高中数学解三角形复习教案

高中数学新教材解三角形教案高中数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量知识在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关知识.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4高中数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简单函数的反函数.3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的能力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种情况下，我们说t=是函数S=vt 的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的能力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(根据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的原因.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培育学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力.题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习，师生共同分析纠正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要讨论了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节讨论.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的知识.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采纳了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，讨论性质，进而得出概念，这正是数学讨论的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对比、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

《解三角形》单元复习课教学设计
图1 图2
在分析完这个问题之后，我们换个角度，继续思考这个问题.能否弱化已知
∆的某些性质？
ABC
学生探究后，可能出现的变式：
你去掉的已知是什么？提出了什
怎样解决这个问题？
∠=︒,c=
A
ABC中,60
系？
教师可利用几何画板进行动态演示. 变式2：在ABC
∆中,60
A
∠=︒,8
b=.
掉
3
7
c a =）
学生可能提出的问题：
我们发现去掉一个已知条件，虽
然三角形不能确定，但仍然能研究它的一
些性质，如果去掉两个已知条件还是否可
学生探究后，可能出现的变式：
∠=
∆中,A
ABC
的取值范围.
B C
sin C、sin sin
本环节中，教师布置了开放式探究性任务，学生分组、讨论、探究，学生自己提出问题，并且能够分析问题、解决问题.
设计意图：本道例题及变式是本节课的主线，通过与学生一起梳理本节课的内容，理清学生思路，培养学生的抽象概括能力和数学核心素养
7.板书设计
作业与拓展学习设计
探究性作业：。

必修5 第一章小结与复习 1 第 7 课时一、学习目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状；2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．二、课前预习（一） 三角形中的定理1.正弦定理： ，其中R 为 . 正弦定理的作用： ⑴ ⑵ 正弦定理的变形： ①2sin a R A =， ， ；②sin 2a A R =， ， ； ③::a b c = . 2.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，余弦定理的作用：⑴⑵⑶ .⑷ .余弦定理的变形：①cos A = 等；②222a b c +-= 等.3.三角形面积公式： 1sin 2S ab C ∆== = 4. 在已知两边a,b 及角A 解三角形时，需要讨论.(1)若Ａ≥９０°，则有①a>b 时有 解；②a ≤b 时 解.（2）若Ａ＜９０°时，则有①若a ＜bsinA ，则 解； ②若a ＝bsinA ，则 解；③若bsinA ＜a ＜b ，则有 解；④若a ≥b ，则有 解.预习题：1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=，则b =_______000000026sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A +==+=+= 62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得261sin 2sin 226a b B A +=⋅=⨯=+2.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________. 33.（2007湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，则B = ．答案 65π 4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--，若//p q ，则角C 的大小为_____3π三、数学运用例1.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【随堂记录】：分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 例2. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值. 解：（I ）B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =⋅=⋅Bac A bc BC BA AC AB cos cos =∴⋅=⋅又B A A B cos sin cos sin =∴ 即0cos sin cos sin =-A B B A 0)sin(=-∴B ABA B A =∴<-<-ππ ABC ∆∴为等腰三角形.（II ） 由（I ）知b a =22cos 2222c bc a c b bc A bc AC AB =-+⋅==⋅∴2=c 1=∴k 例3.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC A的值等 于 ，AC 的取值范围为 .【随堂记录】：解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=⇒= 由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos θθ<<⇒<<， 2cos 2,3).AC θ∴=∈四、巩固训练1.（2009北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积. 【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==， ∴23,sin 35C A A π=-=，∴213sin sin cos sin 32210C A A A π+⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知33sin ,sin 510A C +==，又∵,3B b π==ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积116336sin 2251050S ab C ++==⨯=. 五、反思总结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断。

高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

学 习 资 料 汇编复习课(一) 解三角形其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选 A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π33．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．[考点精要] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sinA cosB .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cosA －sinB cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．解：(1)因为|m ＋n |＝3，所以|m ＋n |2＝3，即m 2＋n 2＋2m ·n ＝3.又因为m 2＝n 2＝1，所以m ·n ＝12，所以cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝12，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b ＋c ＝3a ，所以sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.所以sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32. 因为0<B <2π3，0<B ＋π6<5π6，所以B ＋π6＝π3或2π3，所以B ＝π6，C ＝π2或B ＝π2，C ＝π6，所以△ABC 为直角三角形．题以解答题为主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． (2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 故sin α的值为3314.[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，如图，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°， 所以∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30(m)．答案：303.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米． 在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米． 在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°， 则DC ＝BD 2＋BC 2＝200米，所以客车的速度v ＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， 又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°， 所以∠CEB ＝45°.在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212C ．28D ．6 3解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S△ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a2a 2＝72. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝58.因为a <b ，所以B 有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×398<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7.∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×85＝45， 所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.答案：7259．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb，则边c 的值为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B＝cb cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°，所以c ＝2 2.答案：2 210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53， 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的范围．解：(1)∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，金戈出品 ∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ， 即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B .又在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－cos 2A －12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋32sin 2A －32cos 2A ＝1＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3. ∵0<A <2π3，－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1＋3. 敬请批评指正。

1.1.3解三角形的进一步讨论（一）教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

（二）教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

（三）学法与教学用具学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。

教学用具：教学多媒体设备（四）教学设想[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B =可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） ＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题解三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握正弦定理和余弦定理的基本内容；②能灵活使用正余弦定理结合三角函数基本公式进行变形；③运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念体系搭建（一）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 Rc C Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===（二） 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+； cos B =ca b a c 2222-+； cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在∆ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角． （三） 三角形中的公式变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

高一数学教案解三角形5篇等腰三角形,看似简单平常,实则魅力无穷.许多关键问题三角问题与等腰三角形密切相关,形变解题中若能根据题意恰当构造,则可使一些三角问题别开生面地得以解决,更给人一种形象直观、流畅清晰、解法优美之感.今天在这里整理了一些，我们一起来呢吧!高一数学教案解三角形1[教学重、难点] 认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会每一类三角形的特点。

[教学准备] 学生、老师剪下附页2中的图2。

[教学过程] 一、画一画，说一说1、学生各自借助三角板或直尺分别画一个锐角、直角、钝角。

2、教师巡查练习境况。

3、学生展示练习，说一说为什么是锐角、直角、钝角?二、分一分 1、小组活动;把附页2中的图2中的三角形需要进行分类，动手前先观察这些三角形的特点，然后小组讨论怎样分后?2、汇报：进行分类的标准和方法。

可以按角来分，可以按边来分。

二、按角分类： 1、观察观察具体来说三角形有什么共同的特点，从而归纳出来三个角都是锐角的'三角形是锐角三角形。

2、观察共同第三类三角形有什么共同的特点，从而归纳出有一个角是直角的三角形是直角三角形3、观测观察第三类三角形有什么互助的特点，从而归纳出有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

三、按边分类： 1、观察这类三角形的边有什么共同的特点，引导学生发现每个三角形中都有两条边，这样三角形的三角形叫等腰三角形，并透露各部分的名称。

2、引导学生发现有的菱形三角形三条边都相等，这样的矩形是等边三角形。

讨论等边三角形是等腰三角形吗?四、填一填：24、25页让学生辨认各种三角形。

五、练一练：第1题：通过“猜三角形游戏”让学生体会到看到一个锐角，不能重新考虑是一个锐角三角形，必须三个角都是锐角总算是九个锐角三角形。

第2题：在点子图上画作三角形第3题:剪一剪。

六、完成26页实践活动。

[板书设计] 三角形的分类按角分类：按边分类：高一数学教案可解三角形2教学目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;2、了解三角形的高，并能在一般性的三角形中作出中均它们.教学重点：在具体的三角形中作出三角形的低.教学难点：画出钝角三角形的三条高.活动准备：学生预先剪好三种三角形，一副三角板.教学过程：过菱形的一个顶点A，你能画出它的对边BC的垂线吗?试试看，你准行!从而引出新课：1、三角形的高：三角形从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AM是BC边上的高.∵AM是BC边上的高，∴AM⊥BC.做一做：每人准备一个锐角三角形纸片：(1)你能画出这个三角形的高吗?你能用折纸的方法得到它吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.结论：锐角三角形的'三条高在正三角形的内部且交于一点.3、议一议：每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系?(2)你能折出高德帕伦三角形的三条高吗?你能画出它们吗?(3)钝角三角形的三条高交于假脉一点吗?它们所在的直线交于一点吗?小组讨论交流.结论：1、直角三角形的等腰三条高交于直角顶点处.2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在四边形的外部.4、练习：如图，(1)共有___________个直角三角形;(2)高AD、BE、CF相对应的底分别是_______，_____，____;(3)AD=3，BC=6，AB=5，BE=4.则S△ABC=___________，CF=_________，AC=_____________.5、小结：(1)锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.(2)直角三角形的三条高交于直角顶点处.(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的中间层.作业：P127 1、2、3高一数学教案可解三角形3《三角形中位线》教案一、教学目标：1.使学生掌握三角形中位线概念,理解中位线定理,会运用它进行有关论证和计算2.掌握添加辅助线解题的技巧.3.提高中学生分析问题,解决问题的能力,增强学习兴趣.二、教学方法探究式自主学习：以学生的自主探究为主，教职员加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提高学生的能力,使学生更好的适应新课程标准三、教学内容﹑教材重、难点分析：三角形中位线定理的学习是继学习-平行四边形与平行线等分线段定理后的一个新内容,教材首先给出了三角形中位线的定义,并与三角形中线加以区分,接着以同一法的思想探索出三角形中所位线定理,最后是利用中位线定理解答例一所给的环境问题.在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.本节课的重点是三角形中位线定理,难点是定理的证明,关键在于如何添加辅助线,在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.四、教学内容媒体的选择和设计通过多媒体课件，打开学生的思路,增加课堂的容量,提高课堂效率。

高中数学教案：三角函数与解三角形一、引言三角函数是数学中的重要分支，解三角形是数学中的常见问题。

理解三角函数与解三角形对于学生的数学素养的提升至关重要。

本教案将以三角函数与解三角形为主题，设计一节高中数学课，帮助学生掌握相关知识和技能。

二、知识与技能目标1. 理解三角函数的概念和性质；2. 掌握常用三角函数的定义和计算方法；3. 学会利用三角函数解决实际问题；4. 理解解三角形的基本概念和原理；5. 掌握解三角形的常用方法。

三、教学重难点1. 三角函数的定义和性质；2. 解三角形的常用方法。

四、教学过程（一）引入教师可以从生活中的实际问题导入，如测量高楼的高度、计算两岸垂直相距较远的两点之间的距离等。

通过这些问题，引导学生思考如何利用三角函数和解三角形的知识来解决实际问题。

（二）三角函数的定义和性质1. 讲解正弦函数和余弦函数的定义，即直角三角形中的对边与斜边的比值；2. 介绍正弦函数和余弦函数的性质，如周期性、奇偶性等；3. 引导学生计算角度的度数和弧度的换算，并讲解正弦函数和余弦函数的图像特点。

（三）解三角形的基本概念和原理1. 讲解解三角形的基本概念，如角、边、高、中线等；2. 介绍解三角形的原理，即利用已知条件和三角函数的性质来确定未知边和角的关系。

（四）解三角形的常用方法1. 讲解正弦定理和余弦定理的原理和推导过程；2. 引导学生通过实例学会应用正弦定理和余弦定理解决三角形的问题；3. 介绍解直角三角形的特殊方法，如利用三角函数和勾股定理求解。

（五）练习与巩固布置相关练习题，包括计算正弦、余弦的值，解决三角形问题等。

通过练习，巩固学生对于三角函数与解三角形的理解和应用能力。

五、教学辅助手段1. 教学PPT：展示三角函数和解三角形的定义、性质、公式和解题步骤；2. 白板和马克笔：用于引导学生演算题目和解题思路。

六、教学评价与反思本节课教学以生活实际问题为切入点，通过讲解三角函数的定义和性质以及解三角形的基本概念和原理，引导学生掌握三角函数的计算和解决三角形问题的方法。

《解三角形应用举例》教案（4）教学目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；2．通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三.3．进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力4．让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验.教学重点难点1．重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.2．难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教法与学法1．教法选择：教学形式采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作交流得出转化问题方法.2．学法指导：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣三、思维拓展，课堂交流 3AB AC ⋅=．（II ）若b c +=，253AB AC ⋅=cos 3,A =bc ∴1sin 2bc A ==）对于5bc =，又5,1b c∴==或1,5b c==，由余弦定理得2222cos20a b c bc A=+-=，25a∴=四、归纳小结，课堂延展教学环节教学过程设计意图师生活动归纳小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.回顾解斜三角形的一般题型，便于学生在复习中更深入的思考,更广泛的研究解三角形.由学生谈体会，师生共同归纳总结.巩固创新课堂延展1 .△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：A2．某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)答案：当AB分别在OA、OB上离O点既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外.学生课下通过练习，巩固正余弦定理的理解.1．教材地位分析解三角形应用举例(4)是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，是在学习了测量距离、高度、角度问题后，有了解三角形方法的初步体验，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在计算三角形面积、判断三角形形状、证明恒等式中的应用.本节课是解三角形应用举例第四阶段，为前面学习测量距离、高度、角度问题做了总结，是前面问题的进一步深化.2．学生现实状况分析通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法.但学生对正弦定理和余弦定理应用范围、应注意的问题缺乏清晰的概念.因此，本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型.另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解.只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点.。

解直角三角形复习教案一、教材分析《解直角三角形》是在苏教版九年级（下）第7章《解直角三角形》第5节内容。

教学内容是能利用直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）解直角三角形。

通过学习，学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。

它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。

它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

二、目的分析在知识上，本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形。

在培养能力上，通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”思想。

三、重难点分析1.教学重点：正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形2.教学难点：选择适当的关系式解直角三角形四、中考考点分析1.边角关系的求解（知二便可求一）：（1）已知一边一角求其他的边角；（2）已知两边求其他的边角2.特殊角的三角函数求值3.解直角三角形与实际问题,如测山高、塔高、船的航行距离、堤坝的横截面、穿越公园问题、台风侵袭问题、航行触礁（进入危险区）问题等是反复考查的重点内容.（掌握仰角和俯角、坡度和坡角、方向角）五、教法分析因为是复习课，所以我们应该针对学生的实际状况，找准学生的薄弱之处，梯度的，逐点的进行突破。

通过讲例题，做习题，讲练结合，系统归纳，方法总结，以达到查漏补缺的目的。

我在教学的过程中是采取启发和引导的方式进行。

比如，在讲解例题的时候，我习惯先让学生琢磨这道题目的思路和方法，要求学生说清楚每个步骤做法的理由，在这个过程中，我就能很清晰地了解学生的薄弱环节和擅长之处，从而有针对性的教学。

在学生练习的过程中要是算错或用错定理公式，我不会立即就指出，而是在学生做完之后再引导他发现自己的错误之处。

高中数学解三角形教案
一、教学目标：
1. 了解三角形的定义和性质；
2. 掌握解三角形的方法；
3. 能够运用解三角形的知识解决实际问题。

二、教学重点：
1. 三角形的定义和性质；
2. 解三角形的方法。

三、教学内容：
1. 三角形的定义和性质
2. 解三角形的方法
3. 实例分析
四、教学步骤：
1. 师生互动导入：通过实际例子引入三角形的定义和性质，例如让学生观察周围的物体，
找到其中的三角形并进行分类，引导学生讨论三角形的定义和性质。

2. 教学讲解：讲解三角形的定义和性质，包括三角形的内角和为180度、三边之和大于第三边等性质，引导学生理解三角形的基本概念。

3. 解三角形的方法：介绍解三角形的方法，包括余角、角平分线、作图等方法，讲解每种
方法的应用场景和步骤。

4. 实例分析：通过实际例子进行分析和讨论，引导学生运用解三角形的方法解决实际问题，加深对知识的理解和应用能力。

五、教学评价：
教师可通过课堂练习、作业和小测验等方式进行教学评价，检验学生对三角形的理解和解
题能力。

六、拓展延伸：
师生可通过课外探究、实验等方式拓展三角形的相关知识，激发学生的学习兴趣，提高学
生的综合能力。

七、教学反思：
教师应及时总结本节课的教学效果，结合学生的表现和反馈，不断优化教学方法，提高教学质量。

高三一轮 3.7 解三角形【教学目标】1。

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2。

本部分是高考中的重点考查内容,主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积及解三角形的具体应用问题.【重点难点】1。

教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】cos A ≠..的最大值ac 0B <∠(2)(1)2cos 由可知A =-02cos A A <∠+7.(20162cos (cos 全国课标已知C a ((((1)2cos cos 2cos sin sin (0,C a C A A B A C π++∴+∈(2)c =若2(2)7a =由余弦定理即1∠A为锐角∠A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a〈b a≥b a〉b 解的个数一解两解一解一解知识点3 三角形常用面积公式(1)S＝错误!a·h a(h a表示边a上的高）;(2）S＝12ab sin C＝12ac sin B＝错误!bc sin A；(3）S＝错误!r(a＋b＋c)（r为内切圆半径)．名师点睛：1．必会结论引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理识别能力和解题效率。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构.1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.【解析】由题意，在△ABC 中,∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°。

苏教版高中高三数学必修5《解三角形》教案及教学反思一、教学背景《解三角形》是高中数学必修5中的重要章节，这一章的重点是如何通过已知角度或边求解三角形的其他未知角度和边长。

在这一章中，学生需要掌握三角函数的基本概念和运用，特别是正弦、余弦和正切，同时还需要掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。

本节课程旨在帮助学生深刻理解三角函数的概念和应用，掌握几何意义和图形意义，同时加强学生的数学思维和推理能力。

二、教学目标1.理解三角函数的基本概念，特别是正弦、余弦和正切。

2.掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。

3.能够运用所学的知识，解决实际问题。

4.提高学生的数学思维和推理能力。

三、教学内容1. 三角函数的基本概念正弦、余弦和正切•正弦函数：$\\sin A = \\frac{a}{c}$•余弦函数：$\\cos A = \\frac{b}{c}$•正切函数：$\\tan A = \\frac{a}{b}$其中，a、b、c分别表示三角形的三条边，A表示对应的内角。

2. 三角函数的运算法则和三角三边的关系三角函数的运算法则•$\\sin (A \\pm B) = \\sin A \\cos B \\pm \\cos A \\sin B$•$\\cos (A \\pm B) = \\cos A \\cos B \\mp \\sin A \\sin B$•$\\tan (A \\pm B) = \\frac{\\tan A \\pm \\tan B}{1 \\mp \\tan A \\tan B}$三角三边的关系•正弦定理：$\\frac{a}{\\sin A} =\\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2R$•余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \\cos A$•正切定理：$\\tan \\frac{A}{2} = \\frac{r}{s - a}$其中，R表示三角形外接圆半径，r表示三角形内切圆半径，s表示三角形半周长。

模块一：解三角形复习2.1.1 正弦定理教学过程： 一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin A =c a sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b cA B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin cC. 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===同理sin b B =2R ，sin c C＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j r 垂直于AC u u u r ，由AC u u u r +CB u u u r =AB u u ur 边同乘以单位向量j r得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆==中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角③ 练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C++++.2.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，∴()()AC AC AB BC AB BC •=+•+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222AB AB BC BC =+•+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+•-+ou u u r u u u r u u u r u u u r 222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？→ 余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法）（答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.2.1 .3 正弦定理和余弦定理（练习）一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. (i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝6π，a ＝25b ＝50； (iii ) A ＝6π，a＝，b ＝； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝50； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝10 例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABCa b c A ABCa b c A∆是锐角三角形ABC③出示例4：已知△ABC中，cos cosb Cc B=，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？→再思考：又如何将角化为边？3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB=，求a bb+的值2. 在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝4:5:6，则cos A:cos B:cos C＝.3. 作业：2.2三角形中的几何计算一、 设疑自探正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用。