北师大版必修5高中数学第二章解三角形的实际应用举例word教案1

1.2 余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点)2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)1.通过余弦定理的推导提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理在解三角形中的应用提升数学运算素养.1．余弦定理阅读教材P 49～P 50例4以上部分，完成下列问题．语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab作用实现三角形边与角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？[提示] 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？ [提示] ①已知两边及其夹角，解三角形； ②已知三边，解三角形．2．余弦定理的推导如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 那么c ＝a －b ． |c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ． 同理可证：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22abA [由余弦定理知选A ．]2．在△ABC 中，若已知a ＝2，b ＝3，c ＝5，则cos A ＝_____________. 53 [cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋5－42×3×5＝53.] 3．在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝2，c ＝1，则a ＝________. 3 [a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a ＝ 3.]已知两边及一角解三角形【例1】 (1)已知△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为________． (1)5 (2)7 [(1)A 为b ，c 的夹角，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍去)．(2)在△ABC 中，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2×33×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49. 所以b ＝7.](1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． [提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1．(1)在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________. (2)在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ． (1)19 [由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， 所以c ＝19.] (2)[解] 由余弦定理， 得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，即bc ＝15， 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3.已知三边(三边关系)解三角形【例2】 (1)在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C ．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，求cos A ．[解] (1)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2， 可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3x 2＋4x 2－x22×3x ×2x＝32， 故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.(2)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ． 所以cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2．(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． (1)C [由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )可得a 2－c 2＝b 2＋bc ，即a 2＝c 2＋b 2＋bc ．根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝120°.故选C ．] (2)[解] 由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以，所求中线长为7.三角形形状的判断1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 能．由正弦定理和sin A ＝sin B 知a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． 2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 不能．由sin 2A ＝sin 2B 得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，要判定三角形的形状，是把a cos A ＝b cos B 中的边化为角，还是把角化为边？[提示] 都可以，化角为边：由余弦定理得a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得(a ＋b )(a －b )(c 2－a 2－b 2)＝0，故a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．化边为角：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定． 思路二：从边的关系判定． 思路三：从边与角的关系判定．【例3】 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解] 法一：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b ．又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ．所以△ABC 为等边三角形．法二：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ， 所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ． 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1．(变条件)把例3的条件换为：b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，判断△ABC 的形状． [解] 法一：由条件b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A 得cos A ＝b 2c ＝c2b ，即b ＝c ，把b ＝c 代入b ＝2c cos A 得cos A ＝12，所以A ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．法二：由正弦定理知sin B ＝2sin C cos A ，sin C ＝ 2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即sin C cos A ＝sin A cos C ，所以sin(A －C )＝0，A ＝C ， 同理可得A ＝B ，所以三角形△ABC 为等边三角形．2．(变条件)把例3的条件换为：cos 2A 2＝b ＋c 2c，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵cos 2A 2＝1＋cos A 2且cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝b c . 由正弦定理，得cos A ＝sin Bsin C ，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0.∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二：同法一得cos A ＝b c .由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 是锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若已知a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可以解三角形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)错误，如已知a ，b 和A ，可利用公式a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 求c ，进而可求角B 和C ．(2)错误，由b 2＋c 2＞a 2和cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc可得cos A ＞0，则A 是锐角，但角B 或C 可能是钝角，△ABC 未必是锐角三角形．(3)错误，已知△ABC 三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．2．若△ABC 的三边满足a ∶b ∶c ＝2∶2∶3，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形A [设a ＝2k ，b ＝2k ，c ＝3k ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2k 2＋3k 2－4k 22×2k ×3k ＝126＞0，故A是锐角，且A ＞B ＞C ，所以△ABC 是锐角三角形．]3．在△ABC 中，b 2＋a 2＝c 2＋ab ，则角C ＝________. π3 [由b 2＋a 2＝c 2＋ab 得b 2＋a 2－c 22ab ＝12， 即cos C ＝12，又C ∈(0，π)，故C ＝π3.]4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－(b －c )2bc ＝1时，求A ．[解] 由a 2－(b －c )2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝π3.。

1.3.2解三角形应用举例(第二课时)教学目标:知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。

采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。

作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件学法:画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力。

日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程。

（4）教学设想:1、 设置情境:提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题2、 新课讲授例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。

解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。

由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得AC = )sin(sin βαβ-aAB = AE + h = AC αsin + h = )sin(sin sin βαβα-a + h例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。

§3 解三角形的实际应用举例1．掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点) 2．了解测量的方法和意义．(难点)3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点)[基础·初探]教材整理 实际问题中的有关术语阅读教材P 58～P 61“练习2”以上部分完成下列问题．30°判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)方位角大小的范围是[0,2π]，方向角大小的范围一般是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.( )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )【解析】 (1)俯角是铅垂线与水平线所成的角． (2)根据方位角与方向角的定义可知．(3)方位角与方向角都是确定观察点与目标点之间的位置关系． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√[小组合作型]图2-3-1如图2-3-1，某货轮在A 处看灯塔B 在北偏东75°，距离为126n mile的点处，在A 处看灯塔C 在北偏西30°，距离为83n mile 的点处，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 位于北偏东120°.求：(1)A 与D 的距离； (2)灯塔C 与D 的距离．【精彩点拨】 (1)在△ABD 中，可知AB ＝126，B ＝45°，∠ADB ＝60°，于是可利用正弦定理求AD .(2)要求CD 的长，可在△ACD 中，由余弦定理解决．【尝试解答】 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°. 由正弦定理得AD ＝AB ·sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24 n mile.故A 与D 的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝8 3 n mile ，故灯塔C 与D 的距离为83n mile.1．求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．2．在实际测量距离问题中，常涉及“方位角”与“方向角”的概念，应正确理解并区分这两个概念．(1)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B处的方位角为α.(2)方向角：指从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，即为方向角．[再练一题]1．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离.【导学号：47172026】【解】如图所示，在△ABC中，A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°.AB＝30×0.5＝15 n mile.由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，。

1.2 余弦定理阅读教材P 49～P 50例4以上部分，完成下列问题．[提示] 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？ [提示] ①已知两边及其夹角，解三角形； ②已知三边，解三角形． 2．余弦定理的推导如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 那么c ＝a －b ． |c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－2ab cos C 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ． 同理可证：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( )A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos AC ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22abA [由余弦定理知选A ．]2．在△ABC 中，若已知a ＝2，b ＝3，c ＝5，则cos A ＝_____________. 53 [cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋5－42×3×5＝53.] 3．在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝2，c ＝1，则a ＝________. 3 [a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a ＝ 3.]已知两边及一角解三角形【例1】 (1)已知△ABC 中，cos A ＝5，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为________． (1)5 (2)7 [(1)A 为b ，c 的夹角，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍去)．(2)在△ABC 中，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2×33×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49. 所以b ＝7.](1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． [提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1．(1)在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________. (2)在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ．(1)19 [由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， 所以c ＝19.] (2)[解] 由余弦定理， 得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12， 即bc ＝15，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3.已知三边(三边关系)解三角形【例2】 (1)在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C ．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，求cos A ． [解] (1)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2， 可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3x 2＋4x 2－x22×3x ×2x＝32， 故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.(2)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ． 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2．(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． (1)C [由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )可得a 2－c 2＝b 2＋bc ，即a 2＝c 2＋b 2＋bc ．根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝120°.故选C ．] (2)[解] 由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 则x ＝7.所以，所求中线长为7.三角形形状的判断1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 能．由正弦定理和sin A ＝sin B 知a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． 2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 不能．由sin 2A ＝sin 2B 得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，要判定三角形的形状，是把a cos A ＝b cos B 中的边化为角，还是把角化为边？[提示] 都可以，化角为边：由余弦定理得a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得(a ＋b )(a －b )(c 2－a 2－b 2)＝0，故a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．化边为角：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B或2A ＋2B ＝π，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定． 思路二：从边的关系判定． 思路三：从边与角的关系判定．【例3】 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解] 法一：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b ．又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ．所以△ABC 为等边三角形．法二：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ， 所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ． 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1．(变条件)把例3的条件换为：b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，判断△ABC 的形状． [解] 法一：由条件b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A 得cos A ＝b 2c ＝c2b ，即b ＝c ，把b ＝c代入b ＝2c cos A 得cos A ＝12，所以A ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．法二：由正弦定理知sin B ＝2sin C cos A ，sin C ＝ 2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即sin C cos A ＝sin A cos C ，所以sin(A －C )＝0，A ＝C ， 同理可得A ＝B ，所以三角形△ABC 为等边三角形．2．(变条件)把例3的条件换为：cos 2A 2＝b ＋c 2c，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵cos 2A 2＝1＋cos A 2且cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝b c . 由正弦定理，得cos A ＝sin Bsin C ，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0.∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二：同法一得cos A ＝b c .由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 是锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若已知a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可以解三角形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)错误，如已知a ，b 和A ，可利用公式a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 求c ，进而可求角B 和C ．(2)错误，由b 2＋c 2＞a 2和cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc可得cos A ＞0，则A 是锐角，但角B 或C可能是钝角，△ABC 未必是锐角三角形．(3)错误，已知△ABC 三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．2．若△ABC 的三边满足a ∶b ∶c ＝2∶2∶3，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形A [设a ＝2k ，b ＝2k ，c ＝3k ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2k 2＋3k 2－4k 22×2k ×3k ＝126＞0，故A 是锐角，且A ＞B ＞C ，所以△ABC 是锐角三角形．]3．在△ABC 中，b 2＋a 2＝c 2＋ab ，则角C ＝________. π3 [由b 2＋a 2＝c 2＋ab 得b 2＋a 2－c 22ab ＝12， 即cos C ＝12，又C ∈(0，π)，故C ＝π3.]4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－(b －c )2bc ＝1时，求A ．[解] 由a 2－(b －c )2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝π3.。

第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1 正弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．2．过程与方法让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的能力．●重点难点重点：正弦定理的探索的证明及其应用．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数．(教师用书独具)●教学建议已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数，此类问题有两个、一个、零个的情况，需要进行讨论，可做如下处理：在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：A为锐角A为钝角或直角图 像关系式 ①a ＝b sin A②a ≥b b sin A<a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数 一解两解无解一解无解●教学流程创设问题情境，提出了2个问题⇒通过引导学生回答所提问题，理解正弦定理及三角形面积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用正弦定理解三角形问题⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角形面积公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握判断三角形的形状问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第32页)课标解读1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，了解其向量证法(难点)．2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).正弦定理【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，试问a sin A ，b sin B ，csin C 的值相等吗？为什么？对于一般的三角形而言，a sin A ，b sin B ，csin C的值是否相等？【提示】 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c且C ＝90°， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.对一般的三角形而言，也相等． 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示 asin A ＝bsin B ＝csin C比值的 含义a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(其中R 为△ABC 的外接圆半径)变形(1)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C.作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系三角形面积公式【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等吗？猜想一下在一般三角形中是否成立？【提示】 ∵C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝12ab sin C ，设边c 上的高为h ， 则sin B ＝ha ，sin A ＝h b，∴S △ABC ＝12hc ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，∴在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等．猜想在一般三角形中也成立．三角形ABC 的面积：S ＝12ab sin__C＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ．(对应学生用书第32页)利用正弦定理解三角形在△ABC 中，(1)若A ＝45°，B ＝30°，a ＝2，求b ，c 与C ； (2)若B ＝30°，b ＝5，c ＝53，求A 、C 与a .【思路探究】 (1)已知A ，B ，如何求C ？在正弦定理中b ，c 分别怎样表示？ (2)已知B ，b ，c 运用正弦定理可先求出哪个量？ 【自主解答】 (1)由三角形内角和定理，得：C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 30°sin 45°＝2×1222＝2，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1. (2)∵b ＝5，c ＝53，B ＝30°， ∴c ·si n B <b <c ， ∴△ABC 有两解， 由正弦定理得：sin C ＝c sin B b ＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，易得a ＝10； 当C ＝120°时，A ＝30°，此时a ＝b ＝5.1．已知两角与任一边解三角形，可先利用三角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求出两未知边．2．已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，判断三角形解的个数，有以下两种方法： 法一 作图判断．作出已知角A ，边长b ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，与射线AB 的公共点(除去顶点A )的个数即为三角形解的个数．法二 根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ，当b sin A a >1时，无解；当b sin Aa＝1时，有一解；当b sin Aa<1时，如果a ≥b ，即A ≥B ，则B 一定为锐角，有一解；如果a <b ，即A <B ，有两解．本例(2)中，若B ＝60°，b ＝43，a ＝42，如何求解？ 【解】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得 sin A ＝a sin Bb ＝42sin 60°43＝22， 又a ＜b ，∴A ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°.∴c ＝b sin C sin B ＝43sin 75°sin 60°＝43×2＋6432＝2(2＋6)．三角形的面积问题在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)先寻找角A 、B 间的关系，再求sin A. (2)先由正弦定理求BC ，再代入三角形的面积公式求解． 【自主解答】 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0＜A ＜π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin BAC ＝32，又C ＝π2＋A ，∴sin C ＝cos A ＝63.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A＝3 2.1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a 、h b 、h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．已知△ABC 中，AB →·AC →<0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则∠BAC ＝( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150° 【解析】 由S △ABC ＝154，得12×3×5sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又由AB →·AC →<0，得∠BAC >90°， ∴∠BAC ＝150°. 【答案】 C判断三角形的形状已知△ABC 中，b sin B ＝c sin C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形(如a ＝2R sin A )，将条件中的角化为边，或将边化为角，从而进行判断．【自主解答】 法一 由b sin B ＝c sin C 得，2R sin 2B ＝2R sin 2C ， 即sin 2B ＝sin 2C. ∵0<B <π，0<C <π， ∴sin B >0，sin C >0. ∴sin B ＝sin C ，∴B ＝C.又sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，A ＝π－(B ＋C )＝π－2B ， ∴sin 22B ＝2sin 2B. 即4sin 2B ·cos 2B ＝2sin 2B. ∴cos 2B ＝12.由A ＝π－2B ∈(0，π)知，0<B <π2.∴cos B ＝22，∴B ＝π4，A ＝π2. 故△ABC 是等腰直角三角形．法二 由b sin B ＝c sin C 得：b ·2R sin B ＝c ·2R sin C ， ∴b 2＝c 2，b ＝c .由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得，(2R sin A )2＝(2R sin B )2＋(2R sin C )2， ∴a 2＝b 2＋c 2，结合b ＝c 知，△ABC 为等腰直角三角形．1．本题已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．2．在正弦定理的推广中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 是边化角的主要工具．其他变形还有角化边，如sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，借助正弦定理可以进行三角形形状的判断，三角恒等式的证明．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．【解】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)，得 4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B. ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B. ∴A ＋B ＝π2或A －B ＝0.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(对应学生用书第34页)解三角形时忽视讨论致误在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求△ABC 的面积．【错解】 由正弦定理得： sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32， ∴B ＝60°.故C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， 在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6， 故S △ABC ＝12ab ＝12×23×6＝6 3.【错因分析】 上述解答错误之处在于在利用正弦定理求得sin B ＝32后直接得出B ＝60°，未对解的情况作出判断和讨论，从而导致丢解．【防范措施】 遇到已知两边及其中一边对角解三角形时一定要讨论． 【正解】 由正弦定理得， sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32. 由b ＝6，a ＝23知，b >a ，∴B >A ＝30°. ∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝90°. ∴S △ABC ＝12ab ＝12×6×23＝6 3.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝30°. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×23×sin 30°＝3 3.综合以上得△ABC 的面积为63或3 3.1．应用正弦定理可解决两类三角形问题：(1)已知三角形两角及一边；(2)已知两边及其中一边的对角． 2．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．3．正弦定理揭示了三角形中边、角之间的数量关系，可以借助三角形外接圆的半径，用边表示角或用角表示边，从而在解决有关问题时，可利用其“化边为角”或“化角为边”．(对应学生用书第34页)1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∴a sin B ＝b sin A.【答案】 C2．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．4 3D ．4 5【解析】 由三角形内角和定理知B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝8·sin 30°sin 45°＝4 2.【答案】 B3．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________．【解析】 根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得3sin A ＝2sin C sin A ， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角，∴C ＝π3. 【答案】π34．在△ABC 中，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C. 【证明】 由正弦定理得a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ab ＝a b sin 2B ＋basin 2A＝sin A ·sin 2B sin B ＋sin B ·sin 2Asin A＝2(sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ) ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，故原式成立．(对应学生用书第97页)一、选择题1．在△ABC 中，下列a 与b sin A 的关系正确的是( ) A ．a >b sin A B ．a ≥b sin A C ．a <b sin A D ．a ≤b sin A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以a ＝b sin Asin B，又因为sin B ∈(0，1]， 所以a ≥b sin A. 【答案】 B2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 【解析】 ∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个． 【答案】 B3．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝45°，c ＝6，则△ABC 的面积为( ) A ．9＋3 3 B.9（6－2）2C.9＋332 D.9（6＋2）2【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，b ＝c sin Bsin C＝6×2232＝26，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×26×6×6＋24＝9＋3 3.【答案】 A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解析】 ∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )， 化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0， ∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 D5．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425【解析】 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A 二、填空题6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】637．(2013·济南高二检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×sin 60°3＝12， 又a <b ，∴A ＝30°.∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C ＝1. 【答案】 18．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2. 【答案】 2 三、解答题9．在△ABC 中，c ＝6，A ＝45°，a ＝2，求b 和B ，C. 【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32. ∵c sin A ＜a ＜c ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1， ∴当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.10．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状．【解】 由lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2， 得sin B ＝22，又B 为锐角， ∴B ＝45°，又a c ＝22，∴sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )， ∴sin C ＝sin C ＋cos C ， ∴cos C ＝0，即C ＝90°， 故此三角形是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．【解】 设△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . 由tan B ＝3，得B ＝60°， ∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，由正弦定理得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23， ∴三角形面积S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.(教师用书独具)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．【思路探究】 (1)本题可考虑把边化为角，通过寻找三角形角与角之间的关系求解； (2)将周长表示为三角形某内角的函数，通过求函数的值域来求周长的取值范围． 【自主解答】 (1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ， c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．利用正弦定理可以实现边、角互化(1)将边转化为角：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)将角转化为边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.已知△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1－c 2a ＝sin （B －C ）sin （B ＋C ），求cosA ＋C2的值．【解】 由正弦定理以及sin A ＝sin(B ＋C )，得： 1－sin C 2sin A ＝sin （B －C ）sin A， 整理得2sin A －sin C ＝2sin(B －C )， ∴4cos B sin C ＝sin C ， 又sin C ≠0， ∴cos B ＝14，∴1－2sin 2B 2＝14，sin B 2＝64， ∴cosA ＋C2＝cos π－B 2＝sin B 2＝64. 趣味材料中国南宋末年数学家秦九韶发现三斜求积公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积．“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积．”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：S ＝14[a 2c 2－（a 2＋c 2－b 22）2]，这里a >b >c .1．2 余弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．(教师用书独具)●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)课标解读1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)． 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).余弦定理【问题导思】图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长． |c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C. 余弦定理语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C.推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.作用 实现三角形边与角的互化.(对应学生用书第35页)利用余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，若a ＝1，b ＝1，C ＝120°求c ；(2)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各内角的度数． 【思路探究】 (1)直接利用余弦定理求解． (2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解． 【自主解答】 (1)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1－2cos 120°＝3， ∴c ＝ 3.(2)∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件． 2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π4，b ＝2，S △ABC＝2，求a .(2)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，求△ABC 中最大角的度数．【解】 (1)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22c ＝22c ＝2，所以c ＝2 2.根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a ＝2. (2)∵a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，∴令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝13k (k ＞0)，由b ＜a ＜c ，知C 为△ABC 最大内角，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C ＜180°∴C ＝150°.判断三角形的形状在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．【思路探究】 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】 法一 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B. 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．1．本题解法一利用了边的关系判断，解法二利用了角的关系判断．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．若将例题中的条件改为“△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c”，试判断△ABC 的形状．【解】 法一 ∵cos 2A 2＝1＋cos A2且cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc. 由正弦定理，得cos A ＝sin B sin C，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二 同法一得cos A ＝b c.由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．正、余弦定理的综合应用在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .【思路探究】 先根据正弦定理求出a ，c 的值，再利用余弦定理建立b 的方程求b . 【自主解答】 由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ＝32， 又a ＋c ＝10， ∴a ＝4，c ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2－9b ＋20＝0， 解得b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时， ∵a ＝4，∴A ＝B ，又C ＝2A 且A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝45°与cos A ＝34矛盾，舍去，∴b ＝5.1．本题易忽视检验b ＝4的情况导致出错．2．余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B. 求证：A ＋B ＝120°.【证明】 由(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B 可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sinB.由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，∴a 24R 2＋b 24R 2－c 24R 2＝a 2R ·b2R， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°， ∴A ＋B ＝120°.(对应学生用书第37页)转化思想在三角形中的应用(12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 可以把角转化为边，也可以把边转化为角来处理． 【规范解答】 法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C.代入a cos A ＝b cos B ＝c cos C 中，得：2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin C cos C，4分即sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ．10分又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴A ＝B ＝C. ∴△ABC 是等边三角形.12分 法二 由余弦定理得a ·2bcb 2＋c 2－a 2＝b ·2ac a 2＋c 2－b 2＝c ·2aba 2＋b 2－c 2，6分∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2. 得a 2＝b 2＝c 2，即a ＝b ＝c .10分∴△ABC 是等边三角形.12分转化也称化归，它是将未知的，陌生的，复杂的问题转为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题解决的数学思想．在解三角形时，若已知条件中含边角共存的关系式时，往往可利用正弦定理或余弦定理实现边角间的互化，从而发现各元素间的关系．1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具，可解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角； (2)已知三边求三角．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，可利用正弦定理或余弦定理转化为边的关系作代数运算，也可转化角的关系，通过三角变换求解．(对应学生用书第37页)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，C ＝120°，则c 为( ) A.41 B.61 C.41或61 D.21【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝25＋16＋2×5×4×12＝61.∴c ＝61.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为( ) A ．60° B ．90° C．120° D ．150° 【解析】 ∵c ＞a ＞b ，∴C 是最大角，由余弦定理得：cos C ＝（3＋1）2＋（3－1）2－（10）22×（3＋1）×（3－1）＝8－104＝－12.∴C ＝120°.【答案】 C3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【解析】 由正弦定理知a ∶b ∶c ＝5∶11∶13， 设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（5k ）2＋（11k ）2－（13k ）22×5k ×11k ＝－23110<0，∴C 为钝角．【答案】 C4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－（b －c ）2bc ＝1时，求A.【解】 由a 2－（b －c ）2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(对应学生用书第99页)一、选择题1．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2【解析】 在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4，∴b ＝2. 【答案】 A2．a 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么a 2－ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， 所以a 2－ac ＋c 2－b 2＝(a 2＋c 2－ac )－b 2＝b 2－b 2＝0. 【答案】 C3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， ∴6＝a 2＋2＋2a ，∴a ＝2或－22(舍去)． 【答案】 D4．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解】 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2＜c 24R2，∴a 2＋b 2＜c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19【解析】 由余弦定理的推论cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝5×7×(－1935)＝－19.【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )，则A ＝________. 【解析】 由(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )得a 2－c 2＝b 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝bc 与余弦定理b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 比较知cos A ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°7．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________． 【解析】 ∵a 是最大边，∴A ＞π3，又a 2＜b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2.【答案】 (π3，π2)8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，整理得15b －60＝0.∴b ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知△ABC 的顶点为A (2，3)，B (3，－2)和C (0，0)，求∠AB C. 【解】 |AB |＝（3－2）2＋（－2－3）2＝26， |BC |＝（0－3）2＋[0－（－2）]2＝13， |CA |＝（2－0）2＋（3－0）2＝13， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝（13）2＋（26）2－（13）22×13×26＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π4.10．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sinC －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B ·sin C.结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0， 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4. ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)由(1)(2)知，a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形．11．(2013·潍坊高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cosA ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒ 2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 代入b ＋c ＝4得bc ＝3，故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.(教师用书独具)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.【思路探究】 本题可考虑把边化为角，通过三角变换寻找等式左、右两边的联系． 【自主解答】 由余弦定理可知：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B则a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc ·cos A ＋2ac ·cos B ， 整理得：a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ， 又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .【解】 法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ， 由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ， ∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin Bsin C，又由已知得，sin Bsin C ＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②由①②得b ＝4.§2三角形中的几何计算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握正、余弦定理解任意三角形的方法，体会正、余弦定理在平面几何计算与推理中的作用．2．过程与方法能过图形的观察、识别、分析、归纳来正确选择正、余弦定理．3．情感、态度与价值观通过本节课的探究，培养学生勇于探索、创新的学习习惯．●重点难点重点：利用正、余弦定理解决三角形中的几何计算．难点：将几何计算转化为解三角形问题．(教师用书独具)●教学建议通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．其次，在教学中还要让学生分析讨论，明确正、余弦定理各自实用的范围．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题理解三角形中的几何计算——长度、角度、面积等⇒通过例1及变式训练，使学生掌握与长度或角度有关的问题的计算⇒通过例2及变式训练，使学生掌握有关面积问题的处理⇒通过例3及变式训练，使学生进一步掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第38页)课标解读1.掌握正、余弦定理解任意三角形的方法(重点)．2．提高分析问题解决问题的能力(难点).三角形中的几何计算【问题导思】图2－2－1如图2－2－1，2011年8月，利比亚战争期间，北约为了准确分析战场形势，由位于相距32a的英法两军事基地C和D，测得卡扎菲的两支精锐部队分别位于A、B两处，且∠ADB＝∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.试问你能根据实例中测量的数据计算卡扎菲这支精锐部队的距离吗？【提示】在△BCD中用正弦定理求出BC，在△ABC中用余弦定理求AB的长．(对应学生用书第38页)与长度或角度有关的问题图2－2－2(2013·中山高二检测)在△ABC 中，已知B ＝30°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，(1)求∠ADC 的大小； (2)求AB 的长．【思路探究】 (1)在△ACD 中已知了AD 、AC 、DC ，可根据余弦定理求∠AD C. (2)在△ABD 中，可用正弦定理求A B.【自主解答】 (1)在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°.(2)由(1)知∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝10，B ＝30°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 30°＝10×3212＝10 3.1．正弦、余弦定理是解三角形常用的两个重要定理，在使用时要根据题设条件，恰当选择定理，使求解更方便、简捷．2．解决此类问题要处理好两个方面：(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．图2－2－3如图2－2－3所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（23）22×2×23＝32， 则C ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有ADsin C＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝AC ·sin30°sin 45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 【答案】 2有关面积问题图2－2－4如图2－2－4所示，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC的面积．【思路探究】 先由余弦定理建立方程求CD 的长，再在△ACD 中由正弦定理求sin C ，进而可求△ABC 的面积．【自主解答】 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x . 在△CAD 中，由余弦定理可知 cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132，解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知ADsin C＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝AD CD·1－cos 2∠CAD ＝41－（3132）2＝387.∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×387＝1547. 即△ABC 的面积为1547.1．本题求三角形面积容易考虑用12×底×高，但高不易求得，应灵活应用三角形面积公式．2．涉及三角形面积问题通常选用S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．图2－2－5如图2－2－5所示，△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，B ＝60°，∠ADC ＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．【解】 在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°， ∴AD ＝BD sin 60°＝2×32＝3， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝(3)2＋12－2×3×1×cos 150°＝7，∴AC ＝7.又∵AB ＝BD cos 60°＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×3×32＝34 3.正、余弦定理的综合应用。

《解三角形的实际应用举例》教学设计一、教材依据本节教材选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(北师大版)，第58页第二章《解三角形》：第3小节《解三角形的实际应用举例》的第一课时。

二、设计思想【设计理念】理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。

首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。

理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。

总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变。

【教材分析】“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。

【学情分析】学生学习《解三角形的实际应用举例》之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。

根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。

三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。

【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析——建模——求解——检验。

北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

第六课时§2.3.1解三角形应用举例(一)一、教学目标：1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。

2、过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。

3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学方法：启发引导式四、教学过程Ⅰ.课题导入：1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]：请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.探析新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

第八课时§2.3.3解三角形应用举例（三）一、教学目标1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题。

2、过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。

除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。

课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

3、情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。

二、教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。

教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.探析新课[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB 。

解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理， AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222 =︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15根据正弦定理,CAB BC ∠sin = ABCAC ∠sin sin ∠CAB = AC ABC BC ∠sin = 15.113137sin 0.54︒≈0.3255,所以 ∠CAB =19.0︒,75︒- ∠CAB=56.0︒答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。

第七课时§解三角形应用举例（二）一、教课目的1、知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关底部不行抵达的物体高度丈量的问题。

2、过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延长。

采纳启迪与试试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、绘图、想图，帮助学生逐渐建立知识框架。

经过 3 道例题的安排和练习的训练来稳固深入解三角形实质问题的一般方法。

教课形式要坚持指引——议论——归纳，目的不在于让学生记着结论，更多的要养成优秀的研究、探究习惯。

作业设计思虑题，供给学生更广阔的思虑空间。

3、感情态度与价值观：进一步培育学生学习数学、应用数学的意识及察看、归纳、类比、归纳的能力。

二、教课要点：联合实质丈量工具，解决生活中的丈量高度问题。

教课难点：能察看较复杂的图形，从中找到解决问题的要点条件。

三、教课方法：探析归纳，讲练联合四、教课过程Ⅰ. 课题导入发问：现实生活中 , 人们是如何丈量底部不行抵达的建筑物高度呢？又如何在水平飞翔的飞机上丈量飞机下方山顶的海拔高度呢？今日我们就来共同商讨这方面的问题Ⅱ . 探析新课[ 典范解说 ]例 1、AB 是底部 B 不行抵达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种丈量建筑物高度AB的方法。

剖析：求 AB长的要点是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点察看 A 的仰角，就能够计算出AE 的长。

解：选择一条水平基线HG，使 H、G、 B 三点在同一条直线上。

由在H、G两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，依据正弦定理可得AC =asin，AB = AE + h= AC sin+ h =asin sin+ h sin()sin()例 2、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角=54 40，在塔底C处测得 A 处的俯角=50 1。

已知铁塔BC部分的高为27.3 m, 求出山高CD(精准到 1 m)师: 依据已知条件 , 大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生议论思虑）若在 ABD中求 CD，则要点需要求出哪条边呢？生：需求出 BD边。