第5课理想气体的热力学关系式

热力学中的理想气体定律
理想气体定律指的是理想气体的状态方程，它建立了气体的温度、体积和压力之间的关系。

理想气体定律可以表示为以下形式：PV = nRT
其中，P表示气体的压力（单位为帕斯卡），V表示气体的体积（单位为立方米），n表示气体的物质的量（单位为摩尔），R为气体常数（通常取为8.314 J/(mol·K)），T表示气体的温度（单位为开尔文）。

这个方程表明，在一定的温度和物质的量下，理想气体的压力和体积成反比，而且与其温度和物质量成正比。

这个方程可以用于描述理想气体在恒温、恒压或恒容条件下的行为。

在实际气体中，这个定律并不完全适用，因为实际气体会受到分子间相互作用、有限体积等因素的影响。

但在许多情况下，理想气体定律仍然可以提供一个良好的近似。

第五章气体的热力性质5．1 理想气体性质 (1)5．1．1 理想气体状态方程 (2)5．1．2 理想气体热系数 (3)5．1．3 理想气体热力学能和焓的特性 (4)5．1．4 理想气体熵方程 (4)5．2 理想气体比热容及参数计算 (5)5．2．1 比热容的单位及其换算 (5)5．2．2 理想气体比热容与温度的关系 (5)5．2．3 平均比热容 (6)5．2．4 理想气体性质特点 (11)5．3 实际气体状态方程 (11)5．3．1 范德瓦尔斯状态方程 (12)5．3．2 其它状态方程 (14)5．3．3 维里(Virial) 状态方程 (16)5．3．4 对比态状态方程 (17)5.4 实际气体比热容及焓、熵函数 (20)5．4．1 实际气体状态函数的推导方法 (20)5．4．2 计算气体热力性质的三种方法 (22)思考题及答案 (22)5．1 理想气体性质工质在通常的参数范围内可呈现为气、液、固三种聚集状态，或称三种相。

这里所谓的气体是指在其工作的参数范围内总是呈现为气态的工质。

例如空气、气体燃料、燃气(燃料燃烧生成的气体)，以及组成它们的单元气体氮、氢、氧、二氧化碳等等。

本节主要讲述理想气体性质。

理想气体性质是指当压力减小到趋于零时，气体热力性质趋近的极限情况。

这时，表达气体热力性质的各状态函数有最简单的形式。

在压力很低时，气体的比体积大而内部分子自身占有的体积相对极小；分子间的平均距离大，使分子间的相互作用力很小，以致可以忽略分子自身占有的体积和分子间的相互作用力对气体宏观热力性质的影响。

因此，常将分子自身不占有体积和分子之间无相互作用力作为理想气体的微观模型。

这也是理想气体性质有简单表达形式的内在原因。

尽管理想气体性质不能很精确地表达气体，特别是较高压力下气体的热力性质，但它在工程中还是具有很重要的实用价值和理论意义。

这是因为：第一，在通常的工作参数范围内，按理想气体性质来计算气体工质的热力性质具有足够的精确度，其误差在工程上往往是允许的。

热力学基础中的热力学关系与偏导数热力学是研究能量转化和能量传递规律的一门学科，它是理解和描述自然界中许多现象和过程的基础。

在热力学中，我们经常面对各种热力学关系和偏导数的计算，这些关系和计算方法对于热力学分析和应用具有重要意义。

一、热力学基本关系式在热力学中，存在着几个基本的热力学关系式，它们是从热力学基本定律出发推导得到的。

这些关系式包括了内能、焓、熵、体积和温度之间的关系。

1. 内能和焓的关系：根据热力学基本定律，系统的内能变化等于传递给系统的热量与系统对外界做功之和。

即ΔU = Q - W。

通过对焓的定义H = U + PV，可以得到焓的变化与系统的热量和外界做功之间的关系，即ΔH = Q。

2. 熵和热量的关系：根据热力学第二定律，任何孤立系统的熵都不会减少。

对于可逆过程，熵的变化等于传递给系统的热量除以系统的温度，即ΔS = Q/T。

这个关系式揭示了熵与热量和温度之间的关系。

3. 温度和焓的关系：根据热力学基本定律和热容的定义，对于恒容过程，热容Cv等于系统的内能对温度的偏导数，即Cv = (∂U/∂T)v。

对于恒压过程，热容Cp等于焓对温度的偏导数，即Cp = (∂H/∂T)p。

这两个关系式揭示了温度与内能和焓之间的关系。

二、热力学关系的应用热力学关系的应用范围广泛，涉及到能量转化、功的计算、热力学循环等方面。

1. 热力学循环：热力学循环是指在各种设备和系统中完成能量转化的循环过程。

通过运用热力学关系，我们可以计算热力学循环中的功、热量和效率等参数，从而优化系统设计和提高能源利用效率。

2. 非平衡态热力学：非平衡态热力学是研究热力学系统远离平衡态时的行为和规律的分支学科。

通过热力学关系的应用，我们可以对非平衡态过程进行定量的描述和分析，揭示系统的演化路径和性质。

三、热力学关系的计算方法对于热力学关系的计算，我们经常使用偏导数来描述系统的性质和变化。

偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的变化率。

理想气体的功与热的关系理想气体是物理学中一个重要的概念，它是指在一定温度和压力下，分子之间几乎不相互作用的气体。

对于理想气体，我们可以通过研究其功和热的关系来深入了解其性质和行为。

本文将围绕理想气体的功和热的关系展开论述。

一、理想气体的功对于理想气体，在物理学中我们通常关注它所做的功。

功的定义是对于恒力作用下，点的位移与力的夹角的乘积。

在理想气体中，当气体被压缩或膨胀时，分子的运动和位置会发生变化，从而产生功。

在等温过程中，理想气体的温度保持不变，即气体与周围环境之间有热量的交换，从而使气体做功。

根据热力学第一定律，等温过程中的功可以表示为：\[W = nRT \cdot \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)\]其中，W表示功，n为气体的物质量，R为理想气体常数，T为气体的温度，V1和V2分别表示气体的初始体积和最终体积。

在绝热过程中，理想气体与外界没有热量交换。

这意味着在气体被压缩或膨胀过程中，其温度会发生变化，从而产生功。

绝热过程中的功可以表示为：\[W = \frac{nC_v}{\gamma - 1} \cdot (T_2 - T_1)\]其中，Cv为气体的定容热容量，γ为气体的绝热指数(T2和T1分别为气体的初始温度和最终温度)。

二、理想气体的热理想气体的热是指在气体与外界有热量交换时，气体吸收或释放的热量。

热可以通过传导、辐射和对流等方式传递给理想气体。

对于理想气体，在等温过程中的热可以表示为：\[Q = nRT \cdot \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)\]其中，Q表示热，n为气体的物质量，R为理想气体常数，T为气体的温度，V1和V2分别表示气体的初始体积和最终体积。

在绝热过程中，理想气体与外界没有热量交换。

这意味着在气体被压缩或膨胀过程中，其温度会发生变化，从而产生热量。

绝热过程中的热可以表示为：\[Q = C_v \cdot (T_2 - T_1)\]其中，Cv为气体的定容热容量，T2和T1分别为气体的初始温度和最终温度。

1. 理想气体状态方程式nRT RT M m pV ==)/(或 RT n V p pV ==)/(m式中p ，V ，T 及n 单位分别为Pa ，m 3，K 及mol 。

m /V V n =称为气体的摩尔体积，其单位为m 3 · mol -1。

R =8.314510 J · mol -1 · K -1，称为摩尔气体常数。

此式适用于理想气体，近似地适用于低压的真实气体。

2. 气体混合物 （1） 组成摩尔分数 y B (或x B ) = ∑AA B /n n体积分数 /y B m,B B *=V ϕ∑*AVy Am ,A式中∑AA n 为混合气体总的物质的量。

Am,*V表示在一定T ，p 下纯气体A 的摩尔体积。

∑*AA m ,A V y 为在一定T ，p 下混合之前各纯组分体积的总和。

（2） 摩尔质量∑∑∑===BBBB B BB mix //n M n m M y M式中 ∑=BB m m 为混合气体的总质量，∑=BB n n 为混合气体总的物质的量。

上述各式适用于任意的气体混合物。

（3） V V p p n n y ///B B B B *===式中p B 为气体B ，在混合的T ，V 条件下，单独存在时所产生的压力，称为B 的分压力。

*B V 为B 气体在混合气体的T ，p 下，单独存在时所占的体积。

3. 道尔顿定律p B = y B p ，∑=BB p p上式适用于任意气体。

对于理想气体V RT n p /B B =4. 阿马加分体积定律V RT n V /B B =*此式只适用于理想气体。

1. 热力学第一定律的数学表示式W Q U +=∆或 'amb δδδd δdU Q W Q p V W =+=-+规定系统吸热为正，放热为负。

系统得功为正，对环境作功为负。

式中 p amb 为环境的压力，W ’为非体积功。

上式适用于封闭体系的一切过程。

2. 焓的定义式3. 焓变（1） )(pV U H ∆+∆=∆式中)(pV ∆为pV 乘积的增量，只有在恒压下)()(12V V p pV -=∆在数值上等于体积功。

理想气体的温度和热力学过程理想气体是热力学中的一个重要概念，它具有许多特殊性质和物理行为。

在研究理想气体时，温度和热力学过程是不可或缺的两个方面。

本文将从理想气体的温度概念入手，介绍理想气体的温度计算方法，并深入探讨理想气体在不同热力学过程中的性质和特征。

一、理想气体的温度概念理想气体的温度是衡量气体分子热运动程度的物理量。

根据理想气体状态方程PV=nRT（其中P为压力，V为体积，n为气体的物质量，R为气体常数，T为温度），我们可以得到理想气体的温度计算公式为T=PV/(nR)。

在理想气体中，温度与气体分子的平均动能直接相关。

根据气体动理论，理想气体的温度与气体分子的平均动能成正比。

因此，温度可以作为理想气体分子运动状态的指标，反映了气体内部分子的热运动情况。

二、理想气体的热力学过程理想气体在热力学过程中常常呈现出不同的性质和特征。

下面将介绍几种常见的热力学过程。

1. 等体过程（等容过程）等体过程是指理想气体在体积恒定的条件下发生的热力学过程。

在等体过程中，由于体积不变，所以做功为零，根据理想气体的内能变化公式ΔU=CvΔT（其中ΔU为内能变化量，Cv为定容热容量，ΔT为温度变化量），可以得知等体过程中内能变化与温度变化成正比。

2. 等压过程等压过程是指理想气体在压力恒定的条件下发生的热力学过程。

在等压过程中，气体对外界做功，而内能仅与温度变化有关。

根据理想气体的内能变化公式ΔU=CpΔT（其中ΔU为内能变化量，Cp为定压热容量，ΔT为温度变化量），可以得知等压过程中内能变化与温度变化成正比。

3. 等温过程等温过程是指理想气体在温度恒定的条件下发生的热力学过程。

在等温过程中，根据理想气体状态方程PV=nRT，可以得知等温过程中压力和体积呈反比。

由此可知，在等温过程中气体对外界做的功与体积变化成反比。

4. 绝热过程绝热过程是指理想气体在没有与外界发生热量交换的条件下发生的热力学过程。

在绝热过程中，气体内部没有热量的传递，所以内能不发生变化。

热力学中的理想气体和热量传递热力学是研究能量转化和能量传递的学科，理想气体是热力学中常见的一个概念。

理想气体是在一定温度下，气体分子之间无相互作用力，体积可忽略不计的模型。

在热力学中，我们可以通过理解理想气体以及热量传递的方式来解释和预测各种实际系统中的能量变化。

理想气体的特性让我们能够简化复杂的气体系统，并进行简单的计算。

根据理想气体定律，PV=nRT，其中P是气体的压强，V是气体的体积，n是气体的摩尔数，R是气体常数，T是气体的温度。

通过这个公式，我们可以推导出气体的状态方程，以及气体的性质与压强、温度和体积之间的关系。

热量传递是热力学中一个重要的概念。

热量传递是指通过热传导、热对流或热辐射等方式，把热能从一个物体传递到另一个物体的过程。

根据热传导定律，热量会自然地从高温区域传递到低温区域，直到两者达到热平衡。

在理想气体中，热量传递是通过分子间的碰撞实现的。

当我们把热源接触到一个理想气体系统时，热量会从热源传递到气体分子中，使其分子动能增加，从而提高气体的温度。

当气体与外界接触时，气体分子会与外界分子发生碰撞，将其动能传递给外界，使气体分子的动能减少，降低气体温度。

这种能量的传递和平衡使得热源和冷源之间能够维持温度差，从而使热量继续传递，形成热传导。

除了热传导外，热量还可以通过热对流和热辐射传递。

热对流是指在液体和气体中，由于温度差异引发的对流运动，从而使得热量传递。

热辐射是指物体由于温度而发射出的辐射能量，它可以通过真空或介质传播，使得热量从热源传递到冷源。

理想气体和热量传递在自然界和工程领域中有着广泛的应用。

例如，在能源工程中，我们可以利用理想气体的特性来分析和设计热机。

热机通过控制理想气体的温度和压强变化，可以实现能量的转化和传递，从而产生功或完成特定的工作。

而理解热量传递的方式，可以帮助我们设计高效的换热设备，提高能源利用效率。

此外，在日常生活中，我们也可以通过理解理想气体和热量传递来解释和预测一些现象。

§6－5 理想气体的等温过程和绝热过程一、等温过程（Isothermal Process ）1．特点：理想气体的温度保持不变，T =const 。

2．过程曲线：在PV 图上是一条双曲线，叫等温线。

3．过程方程：P 1V 1= P 2V 24．内能、功和热量的变化系统经过等温过程，从状态()T V P ，，11变成()T V P ，，22内能 012=-=∆E E E功 ⎰=21V V T PdV W由气体状态方程 RT M m PV ＝得 VRT M m P 1＝ 12ln 121V V RT M m dV V RT M m W V V T ==⎰——用体积表示。

用压强表示为21ln P P RT M m W T = 热量：由热力学第一定律得 1221ln ln V V RT M m P P RT M m Q T ==5．特征：在等压过程中，系统从外界吸收的热量，全部用来对外作功。

注意：对于等温过程，不能定义摩尔热容；如果要定义，则∞=C 。

二、绝热过程（Adiabatic Process ）1．特点：系统与外界没有热量交换的过程，Q =0。

2．内能、功和热量的变化系统经过绝热过程，从状态()11T V P ，，变成()22T V P ，，内能 ()12,12T T C Mm E E E m V -=-=∆ 热量 Q =0由热力学第一定律 0=+∆=W E Q ，得功 ()12,T T C Mm W m V -=－ 用状态参量P ,V 表示，根据状态方程R PV T M m ＝，可知()1 22112211,－＝－γV P V P V P V P R C W mV --= 证明：由定义可知，m V m V m V m V mP C R C R C C C ,,,,,1+=+==γ 因而1,-=γm V C R 故 11,-=γR C m V 因而 12211－γV P V P W -= 3．特征：在绝热过程中，系统对外界所作的功是由于系统内能的减少来完成的。

热力学关系式的证明一．基本手段1．热力学基本方程: dU=TdS - PdV dH=TdS + VdP dF=SdT – PdV dG=SdT + VdP2．Maxwell 关系式3．各种基本定义：焓，热容等4．循环关系式5．常见热力学关系式（可直接引用）： (1) p T p T V U VT -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (2) V T V T p H p T +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (3) TC T S V V =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (来自dU=TdS － pdV) (4) T C T S p p=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (来自dH=TdS + Vdp)二．热力学证明题的常用方法：1． 从热力学基本方程出发 例：试证明Tp T p V p T V T p U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂ 证： 证：T p T p TTT T p V p T V p U T V p S Maxwell p V p p S T p U pdVTdS dU ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=代入上式关系式由类似地可证：∂∂∂∂∂∂H V T p T V p V T V T⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪ 2． 从循环关系式出发当左式括号内的偏微分涉及p 、V 、T ；下标是 U 、S 、H 时，常用此法例：证明 V V S T p C T V T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 并对于理想气体导出：?=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂SV T 此题为绝热可逆膨胀下，T 随V 的变化率，即绝热可逆膨胀焦汤系数则 0<-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂VV S C p V nR C T V T (经绝热可逆膨胀后理想气体温度将下降) 证：由循环关系VV S VT VV VTS VT S T p C T V T T p V S M a x w e l l TC T S T S V S V T T SS V V T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂代入上式关系式和将1<-=-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂VV S V C p V nR C T V T VnRT p 则对理想气体经绝热可逆膨胀后理想气体温度将下降类似地可证：(1) 证明：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V T V T C p H C p T p p T p H 11 节流膨胀焦汤系数 (2) 对理想气体，证明：0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Hp T(3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂V V T V U T p T p C V U C V T 11自由膨胀焦汤系数3． 由 Z=f(x,y) 出发例：证明 dp T V dT T C dS pp⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=证：dp T V dT T C dS T V p S Maxwell T C T S dp p S dT T S dS p T f S p p p Tp pTp ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==代入得：关系式和将令),(类似地可证： (1) dV T p dT T C dS VV ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= (2) dV V T T C dp p T T C dS pp V V⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 4．偏微分的分子、分母乘同一值例 证明 ∂∂∂∂p S T C T p V V V ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪VV V V V V V p T C T p T T S S T T p S p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂1 5．利用某些定义 例：证明：p V T C V U pp p -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 证：p V T C V T T H p V H V pV H V U p p p p ppp -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂)(类似地可证：(1) VV V p T C p U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (2) 求5 摩尔单原子理想气体的 ?=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂VT H R R nC C nR C T nRT T U T pV U T H m p p V VV V V 5.12255)(,=⨯===+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂6．交换偏微分次序 例：证明：VT m V T p T V C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22, 证： V V V V V V V T T V T m V T p T T p T p T T p p T p T T V U T T U V V C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂2222,。