安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛（高一）数学（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前、务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}2232A x x x =-≤，(){}2log31B y y =≥，则A B = （）A.{}02x x <≤ B.803x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C.223xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D.∅【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法即可得到,A B ，再利用交集含义即可.【详解】由{}21232|22A xx x x x ⎧⎫=-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣，(){}22log 31|3B y y y y ⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭，则223A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭，故选：C.2.不等式211x ≤-的解集为（）A.{|3x x ≥或1}x <B.{}13x x <≤ C.{|3x x ≥或1}x ≤ D.{}13x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可.【详解】不等式211x ≤-，即301xx -≤-，等价于()()31010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得3x ≥或1x <，所以原不等式的解集为{|3x x ≥或1}x <.故选：A3.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的高，则2222222142ABC ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦大斜＋小斜－中斜的面积小斜大斜，现已知ABC 中，“小斜”1=，“中斜”=，“大斜”1=，则“高”=（）A.2174B.2172C.74D.74+【答案】A 【解析】【分析】设大斜边上的高为h ，根据题意给的面积公式和12ABC S h =⋅ 大斜，建立关于h 的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，ABC S =又小斜1=-，大斜1=+，中斜=，所以ABC S =，设大斜边上的高为h ，则12ABC S h =⋅ ，，解得h =，即大斜边上的高为4.故选：A4.设a 与b是两个向量，则()()a b a b +⊥- 是a b a b +=- 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据()()a b a b +⊥- ，得a b = ，根据a b a b +=- ，得a b ⊥ ，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由()()a b a b +⊥- 得()()220a b a b a b +⋅-=-= ，则a b = ，由a b a b +=-得()()22a ba b +=- ，则0a b ⋅=，则a b ⊥ ，故()()a b a b +⊥- 是a b a b +=-的既不充分也不必要条件，故选：D.5.已知341.3a =，341.6b =，431.6c =，则（）A.b a c <<B.a b c<< C.a c b<< D.b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据34y x =的单调性判断,a b ，根据 1.6x y =的单调性判断,b c ，进而得到答案.【详解】因为34y x =在第一象限为增函数，1.3 1.6<，所以a b <，因为 1.6x y =在第一象限为增函数，3443<，所以b c <，所以a b c <<，故选：B.6.定义在[]1,6-上的()f x 满足对()()22log 2,26(1),12x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨--≤≤⎪⎩，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A.(]1,2B.[]1,2 C.(]2,4 D.(]1,4【答案】A 【解析】【分析】依题意，对()()()210f x a f x a ⎡⎤-++=⎣⎦化简得()()10f x f x a ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，即()()1,f x f x a ==，画出()f x 图象，结合图象即可得到答案.【详解】关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤-++=⎣⎦可化简为()()10f x f x a ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，即()()1,f x f x a ==有7个不同的根，画出()y f x =的图象，观察可以看出当()1f x =有4个不同的根，故只需()f x a =有3个不同的根即可，所以12a <≤.故选：A.7.设向量π1cos ,sin 262x x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，π1cos ,sin 226x x n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，若16m n ⋅= ，则πsin 26x ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.79-B.13-C.13D.79【答案】D 【解析】【分析】根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简得到π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由ππsin 2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦及二倍角公式计算可得.【详解】因为π1cos ,sin 262x x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，π1cos ,sin 226x x n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以ππ1cos 1cos sin sin 226226x x x x m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-++-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，22π1cos sin 226x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭22πsin sin 226x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π1cos 1cos 322x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=-πcos cos 32x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=1ππcos cos sin sin cos 233x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭111π1sin cos sin 222266x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππππsin 2sin 2cos 26626x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π1712sin 12639x ⎛⎫⎛⎫=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D8.已知函数()442x x f x --=的反函数为()1y f x -=，那么()()122g x f x -=-+在[]2,6-上的最大值与最小值之和为（）A.4B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】首先得到()f x 的单调性和奇偶性，从而得到其反函数的奇偶性和单调性，最后根据()g x 的单调性和对称性即可得到答案.【详解】因为()4444()22x x x xf x f x -----==-=-，且函数()f x 的定义域为R ，则()f x 为奇函数，因为4,4xxy y -==-均为R 上的单调增函数，则()442x xf x --=也为R 上的增函数，根据函数与反函数关于直线y x =对称，则函数44()2x xf x --=的反函数1()y f x -=也为定义域上的奇函数、增函数，故1()(2)2g x fx -=-+在[2,6]-上单调递增，且()g x 的关于点()2,2对称，因为2622-+=⨯，则(2)(6)224g g -+=⨯=，即其最大值与最小值之和为224+=.故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.以下运算中正确的有（）A.lg5lg21+=B.52a-=C.2log 30232-= D.8278log 9log 169⋅=【答案】ACD 【解析】【分析】根据对数运算判断A ；根据根式性质以及指数运算判断B ；指数和对数的运算判断C ；对数的运算性质和换底公式判断D.【详解】对于A ，()lg5lg2lg 52lg101+=⨯==，故A 正确；对于B ，0a ≠555552220221a a a a a --===⋅=，故B 错误；对于C ，2log 3023312-=-=，故C 正确；对于D ，3324827332224248log 9log 16log 3log 2log 3log 233339⋅=⋅=⋅=⨯=，故D 正确，故选：ACD.10.下面结论正确的有（）A.若A ，B 为锐角三角形的两内角，则有sin cos A B >B.1sin735cos45sin105sin1352︒︒+︒︒=C.,αβ∀∈R ，()()22sin sin sin sin αβαβαβ-=+-D.,a β∀∈R ，()()22cos cos cos sin αβαβαβ-=+-【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦函数单调性及诱导公式判断A ，利用诱导公式及两角和的正弦公式判断B ，利用和差角公式及同角三角函数的基本关系判断C 、D.【详解】对于A ：依题意可得π02π02ππ2A B A B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，则ππ022B A <-<<，又sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin 2B A ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即cos sin B A <，故A 正确；对于B ：sin735cos45sin105sin135︒︒+︒︒()()()sin 236015cos45sin 9015sin 18045=⨯︒+︒︒+︒+︒︒-︒sin15cos45cos15sin45=︒︒+︒︒()sin 15452=︒+︒=，故B 错误；对于C ：()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+-=+-()()22sin cos cos sin αβαβ=-2222sin cos cos sin αβαβ=-()()2222sin 1sin 1sin sin αβαβ=---22222222sin s sin sin si in sin si n n sin ααββαβαβ=--+=-，故C 正确；对于D ：因为()()22sinsin sin sin αβαβαβ-=+-，又()2222sin sin cos cos 0αβαβ-+-=，所以()()22coscos sin sin αβαβαβ-=-+-，故D 错误.故选：AC11.若函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的()10m m>倍，得到函数()g x 的图象，则下列四个命题正确的是（）A.函数()y f x =-的单调递增区间是5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈B.直线5π3x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C.若当17π,6x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣，则29π,2π12t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦D.若()g x 在[]0,π上恰有3个零点，则17231212m ≤<【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象求出()f x 的解析式，求出()y f x =-，根据三角函数的单调性求出单调递增区间判断A ；5π3x =-代入()y f x =验证是否为对称轴判断B ；当17π,6x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用周期得π,3π6x t ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，结合图象得7π3ππ12t ≤+≤，求出t 的取值范围，判断C ；根据图象变换求出()g x ，根据在[]0,π上恰有3个零点，结合图象，得到m 取值范围，判断D.【详解】()f x 的最小正周期为T ，由题图可得π7πππ2212122,T A ω===-=，所以2ω=，ππ22π122k ϕ⨯+=+，Z k ∈，得π2π,Z 3k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，对于A ，()ππ2sin 22sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，Z k ∈，解得5π11ππ,π,Z 1212x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，当5π3x =-时，()5ππ2sin 22sin 3π033⎡⎤⎛⎫⨯-+=-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，故B 错误；对于C ，当17π,6x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用周期得，π,3π6x t ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，结合函数()f x 图象，可知，若()f x ⎡∈-⎣，7π3ππ12t ≤+≤，解得29π,2π12t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故C 正确，对于D ，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1m 倍，得到()g x 的图象，故()π2sin 26g x mx ⎛⎫=+⎪⎝⎭.当[]0,πx ∈时，πππ2,2π666mx m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为()g x 在[]0,π上恰有3个零点，所以π3π2π4π6m ≤+<，得号17231212m ≤<，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++中参数的确定：由函数的最值可确定,A B 的值；由函数与x 轴交点的横坐标及最高、最低点的横坐标可得最小正周期，进而可求得ω的值；由函数图象与x 轴交点的坐标或最高、最低点的坐标可得ϕ的值．函数的单调性利用换元法可解决.考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题为选考题，请考生任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分.）12.已知实数x +=，则x =______.【答案】7【解析】【分析】首先求出x =.【详解】21304x x ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，故212x ≤≤，方程化简得+=由基本不等式可知+≤当且仅当212x x -=-时，即7x =时等号成立；则方程的解为7x =.故答案为：7.13.在边长为2的正ABC 中，动点P 在以C 为圆心且与AB 边相切的圆上，满足AP AB AC λμ=+.则λμ+的取值范围是______.【答案】[]0,2【解析】【分析】建系设点(1,A -，(1,B ，()0,0C，)Pθθ，用坐标表示AP AB AC λμ=+，求出,λμ，借助三角函数求取值范围.【详解】如图，以C 为坐标原建立平面直角坐标系，不妨设点(1,A -，(1,B ，()0,0C，)Pθθ，因为AP AB AC λμ=+，所以12θλμθ+=+=，即)1sin 2sin 1λθθμθ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，1πcos sin 1sin 1223λμθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为π[0),2θ∈，所以λμ+的取值范围是[]0,2，故答案为：[]0,2.14.在四面体ABCD 中，2AD BC BD ===，AD ⊥面BCD ，底面三角形BCD 为直角三角形，90CBD ∠=︒.若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，M ，N 分别是AB 和BC 的中点，过M 、N 两点作球O 的截面，则面积的最小值为______.【答案】7π3##7π3【解析】【分析】依题意，该四面体为正方体的一部分，所以外接球为正方体的外接球，结合过M 、N 两点作球O 的截面为圆面，求出半径即得答案.【详解】由AD ⊥面BCD ，90CBD ∠=︒，所以该四面体四个面都是直角三角形，则球O 为该四面体还原成正方体的外接球，故球心O 为AC 的中点，且球的半径R ==过球心O 作OP MN ⊥，垂足为P ，其中MN =，ON ==1OM =，又OMN 为直角三角形，所以3OM ON OP MN ⋅==，经过,M N 两点的球的截面α面积的最小时，OP ⊥面α，又截面α为圆面，则圆面对应半径3r ===，此时截面的面积为27ππ33⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：7π3.15.某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为45，第二题答对的概率为12，第三题答对的概率为25，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______.【答案】88625【解析】【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解.【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为：甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题，又每位顾客答对2题的概率为4134211211152555225525⨯⨯+⨯⨯+⨯=，每位顾客答对3题的概率为412452525⨯⨯=，所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为：1148822525625P =⨯⨯=.故答案为：88625四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16.如图所示，在单位圆中，()1,0A ，已知角π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭的终边与单位圆交于点(),P x y ，作PM OA ⊥，垂足为点M ，作AT OA ⊥交角θ的终边于点T .（1）请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式sin 3θ（仅用含sin θ的式子表示）；（2）请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明sin cos 1θθθ<<【答案】（1）3sin 33sin 4sin θθθ=-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角的余弦和正弦公式展开即可；（2）利用OAP OAT OAP S S S << 扇形即可证明.【小问1详解】()22sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin 2cos 12sin cos θθθθθθθθθθθ=+=+=-+()()223sin 4cos 1sin 34sin 3sin 4sin θθθθθθ=⋅-=⋅-=-【小问2详解】证明sin cos 1θθθ<<，即证sin tan <<θθθ,根据sin MP θ=，cos OM θ=， AP θ=，tan AT θ=，因为OAP OAT OAP S S S << 扇形，则1111sin tan 222θθθ⨯⨯<⋅<⋅，即sin tan <<θθθ，所以原不等式成立.17.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知：22cos a b C c -=，sin 2sin sin ab B A b A-=（1）求b 和角B ；（2）求22a b c b-+的取值范围.【答案】（1）2b =，π3B =（2）(13,⎤⎦【解析】【分析】（1）对22cos a b C c -=由正弦定理边化角，化简求出cos B ，即得角B ，对sin 2sin sin ab B A b A -=由正弦定理边化角，化简求得b ；（2）由（1）得221a b c a c b-+=+-，借助与正弦定理边化角以及三角恒等变换得22π14sin 16a b c a c A b -+⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，结合角A 的范围，求出22a b c b -+的取值范围.【小问1详解】由22cos a b C c -=得2sin 2sin cos sin A B C C -=，即2sin()2sin cos sin B C B C C +-=，2sin cos 2cos sin 2sin cos sin B C B C B C C +-=，即2cos sin sin B C C =，因为π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C ≠，解得1cos 2B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3B =，由sin 2sin sin ab B A b A -=得22ab a ab -=，即220b b --=，解得2b =或1b =-（舍），故2b =，π3B =.【小问2详解】221sin sin 1sin sin 1sin sin 33a b c b a c A C A C b B B b -+=+-=+-=+-2ππsin 12cos 14sin 13336A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+--=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π02A C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，所以ππ2π363A <+<，则sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，解得14sin 136A π⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即22a b c b -+的取值范围为(1,3⎤-⎦18.如图，在矩形OACB 中，12DA AC = ，AE AO λ= ，BF BO λ= ，1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线CF 与DE 垂直，垂足为点P.（1）求AO BO的值；（2）若1OA = ，将OP 用基底{},OA OB 线性表示，并求出OP 的最大值.【答案】（1）2（2）()()()()22121111212OP OA OB λλλλλλ---+=+++，2【解析】【分析】（1）依题意0CF DE ⋅=，根据数量积的运算律计算可得；（2）根据C 、P 、F 三点共线，设()1OP xOF x OC =+- ，即可得到()()11OP x OA x OB λ=-+- ，同理可得()()1112OP y OA y OB λ=-+- ，根据平面向量基本定理得到方程组，求出x 、y ，即可得到OP ，再表示出2OP ，换元，利用函数的性质求出OP 的最大值.【小问1详解】因为直线CF 与DE 垂直，所以0CF DE ⋅= ，即()()CF DE CB BF DA AE ⋅=+⋅+ ()12OA OB OA OB λλ⎛⎫=--⋅-+ ⎪⎝⎭ 2202OA OB λλ=-= ，因为0λ≠，所以2212OA OB = ，则22AO BO= .【小问2详解】因为C 、P 、F 三点共线，设()1OP xOF x OC =+- ，即()()()()()111OP x OB OB x OA OB x OA x OB λλ=-+-+=-+- ，同理，因为D 、E 、P 三点共线，设()1OP yOE y OD =+- ，即()()()()1111122OP y OA OA y OA OB y OA y OB λλ⎛⎫=-+--=-+- ⎪⎝⎭ ，又OA 、OB不共线，所以()111112x y x y λλ-=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得22312312x y λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以()()()()22222212111123112121212OP OA OB OA OB λλλλλλλλλλλ---++--=+=+++++ ，又1OA =，2AO BO=，所以BO = 所以()()()()2222222121111212OP OA OB λλλλλλ---+⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦()()()()22221211121212λλλλλλ---+⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦()()()()222221212112λλλλ-⎡⎤=-++⎣⎦+()223112λλ-=+，设1t λ=-，因为1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2222233243121t t OP t t t ==-++- ，当0=t ，即1λ=时0OP = ，当0t ≠时22233431222333OP t t t ==⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ ，所以当12t =，即12λ=时OP取得最大值2.（选考题）（17分）（请考生从18-1，18-2两题中任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分.）【选考人教版——立体几何】19.如下左图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，90ABC ∠=︒.过顶点C 作对角线BD 的垂线，交对角线BD 于点O ，交边AD 于点Q ，现将ABD △沿BD 翻折，形成四面体PBCD ，如下右图.（1）求四面体PBCD 外接球的体积；（2）求证：平面PBD ⊥平面OCQ ；（3）若点G 为棱BC 的中点，请判断在将ABD △沿BD 翻折过程中，直线PG 能否平行于面OCQ .若能请求出此时的二面角P BD C --的大小；若不能，请说明理由.【答案】（1）55π6（2）证明见解析（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）取BD 的中点H ，连接PH 、CH ，根据矩形的性质可知四面体PBCD 外接球的半径52R PH ==，即可求出外接球的体积；（2）依题意CO BD ⊥，OQ BD ⊥，即可得到BD ⊥平面OCQ ，从而得证；（3）过点P 作PE BD ⊥交BD 于点E ，连接EG ，即可证明//PE 平面OCQ ，再假设//PG 平面OCQ ，即可得到平面//PGE 平面OCQ ，由面面平行的性质得到//EG OC ，推出矛盾，即可得解.【小问1详解】取BD 的中点H ，连接PH 、CH ，因为四边形ABCD 是矩形，所以2211512222PH HC HA HB BD =====+=，所以四面体PBCD 外接球的半径52R PH ==，所以四面体PBCD 外接球的体积334π4π555π3326V R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】因为CO BD ⊥，OQ BD ⊥，OC OQ O = ，,OC OQ ⊂平面OCQ ，所以BD ⊥平面OCQ ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面OCQ ；【小问3详解】因为CO BD ⊥，所以Rt Rt BCD BOC ∽，所以BC CO BD CD =即555BC CD CO BD ⋅===，在Rt COD 中55CO =，1CD =，所以2255OD CD CO =-=，过点P 作PE BD ⊥交BD 于点E ，连接EG ，易知255PE OC ==，且//PE OQ ，PE ⊄平面OCQ ，OQ ⊂平面OCQ ，所以//PE 平面OCQ ，假设//PG 平面OCQ ，又PG PE P = ，,PG PE ⊂平面PGE ，所以平面//PGE 平面OCQ ，因为平面PGE 平面BCD EG =，平面BCD 平面OCQ OC =，所以//EG OC ，又点G 为棱BC 的中点，所以点E 为线段BO 的中点，事实上55BE OD ==，而455BO DB OD =-=，所以12BE BO ≠，即点E 不是线段BO 的中点，故假设不成立，所以在将ABD △沿BD 翻折过程中，直线PG 不能平行于面OCQ .【选考北师大版——统计和概率】20.手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：（1）请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替）；（2）请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[]40,60的概率；（3）现在要从[)20,30和[)70,80两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为1P ；方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为2P ；假设获得好评的概率大的方案较好，请比较上述两种方案哪种更好，请说明理由.【答案】（1）48（2）0.43（3）方案一较好，理由见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；（2）根据频率分布直方图求出年龄位于区间[]40,60的频率，即可得解；（3）首先求出年龄位于区间[)20,30和[)70,80中抽取的人数，再用列举法列出所有可能结果，由古典概型的概率公式求出概率，即可判断.【小问1详解】这100位市民的平均年龄为：50.01150.02250.12350.17450.23550.2650.17⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯750.06850.0247.948+⨯+⨯=≈，即这100位市民的平均年龄约为48；【小问2详解】这100位市民的年龄位于区间[]40,60的频率为()0.0230.02100.43+⨯=，故估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[]40,60的概率为0.43；【小问3详解】参与调查的100为市民中年龄在区间[)20,30内的人数为0.0121010012⨯⨯=，年龄在区间[)70,80内的人数为0.006101006⨯⨯=，按照分层抽样的方法抽取6人，则年龄在区间[)20,30内的应抽取1264126⨯=+人，设为1，2，3，4；年龄在区间[)70,80内的应抽取662126⨯=+人，设为a ，b ；方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，所有可能出现的情况如下：{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}1,a ，{}1,b ，{}2,3，{}2,4，{}2,a ，{}2,b ，{}3,4，{}3,a ，{}3,b ，{}4,a ，{}4,b ，{},a b ，共15种；则2人的年龄差大于10的有{}1,a ，{}1,b ，{}2,a ，{}2,b ，{}3,a ，{}3,b ，{}4,a ，{}4,b ，共8种；故获得好评的概率为1815P =；方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，所有可能出现的情况如下：{}1,1，{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}1,a ，{}1,b ，{}2,1，{}2,2，{}2,3，{}2,4，{}2,a ，{}2,b ，{}3,1，{}3,2，{}3,3，{}3,4，{}3,a ，{}3,b ，{}4,1，{}4,2，{}4,3，{}4,4，{}4,a ，{}4,b ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},4a ，{},a a ，{},a b ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},4b ，{},b a ，{},b b ，共36种；则2人的年龄差大于10的有{}1,a ，{}1,b ，{}2,a ，{}2,b ，{}3,a ，{}3,b ，{}4,a ，{}4,b ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},4a ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},4b ，共16种；故获得好评的概率为2164369P ==；因为12P P >，因此方案一较好.21.已知函数()(),,0x x x f x a b c a b c =+->.（1）若1ab =，1c =，设函数()()12f x g x +=，请求出()2g x 的值域并求证：()()()2221g x g x =-；（2）若1x =，0c a >>，0c b >>，记()(),,h a b c f x =，且,,a b c 是一个三角形的三条边长，请写出方程()()(),,,,,,20h a b c h c a b h c b a ++=的所有正整数解的集合；（3）若,,a b c 是一个等腰钝角三角形的三条边长且c 为最长边，求证：()0f x <在[)2,x ∞∈+时恒成立.【答案】（1）当1a =时，()2g x 的值域是{}1；当0a >且1a ≠时，()2g x 的值域是[)1,+∞，()()()2221g x g x =-的证明见解析（2）()()()()()()()()(){}5,6,9,6,5,9,4,7,9,7,4,9,3,8,9,8,3,9,6,6,8,5,7,8,7,5,8（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接代入得()221122x x g x a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可求出值域，再结合完全平方式之间关系即可证明()()()2221g x g x =-；（2）首先计算出(,,),(,,),(,,)h a b c a b c h c a b c a b h c b a c b a =+-=+-=+-，再根据三角形特点得到不等式组，最后化简原方程得20a b c ++=，根据c 最大列举所有情况即可；（3）由已知有(),0,1a b c c ∈，且ππ2C <<，然后根据对数函数单调性并结合余弦定理即可.【小问1详解】由1ab =，1c =，知()11x x x x x f x a b c a a =+-=+-，故()()11122x x f x g x a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.从而()221122x x g x a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当1a =时，有()221111211221x x g x a a⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2g x 的值域是{}1；当0a >且1a ≠时，有()2211212x x g x a a ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，且对任意1t ≥有2log a g t ⎛⋅= ⎝，所以()2g x 的值域是[)1,+∞.最后由()()()22221111212122x x x x g x a a g x a a ⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭可得()()()2221g x g x =-.【小问2详解】据已知有(),,h a b c a b c =+-，(),,h c a b c a b =+-，(),,h c b a c b a =+-.因为,,a b c 是一个三角形的三条边长，所以000a b c c a b c b a +->⎧⎪+->⎨⎪+->⎩.故方程|(,,)||(,,)||(,,)|20h a b c h c a b h c b a ++=可化简得20a b c ++=.考虑到,,a b c 均为正整数，且是一个三角形的三条边长，且c 为最大边，故方程的所有正整数解(),,a b c 的集合为()()()()()()()()(){}5,6,9,6,5,9,4,7,9,7,4,9,3,8,9,8,3,9,6,6,8,5,7,8,7,5,8.【小问3详解】因为,,a b c 是一个钝角三角形的三条边长，且c 为最长边.所以(),0,1a b c c ∈，且ππ2C <<，故2222cos 0a b c ab C +-=<.当[)2,x ∞∈+时，由于(),0,1a b c c ∈，故有2x a a c c ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2x b b c c ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()()222222110x x x x x xx x a b a b f x a b c c c c a b c c c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-≤+-=+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由已知得到(),0,1a b c c ∈，且ππ2C <<，然后根据对数函数单调性并结合余弦定理证明结论.。
