )＝t －1，解得t 1＝43，t 2＝1(点P 与点D 重合，舍去)．∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫433，43. ∴存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫433，43.10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，与y 轴相交于点⎝⎛⎭⎫0，94，点A 的坐标为(－1，2)，点B 是点A 关于y 轴的对称点，点C 在x 轴的正半轴上．(1)求该抛物线的函数表达式．(第10题)(2)F 为线段AC 上一动点，过点F 作FE ⊥x 轴，FG ⊥y 轴，垂足分别为E ，G .当四边形OEFG 为正方形时，求出点F 的坐标．(3)将(2)中的正方形OEFG 沿OC 向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG ，当点E 和点C 重合时停止运动，设平移的距离为t ，正方形的边EF 与AC 交于点M ，DG 所在的直线与AC 交于点N ，连结DM .是否存在这样的t ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)∵点B 是点A 关于y 轴的对称点，∴抛物线的对称轴为y 轴． ∴抛物线的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫0，94，故抛物线的函数表达式可设为y ＝ax 2＋94.∵点A (－1，2)在抛物线y ＝ax 2＋94上，∴a ＋94＝2，解得a ＝－14.∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋94.(2)①当点F 在第一象限时，如解图①， 令y ＝0，则－14x 2＋94＝0，解得x 1＝3，x 2＝－3.∴点C 的坐标为(3，0)．设直线AC 的函数表达式为y ＝mx ＋n ，则有⎩⎨⎧－m ＋n ＝2，3m ＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝32.∴直线AC 的函数表达式为y ＝－12x ＋32.设正方形OEFG 的边长为p ，则点F (p ，p )．∵点F (p ，p )在直线y ＝－12x ＋32上，∴－12p ＋32＝p ，解得p ＝1.∴点F 的坐标为(1，1)． ②当点F 在第二象限时，同理可得点F 的坐标为(－3，3)， 此时点F 不在线段AC 上，故舍去． 综上所述，点F 的坐标为(1，1)．(第10题解)(3)过点M 作MH ⊥DN 于点H ，如解图②， 则OD ＝t ，OE ＝t ＋1.∵点E 和点C 重合时停止运动，∴0≤t ≤2.当x ＝t 时，y ＝－12t ＋32，则点N ⎝⎛⎭⎫t ，－12t ＋32，DN ＝－12t ＋32. 当x ＝t ＋1时，y ＝－12(t ＋1)＋32＝－12t ＋1，则点M ⎝⎛⎭⎫t ＋1，－12t ＋1，ME ＝－12t ＋1.在Rt △DEM 中，DM 2＝12＋⎝⎛⎭⎫－12t ＋12＝14t 2－t ＋2.在Rt △NHM 中，MH ＝1，NH ＝⎝⎛⎭⎫－12t ＋32－⎝⎛⎭⎫－12t ＋1＝12， ∴MN 2＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝54.①当DN ＝DM 时，⎝⎛⎭⎫－12t ＋322＝14t 2－t ＋2，解得t ＝12. ②当DN ＝MN 时， －12t ＋32＝54＝52，解得t ＝3－ 5. ③当MN ＝DM 时，54＝14t 2－t ＋2，解得t 1＝1，t 2＝3(不合题意，舍去)． 综上所述，当△DMN 是等腰三角形时，t 的值为12或3－5或1.。

浙教版九年级数学上册同步练习1.3二次函数的性质一、选择题（每题3分，共24分）1．若二次函数的图像经过点P(－2，4)，则该图像必经过点（）A．(2，4)B．(2，－4)C．(－4，2)D．(4，2)2．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（）A．B．C．D．3．已知函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（　）A．k<4B．k≤4C．k<4，且k≠3D．k≤4且k≠3 4．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（）A ．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．如表中列出的是二次函数y＝a＋bx＋c中x与y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大D．方程a＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解为＝0，＝16．如图，已知抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有（）个A．1B．2C．3D．47．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．58．如图，抛物线y＝﹣2x2＋2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（每题3分，共24分）9．把二次函数用配方法化成的形式是________．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是______．11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________．12．已知二次函数的图像顶点在x轴上，则_________ 13．已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为______________．14．如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．15．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有______．（填序号）16．如图，抛物线与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B(-1，0)，C(3，0)，连接AC，将线段AC向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为______．三、解答题（每题8分，共72分）17．已知抛物线．（1）求它的对称轴和顶点坐标；（2）写出一种将它平移成抛物线的方法．18．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？（3）点在这个二次函数的图象上吗？19．已知：抛物线经过点.（1）求的值；（2）若，求c的值，（3）在（2）的情况下，求这条抛物线的顶点坐标；20．已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；(2)若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．21．如图已知二次函数图象与直线交于点，点B．(1)求m，a的值．(2)求点B坐标．(3)连结，求面积．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．23．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线B C．(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC 于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．24．已知二次函数．(1)求证：二次函数的图象必过点；(2)若点在函数图象上，，求该函数的表达式；(3)若该函数图象与轴有两个交点，求证：．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B （3，）两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．解：∵二次函数的图像经过点P(－2，4)，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，当时，，∴该图像必经过点(2，4)，故选项A正确，B错误；当时，，故选项C错误；当时，，故选项D错误；故选：A．2．解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是∴所得抛物线解析式是．故选：C．3．解：当，即时，函数的图像与x轴有交点，∴，解得：；当，即时，与x轴有交点，综上所述，k的取值范围是．故选：B4．解：，选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；选项B：若，则，，则故此选项符合题意；选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有，故此选项不符合题意；同理选项D也不符合题意；故选B．5．解：∵抛物线经过点（0，-4），（3，-4），∴抛物线的对称轴为直线x=，而x=1时，y=-6＜-4，∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；∵点（0，-4），（1，-6）在抛物线上，也在直线y=-2x-4上，即y=a+bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为（0，-4），（1，-6），∴方程a+bx+c=-2x-4的解为=0，=1，即方程a+（b+2）x+c=-4的解为=0，=1，所以D选项符合题意．故选：D．6．由题意得，当时，，抛物线必过点，抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），分情况讨论如下：①当点是抛物线的顶点时，则抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，由题意得，抛物线还经过点，如图1，把点分别代入解析式，等式成立，符合题意；②当点不是抛物线的顶点，而是抛物线上关于对称的其中一个点，则抛物线经过，如图2，抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，把代入解析式，得，即抛物线经过点，抛物线还经过点，符合题意；③当点不是抛物线的顶点，且在图中也找不到对应格点，要想抛物线恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数）时，抛物线应经过，如图3，抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，把点分别代入解析式，等式成立，符合题意；综上，满足条件的整数m有3个，故选：C．7．解：由图象可知a＞0，c＜0，∵对称轴为x＝﹣1，∴b＝2a，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；∵图象与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵图象与x轴的一个交点是（1，0），∴与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴9a﹣3b＋c＝0，故③正确；∵（﹣2，y2）到对称轴x＝﹣1的距离是1，（﹣0.5，y1）到对称轴x＝﹣1的距离是0.5，∴y1＜y2；故④错误；综上分析可知，②③正确，故A正确．故选：A．8．解：作FC⊥x轴于点C，如右图所示，则阴影部分的面积等于四边形EOCF的面积，∵抛物线y＝﹣2x2＋2，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为（0，2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，OE＝2，∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，∴OC＝AB＝2，∵四边形EOCF是矩形，∴四边形EOCF的面积是2×2＝4，∴图中阴影部分图形的面积为4，故选：A．9．解：，故答案为：．10．解：把代入得；把代入得，所以a的取值范围为．故答案为．11．解：把点代入二次函数解析式得：，则有，∴；故答案为15．12．解：由题意得，顶点纵坐标为：，即：，解得：．故答案为：2．13．解：∵，∴顶点坐标为，如图：点关于轴的对称点为，∵成立的值恰好有三个，∴．故答案为：．14．解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，∴另一个交点的坐标为（5，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．故答案为﹣3＜x＜5．15．∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y 轴交于负半轴，∴ab＜0，c＜0，＞0，∴abc＞0，如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方，∴＞0，故答案为：①②③．16．解：∵抛物线与x轴交于B、C两点，B(-1，0)，C(3，0)，∴，解得，，∴，∴x=0时，y=3，∴A(0,3)，∴，设AC的解析式为y=kx+m，则，∴，∴y=-x+3，由平移知，EF∥AC，EF=AC，∴四边形EACF是平行四边形，设EF的解析式为y=-x+n，∵，∴D(1,4)，∴4=-1+n，n=5，∴E(0,5)，∴AE=5-3=2，∴．故答案为：．17．解：（1）∵∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为；（2）可将抛物线先向左平移个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线．18．(1)设抛物线解析式为，把(0，4)代入得，解得：，所以这个二次函数解析式为；(2)抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以当时，y的值随值的增大而增大；(3)当时，，所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．19．（1）把点P（-1，-2b）代入抛物线y=x2+（b-1）x+c中，得1-（b-1）+c=-2b，整理，得b+c=-2；（2）把b=3代入b+c=-2中，得：c=-2-b=-5，（3）∵b=3，c=-5∴抛物线解析式为y=x2+2x-5，即y=（x+1）2-6，故抛物线顶点坐标为(-1，-6 )．20．（1）解：令则＞0方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；（2）函数的图象与y轴交于点（0，3）．抛物线的解析式为：抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为当时，当时，当0＜x＜5时，y的取值范围为：．21．(1)解：把点A坐标代入一次函数解析式得．∴m=4．∴．把点A坐标代入二次函数解析式得．∴a=1．(2)解：∵a=1，∴二次函数解析式为．联立二次函数解析式和一次函数解析式得解得或∵，∴．(3)解：如下图所示，设直线交y轴于点C．∴．∴OC=2．∴．22．（1）解：，，将代入得：，解得，，方程恰好有两个相等的实数根，这个方程根的判别式，即，解得或（不符题意，舍去），则抛物线的解析式为．（2）解：抛物线向右平移个单位后的抛物线的解析式为，，，恰好为等腰直角三角形，只能是，如图，过点作于点，，，将点代入抛物线得：，解得或（不符题意，舍去），即的值为2．23．（1）解：∵OB＝OC，∴C（0，﹣3），把A，B，C代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，连接BC，∵EB＝EC，∴E是BC的中点，∴E的坐标为（，），∴P的横坐标为，把A，B代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，把x＝代入，得y＝，∴P（，），∴EP＝＝，解得a＝，∴a的值为．24．（1）证明：，二次函数的图象必过点．（2）解：点在函数的图象上，，，，，整理得：，解得或，则该抛物线的表达式为或．（3）证明：函数的图象与轴有两个交点，，方程的两个根为，根的判别式大于0，，，．25．（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．。

1．3 二次函数的性质基础巩固1．当二次函数y ＝x 2＋2x －5取最小值时，自变量x 的值是(D )A ．2B ．－2C ．1D ．－12．若抛物线y ＝x 2－x ＋2c 与x 轴无公共点，则c 的取值范围是(B )A ．c ＜18B ．c ＞18C ．c ≤18D ．c 为任何实数3．已知抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ，k 是常数，且a >0)上三点P 1(－2，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(1，y 3)，则(A )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 3>y 2>y 1C ．y 3>y 1>y 2D ．y 2>y 1>y 34．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有下列结论：①a ＜0；②b ＞0；③c ＜0；④b 2－4ac ＞0.则其中正确的是①④(填序号)．5．抛物线y ＝12(x ＋1)(x ＋4)过点(－4，0)，(－1，0)，(1，5)． 6．抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m 与y 轴交于点(0，3)．(1)求出m 的值并画出这条抛物线．(2)求它与x 轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标．(第4题) (3)当x 取何值时，抛物线在x 轴的上方？(4)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？【解】 (1)由题意，把点(0，3)的坐标代入抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ，得m ＝3.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.画出图象如解图所示．(2)令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0， (第6题解) 解得x 1＝－1，x 2＝3.∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)．(3)当－1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．(4)当x≥1时，y随x的增大而减小．综合提能7．(兰州中考)已知二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，P(m，n)是图象上一点，则下列判断中，正确的是(C)A．当n＜0时，m＜0B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x1【解】∵a＝1＞0，∴开口向上．∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝－12×1＝－12，二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，无法确定x1与x2的正负情况，∴当n＜0时，x1＜m＜x2，但m的正负无法确定，故A错误，C正确；当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故B，D错误．故选C.8．(咸宁中考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列结论：①二次三项式ax2＋bx ＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的有__2__个．【解】∵抛物线的顶点坐标为(－1，4)，∴二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4，故结论①正确．∵当x ＝2时，y ＜0，∴4a ＋2b ＋c ＜0，故结论②正确．根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根之和为－2，故结论③错误． (第8题)根据图象可知，使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0或x ≤－2，故结论④错误．综上所述，正确的结论有2个．9．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴和y 轴分别交于点A (－8，0)和点B (0，4)，线段AB 的垂直平分线CD 交x 轴于点C ，交AB 于点D .(1)求直线AB 的函数表达式．(2)求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式． (第9题)(3)(2)中的抛物线对应的二次函数有最大值还是最小值？此时x 等于多少？相应的最大值或最小值是多少？【解】 (1)y ＝12x ＋4. (2)连结BC .设OC ＝x ，易得OA ＝8，∴AC ＝8－x .∵在Rt △BOC 中，OB ＝4，OC ＝x ，BC ＝AC ＝8－x ，∴x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∴点C 的坐标为(－3，0)．设所求抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋8)(x ＋3)．∵抛物线过点B (0，4)，∴4＝a (0＋8)(0＋3)，解得a ＝16， ∴y ＝16(x ＋8)(x ＋3)，即y ＝16x 2＋116x ＋4. (3)∵a ＝16>0，∴(2)中的抛物线对应的二次函数有最小值． 当x ＝－b 2a ＝－1162×16＝－112时，y 最小值＝4×16×4－⎝⎛⎭⎫11624×16＝－2524.冲刺高分10．(荆州中考)已知关于x 的方程kx 2＋(2k ＋1)x ＋2＝0.(1)求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根．(2)当抛物线y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋2的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P (a ，y 1)，Q (1，y 2)是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象确定实数a 的取值范围．(3)已知抛物线y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋2恒过定点，求出定点的坐标．【解】 (1)①当k ＝0时，方程为x ＋2＝0，∴x ＝－2，方程有实数根；②当k ≠0时，∵Δ＝(2k ＋1)2－4k ·2＝(2k －1)2≥0，即Δ≥0，∴方程有实数根．综上所述，无论k 取任何实数时，方程总有实数根．(2)令y ＝0，则kx 2＋(2k ＋1)x ＋2＝0(k ≠0)，解得x 1＝－2，x 2＝－1k. ∵二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，∴k ＝1， ∴该抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋3x ＋2.画抛物线的图象如解图所示．(第10题解)由图象可知，当y 1＞y 2时，a ＞1或a ＜－4.(3)根据题意，得kx 2＋(2k ＋1)x ＋2－y ＝0恒成立，即k (x 2＋2x )＋x －y ＋2＝0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0， ∴该抛物线恒过定点(0，2)，(－2，0)．。

九年级上册第一章第一节《二次函数》综合练习一、单选题1.抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（）A. y＝x2﹣2x﹣3B. y＝x2﹣2x+3C. y＝x2﹣2x﹣4D. y＝x2﹣2x﹣52.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A. y=3x−1B. y=ax2+bx+cC. s=2t2−2t+1D. y=x2+1x3.下列函数属于二次函数的是（）A. y=x－1x B. y=（x－3）2－x2 C. y= 1x2－x D. y=2（x＋1）2－14.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为( ).A. s=12a2−8a B. s=−12a2+8a C. S=a2-16a D. S=a2-16a5.下列函数中，是二次函数的是（）A. y=68x2+1B. y=8x+1C. y=8x D. y=−8x2+16.下列函数是二次函数的是( )A. y=2x-1B. y=ax2+bx+cC. y=(x+2)2-5D. y=1x27.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A. 2、0、﹣3B. 2、﹣3、0C. 2、3、0D. 2、0、38.下列函数中，是二次函数的为（）A. y=(x−1)2−x2B. y=x2+1x C. y=√x2−2x+1 D. y=2x+12x29.二次函数y=ax2+bx+c经过点A(−4,0)、B(−1,0)和C(−2,−2)，则下列说法正确的是()A. 抛物线的开口向下B. 当x>−3时，y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是−2D. 抛物线的对称轴是直线x=−5210.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A. y=x2−2x+3B. y=x2−2x−3C. y=x2+2x−3D. y=x2+2x+311.下列各式中，y是关于x的二次函数的是()A. y=2x+3B. y=1C. y=3x2−1D. y=(x−1)2−x2x2二、填空题12.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是________．13.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是________．14.若y＝(m2＋m)x m2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则m＝________．15.若函数y=(m−1)x m2+1−2x+1是二次函数，则m 的值为________．16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(−2, 3)，且过A(−3, 0)，则抛物线的关系式为________．三、解答题17.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．18.已知二次函数的顶点坐标为(2，−2)，且其图象经过点(1，−1)，求此二次函数的解析式.19.已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个二次函数表达式．20.如图，已知二次函数y＝ax 2＋bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C.（1）写出A、B、C三点的坐标；（2）求出二次函数的解析式.21.在平面直角坐标系是，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-2）、（2，-3）。

1.1 二次函数—同步综合训练—一、选择题1、若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（）A．m＝5B．m＝﹣1C．m＝5或m＝﹣1D．m＝﹣52、下列关于x的函数一定为二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝ax2+bx+c C．y＝﹣5x2﹣3D．y＝x3+x+13、下列函数中，是二次函数的是（）A．B．C．y＝x2+2x﹣1D．y＝x﹣24、若函数y＝mx+4是二次函数，则m的值为（）A．0或﹣1B．0或1C．﹣1D．15、当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠16、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1D．y＝x2+7、下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝﹣2x+1C．y＝x2+2D．y＝x﹣28、下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系9、二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A．3B．5C．﹣3和5D．3和﹣510、下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系二、填空题11、二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是．12、若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为．13、关于x的函数y＝（m+1）x是二次函数，则m的值．14、若y＝（m﹣2）+mx+1是关于x的二次函数，则m＝．15、二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是．16、若函数y＝（m2+m）是二次函数，则m＝．17、已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为，成立的条件是，是函数．18、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式．19、下列函数①y＝5x﹣5；②y＝3x2﹣1；③y＝4x3﹣3x2；④y＝2x2﹣2x+1；⑤．其中是二次函数的是．20、若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为．三、解答题21、一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？22、当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？23、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．24、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数．25、已知函数y＝﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），求当m为何值时：（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．26、若y＝（a2+a）x是二次函数，求a的值．27、若y＝（m﹣1）x+3．（1）m取什么值时，此函数是二次函数？（2）m取什么值时，此函数是一次函数？28、函数是关于x的二次函数，求m的值．29、已知函数．（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？30、若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．。