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河南省南阳市2019届高三上学期期中考试数学理试卷一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的模等于（）A. 5B. 25C.D.【答案】A【解析】分析：由复数的运算，求得，进而得，再根据复数模的计算公式，即可求解复数的模.详解：由题意，复数的共轭复数满足，所以，所以复数，所以，故选A.点睛：本题主要考查了复数模的运算及复数的运算，其中熟记复数的运算公式和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量a＝（3,4），b＝（2,1），b =（2,1），则向量a在向量b方向上的投影是，其中说法正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题①根据命题否定的规律判断命题是否为真；②化简研究命题中的条件和结论，从而判断条件间的关系；③根据函数图象上的点坐标，得到参数a的值，再利用解析式求出函数的值；④利用平面向量的数量积与投影的关系，判断命题是否正确，得到本题结论．【详解】①命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，）∴2α=，∴α=−∴幂函数为f(x)＝，故f（4）的值等于∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是||cosθ＝.其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个．故选：A．【点睛】本题考查了命题真假的判断，还考查了命题的否定、充要条件、幂函数解析式和向量的投影等知识，属于基础题．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，选D.考点：同角三角函数关系【方法点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
2020-2021学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x<1}，则集合(∁U A)∪B=()A. (−∞,2)B. [2,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪[2，+∞)2.已知复数z满足z(1+2i)=|4−3i|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A. −2B. −2iC. 1D. i3.化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是()A. 12B. √32C. −12D. −√324.已知a=20.5，b=logπ3，c=log213则()A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c5.函数f(x)=(x2+1)sin2x，(−π≤x≤π)的图象可能是()A. B.C. D.6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P(x0,2)，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则|OP|等于()A. 2√2B. 2√3C. 4D. 2√57.已知球面上A，B，C三点，O是球心.如果AB=BC=AC=√3，且球的体积为20√53π，则三棱锥O−ABC 的体积为()A. 1B. √3C. √32D. 28.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcosC=0，则cos B的最小值为()A. √2B. √3C. √32D. √339.记函数g(x)=e x−e−x+sinx，若不等式g(2x+a)+g(x2−1)>0，对∀x∈[−1,1]恒成立，则a的取值范围为()A. [2,+∞)B. (2,+∞)C. (−2,+∞)D. [−2,+∞)10. 先将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，若方程f(x)=g(x)有实根，则ω的值可以为( )A. 12B. 1C. 2D. 411. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形x 2+y 2=4.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当a =−32时，直线y =ax +2a 与白色部分有公共点；③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(x,y)，则x +y 的最大值为√2+1；④若点P(0,1)，MN 为圆x 2+y 2=4过点P 的直径，线段AB 是圆x 2+y 2=4所有过点P 的弦中最短的弦，则(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为12．其中所有正确结论的序号是( )A. ①③B. ③④C. ①③④D. ①②④12. 已知A ，B ，C 是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为( ) A. 52B. 23C. √103 D. √102二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y +2≥0x ≤1，则z =3x +2y 的最小值为______．14. 随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=______．15. 已知(3x 2+ax 3)5的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______ ．16. 已知矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，沿对角线AC 将三角形ABC 折起，使得点B 在平面ACD 上的射影在线段AD 上，此时cos∠BAD 的值是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是一个等差数列，且a 3=3，a 2+a 5=7，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且满足：b 1=12,b 3b 5=1256．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数{c n }列满足c n =a n b n ，其前n 项和为T n .求证：T n <2．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB//CD ，PC ⊥底面ABCD ，AB =2AD =2CD =4，PC =2a ，E 是PB 的中点． (Ⅰ)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(Ⅱ)若二面角P −AC −E 的余弦值为√63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．19. 在平面直角坐标系中，已知F 1(−1,0)，直线l ：x =−4，点P 为平面内的动点，过点P 做直线l 的垂线，垂足为点M ，且(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设F 2(1,0)，过F 2且与x 轴不重合的直线n 与曲线C 相交于不同的两点A ，B.则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n 的方程；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=3x 2+(6−a)x −alnx(a ∈R)．(1)求函数y =f(x)的单调区间；(2)当a =1时，证明：对任意的x >0，f(x)+e x >3x 2+5x +2．21. 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k(k ∈N ∗,k ≥2)份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p(0<p <1).下面有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k 次；方案二：混合检验，将k 份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k 份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k 份血液中的阳性血液样本，则对k 份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a(a >0)元，若k 份血液样本采用混合检验方案，则需要额外收取54a 元的材料费和服务费．(1)若k(k ∈N ∗,k ≥2)份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)①若k =5,0<p <1−√0.455，以检验总费用的数学期望为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若p =1√e 7，采用方案二总费用的数学期望低于方案一的，求k 的最大值． (参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1，1，ln7≈1.9，ln10≈2.3，ln11≈2.4)22. 若以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=6cosθsin 2θ．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为{x =32x +t2y =√32t(t 为参数)，P(32,0)，当直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|2|PA|⋅|PB|．23. 已知函数f(x)=|2x −3|+|2x +1|．(1)解不等式：f(x)≥6；(2)设x ∈R 时，f(x)的最小值为M.若正实数a ，b ，c 满足a +b +c =M ，求ab +bc +ca 的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．进行补集和并集的运算即可．【解答】解：U=R，A={x|x<2}，B={x|x<1}，∴∁U A={x|x≥2}，(∁U A)∪B=(−∞,1)∪[2，+∞)．故选：D．2.【答案】A【解析】解：由z(1+2i)=|4−3i|=√42+(−3)2=5，得z=51+2i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i，∴复数z的虚部为−2．故选：A．先求|4−3i|，再把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查两角差的余弦公式，属基础题．由两角差的余弦公式可得原式=cos(45°−15°)，计算可得．【解答】解：由两角差的余弦公式可得cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos(45°−15°)=cos30°=√32．故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5>1，b=logπ3∈(0,1)，c=log213<0．∴a>b>c．故选：D．5.【答案】D【解析】解：f(−x)=(x2+1)sin(−2x)=−(x2+1)sin2x=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x=π2时，f(π2)=[(π2)2+1]sin(2×π2)=0.排除C，故选：D．先判断函数的奇偶性，然后利用当x=π2时的函数值为0进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，抛物线的准线方程为y=−p2，由抛物线的性质可得2+p2=4，解得p=4，所以抛物线的方程为x2=8y，将P点的坐标代入可得x02=8×2=16，所以|OP|=√x2+22=√16+4=2√5，故选：D．由题意设抛物线的方程，求出焦点F的坐标及准线方程，由抛物线的性质可得p的值，然后求出横坐标，再求出|OP|的值，本题考查抛物线的性质，及两点间的距离公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的体积与多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．求出三角形ABC的外接圆的半径，再由球的体积求得球的半径，由勾股定理求球心到平面ABC的距离，则三棱锥O−ABC的体积可求．【解答】解：由AB=BC=AC=√3，可得△ABC为正三角形，设其中心为G，可得其外接圆的半径r=√32sin60°=1，再设球的球心为O，半径为R，连接OG，由球的体积为20√53π，得43πR3=20√53π，得R=√5，∴球心到平面ABC的距离为OG=√R2−r2=√5−1=2，又S△ABC=12×√3×√3×√32=3√34，故选：C．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知及正弦定理，余弦定理可得a2+2b2−c2=0，利用余弦定理，基本不等式即可计算得解．【解答】解：∵sinB+2sinAcosC=0，∴由正弦定理及余弦定理得：b+2a⋅ a2+b2−c22ab=0，可得：a2+2b2−c2=0，又cosB=a2+c2−b22ac =3a2+c24ac=3a4c+c4a≥√32，当且仅当3a4c =c4a，即c a=√3时取等号，即cos B的最小值为√32．故选：C．9.【答案】B【解析】解：函数g(x)=e x−e−x+sinx，由g(−x)=e−x−e x+sin(−x)=−(e x−e−x+sinx)=−g(x)，可得g(x)为奇函数，又g′(x)=e x+e−x+cosx，由e x+e−x≥2√e x⋅e−x=2，−1≤cosx≤1，可得g′(x)>0，g(x)在R上递增，由g(2x+a)+g(x2−1)>0，即g(2x+a)>−g(x2−1)，可得g(2x+a)>−g(x2−1)=g(1−x2)，即为2x+a>1−x2在x∈[−1,1]恒成立，也即−a<x2+2x−1在x∈[−1,1]恒成立，由y=x2+2x−1在x∈[−1,1]递增，可得y=x2+2x−1的值域为[−2,2]，则−a<−2，即a>2，故选：B．判断g(x)−1=e x−e−x+sinx的奇偶性和单调性，原不等式化为2x+a>1−x2在x∈[−1,1]恒成立，运用参数分离和二次函数的值域，可得所求范围．本题考查函数的性质和运用，不等式恒成立问题解法，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：先将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度，可得y=sin(ωx+ωπ2)的图象；再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)=sin(ωx+ωπ2)+2的图象，若方程f(x)=g(x)有实根，即sinωx=sin(ωx+ωπ2)+2能成立．当ω=12时，方程即sin x2=sin(x2+π4)+2，即，即，因为，故方程无解，A错误；当ω=1时，方程即sinx=sin(x+π2)+2=cosx+2，即，该方程无解，B错误；当ω=2时，方程即sin2x=sin(2x+π)+2=−sin2x+2，即sin2x=1，当时，满足sin2x=1，C正确；当ω=4时，方程即sin4x=sin(4x+2π)+2=sin4x+2，方程无解；故选：C．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查与面积有关的几何概型问题，直线与圆的位置关系，与圆有关的最值问题，属于中档题．利用对称性，求得相应的概率，可判定①；利用点到直线的距离公式求得直线y=ax+2a与下方的白色小圆圆心的距离，即可判定②；设x+y=k，求得直线与圆x2+(y−1)2=1(x≥0)相切时k的值即可判定③；求得点M，N，A，B的坐标，根据向量的坐标运算求解即可判断④．【解答】解：对于①，设黑色阴影部分的面积为S b，整圆所面积为S，由对称性知，S b═12S.所以随机点取自黑色阴影部分的概率为：p=S bS =12SS=12，所以①对；对于②，直线方程为y=−32x−32×2，即3x+2y+6=0，则下方的白色小圆x2+(y+1)2=1的圆心(0,−1)到此直线距离：d=√32+22=√13>1，直线与白色小圆相离，y=ax+2a与白色部分没有公共点，所以②错；对于③，设x+y=k，黑色阴影部分的边界在第一象限的方程为：x2+(y−1)2=1(x≥0)，圆心(0,1)，当直线与x2+(y−1)2=1(x≥0)相切时d′=√12+12=√2=1，可得k=1+√2或k=1−√2(舍)，对于④，由于MN 为圆x 2+y 2=4过点P 的直径，M 、N 为与y 轴交点，M(0,2)，N(0,−2)， 线段AB 是圆x 2+y 2=4所有过点P 的弦中最短的弦， 则AB 是平行于x 轴的弦，|AP|2=|OA|2−|OP|2，|AP|=√22−12=√3，A(−√3,1)，B(√3,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)，BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−3)， (AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,4)⋅(2√3,0)=12，所以④对； 故选：C ． 12.【答案】D【解析】 【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．取双曲线的左焦点F′，设AF =t ，CF =3t ，由双曲线的定义可得CF′=2a +3t ，AF′=2a +t ，可得四边形AFBF′为矩形，运用勾股定理求得a =t ，以及a ，c 的关系式，由离心率公式可得所求值． 【解答】解：取双曲线的左焦点F′，可设AF =t ，CF =3t ，由双曲线的定义可得CF′=2a +3t ，AF′=2a +t ，因为BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则BF ⊥AC ，可得四边形AFBF′为矩形， 可得△AF′C 为直角三角形， 即有AF′2+AC 2=CF′2，即(2a +t)2+16t 2=(2a +3t)2， 解得a =t ，即有AF =a ，AF′=3a ，FF′=2c ， 可得AF 2+AF′2=FF′2， 可得a 2+9a 2=4c 2， 即10a 2=4c 2， 即e =ca=√102． 故选：D ． 13.【答案】4【解析】 【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目【解答】解：由约束条件{x +y −2≥0x −y +2≥0x ≤1作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x +2y =0并平移，由图知当直线3x +2y −z =0经过点A(0,2)时， z =3x +2y 取得最小值，即z min =3×0+2×2=4． 故答案为：4． 14.【答案】0.7【解析】 【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，得到曲线关于x =1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果． 【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)， ∴曲线关于x =1对称，∴P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.3， ∴P(ξ<2)=1−0.3=0.7， 故答案为0.7． 15.【答案】270【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式系数的性质，特定项的求法，属于基础题．令x =1，可得(3+a)5=32，从而可求得a 值，再求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 值，即可求得展开式中的常数项． 【解答】解：根据题意，令x =1，可得(3+a)5=32，解得a =−1， 所以(3x 2+ax 3)5即(3x 2−1x 3)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (3x 2)5−r (−1x 3)r =(−1)r 35−r C 5r x 10−5r，令10−5r =0，解得r =2，所以展开式中的常数项为(−1)2·33·C 52=270． 故答案为：270．16.【答案】34【解析】 【分析】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．设点B 在平面ACD 上的射影在线段AD 上为H ，可证明DC ⊥平面ABD ，可得CD ⊥BD ，然后求解三角形可得BD ，设DH =x ，则AH =4−x ，由于BD 2−DH 2=AB 2−AH 2，解得x 的值，可得AH 的值，即可求解cos∠BAD 的值． 【解答】解：设点B 在平面ACD 上的射影在线段AD 上为H ，则BH ⊥平面ADC ， 又∵CD ⊂平面ADC ， ∴BH ⊥DC ，又DC ⊥AD ，且AD ∩BH =H ，AD ⊂平面ABD ，BH ⊂平面ABD ， ∴DC ⊥平面ABD ，又BD ⊂平面ABD ，可得CD ⊥BD ，在Rt △BDC 中，由BC =4，CD =3，可得BD =√BC 2−CD 2=√42−32=√7； 设DH =x ，则AH =4−x ， ∴BD 2−DH 2=AB 2−AH 2， 即7−x 2=9−(4−x)2，解得x =74， 可得cos∠BAD =AHAB =34． 故答案为：34．17.【答案】(1)解：∵{a n }为等差数列，设公差为d ，∴{a 1+2d =3a 1+d +a 1+4d =7，∴{a 1=1d =1， ∴a n =a 1+(n −1)d =n ，∵{b n }为等比数列，b n >0，设公比为q ，则q >0，∴b 3⋅b 5=b 42=1256，∴b 4=116=b 1q 3，∴q =12,b n =12⋅(12)n−1=(12)n ， 即a n =n ，b n =(12)n ；(2)证明：由(1)得c n =a n b n =n ×(12)n ，∴T n =1×12+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n −1)×(12)n−1+n ×(12)n ①， ∴12T n =1×(12)2+2×(12)3+3×(12)4+⋯+(n −1)×(12)n +n ×(12)n+1②，∴由①−②得：12T n=12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−n ⋅(12)n+1=12[1−(12)n ]1−12−n ⋅(12)n+1=1−(n +2)⋅(12)n+1，∴T n =2−(n +2)⋅(12)n ，∴T n <2．【解析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、性质及错位相减法求和在数列求和中的应用，属于基础题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题设条件分别列出d 、q 的方程，解出d ，q ，进而求得通项公式；(2)由(1)求得c n ，利用错位相减法求得前n 项和T n ，证明结论．18.【答案】解：(Ⅰ)∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ， ∵AB =4，AD =CD =2，∴AC =BC =2√2， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，又BC ∩PC =C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， ∴AC ⊥平面PBC ， ∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC.(Ⅱ)如图，以点C 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0，0)，A(2,2，0)，B(2,−2,0)，设P(0,0，2a)(a >0)，则E(1,−1,a)， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2a)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,a)， 取m ⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，则m ⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m ⃗⃗⃗ 为面PAC 的法向量， 设n ⃗ =(x,y ，z)为面EAC 的法向量，则n ⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x +y =0x −y +az =0，取x =a ，y =−a ，z =−2，则n⃗ =(a,−a,−2)， 依题意，|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√a 2+2=√63，则a =2.于是n⃗ =(2,−2,−2)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−4)， 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos <PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为√23.【解析】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． (Ⅰ)证明AC ⊥PC ，AC ⊥BC ，通过线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理证明平面EAC ⊥平面PBC ．(Ⅱ)以点C 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC 的法向量，面EAC 的法向量，通过二面角P −AC −E 的余弦值为√63，求出直线PA 的向量，利用向量的数量积求解直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值即可．19.【答案】解：(1)设动点P(x,y)，则M(−4,y)，由F 1(−1,0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,−y)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4−x,0)，2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−2y)， 2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6−3x,−2y)， ∵(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴4(x +1)2+4y 2=(x +4)2， 化简得：x 24+y 23=1．∴所求曲线C 的方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，不妨令y 1>0，y 2<0，设△F 1AB 的内切圆半径为R ，则△F 1AB 的周长为4a =8， S △F 1AB =12(|AB|+|F 1B|+|F 2B|)R =4R ，由此可知，当△F 1AB 的面积最大时，△F 1AB 的内切圆面积最大， 可设直线n 的方程为x =my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1得：(3m 2+4)y 2+6my −9=0，∴y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 则S △F 1AB =12|F 1F 2||y 1−y 2| =√(6m 3m +4)2+4×93m +4=12√m 2+13m +4，令√m 2+1=t ，则m 2=t 2−1(t ≥1)， ∴S △F 1AB =12t 3t 2+1=123t+1t，令f(t)=3t +1t (t ≥1)，则f′(t)=3−1t 2，当t ≥1时，f′(t)>0恒成立，则f(t)=3t +1t 在[1,+∞)上单调递增， ∴f(t)≥f(1)=4，即f(t)的最小值为4．∴S △F 1AB ≤3，即当t =1时，S △F 1AB 的面积最大为3， 此时，△F 1AB 的内切圆的最大半径为R =34，所以，△F1AB的内切圆的面积取得最大值为S=πR2=9π16故直线n的方程为x=1，△F1AB的内切圆的面积最大值为9π16．【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是较难题．(1)设动点P(x,y)，则M(−4,y)，求出向量的数量积的向量，化简求解即可得到轨迹方程．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令y1>0，y2<0，推出当△F1AB的面积最大时，△F1AB的内切圆面积最大，设直线n的方程为x=my+1，联立{x=my+1x24+y23=1得：(3m2+4)y2+6my−9=0，利用韦达定理，转化求解三角形的面积的表达式，令√m2+1=t，结合基本不等式，转化求解，推出直线n的方程为x=1，△F1AB的内切圆的面积最大值．20.【答案】解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，由已知得f′(x)=6x+(6−a)−ax =6x2+(6−a)x−ax=(6x−a)(x+1)x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，当a>0时，由f′(x)>0，得x>a6，由f′(x)<0，得0<x<a6，所以函数f(x)的单调递增区间为(a6,+∞)，单调递减区间为(0,a6)，综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(a6,+∞)，单调递减区间为(0,a6)；(2)当a=1时，不等式f(x)+e x>3x2+5x+2可变为e x−lnx−2>0，令ℎ(x)=e x−lnx−2，则ℎ′(x)=e x−1x，可知函数ℎ′(x)在(0,+∞)单调递增，而ℎ′(13)=e13−3<0，ℎ′(1)=e−1>0，所以方程ℎ′(x)=0在(0,+∞)上存在唯一实根x0，即e x0=1x，当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−lnx0−2=1x0−ln1e x0−2=1x0+x0−2>0，即e x−lnx−2>0在(0,+∞)上恒成立，所以对任意x>0，f(x)+e x>3x2+5x+2成立．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为证明e x−lnx−2>0，(x>0)，令ℎ(x)=e x−lnx−2，(x>0)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．21.【答案】解：(1)X 所以对任意1和k +1P(X =1)=(1−p)k ，P(X =k +1)=1−(1−p)k ， X所以E(X)=1×(1−p)−p)k ． (2)①设方案一总费用为Z ，方案二总费用为Y ，则Y =aX +54a ，所以方案二总费用的数学期望为：E(Y)=aE(X)+54a =a[k +1−k(1−p)k ]+54a ， 又k =5，所以E(Y)=a[6−5(1−p)5]+54a =−5a(1−p)5+294a ，又方案一的总费用为Z =5a ， 所以Z −E(Y)=a ⋅[5(1−p)5−94]，当0<p <1−√0.455时，920<(1−p)5<1,0<5(1−p)5−94<114，又a >0，所以a ⋅[5(1−p)5−94]>0， 所以Z >E(Y)，所以该单位选择方案二合理．②由①知方案二总费用的数学期望E(Y)=aE(X)+54a =a[k +1−k(1−p)k ]+54a ， 当p =1√e 7时，E(Y)=a[k +1−k(√e7)k ]k +54a =a(k +94−ke −k7)，又方案一的总费用为Z =ak ，令E(Y)<Z 得，a(k +94−ke −k7)<ak ，所以a(k +94−ke −k 7)<ak ， 即ke −k7>94，即ln(ke −k 7)>ln 94，所以lnk −k 7−ln 94>0，设f(x)=lnx −x7−ln 94,x ∈[2,+∞), 所以f′(x)=1x −17=7−x 7x,x ∈[2,+∞),令f′(x)>0，得2≤x <7，f′(x)<0得x >7，所以f(x)在区间[2,7)上单调递增，在区间(7,+∞)上单调递减， f(x)max =f(7)=ln7−1−2(ln3−ln2)=0.1>0，f(8)=3ln2−87−2(ln3−ln2)=5ln2−2ln3−87=1.3−87>0，f(9)=2ln3−97−2(ln3−ln2)=2ln2−2ln2−97=1.4−97>0， f(10)=ln10−107−2(ln3−ln2)=1.5−107>0， f(11)=ln11−117−2(ln3−ln2)=1.6−117>0，f(12)=ln12−127−2(ln3−ln2)=4ln2−ln3−127=1.7−127<0，所以k 的最大值为11．【解析】(1)X 所以对任意1和k +1，求出概率，得到分布列，然后求解期望．(2)①设方案一总费用为Z ，方案二总费用为Y ，则Y =aX +54a ，求出方案二总费用的数学期望；又方案一的总费用为Z =5a ，求出结果，比较大小，即可判断该单位选择合理方案．②由①知方案二总费用的数学期望E(Y)=a(k +94−ke −k 7)，又方案一的总费用为Z =ak ，令E(Y)<Z ，推出lnk −k7−ln 94>0，构造函数f(x)=lnx −x7−ln 94,x ∈[2,+∞)，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最值，逐步推出结果即可．本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)∵ρ=6cosθsin 2θ，∴ρ2sin 2θ=6ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2,∴曲线C 的直角坐标系方程为y 2=6x ． (2)直线l 的参数方程为{x =32x +12ty =√32t, 代入y 2=6x 得t 2−4t −12=0． 设A ，B 对应的参数为t 1,t 2， 则t 1+t 2=4,t 1t 2=−12，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8， 因为P(32,0)在直线l 上， 所以|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=12， ∴|AB|2|PA|⋅|PB|=6412=163．【解析】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． (1)直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程；(2)将直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.【答案】解：(1)当x≤−12时，不等式等价为−2x+3−2x−1≥6，解得x≤−1；当−12<x<32时，不等式等价为−2x+3+2x+1≥6，无解；当x≥32时，不等式等价为2x−3+2x+1≥6，解得x≥2；综上，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2,+∞)；(2)由|2x−3|+|2x+1|≥|2x−3−2x−1|=4，可得f(x)的最小值为M=4，即a+b+c=4，由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，当且仅当“a=b=c”时取等号，所以3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2=16，故ab+bc+ca≤163，当且仅当“a=b=c”时取等号，故ab+bc+ca的最大值为163．【解析】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了推理与运算能力，属于中档题．(1)分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；(2)由绝对值的三角不等式，求得f(x)的最小值M=4，再结合基本不等式，即可求解．。
南阳一中2023年秋期高三年级第三次月考地理试题一、选择题组（每小题1.5分，共40题）城市土地出让是指城市政府土地主管部门依法将城市土地的使用权出让给用地单位，是联系城市产业结构与空间结构的纽带。
土地出让空间区位选择与诸多社会经济因素有关，其中人口规模、经济发展水平对土地出让具有重要影响。
下图示意黄山市城市土地出让区位模式。
据此完成下面小题。
1.V区虽位于城市外围，但商业用地和住宅用地规模大，主要原因是（）A.位于城市外围，土地租金廉价B.人口规模较市中心大，商业服务需求高C.中心城区环境差，商业服务外迁D.位于旅游景区，经济发展水平高2.黄山市城市用地的分布特点是（）A.分布均衡，集聚程度较低B.住宅用地分布在近郊和旅游区C.集中度高，成多中心状态D.中心城区土地利用率较外围低【答案】1.D 2.C【解析】【1题详解】黄山市为旅游业发达的城市，V区可能为旅游区，虽然与市中心距离较远，但旅游业的发展使其土地租金并不廉价，A错误；V区位于城市外围，人口规模并不如市中心大，B错误；没有信息说明中心城区环境质量差，C错误；旅游业的发展带动了经济发展，该地经济发展水平高，商业和度假旅居型、疗养等服务业的发展，使得V区商业用地和住宅用地规模较大，D正确。
故选D。
【2题详解】据图及上题可知，黄山市三类用地区域位置差异较大，A错误；住宅用地主要集中于中心城区、重要旅游区附近，B错误；商业服务用地分布的热点区域主要集中于城市商业集聚区、大型公共设施和旅游景区周围、重要交通设施附近，因此，黄山市各类用地集中程度高，成多中心状态，C正确；中心城区土地利用率较外围高，D错误。
故选C。
【点睛】影响城市土地租金的因素有距离市中心的远近和交通通达度。
波兰首都华沙的工业园区逐步转型成为次级商务区（SBD）,其与西南运输走廊（IBD）和主城区的中央商务区（CBD）共同构成华沙的经济增长极。
下图示意华沙经济增长极的空间分布读图，完成下面小题。
2020-2021学年河南省南阳市唐河县九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝12．如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为（）A．9sin31°米B．9cos31°米C．9tan31°米D．9米3．将方程x2﹣6x+2＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+3）2＝﹣2B．（x﹣3）2＝﹣2C．（x﹣3）2＝7D．（x+3）2＝7 4．在中，最简二次根式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．6．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）9．如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（）A．（50﹣）x＝900B．（60﹣x）x＝900C．（50﹣x）x＝900D．（40﹣x）x＝90010．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A．B．C．1D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：＝．12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝．13．若（x2+y2）（x2+y2﹣2）＝3，则x2+y2＝．14．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为．三、解答题（本大题满分75分）16．计算或解方程：（1）+4﹣（6+4）；（2）tan60°+sin45°﹣cos60°；（3）x2﹣4x+3＝0．17．先化简，再求值：÷（﹣a），其中a＝2+，b＝2﹣．18．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积．19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．20．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．21．某公司投资新建了一商场，共有商铺30套．据预测，当每套的年租金定为10万元时，可全部租出．若每套的年租金每增加5000元，则少租出商铺1套．该公司要为租出的商铺每套每年交各种费用1万元，未租出的商铺每套每年交各种费用5000元．（1）当每套商铺的年租金定为13万元时，能租出套；（2）当每套商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元？（收益＝租金﹣各种费用）22．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．23．如图，已知A，B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6），点P，Q同时出发分别做匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒．（1）求t的取值范围；（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝1【分析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．解：A．＝9，此选项计算错误；B．|﹣2|＝﹣2，此选项错误；C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C．2．如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为（）A．9sin31°米B．9cos31°米C．9tan31°米D．9米【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数关系，AC＝AB•sin∠ABC．代入数据即可得出AC 的长度．解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC＝31°，由三角函数关系可知，sin31°＝＝，AC＝AB•sin31°＝9sin31°米，即扶梯高AC的长为9sin31°米，故选：A．3．将方程x2﹣6x+2＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+3）2＝﹣2B．（x﹣3）2＝﹣2C．（x﹣3）2＝7D．（x+3）2＝7【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形后，即可得到结果．解：方程x2﹣6x+2＝0，变形得：x2﹣6x＝﹣2，配方得：x2﹣6x+9＝7，即（x﹣3）2＝7，故选：C．4．在中，最简二次根式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．解：＝3，＝3，＝，＝，都不是最简二次根式，是最简二次根式，故选：A．5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．解：∵EF∥BC，∴＝，∵EG∥AB，∴＝，∴＝，故选：C．6．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα＝＝，∴AF＝b•tanα，∴AB＝AF+BF＝a+b tanα，故选：A．7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，∵BG＝6，∴AD＝BC＝2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，解得：OA＝1，∴OB＝3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．9．如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（）A．（50﹣）x＝900B．（60﹣x）x＝900C．（50﹣x）x＝900D．（40﹣x）x＝900【分析】设AD＝xm，则AB＝（60﹣x）m，根据矩形面积公式列出方程．解：设AD＝xm，则AB＝（60﹣x）m，由题意，得（60﹣x）x＝900．故选：B．10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A．B．C．1D．【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH＝MH＝AM＝，再根据角平分线性质得BM＝MH＝，则AB＝2+，于是利用正方形的性质得到AC＝AB＝2+2OC＝AC＝+1，所以CH＝AC﹣AH＝2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．解：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴AH＝MH＝AM＝×2＝，∵CM平分∠ACB，∴BM＝MH＝，∴AB＝2+，∴AC＝AB＝（2+）＝2+2，∴OC＝AC＝+1，CH＝AC﹣AH＝2+2﹣＝2+，∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴＝，即＝，∴ON＝1．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：＝5．【分析】利用绝对值、零指数幂和负整数指数的意义计算．解：原式＝5﹣+2×+3+1﹣4＝5﹣++4﹣4＝5．故答案为5．12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝ 2.4．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．解：∵AC＝2，AE＝5，∴CE＝3，AB∥CD∥EF，∴，即，∴BD＝2.4，故答案为：2.413．若（x2+y2）（x2+y2﹣2）＝3，则x2+y2＝3．【分析】先设x2+y2＝t，则方程即可变形为t（t﹣2）＝3，解方程即可求得t即x2+y2的值．解：设x2+y2＝t（t≥0）．则原方程可化为：t（t﹣2）＝3，即（t﹣3）（t+2）＝0，∴t﹣3＝0或t+2＝0，解得t＝3，或t＝﹣2（不合题意，舍去）；故答案是：3．14．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．【分析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为或．【分析】先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC＝6cm，再根据折叠的性质得到BE＝DE，直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，△ADE恰好为直角三角形，有两种可能：①∠ADE＝90°，②∠AED＝90°，设BE＝x，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3．直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE＝DE设BE＝x，则DE＝x，AE＝10﹣x①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，∴＝∴＝解得：x＝②当∠AED＝90°时，则△AED∽△ACB∴＝∴＝解得：x＝故所求BE的长度为：或．故答案为：或．三、解答题（本大题满分75分）16．计算或解方程：（1）+4﹣（6+4）；（2）tan60°+sin45°﹣cos60°；（3）x2﹣4x+3＝0．【分析】（1）化简二次根式，然后合并二次根式；（2）将特殊锐角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则依次计算即可．（3）利用因式分解法求解即可．【解答】（1）解：原式＝＝；（2）解：原式＝＝3+1﹣＝；（3）解：x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．17．先化简，再求值：÷（﹣a），其中a＝2+，b＝2﹣．【分析】根据分式的化简求值过程进行计算即可求解．解：当，时，＝．18．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积．【分析】（1）由等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，角的和差得∠BAD ＝∠EDC，两角相等证明△ABD∽△DCE；（2）由相似三角形的性质，一元一次方程，线段的和差求出等边三角形的边长为16，再根据勾股定理计算出AH的长为，面积公式求出△ABC的面积为64．【解答】证明：如图所示：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠BAD+∠ADB＝120°，又∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；（2）过点A作AH⊥BC交BC于点H，∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝4，CE＝3，∴设AB＝4x，则DC＝3x．又∵BD+DC＝AC，∴4+3x＝4x，解得：x＝4，∴AB＝AC＝BC＝16，在Rt△ABH中，由勾股定理得：＝＝，∴＝＝．19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出，由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，解得m＝8．20．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE 是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴AE＝BE•tan22°，即x＝（16+x）×0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．21．某公司投资新建了一商场，共有商铺30套．据预测，当每套的年租金定为10万元时，可全部租出．若每套的年租金每增加5000元，则少租出商铺1套．该公司要为租出的商铺每套每年交各种费用1万元，未租出的商铺每套每年交各种费用5000元．（1）当每套商铺的年租金定为13万元时，能租出24套；（2）当每套商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元？（收益＝租金﹣各种费用）【分析】（1）利用租出商铺的数量＝30﹣年租金增加的金额÷0.5，即可求出当每套商铺的年租金定为13万元时能租出24套；（2）设每套商铺的年租金为x万元，则能租出（50﹣2x）套，利用收益＝租金﹣各种费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出当该公司的年收益为275万元时每套商铺的年租金．解：5000元＝0.5万元．（1）30﹣＝24（套）．故答案为：24．（2）设每套商铺的年租金为x万元，则能租出30﹣＝（50﹣2x）套，依题意得：（x﹣1）（50﹣2x）﹣0.5×[30﹣（50﹣2x）]＝275，整理得：2x2﹣51x+315＝0，解得：x1＝15，x2＝10.5．答：每套商铺的年租金定为10.5 或15万元．22．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE•BC，求出BC，则可求出AD．（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DE＝EF，可求出DG，则答案可求出．解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．23．如图，已知A，B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6），点P，Q同时出发分别做匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒．（1）求t的取值范围；（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点P在OA上运动和点Q在OB上运动，即可得出结论；（2）如果以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，由于∠POQ＝∠AOB，那么O与O是对应点，所以分两种情况进行讨论：①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，即可求解；（3）分三种情况进行讨论：①OP＝OQ；②PO＝PQ；③QO＝QP．解：由运动知，OQ＝2t，AP＝3t，∵点B（8，6），∴OB＝10，∴0≤2t≤10，∴0≤t≤5，∵A（18，0），∴OA＝18，∴0≤3t≤16，∴0≤t≤6，∴0≤t≤5；（2）设从出发起，运动了t秒钟，以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．∵AP＝3t，OQ＝2t，∴OP＝18﹣3t．分两种情况：如图1，①如果△POQ∽△AOB，那么＝，＝，解得t＝；②如果△POQ∽△BOA，那么＝，＝，解得t＝；故以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似时，t的值为或；（3）△OPQ为等腰三角形时，分三种情况：①如果OP＝OQ，那么18﹣3t＝2t，t＝；②如果PO＝PQ，如图2，过点P作PF⊥OQ于F，则OF＝FQ＝OQ＝•2t＝t．∵在Rt△OPF中，∠OFP＝90°，∴OF＝OP•cos∠POF＝（18﹣3t）•＝（18﹣3t），∴t＝（18﹣3t），解得t＝；③如果QO＝QP，如图3，过点Q作QG⊥OP于G，则OG＝GP＝OP＝•（18﹣3t）＝9﹣t．∵在Rt△OQG中，∠OGQ＝90°，∴OG＝OQ•cos∠QOG＝2t•＝t，∴9﹣t＝t，解得t＝．综上所述，所求t的值为或或．。
2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。
2020-2021学年河南省南阳市宛城区人教版五年级上册期末学习评价数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．2.06×0.07的积是()位小数，积的末尾数字是()。
2．图中每个小方格面积是1平方厘米。
图中阴影部分通过剪拼可转化成一个边长()厘米的正方形，阴影部分面积是()平方厘米。
3．＝()÷4＝()。
4．根据图中的数量关系列出方程（不计算）。
列式：()。
5．根据图中的数量关系列出方程（不计算）。
列式：()。
6．已知甲数是a，乙数比甲数的3倍少27，用含字母的式子表示乙数是()，当a＝10.5时，乙数是()。
7．在一组平行线之间有三个图形，分别是平行四边形、三角形和梯形，如下图。
其中()的面积最大、()的面积最小。
8．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
5.04×0.9()5.04 1.62×0.85()0.85 3.8×4.9()207.02÷3()1 1.08÷1.2()1.087.1÷0.2()7.1×59．一个盒子里有12个大小一样的球，其中白色球9个，黄色球3个。
从中摸出一个球，从颜色上看可能有()种结果，是()色的可能性大，不可能是()色。
二、判断题10．由3x＋2x＝22得5x＝22是根据乘法分配律。
()11．三角形的面积是平行四边形面积的一半。
()12．10÷3的商是循环小数。
()13．长25m的木条锯成长1.5m的小段，可以锯16段还剩10m。
()三、选择题14．下面的说法中，正确的是（）。
A．52＝5×2B．x－14是方程C．1.5÷x＝3的解是x＝0.5 15．一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。
这条项链上共有水晶（）。
A．11颗B．12颗C．13颗16．（）保留两位小数的近似数不可能是6.37。
2020-2021学年河南省南阳三中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．（3分）若成立，则（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．ab≥0D．ab≤03．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根是0，则m的值是（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．4．（3分）计算：（4﹣3）÷2的结果是（）A．2﹣B．1﹣C．D．5．（3分）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣6．（3分）为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动．已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有（）A．500（1﹣2x）＝320B．500（1﹣x）2＝320C．500（）2＝320D．500（1﹣）2＝3207．（3分）一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝8．（3分）下面四个等式：①，②，③，④，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（3分）已知三角形的两边长分别为4和7，第三边长是方程x2﹣16x+55＝0的根．则这个三角形的周长是（）A．16B．22C．16或22D．010．（3分）已知点M（2，2），规定一次变换是：先作点M关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（﹣2018，2）B．（﹣2018，﹣2）C．（﹣2017，2）D．（﹣2017，﹣2）二、填空题（共5小题）.11．（3分）已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是．12．（3分）使式子•＝0成立的a的值为．13．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是．14．（3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C ＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．通过计算可得+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）15．（3分）如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）计算：（1）（2）17．（8分）解方程：（1）1﹣x＝3x2（配方法解）．（2）3x2﹣x﹣1＝0．18．（9分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中﹣＜a＜且a为整数．19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．20．（9分）已知+（）2＝2000，y＝++，求y﹣x 的平方根．21．（10分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价）（1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？22．（11分）材料1：对于任意正实数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，a+b ≥2，只有当a＝b时，等号成立．结论：在a+b≥2，（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．材料2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由材料1结论可知：x+≥2，即x+≥2．∴当x＝，即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若n＞0，只有当n＝时，n+有最小值；（2）若函数y＝a+（a＞1），则a＝时，函数y＝a+（a＞1）的最小值为．（3）求代数式（m＞﹣1）的最小值．（4）如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形OCPD的面积始终为12，求四边形ABCD面积的最小值以及此时P点的坐标．23．（11分）如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是反比例函数第一象限内，直线CD上方一动点，当△ABP面积为5时，求点P的坐标．（3）若M是平面直角坐标系内一动点，在y轴上是否存在一动点Q，使以A、C、Q、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；否则，说明理由．参考答案一、选择题（30分）1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．解：A、被开方数为负数，二次根式无意义，故错误；B、是三次根式，故错误；C、x2+1＞0一定成立，被开方数是非负数，故正确；D、当x＝﹣1时，二次根式无意义，故错误．故选：C．2．（3分）若成立，则（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．ab≥0D．ab≤0解：∵成立，∴a≥0，b≤0．故选：B．3．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根是0，则m的值是（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．解：原方程可变形为（m﹣2）x2+3x+（m+2）（m﹣2）＝0，把x＝0代入可得到（m+2）（m﹣2）＝0，解得m＝2或m＝﹣2，当m＝2时，m﹣2＝0，一元二次方程不成立，故舍去，所以m＝﹣2．故选：B．4．（3分）计算：（4﹣3）÷2的结果是（）A．2﹣B．1﹣C．D．解：（4﹣3）÷2＝4÷2﹣3÷2＝2﹣．故选：A．5．（3分）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣解：当k≠0时，△＝1+4k×＝1+3k≥0，∴k≥，∴k≥且k≠0，当k＝0时，此时方程为﹣x＝0，满足题意，故选：C．6．（3分）为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动．已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有（）A．500（1﹣2x）＝320B．500（1﹣x）2＝320C．500（）2＝320D．500（1﹣）2＝320解：设该店春装原本打x折，依题意，得：500•（）2＝320．故选：C．7．（3分）一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝解：y2﹣y﹣＝0y2﹣y＝y2﹣y+＝1（y﹣）2＝1故选：B．8．（3分）下面四个等式：①，②，③，④，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：①3×4＝24，故此选项错误；②，正确；③＝7，故此选项错误；④＝5，故此选项错误；故选：A．9．（3分）已知三角形的两边长分别为4和7，第三边长是方程x2﹣16x+55＝0的根．则这个三角形的周长是（）A．16B．22C．16或22D．0解：x2﹣16x+55＝0，（x﹣11）（x﹣5）＝0，x﹣11＝0，x﹣5＝0，x1＝11，x2＝5，①三角形的三边是4，7，11，此时4+7＝11，不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边是4，7，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是4+7+5＝16，故选：A．10．（3分）已知点M（2，2），规定一次变换是：先作点M关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（﹣2018，2）B．（﹣2018，﹣2）C．（﹣2017，2）D．（﹣2017，﹣2）解：由题可得，第2020次变换后的点M在x轴上方，∴点M的纵坐标为2，横坐标为2﹣2020×1＝﹣2018，∴点M的坐标变为（﹣2018，2），故选：A．二、填空题（15分）11．（3分）已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是0．解：∵x＝（b2﹣4c≥0），∴x2+bx+c＝（）2+b•+c＝++＝＝0，故答案为：0．12．（3分）使式子•＝0成立的a的值为5．解：∵式子•＝0成立，∴a﹣3＝0或a﹣5＝0且a﹣3≥0，a﹣5≥0，解得：a＝5．故答案为：5．13．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是x1＝2，x2＝0．解：∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3＝0的解，由于另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0与已知方程的形式完全相同∴2x+3＝1或2x+3＝﹣3解得x1＝﹣1，x2＝﹣3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣3．14．（3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C ＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．通过计算可得+1＞．（填“＞”或“＜”或“＝”）解：∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，∴CD＝2，AD＝＝，AB＝＝，∴BD+AD＝+1，又∵△ABD中，AD+BD＞AB，∴+1＞，故答案为：＞．15．（3分）如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为或．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AD＝BC＝AB＝CD＝6，∠A＝90°∵点E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝BE＝3＝DF＝CF，∴四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF＝6，如图，EM＝EF＝2∵折叠∴AH＝HM，在Rt△HEM中，HM2＝HE2+EM2，∴AH2＝（3﹣AH）2+4，∴AH＝如图，EM＝EF＝4，∵折叠∴AH＝HM，在Rt△EHM中，HM2＝HE2+EM2，∴AH2＝（AH﹣3）2+16，∴AH＝故答案为：或三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）计算：（1）（2）解：（1）原式＝＝＝（2）原式＝＝17．（8分）解方程：（1）1﹣x＝3x2（配方法解）．（2）3x2﹣x﹣1＝0．解：（1）移项得：3x2+x＝1，x2+x＝，配方得：x2+x+（）2＝+（）2，（x+）2＝，开方得：x+＝，x1＝，x2＝；（2）3x2﹣x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×3×（﹣1）＝18，x＝＝，解得：x1＝，x2＝．18．（9分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中﹣＜a＜且a为整数．解：原式＝[﹣]•＝•＝﹣，由﹣＜a＜且a为整数，得到a＝﹣1，0，1，2，当a＝﹣1时，原式没有意义，舍去；当a＝0时，原式＝1；当a＝1时，原式＝；当a＝2时，原式＝0．19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）＝|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|＝0，∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）＝1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|＝2，解得：m＝±2，∴原方程为：x2﹣5x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．20．（9分）已知+（）2＝2000，y＝++，求y﹣x 的平方根．解：由题意得，998﹣x≥0，解得x≤998，所以，1000﹣x+998﹣x＝2000，解得x＝﹣1，由题意得，m﹣1≥0且1﹣m≥0，解得m≥1且m≤1，所以，m＝1，y＝＝3，所以，y﹣x＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，即y﹣x的平方根是±2．21．（10分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价）（1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？解：（1）设降低x元销售（0≤x≤4），由题意得：300﹣100﹣（100+25x）＝0解得：x＝410﹣4＝6（元）答：销售价格应定为6元．（2）设单价降低x元销售，由题意得：（10﹣6）×100+（10﹣x﹣6）（100+25x）+（4﹣6）[300﹣100﹣（100+25x）]＝625化简得：x2﹣2x+1＝0∴x1＝x2＝1∴10﹣1＝9∴第二天每个饰品的销售价格为9元．22．（11分）材料1：对于任意正实数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，a+b ≥2，只有当a＝b时，等号成立．结论：在a+b≥2，（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．材料2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由材料1结论可知：x+≥2，即x+≥2．∴当x＝，即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若n＞0，只有当n＝1时，n+有最小值；（2）若函数y＝a+（a＞1），则a＝4时，函数y＝a+（a＞1）的最小值为7．（3）求代数式（m＞﹣1）的最小值．（4）如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形OCPD的面积始终为12，求四边形ABCD面积的最小值以及此时P点的坐标．解：（1）∵n＞0，∴n+≥2，即n+≥2，∴当n＝时，即n2＝1，时，n+有最小值．∵n＞0，∴n＝1，故答案为1．（2）∵a＞1，∴a+＝a﹣1++1≥2+1，∴a+≥7，∴a﹣1＝时，y有最小值，最小值为7．∴（a﹣1）2＝9，∵a＞1，∴a＝4时，y有最小值，最小值为7．故答案为4，7．（3）∵＝＝m+1+≥2•，∴≥4，∴代数式（m＞﹣1）的最小值为4．（4）设P（m，n），∵矩形PCOD的面积为12，∴mn＝12，∴n＝∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），∴OA＝3，OB＝4，∵S四边形ABCD＝S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△DOC，＝×3×+×4×3+×4×m+×m×，＝2m++12≥2•+12，∴S四边形ABCD≥24，∴当2m＝时，即m＝3时，四边形ABCD的面积最小，最小值为24．∴P（3，4）．23．（11分）如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是反比例函数第一象限内，直线CD上方一动点，当△ABP面积为5时，求点P的坐标．（3）若M是平面直角坐标系内一动点，在y轴上是否存在一动点Q，使以A、C、Q、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；否则，说明理由．解：（1）把点A（m，3）、B（6，n）分别代入y＝①得3m＝6，6n＝6，解得m＝2，n＝1，∴A（2，3），B（6，1），把A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）将直线AB向右平移h个单位得到直线l，直线l与反比例函数的交点即为所求点P，过点D作DH⊥l交于点H，设直线l交x轴于点M，由直线AB的表达式知，tan∠HMD＝，则sin∠HMD＝，则HD＝DM sin∠HMD＝h×＝h，由点A、B的坐标知，AB＝＝2，则△ABP面积＝×AB×h＝×2h＝5，解得h＝，则DM＝h＝5，即直线AB向右平移5个单位得到直线l，则直线l的表达式为y＝﹣（x﹣5）+4②，联立①②并解得：，故点P的坐标为（1，6）或（12，）；（3）存在，理由：设点P（a，b），点Q（0，t），由A、C的坐标知，AC2＝5，①当AC是边时，点C向右平移2个单位向下平移1个单位得到点A，同样点P（Q）向右平移2个单位向下平移1个单位得到点点Q（P），则a+2＝0且b﹣1＝t且AC＝PC或a﹣2＝0且b+1＝t且AC＝QC，即a+2＝0且b﹣1＝t且a2+（b﹣4）2＝5或a﹣2＝0且b+1＝t且（t﹣4）2＝5，解得t＝4（舍去）或2或4±，②当AC是对角线时，由中点公式得：（2+0）＝（3+4）＝（b+t）且CP＝CQ，即a2+（b﹣4）2＝（t ﹣4）2，解得t＝1.5；故点Q的坐标为（0，2）或（0，4+）或（0，4﹣）或（0，1.5）．。
河南省南阳市2020-2021学年高三上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合3|1,A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭{|0}B x x =≥，则A B =（ ） A ．{|03}x x <≤ B ．{|03}x x ≤≤ C ．{|13}x x <≤ D ．{|13}x x <<2．设复数2(1)12i z i+=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．45- B ．23- C ．25 D ．433．在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为（ ）A ．25B ．35C ．715D ．815 4．已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是 A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称 5．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ=6．函数ln ()|1|x f x x e =-+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭log (2),a x a =1log ,a y a +=12log (2)a z a +=，则（ ） A ．x y z << B ．y x z << C ．x z y << D ．z y x << 8．在如图算法框图中，若6a =，程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3k <B ．3k >C ．4k <D ．4k >9．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7108S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列{}n b 的前n 项和n T 取最大值时n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．十八世纪，函数[]y x =（[]x 表示不超过x 的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程22019[]20200x x --=的所有实数根的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 11．某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．234πC ．64πD ．643π 12．已知函数234()1234x x x f x x =+-+-+ (20182019)20182019x x -+，若函数()f x 的零点均在区间[,]a b (,,)a b a b Z <∈内，则b a -的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知向量(1,1),a =(2,1)b =，若()()a b a b λ-⊥+，则实数λ的值为________. 14．学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1 名，则不同的分配方案有________种（用数字作答）. 15．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右两个焦点分别为1,F 2F ，A ，B 为其左、右两个顶点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30AMB ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.16．已知函数()22()x f x x ax e ax a =--+（e 为自然对数的底数，a R ∈，a 为常数）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题17．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小19．设直线l 与抛物线22x y =交于,A B 两点，与椭圆22142x y +=交于,C D 两点，设直线,OA ,OB ,OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1,k 2,k 3,k 4k ，若OA OB ⊥. （1）证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？并说明理由.20．已知函数ln ()x f x x=. （1）若函数()y f x k =-有2个零点，求实数k 的取值范围；（2）若关于x 的方程1()f x m x=-有两个不等实根1,x 2x ，证明： ①122x x +>；②2221122x x x x +>. 21．一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束.（1）求1,P 2,P 3P ；（2）求证：数列{}1n n P P +-(1,2,3,,98)n =⋯为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r αα=+⎧⎨=⎩ （α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且曲线1C 与2C 恰有一个公共点. (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知曲线1C 上两点A ，B 满足4AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值.23．若关于x 的不等式|1||4||1|x x t --+≥+有解，记实数t 的最大值为T .（1）求T 的值；（2）若正数,a ,b c 满足2a b c T ++=，求14a b b c+++的最小值.参考答案1．A【分析】化简集合A ，根据交集运算即可.【详解】3|1(0,3],A x x ⎧⎫=≥=⎨⎬⎩⎭{|03}A B x x ∴=<≤,故选：A【点睛】本题主要考查了分式不等式，交集的运算，属于容易题.2．C【分析】根据复数的乘除法运算法则，化简复数z ，即可写出虚部.【详解】2(1)22(12)421212555i i i i z i i i ++====-+--, ∴复数z 的虚部为25. 故选：C【点睛】 本题主要考查了复数的乘除运算，复数的概念，属于中档题. 3．B【分析】取出2个球共有取法26C 种，至少有1个红球的对立事件为没有一个红球，共有24C 种，根据古典概型概率公式即可求解.【详解】设一次随机取出2个球，至少有1个红球为事件A ，则242663()1()=11155C P A P A C =--=-=， 故选：B本题主要考查了古典概型，对立事件，属于中档题.4．B【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可．【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（） 得：126x k ππ=+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对． 由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（）， 得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选B ．【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．5．D【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2，故D 不正确．故选D ． 6．D由解析式ln ()|1|x f x x e=-+可知，在定义域(0,)+∞上()0f x >恒成立，即可选出答案. 【详解】因为ln ()|1|x f x x e =-+的定义域为(0,)+∞，|1|0x -≥，ln 0x e >，所以ln ()|1|0x f x x e =+>-，结合图象，只有D 选项符合要求，故选：D【点睛】本题主要考查了函数的定义域，值域，图象，属于容易题.7．B【分析】 根据10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭利用对数函数的增减性，判定,,x y z 与0,1的大小关系即可求解. 【详解】 10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21a a ∴<<,0log 1log (2)log 1,a a a a a x =<==<11,1a a +><,11log log 10a a y a ++∴<==,1122a a >+>, ∴11221log (2)log()12a a z a a ++=>+=, 综上y x z <<，故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.8．C【分析】根据二项式（2+x ）5展开式的通项公式，求出x 3的系数，模拟程序的运行，可得判断框内的条件．【详解】∵二项式5(2)x +展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅,令3r =， 3233152T C x +∴=⋅⋅，332356(4)21408x x C x∴⨯⋅⋅=， ∴程序运行的结果S 为120，模拟程序的运行，由题意可得k=6，S=1不满足判断框内的条件，执行循环体，S=6，k=5不满足判断框内的条件，执行循环体，S=30，k=4不满足判断框内的条件，执行循环体，S=120，k=3此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为120．故判断框中应填入的关于k 的判断条件是k ＜4？故选：C【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题．9．D【分析】由7108S S S <<可分析数列89,a a ，10a 的符号，结合等差数列的性质，求出12n n n n b a a a ++=的最大值时n 的值.【详解】由7108S S S <<可得：88910910000a a a a a a <⎧⎪<++⎨⎪+<⎩即90a <，100a <，0d ∴<，∴等差数列{}n a 是789100,0,0,0a a a a >>><的递减数列，∴1278910110,00,0,0,0,0,b b b b b b b >>><><< 又98910118()0b b a a a a -=->，所以123789nT b b b b b b =++++++最大，故9n =， 故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的增减性，判断数列项的符号，数列和的最值，属于中档题. 10．C【分析】由22019[]20200x x --=可得22019[]2020x x =+，若||2x ≥时，方程显然不成立，故22x -<<，此时[]1,0,1x =-，分别分析即可.【详解】由22019[]20200x x --=可得22019[]2020xx =+, 因为||2x ≥时，2[]20220109x x >+，方程无解，当22x -<<时，[]x 的可能取值为1,0,1-，当[]1x =-时，方程有解1x =-，当[]0x =时，方程无解，当[]1x =时，220192021x =，解得x =或x =，因为1=，符合题意，[1=-不符合题意，舍去，x=-，x=综上，方程的根为1故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程，取整函数，分类讨论的思想，属于中档题.11．D【分析】先在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为R，列出方程即可求出结果．【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，且长方体的长为2，宽为4，EP=取AB中点为D，上底面中心为E，连接DE，EP，则DE2因为三角形ABC为直角三角形，所以D点为三角形ABC的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段DE上，记球心为O，设球的半径为R，则OB=OP=R，所以OE OD===DE解得：2163R = 所以该三棱锥的外接球表面积为26443R ππ=, 故选：D【点睛】 本题主要考查了几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，属于中档题．12．A【分析】利用导数判断函数f （x ）单调性，再利用f （-1）＜0，f （0）=1，函数零点的判定定理判断函数是否存在零点零点【详解】234()1234x x x f x x =+-+-+ (2018201920182019)x x -+， 2320172018()1f x x x x x x '∴=-+-++⋯-，当0x ≠且1x ≠-时，201920191()1()011x x f x x x '--+==>++， 又(0)10,(1)0f f ''=>->， ()f x ∴在R 上是增函数，且(1)0(0)10f f -<=>，，由函数零点的存在性定理知，函数()f x 的唯一零点0(1,0)x ∈-，又函数()f x 的零点均在区间[,]a b (,,)a b a b Z <∈，所以b a -的最小值为0(1)1--=，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.13．85【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可.【详解】()()a b a b λ-⊥+,()()0a b a b λ∴-⋅+=,23(1)50λλ+--=, 解得85λ=， 故答案为：85【点睛】 本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题.14．150【分析】根据题意，分两种情况讨论：①将5名同学分成三组，一组1人，另两组都是2人，②将5名同学分成三组，一组3人，另两组都是1人，由组合数公式计算可得每种情况下的分配方案数目，由分类计数原理计算可得答案．【详解】将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，有2种情况：①将5名同学分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215c c c A =种分组方法， 再将3组分到3个项目，共有331590A ⋅=种不同的分配方案；②将5名同学分成三组，一组3人，另两组都是1人，有3115212210C C C A =种分组方法，再将3组分到3个项目，共有3310A 60⋅=种不同的分配方案，共有90+60=150种不同的分配方案，故答案为：150【点睛】本题主要考查了排列、组合的运用，注意先要根据题意要求，进行分类讨论，其次要正确运用分组公式，属于中档题.15【分析】求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M ，再由两点的斜率公式，得到a ，b 的关系，再由离心率公式即可得到所求值.【详解】 双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±， 以F 1F 2为直径的圆的方程为222x y c +=， 将直线b y xa=代入圆的方程，可得，x a ==（负的舍去），y=b ， 即有(,),M a b 又(,0),(,0)A a B a -，由于30AMB ︒∠=，BM ⊥x 轴，则2tan 303a b ︒==，即有b =，则离心率c e a ===16．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】函数有三个不同零点，转化为方程有3个根，进而当y a =与()x g x xe =有两个不同交点问题，画简图可得a 的范围．【详解】 ()0f x =时，22()0x x ax e ax a --+=，()()0()()0x x x x a e a x a x a xe a ---=⇒--=， 得x a =或x a xe =，函数()f x 有三个不同零点，则y a =与()x g x xe =有两个不同的交点，而()(1)x x x g x e xe e x '=+=+，令()0g x '=，1x =-，(,1)x ∈-∞-，()0g x '<，(1,)x ∈-+∞，()0g x '>，所以11()(1)g x g e e--=-=-，函数()g x 大致图象如下：y a =与()g x 的图象有两个交点的范围1(e-，0)． 故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性得函数最值，进而求两个交点时a 的范围，属于中档题．17．（1）4π；（2）54+【分析】 （1）由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为()sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；（2）先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解.【详解】（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a c A C=， 所以()sin sin sin cos A C B B =+，在ABC ∆中，()sin sin A B C =+,所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+,所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+，所以sin cos sin sin B C C B = 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，所以cos sin C C = 因为C 是ABC ∆的内角所以4C π.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-，因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-， 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=， 所以平面四边形ABDC 的面积5cos sin 4BC BC D A S S D D S ∆∆=+=-+ 544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-< 所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC 的面积有最大值54+【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，三角形面积公式的应用及面积范围的求法，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）030【分析】（1）先由已知建立空间直角坐标系，设),0D b ，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC BE ⊥，PC DE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面PAB 的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b 的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【详解】（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设),0D b ，则()0C ，，()002P ，，，233E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)0B b -，，∴()22PC =-，，22 ,,33BE b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22 33DE b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，， ∴44 033PC BE ⋅=-=，0PC DE ⋅=， ∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=，∴PC ⊥平面BED .（2）() 002AP =，，，()2,,0AB b =-， 设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =，则2020m AP z m AB x by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取() 2b m =，， 设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =，则222032023n PC r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 取2 1,b n ⎛=- ⎝，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n bb =-=⋅，故b = ∴(1,1,n =-，() DP =-， ∴1cos ,2n DPDP n n DP ⋅==⋅， 设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=， ∴30θ=︒，∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30.【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，属于中档题.19．（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析【分析】（1）设直线l 的方程为y =kx +b 代入抛物线的方程，利用OA ⊥OB ，求出b ，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出12k k +，34k k +，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得12x x +，12x x ，34x x +，34x x 代入12k k +，34k k +，化简即可求解.【详解】（1）证明：由题知，直线l 的斜率存在且不过原点，故设:(0),l y kx b b =+≠()11,,A x y ()22,B x y由22y kx b x y=+⎧⎨=⎩可得2220x kx b --=， 12122,2x x k x x b ∴+==-.,OA OB ⊥0OA OB ∴⋅=，()21212121204x x x x y y x x ∴+=+=，故2b = 所以直线l 的方程为2y kx =+故直线l 恒过定点(0,2).（2）由（1）知122,x x k +=124x x =-121212y y k k x x ∴+=+ 121222kx kx x x ++=+ 12222k x x =++ ()121222x x k x x +=+k = 设()33,,C x y ()44,D x y 由222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2212840k x kx +++=， 3428,12k x x k ∴+=-+342412x x k =+ 343434y y k k x x ∴+=+ 343422kx kx x x ++=+ 34222k x x =++ ()343422x x k x x +=+ 2k =-()123412k k k k ∴+=-+，即存在常数12λ=-满足题意. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（1）10,k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ （2）①证明见解析 ②证明见解析【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合零点情况得到函数大致变化规律，即可求解（2）原函数化为1ln x m x +=，求1ln ()x g x x +=导数，分析函数单调性，转化为1211x x e<<<，构造函数利用单调性证明不等式.【详解】（1）由题知，()y f x =与y x =有两个交点，21ln ()x f x x -'=，(0,)x ∈+∞. 由()0f x '>得，0x e <<；由()0f x '<得，x e >， ()f x ∴在(0,)e 上单增，在(,)e +∞上单减，又(1)0,f =1()f e e =，且x e >时，()0f x >，故10,k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）①方程1()f x m x =-可化为1ln x m x+=， 令1ln ()x g x x +=，2ln ()x g x x '=-， 所以()g x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减， 又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设12x x <. 则1211x x e<<<，要证明122x x +>，只需证212x x >- 21,2(1,)x x -∈+∞且()g x 在(1,)+∞上单减，所以证()()()1212g x g x g x =<-令()()(2),h x g x g x =--1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()(2)h x g x g x '''=+- 22ln ln(2)(2)x x x x -=---2222ln 1(1)4(1)ln (2)x x x xx x ⎡⎤--+-⎣⎦=-- 当1,1x e⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 0,x <2ln 1(1)0x ⎡⎤--<⎣⎦，()0h x '∴> 即()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单增.又(1)0h =， ()(2)g x g x ∴<-对1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 即()()()1212g x g x g x =<-成立即122x x +>成立 ②由①得()22211212122x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即222112122x x x x x x +>+>，命题得证. 【点睛】本题主要证明了利用导数求函数的单调性，最值，利用导数证明不等式，属于难题. 21．（1）11P =，212P =，334P = （2）证明见解析 （3）9811332-⋅ 【分析】（1）根据题意，分析可得棋子在1站是一个必然事件，即可得P 1的值，进而分析棋子跳到2站以及棋子跳到3站的情况，据此求出P 2、P 3的值（2）根据题意，分析可得211122n n n P P P ++=+，变形可得()21112n n n n P P P P +++-=--，即可得结论（3）由（2）知112n n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法求出99P ，由对立事件的概率性质求出100P . 【详解】（1）棋子开始在第1站是必然事件，11P ∴=；棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上， 其概率为1,2212P ∴=；棋子跳到第3站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为12；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为111,224⨯=3113244P ∴=+=； （2）棋子棋子跳到第2n +()*197,n n N≤≤∈站，有两种情况：①棋子先跳到第n 站，又掷硬币反面向上，其概率为12n P ；②棋子先跳到第1n +站，又掷硬币正面向上，其概率为112n P +.故211122n n n P P P ++=+. ()21112n n n n P P P P +++∴-=-- 又2112P P -=-， 数列()1(1,2,3,n n P P n +-=…,98)是以12-为首项，12-为公比的等比数列. （3）由（2）得112n n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. ()()9999989897P P P P P =-+-+…()211P P P +-+98971122⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…112⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ 99112112⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9821332=+⋅ 所以获胜的概率为9998111332P -=-⋅ 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率公式，数列的定义，用叠加法求数列的项，属于难题． 22．(Ⅰ) 4cos ρθ=.(Ⅱ) 2+.【解析】【分析】(Ⅰ) 由题意得曲线2C 为直线，曲线1C 为圆，根据直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的极坐标方程． (Ⅱ) 设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，可得MON S ∆124ρρ=cos 4πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后转化为三角函数的知识求解即可． 【详解】(Ⅰ)曲线2C 的极坐标方程为1sin()sin cos 362πρθθρθ+=+=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式可得2C 直角坐标方程为1322y x +=，即60x -=，所以曲线2C 为直线．又曲线1C 是圆心为(2,0),半径为||r 的圆，因为圆1C 与直线1C 恰有一个公共点， 所以|26|||22r -==， 所以圆1C 的普通方程为2240x y x +-=，把222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=. (Ⅱ)由题意可设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，121||sin cos 2444MON S OA OB ππρρθθ∆⎛⎫===+ ⎪⎝⎭‖ ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，AOB ∆的面积最大，且最大值为2+. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化和极坐标方程的应用，利用极坐标方程解题时要注意用点的极径可解决长度问题，解题中往往涉及到三角变换，然后再转化成三角函数的问题求解，属于中档题．23．（1）4T= （2）94 【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可.【详解】 （1）设()|1||4|f x x x =--+5,423,415,1x x x x ≤-⎧⎪=---<<⎨⎪-≥⎩所以()f x 的值域为[5,5]-，故|1|5t +≤，解得64,t -≤≤4T =.（2）由（1）知24a b c ++=，即()()4a b b c +++=14a b b c ∴+++114[()()]4a b b c a b b c ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭ 14()54b c a b a b b c ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦19(544≥+= （当且仅当()()42()a b b c b c a b +++=⎧⎨+=+⎩即4383a b b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时取等号） 故14a b b c+++的最小值为94. 【点睛】本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键,属于中档题．。
2020-2021学年河南省南阳三中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是( )A. 35°B. 40°C. 70°D. 110°2. 下列是无理数的是( )A. √7B. √−643C. 227D. 3.1⋅4⋅3. 下列多项式中，不能因式分解的是( )A. a 3−aB. a 2−9C. a 2+2a +2D. 14a 2+a +1 4. 下列算式中正确的是( )A. m 3+m 2=m 5B. m 3⋅m 2=m 6C. m 3÷m 2=mD. (m 3)2=m 55. 若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”.下列正整数中能称为“好数”的是( )A. 205B. 250C. 502D. 5206. △ABC 和△DEF 中，∠A =∠D =90°，下列不能判定这两个三角形全等的条件是( )A. AB =DE ，AC =DFB. AB =DE ，BC =EFC. AC =EF ，BC =DFD. ∠C =∠F ，BC =EF7. 已知3m =4，32m−n =2，若9n =x ，则x 的值为( )A. 64B. 8C. 2D. √28. 2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日(πDay)”.国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是( )A. 圆周率是一个大于3而小于4的无理数B. 圆周率是一个近似数C. 圆周率是一个与圆的大小无关的常数D. 圆周率等于该圆的周长与直径的比值9. 如图，阴影部分是边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10.如图是中国宋代的“贾宪三角”又称“杨辉三角”，比欧洲的“帕斯卡三角”早近600年，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律．观察下列各式及其展开式，请猜想(a+b)10展开式中所有项的系数和是()A. 128B. 256C. 512D. 1024二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.方程8x3+125=0的根是______．12.计算12a3b2c÷(−4a2b)=______．13.若x2+kx+1是一个完全平方式，则k=______ ．1614.若实数x、y满足(x−2)2+√5−y=0，则以x、y为两边的等腰三角形的周长为______．15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CE=CB，∠E=∠A，CD=2DE，则S△CED：S△CBD=______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.计算：(1)√78−13+√1+916；(2)2019×2021−20202．17.因式分解：(1)4ab2−4a2b−b3；(2)(m−1)2+2(m−13)．18.先化简，再求值：x(x+2y)−2y(x+y)，其中x=√5，y=−√3．19.阅读理解：已知a+b=4，ab=3，求a2+b2的值．解：∵a+b=4，∴(a+b)2=42，即a2+2ab+b2=16．∵ab=3，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=10．参考上述过程解答：(1)若x−y=−3，xy=−2，则x2+y2=______，(x+y)2=______；(2)若m+n−p=−10，(m−p)n=−12，求(m−p)2+n2的值．20.如图，△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)，请在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC全等的格点三角形，标注顶点字母并填空．(1)在图①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB，记作△ABC≌△______；(2)在图②中所画三角形与△ABC有一个公共角C，记作△ABC≌△______；(3)在图③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A，记作△ABC≌△______．21.如图是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为8．(1)求出这个魔方的棱长；(2)图中阴影部分是一个正方形ABCD，该正方形的面积为______ ，边长为______ ；(3)若把长度等于AB的线段放到数轴上，使点A与−1重合，点B在点A的右边，设点B表示的数为b，请计算b(b+2)的值．22.【例题讲解】因式分解：x3−1．∵x3−1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想x3−1可以分解成(x−1)(x2+ax+b)，展开等式右边得：x3+(a−1)x2+(b−a)x−b，∴x3−1=x3+(a−1)x2+(b−a)x−b恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即{a−1=0b−a=0−b=−1解得{a=1b=1．∴x3−1=(x−1)(x2+x+1)．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若x2−mx−12=(x+3)(x−4)，则m=______ ；(2)若x3+3x2−3x+k有一个因式是x+1，求k的值；(3)请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．23.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：(1)【方法应用】如图①，在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．(2)【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)【拓展延伸】如图③，已知AB//CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF=∠BAE，若AB=5，CF=2，直接写出线段DF的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵等腰三角形的一个内角是110°，∴等腰三角形的顶角为110°，∴等腰三角形的底角为35°，故选：A．根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2.【答案】A【解析】解：A、√7是无理数，故本选项符合题意；B、√−643=−4，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C、227是分数，属于有理数，故本选项不合题意；D、3.1⋅4⋅是循环小，属于有理数，故本选项不合题意；故选：A．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．3.【答案】C【解析】解：A、a3−a=a(a+1)(a−1)，故本选项不合题意；B、a2−9=(a+3)(a−3)，故本选项不合题意；C、a2+2a+2在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意；D、14a2+a+1=(12a+1)2，故本选项不合题意；故选：C．直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可．此题主要考查了提取公因法以及公式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．4.【答案】C【解析】解：A、m3与m2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、m3⋅m2=m5，故本选项不合题意；C、m3÷m2=m，故本选项符合题意；D、(m3)2=m6，故本选项不合题意；故选：C．分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据平方差公式得：(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=4n×2=8n．所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．故选：D．利用平方差公式计算(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=4n⋅2=8n，得到两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，据此解答即可．本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2−b2=(a−b)(a−b)是解题关键．6.【答案】C【解析】解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等，不符合题意；B、由HL能判定△ABC和△DEF全等，不符合题意；C、当∠A=∠D=90°时，AC与EF不是对应边，不能判定△ABC和△DEF全等，符合题意；D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等，不符合题意．故选：C．针对选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中B虽是两边相等，但不是对应边对应相等，也不能判定三角形全等．本题考查了直角三角形全等的判定方法：SSS，ASA，SAS，AAS，HL.做题时要认真验证各选项是否符合全等要求．7.【答案】A【解析】解：∵32m−n=32m÷3n=2，3m=4，∴3n=32m÷2=42÷2=8，∴9n=32n=82=64．即x的值为64．故选：A．根据同底数幂的除法法则可得32m−n=32m÷3n=2，据此可得3n=32m÷2=42÷2=8，再根据幂的乘方运算法则计算即可．本题主要考查了同底数幂的除法，算术平方根以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．8.【答案】B【解析】解：A、圆周率是一个大于3而小于4的无理数，是真命题；B、圆周率是一个无理数，原命题是假命题；C、圆周率是一个与圆的大小无关的常数，是真命题；D、圆周率等于该圆的周长与直径的比值，是真命题；故选：B．根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：图①中，拼接前阴影部分的面积为a2−b2，拼接后是一个长为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，因此可以验证平方差公式；图②中，拼接前阴影部分的面积为a2−b2，拼接后是一个底为(a+b)，高为(a−b)的平行四边形，因此面积为(a+b)(a−b)，所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，因此可以验证平方差公式；图③中，拼接前阴影部分的面积为a2−b2，拼接后是一个长为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，因此可以验证平方差公式；图④中，拼接前阴影部分的面积为a2−b2，拼接后是一个底为(a+b)，高为(a−b)的平行四边形，因此面积为(a+b)(a−b)，所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，因此可以验证平方差公式；故选：A．根据每个图所反映的拼接方法，用不同的方法表示阴影部分的面积后再进行判断即可．本题考查平方差公式的几何背景，用代数式拼接前后的阴影部分面积是得出结论的关键．10.【答案】D【解析】解：当n=1、2、3、4、…时，(a+b)n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…，由此可知(a+b)n展开式的各项系数之和为2n，所以(a+b)10展开式中所有项的系数和是210=1024．故选：D．根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．此题考查了整式的运算和规律探索，弄清“杨辉三角”中系数规律是解本题的关键．11.【答案】−52【解析】解：8x3+125=0，8x3=−125，x3=−125，8x =−52； 故答案为：−52．根据立方根的定义直接求解即可．本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a(x 3=a)，那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．12.【答案】−3abc【解析】解：12a 3b 2c ÷(−4a 2b)=−3abc ．故答案为：−3abc ．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．13.【答案】±12【解析】解：∵x 2+kx +116是一个完全平方式，∴x 2+kx +116=(x ±14)2=x 2±12x +116， ∴k =±12，故答案为：±12．这里首末两项是x 和14这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和14积的2倍． 此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．14.【答案】12【解析】解：∵实数x ，y 满足(x −2)2+√5−y =0，∴x −2=0，y −5=0，∴x=2，y=5，∵以x，y的值为两边长的等腰三角形，∴若以2的值为腰长则有：2+2=4<5构不成三角形，故排除，∴等腰三角形的腰长为5，底边长为2，故此三角形的周长为：5+5+2=12．故答案为：12．先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．15.【答案】1：2【解析】解：过点D作DF⊥CE于F，过D作DG⊥CB于G，∵S△CED=12CE⋅DF，S△CBD=12DG⋅BC，∵CE=CB∴S△CED：S△CBD=DF：DG，∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠DCG=90°，∴∠A=∠DCG=∠E，∵∠EFD=∠CGD=90°，∴△DFE∽△DGC，∴DFDG =DEDC=12，∴S△CED：S△CBD=1：2．故答案为：1：2．过点D作DF⊥CE于F，过D作DG⊥CB于G，根据三角形面积公式与已知可得S△CED：S△CBD=DF：DG，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．此题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形面积公式，掌握相似三角形的判定方法是解决此题关键．16.【答案】解：(1)原式=√−183+√2516 =−12+54=34； (2)原式=(2020−1)×(2020+1)−20202=20202−1−20202=−1．【解析】(1)利用立方根和算术平方根的定义即可得出答案；(2)利用平方差公式将原式变形进而得出答案．此题主要考查了平方差公式以及实数的运算．熟练掌握平方差公式，立方根和算术平方根的定义是解题的关键．17.【答案】解：(1)4ab 2−4a 2b −b 3=−b(−4ab +4a 2+b 2)=−b(2a −b)2；(2)(m −1)2+2(m −13)=m 2−2m +1+2m −26=m 2−25=(m +5)(m −5)．【解析】(1)直接提取公因式−b ，再利用公式法分解因式即可；(2)直接去括号化简，再利用公式法分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．18.【答案】解：原式=x 2+2xy −2xy −2y 2=x 2−2y 2，当x=√5，y=−√3时，原式=5−6=−1．【解析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】5 1【解析】解：(1)∵x−y=−3，xy=−2，∴x2+y2=(x−y)2+2xy=9−4=5，∴(x+y)2=x2+2xy+y2=5−4=1，故答案为：5，1；(2)∵m+n−p=−10，(m−p)n=−12，∴(m−p)2+n2=(m−p+n)2−2(m−p)n=100+24=124．(1)根据x−y=−3，xy=−2，可求出x2+y2=(x−y)2+2xy=9−4=5，进而再求出(x+y)2的值，(2)把(m−p)看作一个整体，就转化为(1)，再利用(1)的方法求解即可．本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，利用完全平方公式进行适当的变形是正确计算的关键．20.【答案】ABD DEC ABD【解析】解：(1)如图①所示，△ABD即为所求；(2)如图②所示，△DEC即为所求；(3)如图③所示，△ABD即为所求，故答案为：ABD；DEC；ABD．(1)根据题意画出图形即可；(2)根据题意画出图形即可；(3)根据题意画出图形即可．本题考查了作图−应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】2 √2【解析】解：(1)设魔方的棱长为x，则x3=8，解得：x=2；(2)∵棱长为2，∴每个小立方体的边长都是1，∴正方形ABCD的边长为：√12+12=√2，∴S=(√2)2=2；正方形ABCD故答案为2；√2．(3)∵正方形ABCD的边长为√2，点A与−1重合，∴点B在数轴上表示的数b为：−1−√2，∴b(b+2)=(−1−√2)(−1−√2−2)=5+4√2．(1)根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；(2)根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；(3)用点A表示的数减去边长即可得解．本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．22.【答案】1【解析】解：(1)∵(x+3)(x−4)=x2−x−12，∴−m=−1，∴m=1，故答案为：1；(2)设另一个因式为(x2+ax+k)，(x+1)(x2+ax+k)=x3+ax2+kx+x2+ax+k=x3+(a+1)x2+(a+k)x+k，∴x3+(a+1)x2+(a+k)x+k=x3+3x2−3x+k，∴a+1=3，a+k=−3，解得a=2，k=−5；答：k的值为−5；(3)多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①(x2+1)(x2+ax+b)或②(x2+x+1)(x2+ax+1)，①(x2+1)(x2+ax+b)=x4+ax3+bx2+x2+ax+b=x4+ax3+(b+1)x2+ax+b，∴a=0，b+1=1，b=1，由b+1=1得b=0≠1，②(x2+x+1)(x2+ax+1)=x4+(a+1)x3+(a+2)x2+(a+1)x+1，∴a+1=0，a+2=1，解得a=−1．即x4+x2+1=(x2+x+1)(x2−x+1)，∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．本题考查了因式分解的应用、多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解并会运用待定系数法原理．23.【答案】1<AD<5【解析】解：(1)延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，{AD=DE∠ADC=∠EDB DC=DB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴AC=BE=4，在△ABE中，AB−BE<AE<AB+BE，∴6−4<2AD<6+4，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5．(2)结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，∵AB//CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，{∠AEB=∠FEC ∠BAE=∠FBE=CE，∴△ABE≌△FEC(AAS)，∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD．(3)如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB//CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，{∠BAE=∠G∠AEB=∠GEC BE=CE，∴△AEB≌△GEC(AAS)，∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB−CF=3．(1)延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE 中，根据三角形三边关系定理得出AB−BE<AE<AB+BE，代入求出即可．(2)结论：AD=AB+DC.延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC(AAS)，推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题．(3)如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论．本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。
2021年秋期高中二年级期终质量评估化学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。
满分100分，考试时间90分钟，答题前务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。
2.答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.可能用到的部分相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Zn 65第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题(本题包括16小题，每题3分，共48分，每小题只有一个选项符合题意)1. 中华传统文化蕴含着很多化学知识，下列说法正确的是A. 《本草图经》记载：“盖此矾色绿，味酸，烧之则赤”，绿矾能电离出+H，故“味酸”B. 《本草纲目》中“冬月灶中所烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣”中的“碱”是烧碱C. 《煮盐歌》记载“风干日曝盐味加，始灌潮波流成卤”，该过程涉及的物质分离操作为蒸馏D. 《医学入门》记载提纯铜绿的方法：“水洗净，细研水飞，去石澄清，慢火熬干”。
文中涉及的操作方法是洗涤、溶解、过滤、蒸发【答案】D【解析】【详解】A．绿矾是硫酸亚铁晶体，亚铁离子水解使溶液呈酸性，而不是绿矾能电离出+H，A错误；B．草木灰的主要成分是碳酸钾，因此“冬月灶中所烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣”中的“碱”是碳酸钾，B错误；C．“风干日曝盐味加，始灌潮波流成卤”，该过程涉及的是蒸发，而不是蒸馏，C错误；D．“水洗净，细研水飞，去石澄清，慢火熬干”，文中涉及的操作方法是洗涤、溶解、过滤、蒸发，D正确；答案选D。
2. 下列对于化学反应方向说法不正确的是A. 自发进行的化学反应的方向，应由焓判据和熵判据的复合判据来判断B. 某些非自发的反应可以通过改变条件使其成为自发反应C. 知道了某过程有自发性之后，则可确定该过程是否一定会发生2NaCl(s)=2Na(s)+Cl(g)的ΔH>0,ΔS>0D. 一定温度下，反应2【答案】C【解析】【详解】A．自发进行的化学反应的方向，应由吉布斯自由能即焓判据和熵判据的复合判据来判断，A正确；B．一定条件下某些非自发的反应可以通过改变温度等条件使其成为自发反应，B正确；C．某过程有自发性是在一定条件下，如低温自发、高温自发，但不可确定该过程是否一定会发生，C错误；2NaCl(s)=2Na(s)+Cl(g)是熔融氯化钠的电解，是吸热反应，ΔH>0，而反应D．反应2前后气体分子数增多，是熵增加的过程，ΔS>0，D正确；答案选C。
专题07 正弦定理一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =3B π=，4A π=，则b = AB ．3 C．D ．6【试题来源】河南省新乡市2020-2021学年高二上学期期中（文） 【答案】A【分析】根据正弦定理，由题中条件，可直接得出结果． 【解析】因为在ABC中，a =3B π=，4A π=，所以由正弦定理可得sin 3sin sin sin4ab B Aππ===A ．2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．若a =，1sin 3A =，则sin B =A．3 B．3 C．6D【试题来源】云南省楚雄州中小学2020-2021学年高二上学期期中教学质量监测 【答案】C【分析】由正弦定理即可求出．【解析】因为,a =所以b a =．由正弦定理可得sin sin a b A B =，则sin 1sin 236b A B a ===．故选C ． 3．在ABC 中，若3a =，cos 2A =，则ABC 外接圆的半径为A ．6 B．C ．3D【试题来源】河南省长垣市第十中学2020-2021学年高二上学期十月调研考试（理） 【答案】C【分析】利用正弦定理可得ABC 外接圆的半径． 【解析】在ABC 中，若3a =，cos 2A =，所以1sin 2A =，由正弦定理2sin a R A=，所以33122R ==⨯．故选C. 4．在ABC 中，若3a =，1sin 2A =，则ABC 外接圆的半径为A ．6B．4C ．3 D．2【试题来源】河南省长垣市第十中学2020-2021学年高二上学期十月调研考试（文） 【答案】C【分析】利用正弦定理直接求出ABC 的外接圆的半径．【解析】在ABC 中，由正弦定理2sin a R A=，所以33122R ==⨯．故选C ． 5．在ABC中，已知60,B b ==sin sin a bA B+=+． A ．2B ．12CD【试题来源】四川省都江堰中学2019-2020学年高一下学期期中 【答案】A【分析】根据正弦定理，得到sin sin sin 60a b A B ==︒，即可求解．【解析】由题意知60,B b ==2sin sin 60b B ==根据正弦定理，可得2sin sin a b A B ===，所以2sin sin sin a b a A B A +==+．故选A ． 6．在ABC 中，a 、b 、c 分别为ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，15a =、10b =、60A =，则cos B =A ．12-B ．2-C D 【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（文）（人教A 版） 【答案】D【分析】根据题中条件，由正弦定理，得到sin 3B =，进而可得cos B ．【解析】由正弦定理sin sin a b A B =得1510sin 60sin B =，所以sin B =，因为b a <，所以B A <，故角B 为锐角，所以cos B ===．故选D ． 7．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a B b =，则角A 等于 A ．3πB ．3π或23π C ．6πD ．6π或56π【试题来源】河南省许昌市2020-2021学年高二上学期期末（理） 【答案】D【分析】由正弦定理化简得1sin 2A =，即可求解． 【解析】因为2sin a B b =，由正弦定理可得2sin sin sin A B B =， 因为(0,)B π∈，可得sin 0B >，所以1sin 2A =，又由(0,)A π∈，所以6A π=或56π．故选D ． 8．在ABC 中，3B π=，4Cπ，2AB =，则AC =ABC ．3D．【试题来源】广东省东莞市2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC ABB C=，代入已知数据即可求解． 【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC AB B C=，即2sin sin 34AC ππ=，所以22AC ==，故选B ． 9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A =︒，60B =︒，2a =，则b =ABCD．【试题来源】广西桂林市2020-2021学年高二年级上学期期末（理） 【答案】A【解析】因为45A =︒，60B =︒，2a =，所以由正弦定理可得sin sin a bA B=， 则b=2sin 2sin 60sin sin 45a B A ===A ． 10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()cos sin 1A A C A B ++=，且2sin b B =，则a c +的取值范围是A ．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B．94⎤⎥⎦C．)D ．⎤⎦【试题来源】云南省楚雄州中小学2020-2021学年高二上学期期中教学质量监测 【答案】B【分析】由sin cos()cos sin 1A A C A B ++=，利用两角差的正弦易得()sin 1B A -=，进而得到2B A π=+，22C A π=-，再根据2sin b B =，转化为()2sin sin a c R A C +=+24sin +2sin 2A A =-+，利用二次函数的性质求解．【解析】因为sin cos()cos sin 1A A C A B ++=，所以sin cos cos sin 1A B A B -+=，所以()sin 1B A -=， 因为A ，B 为内角，所以2B A π-=，即2B A π=+，则22C A π=-，因为2sin b B =，所以22sin bR B==， 所以()()2sin sin 2sin cos2a c R A C A A +=+=+22194sin +2sin 24sin 44A A A ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为002022A B A C A πππππ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩解得04A π<<，则sin 0,2A ⎛∈ ⎝⎭， 所以a c +的取值范围是94⎤⎥⎦，故选B.11．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是 A ．sin sin a b A B >⇔> B ．cos cos a b A B >⇔< C ．sin 2sin 2a b A B >⇔>D ．cos 2cos 2a b A B >⇔<【试题来源】河南省八市重点高中2020-2021学年高二上学期11月联考（理） 【答案】C【分析】根据正弦定理及三角形的性质大边对大角可得A B >，对于A 通过A B >，利用正弦定理，推出sin sin A B >．B 由A B >，通过余弦函数的单调性可得cos cos A B <；C 由A B >通过举反例说明sin 2sin 2A B >不正确即可．D 由A B >，通过正弦定理以及同角三角函数的基本关系式，以及二倍角的余弦函数推出cos2cos2A B <． 【解析】因为a b >，所以A B > 对于A ，a b >，利用正弦定理可得2sin a r A =，2sin b r B =，故sin sin A B >．故A正确；对于B ，A B >，ABC 中，A 、(0,)B π∈，余弦函数是减函数，所以cos cos A B <，故B 正确；对于C ，例如60A =︒，45B =︒，满足A B >，但不满足sin 22A =，sin 21B =，所以C ：sin 2sin 2A B >，不正确；对于D ，因为在ABC 中，a b >，利用正弦定理可得2sin a r A =，2sin b r B =，故sin sin 0A B >>，所以22sin sin A B >，可得2212sin 12sin A B -<-，由二倍角公式可得cos2cos2A B <，故D 正确．故选C ．【名师点睛】本题考查正弦函数的单调性，正弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形中有大角对大边，将命题转化是解题的关键．12．在ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos cos cos A B Ca b c==，2a =，则ABC 的面积为A ．4B ．C ．2D 【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文） 【答案】D【分析】由正弦定理的边化角公式得出tan tan tan A B C ==，进而确定ABC 为等边三角形，最后由三角形面积公式得出答案． 【解析】由正弦定理及cos cos cos A B Ca b c==可得tan tan tan A B C ==，又,,(0,)A B C π∈，所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，所以24ABCS==故选D ．13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“sin sin a A b B +>+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【试题来源】河南省焦作市天一大联考2020-2021学年高二12月份月考（理） 【答案】C【分析】根据正弦定理分别判断充分性和必要性即可． 【解析】由正弦定理可知2sin sin a bR A B==，若a b >，则sin sin A B >， 则sin sin a A b B +>+，则可得“a b >”是“sin sin a A b B +>+”的充分条件， 再由sin sin a A b B +>+可得，2sin sin 2sin sin R A A R B B +>+， 即(21)sin (21)sin R A R B +>+，所以sin sin A B >，从而a b >， 即“a b >”是“sin sin a A b B +>+”的必要条件，所以“a b >”是“sin sin a A b B +>+”的充要条件．故选C ．14．ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别是A ，B ，C ，若2sin b a B =，则角A = A ．30 B ．150︒C ．60︒或120︒D ．30或150︒【试题来源】四川省成都市盐道街中学2019-2020学年高一下学期期中 【答案】D【分析】利用正弦定理的边角互化即可求解． 【解析】在ABC 中，由正弦定理知sin sin a bA B=，则sin sin 1sin 2sin 2a B a B A b a B ⋅⋅===⋅， 因为角A 是ABC 的内角，所以0180A <<︒︒，所以角A 等于30或150︒．故选D ．15．在锐角ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2sin a B =，则A ∠等于 A ．60︒ B ．120︒ C ．30D ．150︒【试题来源】新疆巴音郭楞蒙古自治州库尔勒市2019-2020学年高一下学期期末考试 【答案】A【分析】由条件结合正弦定理可得2sin sin A B B ，然后得sin 2A =即可选出答案．【解析】因为2sin a B =，所以由正弦定理可得2sin sin A B B =，因为sin 0B ≠，所以sin 2A =，因为角A 为锐角，所以60A ∠=︒，故选A.16．在ABC 中，10a =，5b =，31B =，则此三角形的解的情况是 A ．有两解 B ．有一解 C ．无解D ．有无数个解【试题来源】宁夏石嘴山市平罗中学2020-2021学年高二上学期第二次月考 【答案】C【分析】通过作圆法可确定三角形解的情况． 【解析】作CD 垂直于BA 所在直线，垂足为D ， 则sin 10sin3110sin305CD a B ==>=，以C 为圆心，5为半径作圆，可知与BA 无交点，故三角形无解．故选C ．17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin b A ，则B = A ．6π B ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试 【答案】D【分析】根据2sin b A =，利用正弦定理得到2sin sin B A A =求解．【解析】因为在ABC 中，2sin b A =，所以2sin sin B A A =，因为sin 0A ≠，所以sin 2B =，因为()0,B π∈，则B =3π或23π，故选D.18．在ABC sin cos B c b A =-，则B = A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】Bsin sin sin cos A B C B A =-，再利用三角恒等变形计算角B ．【解析】根据正弦定理，可知2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，sin sin sin cos A B C B A =-， 又A B C π++=，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+，sin sin cos A B A B =，sin 0A ≠，sin tan cos B B B ∴==，得6B π=．故选B. 19．在ABC 中，若2sin b a B =，则A 等于 A ．30或60︒ B ．45︒或60︒ C ．120︒或60︒D ．30或150︒【试题来源】贵州省黔西南州兴义市第二高级中学2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】结合正弦定理得到1sin 2A =，即可得出结果． 【解析】由正弦定理可知，2sin b a B =，即sin 2sin sin B A B =， 在ABC 中，0180B ︒<<︒，则sin 0B ≠， 所以1sin 2A =，又0180A <<︒︒，所以30A =︒或150︒．故选D ． 20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“2sin a b A =”是“6B π=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】由题意结合正弦定理和必要不充分条件的定义可得答案． 【解析】由正弦定理和已知得sin 2sin sin A B A =， 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1sin 2B =，由于0B π<<， 所以6B π=或56B π=，所以“2sin a b A =”是“6B π=”的必要不充分条件．故选B ．【名师点睛】必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．21．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin cos 0b A B =，则B = A ．23πB ．3πC ．4π D ．34π 【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高二上学期期末（文） 【答案】A【分析】利用正弦定理的边角互化即可求解．【解析】由sin cos 0sin cos b A B b A B =⇒=，则sin sin cos B A A B =，又0A π<<，则sin 0A ≠，所以sin =B B ，即tan B =23B π=．故选A. 22．在ABC 中，若5AC =，6B π=，3tan 4A =，则BC =A ．3B ．C ．6D ．152【试题来源】河南省平顶山市2020-2021学年高二上学期期末（文） 【答案】C【分析】由正切求得正弦，然后用正弦定理求解．【解析】因为3tan 4A =，(0,)A π∈，所以3sin 5A =，根据正弦定理可得sin sin BC ACA B =，所以sin 6sin AC A BC B==．故选C ． 23．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1c =，且cos cos 1a C A -=，则2sin A C -的取值范围是A．(0,2 B．()1 C．(12 D．()【试题来源】河南省新乡市2020-2021学年高二上学期期中（文）【答案】B【分析】由已知条件得出cos cos a C c A c -=，利用正弦定理结合两角差的正弦公式得出2A C =，利用ABC 为锐角三角形，求出角C 的取值范围，再利用三角恒等变换思想化简所求代数式，利用正弦型函数的有界性可求得2sin A C -的取值范围．【解析】由于cos cos 1a C A -=且1c =，可得cos cos a C c A c -=，由正弦定理可得sin cos cos sin sin A C A C C -=，即()sin sin A C C -=，02A π<<，02C <<π，可得22A C ππ-<-<，A C C ∴-=，即2A C =， ABC 为锐角三角形，可得02202032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64C ππ<<，所以，21cos 2sin sin 2sin 222sin 223C A C C C C C π-⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭ 64C ππ<<，可得252336C πππ<+<，1sin 2232C π⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭，所以，12sin 203C π⎛⎫+- ⎪⎝⎭．故选B ． 【名师点睛】解三角形的问题中，求解与三角形内角的代数式的取值范围问题时，一般利用三个内角之间的关系转化为以某角为自变量的三角函数来求解，同时不要忽略了对象角的取值范围的求解．24．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且(cos 1)2cos b A B +=，则ABC 周长的取值范围是A ．(2,4)B ．(4,6)C ．(2,6) D．2,6)【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高二上学期期中（理）【答案】B【分析】把已知式中2换成a 后用正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得2A B =，然后由正弦定理把,b c 用角B 表示，得周长的表达式，求出B 角范围后可得周长的范围，【解析】因为2a =，()cos 12cos b A B +=，所以()cos 1cos b A a B +=，所以()sin cos 1sin cos B A A B +=，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，则B A B =-，即2A B =． 由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ==， 则sin 1sin cos a B b A B ==，sin 2sin 314cos sin sin 2cos a C B c B A B B===-， 故ABC 的周长1124cos 4cos 2cos cos l a b c B B B B=++=++-=+． 因为0π,02π,0π3π,B B B <<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩解得π03B <<，则1cos 12B <<， 故ABC 的周长()4,6l ∈．故选B ．【名师点睛】本题主要考查正弦定理，解题关键是把已知等式中的2用边a 替换，这样可用正弦定理进行边角转化，化边为角，从而求得2A B =，然后可得B 角范围，同时再用正弦定理求出边,b c （表示为B 的函数），从而可求得周长的范围．25．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3cos cos b B c C=-，则A 的最大值是 A ．56π B ．23π C ．6π D ．3π【试题来源】河南省八市重点高中2020-2021学年高二上学期11月联考（理）【答案】C【分析】先根据题中条件，由正弦定理，得到sin 3cos cos sin B B C C =-，sin 2cos sin A B C =-，由两角和的正切公式，得出22tan tan 13tan C A C=+，利用基本不等式，即可得出结果． 【解析】因为3cos cos b B c C=-，由正弦定理可得sin 3cos cos sin B B C C =-， 则sin cos 3cos sin 0B C B C +=，所以()sin sin 2cos sin A B C B C =+=-，因为A ，B ，C 为ABC 的内角，则sin 0A >，sin 0C >，所以cos 0B <，则2B ππ<<，所以A 、C 都为锐角； 又由sin 3cos cos sin B B C C =-可得sin 3sin cos cos B C CB =-，即tan 3tan =-BC ， 则()2tan tan 2tan tan tan 1tan tan 13tan B C C A B C B C C +=-+=-=-+， 令tan 0x C =>，则2223tan 1131323x A x x x x x==≤=++⋅， 当且仅当13x x =，即3x =时，等号成立； 所以()max3tan 3A =A 的最大值为6π．故选C ． 【名师点睛】求解本题的关键在于利用正弦定理，结合三角恒等变换，得到22tan tan 13tan C A C=+，再利用基本不等式，求解即可．（求解时，要注意角的范围）． 26．在ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【试题来源】山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试（A ）【答案】C【分析】由cos cos a A b B=结合正弦定理求得A B =，进而判断可得出结论． 【解析】若cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，所以，sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，0A π<<，0B π<<，可得A B ππ-<-<，所以，0A B -=，A B ∴=．由a b A B =⇔=可知，cos cos a A a b b B=⇔=． 因此，“a b =”是“cos cos a A b B=”的充要条件．故选C ．27．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1tan 2A =，cos B =若ABC ，则最短边长为A BC D ．【试题来源】2021年高考一轮数学（文）单元复习一遍过【答案】A【分析】先结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得角,A B 的正余弦，再利用三角形内角和为π和诱导公式计算角C 的正余弦，判断c 为最大边，b 为最短边，利用正弦定理求出b 即可． 【解析】由1tan 02A =>知02A π<<，利用同角三角函数基本关系可求得cos A =，sinA =，由cos 0B =>知02B π<<，得sin 0B =>，A B C π++=， 所以cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-⋅+⋅1010==<，sin 2C =，即C 为钝角，C 为最大角，故c 为最大边，有c = 由sin sinA B =>=a b >，最短边为b ，于是由正弦定理sin sin b c B C =，即1b =b =A ． 【名师点睛】本题解题关键在于通过计算内角的正余弦值判断c 为最大边，b 为最短边，才能再利用已知条件和正弦定理计算突破答案．28．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】A【分析】根据A B >与sin sin A B >的互相推出情况，确定出属于何种条件．【解析】因为A B >a b ⇒>，再由正弦定理可知sin sin A B >，所以sin sin A B A B >⇒>；因为sin sin A B >，根据正弦定理可知a b >，又a b A B >⇒>，所以sin sin A A B B >⇒>，所以“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故选A ．【名师点睛】在三角形中，三角形的内角越大，其所对的边越长，反之亦成立；三角形的内角越小，其所对的边越短，反之亦成立．29．在ABC 中，由角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(cos cos )c a B b A =-，则tan()A B -的最大值为ABC ．1 D【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（理）【答案】D【分析】根据正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到tan 3tan A B =，再根据两角差的正切公式，结合基本不等式，即可求解．【解析】因为在ABC 中，2(cos cos )c a B b A =-由正弦定理可得2sin cos 2sin cos sin A B B A C ⋅-⋅=．因为()C A B π=-+，可得sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，即sin cos 3cos sin A B A B =，即tan 3tan A B =，所以2tan tan 2tan 2tan()11tan tan 13tan 3tan tan A B B A B A B B B B --===≤+⋅++．因为tan 3tan A B =，可得tan 0B >，所以13tan tan B B +≥=当且仅当tan 3B =，即6B π=，2C π=，3A π=时取“=”，所以tan()3A B -≤，即tan()A B -的最大值为3．故选D ． 【名师点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用．30．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72︒的等腰三角形（另一种是两底角为36︒的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，BC AC =．根据这些信息，可得sin54︒=A．14+ B．38+C D 【试题来源】福建省宁德市2020-2021学年高一上学期期末考试【答案】A【分析】在ABC ，由正弦定理可知sin sin BC BAC AC ABC ∠=∠可得cos36︒=诱导公式得sin54cos36︒=14=． 【解析】在ABC ，由正弦定理可知sin sin 36sin 361sin sin 722sin 36cos362cos36BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠=====∠∴cos36︒==，由诱导公式()sin54sin 9036cos36︒=-=，所以sin54︒=．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．二、多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b =，30A =︒，若满足条件的ABC 唯一确定，则a 的可能值为A ．12 B ．1 C ．32D ．2 【试题来源】【新东方】在线数学32【答案】BD【分析】根据ABC 唯一确定，得到sin a b A =或a b ≥，求解即可得到a 的可能值．【解析】若满足ABC 唯一确定，则sin 2sin 301a b A ==⨯=或2a b ≥=，故选BD ．2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，下列说法正确的有A ．若45A =︒，4b =，4a =，则ABC 有两解B ．若 tan tan tan 0A BC ++>，则ABC 一定是锐角三角形C ． a b >是sin sin A B >是充要条件D ．若cos cos a A b B =，则ABC 形状是等腰或直角三角形【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（二）【答案】BCD【分析】A 选项，由题中条件，得到B A =，即可判断A 错；B 选项，由两角和的正切公式，将原式化简，可判断B 正确；根据正弦定理，对选项中的条件进行处理，可判断CD 正确．【解析】A 选项，在ABC 中，若45A =︒，4b =，4a =，则45B A ==︒，所以90C =︒，即ABC 只有一解；故A 错；B 选项，由()tan tan tan tan 1tan tan BC A B C B C+=-+=--可得 tan tan tan tan tan tan A A B C B C -+=+，又tan tan tan 0A B C ++>，所以tan tan tan tan tan 0A A A B C -+>， 即tan tan tan 0A B C >，因为角A ，B ，C 为三角形内角，为使tan tan tan 0A B C >，只能角A ，B ，C 都为锐角，或有两角是钝角（显然不可能）；因此ABC 一定是锐角三角形；故B 正确；C 选项，在ABC 中，若 a b >，由正弦定理，可得sin sin A B >；反之也成立，所以 a b >是sin sin A B >是充要条件，故C 正确；D 选项，由cos cos a A b B =，根据正弦定理，可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，则A B =或2A B π+=，故ABC 形状是等腰或直角三角形，故D 正确．故选BCD ．3．下列说法正确的是A ．在ABC 中，若sin sin AB >，则A B >．B ．在ABC 中，sin sin sin sin a a b c A A B C+-=+-． C ．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．D ．在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，则此三角形有一解．【试题来源】广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中质量测试【答案】ABC【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可得出结果．【解析】A 选项，因为sin sin A B >，根据正弦定理，可得a b >，由三角形的性质，大边对大角，所以A B >，故A 正确；B 选项，在ABC 中，由正弦定理可得2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC 外接圆半径），所以2sin 2sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin sin a b c R A R B R C a R A B C A B C A+-+-===+-+-，故B 正确；C 选项，在三角形中，若已知两边与两边夹角，可直接根据三角形面积公式求三角形面积；若已知两边一邻角，可根据余弦定理，先求出第三边，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积；即在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．故C 正确； D 选项，在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，由正弦定理可得40sin 2sin 120b C B c ===>，显然不成立，所以此三角形不存在，故D 错．故选ABC ． 4．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c ，π3A =，2a =，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b 的可能取值为A ．1BC ．2D ．3【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期期末【答案】ABC【分析】作图，然后根据题意分析满足条件的三角形有且只有一个的情况有两种：a h =或a b ≥，即可求出b 的可能取值．【解析】如图所示，则sin h b A =，因为满足条件的三角形有且只有一个，所以sin ==a h b A 或者a b ≥，则3b =或2b ≤，则可知b 的可能取值为1，3，2．故选ABC ．【名师点睛】关于三角形解的个数问题，求解时一定要注意结合三角形的图分析，主要通过比较边长与高的大小关系来判断三角形解的个数．5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是 A ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形B ．若cos cos A B >，则sin sin A B <C ．若ABC 是锐角三角形，sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．若ABC 是钝角三角形，则tan tan tan tan tan tan 3A B B C C A ++<【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【答案】BCD【分析】利用三角函数的性质，结合诱导公式以及正切函数的两角和公式，逐个选项进行判断求解即可【解析】对于A ，根据正弦定理，由cos cos a A b B =，得出sin cos sin cos A A B B =，所以，sin 2sin 2A B =，因为在ABC 中，令6A π=，3B π=，此时，仍有sin 2sin 2A B =，所以，ABC 不一定是等腰三角形，A 错误；对于B ，由已知条件得，0,0A B ππ>>>>，因为cos cos A B >，所以，A ，B 均为锐角，则有02B A π>>>，所以，sin sin A B <，B 正确； 对于C ，若ABC 是锐角三角形，则,,A B C 均为锐角，所以，2A B π+>，得02A π>>和02B π>>，且2A B π>-，得sin sin()cos 2A B B π>-=，同理，可证得，sin cos BC >，sin cos C A >，所以，sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++成立，C 正确； 对于D ，若ABC 是钝角三角形，不妨设C 为钝角，则,A B 为锐角，则有tan tan()0C A B =-+<，所以，tan tan tan()01tan tan A B A B A B++=>-， 因为tan 0,tan 0A B >>，所以，1tan tan 0A B ->，得到1tan tan A B >，又由C 为钝角，可得tan tan tan tan 0B C C A +<，所以，tan tan tan tan tan tan 3A B B C C A ++<成立，同理，当A 为钝角或者B 为钝角时，该不等式仍然成立，D 正确；故选BCD【名师点睛】解题的关键在于，利用特殊角进行赋值进行判断选项，以及利用三角函数的性质和相关公式，逐个选项进行判断，主要考查学生的运算能力，属于中档题 三、填空题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c =，cos C =，则sin A =__________．【试题来源】河南省开封市2020-2021学年高二上学期五县联考期中（文） 【答案】67．【分析】由cos C =可以求出sin C ，再利用基本不等式即可求解．【解析】因为cos C =，所以02C <<π，所以3sin 7C ==，因为2a c =，由正弦定理得sin 2sin A C =， 因为3sin 7C =，所以6sin 2sin 7A C ==．故答案为67．2．在ABC 中，已知B ＝45°，c ＝b A ＝__________． 【试题来源】陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高二上学期第二次月考 【答案】512π或12π． 【分析】利用正弦定理求出C ，进而求出A ．【解析】在ABC 中，B ＝45°，c ＝b ＝3，由正弦定理可得sin sin b c B C =，即23sin 45sin C=，解得sin 2C =， 因为c b >，所以3C π=或23π，所以53412A ππππ=--=或23412A ππππ=--=．故答案为512π或12π．3．在ABC 中，若3,4b c C π===，则角B 的大小为__________．【试题来源】上海市金山中学2021届高三上学期期中 【答案】13π或23π 【分析】利用正弦定理sin sin b cB C=，即可得到答案． 【解析】由正弦定理sin sin b c B C=得3sin B =，解得sin B =，因为0B π<<，所以13B π=或23π．故答案为13π或23π.4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60C =︒，b =3c =，则A =__________．【试题来源】山西省大同市煤矿第四中学校2021届高三上学期期中（文） 【答案】75°【分析】在ABC 中，利用正弦定理求得 sin B ，然后根据b c <，求得角B 即可． 【解析】在ABC 中，60C =︒，b =3c =，由正弦定理得sin sin b cB C=，所以6sin 602sin 3b C B c ===，因为b c <，所以60B C <=， 所以45B =，所以75A =，故答案为75°.5．ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23cosB =，4b =，3c =，则cos C__________．【试题来源】河南省信阳市2020-2021学年第一学期高二期中教学质量检测（文） 【答案】4【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin B ，再由正弦定理求出sin C ，从而求出cosC .【解析】由2cos 3B =，()0,B π∈得sin B ==由正弦定理得sin sin b c B C=3sin C =，33sin 4C ∴== c b <，C ∴一定为锐角，cos C ∴==6．在ABC 中，4A π=，4BC =，则ABC 外接圆的面积为__________．【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高二上学期期中（理） 【答案】8π【分析】由正弦定理求得外接圆半径后可得面积．【解析】设ABC 外接圆的半径为R，则2sin BC R A===故ABC 外接圆的面积为2π8πR =．故答案为8π．7．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若13,cos 2a A ==-，则ABC 的外接圆的面积为__________．【试题来源】吉林油田高级中学2019-2020学年第二学期高一期末考试（理） 【答案】3π【分析】先求出sin A ，再由正弦定理即可求出外接圆半径，进而求出面积． 【解析】在ABC 中，1cos 2A =-，sin A ∴== 设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2sin a R A ===R = 则ABC 的外接圆的面积为23R ππ=．故答案为3π． 8．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c若()cos()cos sin a B C A C a -=-，则A =__________．【试题来源】吉林省白城市第一中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文） 【答案】3π【分析】先利用三角恒等变换，将原式化为2sin sin sin cos a B C C A =，根据正弦定理，得到sin A A =，进而可求出结果．【解析】由()cos()cos sin a B C A C a -=-得cos()cos sin cos a B C a A C A -+=，则cos()cos()sin cos a B C a B C C A --+=，则()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C B C B C B C C A +--=⎡⎤⎣⎦即2sin sin sin cos a B C C A =，由正弦定理可得2sin sin sin sin cos A B C B C A =， 又角A ，B ，C 为三角形内角，所以()0A B C π∈,,,，则sin A A =，即tan A =3A π=．故答案为3π． 9．在ABC 中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =__________． 【试题来源】上海市浦东新区2021届高三上学期一模【分析】由内角和求得A ，然后由正弦定理求得BC ． 【解析】51243A πBC ππππ-=--==-， 由正弦定理得sin sin AB BC C A =，所以2sinsin 3sin sin4πAB A BC πC ===10．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足4A π=，3b =的ABC有且仅有一个，则边a 的取值范围是__________．【试题来源】浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】32(3,){}+∞ 【分析】根据正弦定理可化为3sin sin AB a=，结合三角形一解求解．【解析】由正弦定理，sin sin a bA B=，所以3sin sin A B a =，因为ABC 有且仅有一个，所以sin 1B =或sin sin B A <，即2a =或3a >，故答案为32(3,){}2+∞. 11．在ABC 中，若,tan 23B C AC π===，则AB =__________．【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文）【分析】由tan C =in sC =【解析】因为sin tan cos C C C ==22sin cos 1C C +=，所以in s C = 由正弦定理得sin sin ACAB B C =，则sin sin 13C BAC AB ==．故答案为13． 12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3B π=，a =512C π=，则b =__________．【试题来源】河南省新乡市2020-2021学年高二上学期期末（文） 【解析】因为4A B C ππ=--=，所以sinsin34bπ=b =13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3cos 3b C a c =-，且 A C =，则sin A =__________．【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】3【分析】根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，整理可得cos B 的值，结合题意，利用二倍角公式，即可求得答案．【解析】因为3cos 3b C a c =-，利用正弦定理边化角可得3sin cos 3sin sin B C A C =-， 又=A B C π++，所以=()A B C π-+，即[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+=sin cos cos sin B C B C +，所以3sin cos 3(sin cos cos sin )sin B C B C B C C =+-，所以3cos sin sin B C C =，因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 3B =， 又 A C =，所以21cos cos(2)cos 22sin 13B A A A π=-=-=-=， 因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin A ==．故答案为314．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2sin b a B =，则cos sin B C +的取值范围为__________．【试题来源】湖北省部分省重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】由正弦定理化边为角可得1sin 2A =，得出6A π=，再由三角形是锐角三角形得32B ππ<<，化简o sin 3c s B B C π⎛++⎫= ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可得出．【解析】依题意2sin b a B =，由正弦定理得sin 2sin sin B A B =，sin 0B ≠，∴1sin 2A =，由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6A π=． 由202A B B ππ⎧+>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，可得32B ππ<<，所以5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭1cos cos 2B B B =+3cos 2B B =3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336B πππ<+<，所以1sin 32B π⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭332B π⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为32⎫⎪⎪⎝⎭．【名师点睛】本题考查解三角形和三角函数性质的应用，解题的关键是利用正弦定理得出6A π=，再得出32B ππ<<，将cos sin B C +3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭利用三角函数性质求解．15．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，a =，且24sin cos sin 2Aa Bb A =，则ABC 外接圆的面积为__________． 【试题来源】河南省许昌市2020-2021学年高二上学期期末（理） 【答案】7π【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角A 的余弦值，进而求得角A 的正弦值以及外接圆半径，故可得解． 【解析】由正弦定理得sin sin a bA B=，则sin sin a B b A =，24sin cos sin 2A a B b A =，∴21cos 24A =，∴21cos 2cos 122A A =-=-，∴sin A === 设ABC ∆外接圆的半径为R，则2sin a R A ===，∴R =ABC ∆外接圆的面积为27S R ππ==．故答案为7π．【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．。
2020届河南省南阳市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|160A x x =-≤，{}lg 20B x x =-，则A B =I （ ） A ．[)(]4,13,4-⋃ B ．[)(]4,31,4--⋃- C ．()()4,13,4-⋃ D ．()()4,31,4--⋃-【答案】A求解二次不等式可得：{}|44A x x =-≤≤， 求解对数不等式可得：{}31B x x x =<或， 结合交集的定义有：[)(]4,13,4A B ⋂=-⋃. 本题选择A 选项.2．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z 满足122z z ⋅=-，则2||z =（ ）A B ．2CD ．10【答案】A由已知可得z 1＝﹣1﹣i ，则11z i =-+，代入1z •z 2＝﹣2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 2，则答案可求． 解：由已知可得z 1＝﹣1﹣i ， 则11z i =-+， 又1z •z 2＝﹣2，∴()()()22121111i z i i i i ----===+-+-+--，∴|z 2|=故选A ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）【答案】C由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S . 【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系. 4．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为132， 则小正方形的边长为3122-，小正方形的面积231312S ⎫==-⎪⎪⎝⎭则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.1345006711-⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭，故选：B.本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 5．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．13【答案】A根据题意，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,AH BH u u u r u u u r 与AM u u u u r，求出,λμ的值即可.【详解】解：根据题意，设BH xBC =u u u r u u u r，则11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r 11(1)22x AB xAC =-+u u u r u u u r ， 又AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，11(1),22x x λμ∴=-=，111(1)222x x λμ∴+=-+=，故选：A.本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.6．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 7．将函数sin(3)y x ϕ=+的图象向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则6π=ϕ”是()f x 是偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必婴不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条仲 【答案】A【详解】把函数()sin 3y x ϕ=+的图像向左平移9π个单位长度后，得到的图象的解析式是33y sin x πϕ=++（） ，该函数是偶函数的充要条件是 32k k Z ππϕπ+=+∈，，所以则“6πϕ=”是“()f x 是偶函数”的充分不必要条件．故选A ．本题考查三角函数的图象变换以及充分必要条件，属中等题．8．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果. 【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B．2)C．D．【答案】A双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a ＞c 2， ∴22b a＞3，即b 2＞3a 2， ∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ． 则e=ca＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-， 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f xx x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题二、填空题13．在32nx x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.由题意可得8n=，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】2)nx-的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r rr r r rr nT C x C x--+=-=-g g g g，令843r-=，求得2r=，可得二项展开式常数项等于284112C⨯=，故答案为112．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．设数列{}n a为等差数列，其前n项和为n S，已知14799a a a++=，25893a a a++=.若对任意n*∈N都有n kS S≤，成立，则k的值为__________. 【答案】20设出等差数列的公差为d，由14799a a a++=，25893a a a++=，利用等差数列的性质求出4a和5a的值，两者相减即可得到d的值，根据4a和公差d写出等差数列的通项公式n a，令n a大于0列出关于n的不等式，求出解集中的n的最大正整数解即为满足题意k的值.【详解】解：设等差数列{}n a的公差为d，由14799a a a++=，得4399a=，即433a=.由25893a a a++=，得5393a=，即531a=.所以42,(4)241nd a a n d n=-=+-=-+.由0na>，得20.5n<，所以n S的最大值为20S，所以20k=，故答案为：20.本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题.15．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，过焦点F且斜率为13的直线与抛物线【答案】313-求得抛物线的焦点，设出直线AB 的方程，以及,A B 的坐标，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示和夹角公式，计算可得所求值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设1:32p AB y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立22y px =， 可得224760x px p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121219,,4p x x p x x y y p +===-，则2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-u u u r u u u r ，()()()()22222211221122||||22OA OB x y x y x px x px ⋅=++=++u u u r u u u r ()()2222221212121342438444p p x x x x p p x x p p p ⎛⎫=+++=++= ⎪⎝⎭， 则22334cos 1313||||4p OA OB AOB OA OB p -⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ， 故答案为：313-.本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题.16．若函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________． 【答案】[，]先求导得f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，（t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，解不等式得解.函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x +m （sin x ﹣cos x ）,则f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，因为f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则（t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案为：[，]．本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题.三、解答题17．如图，在ABC V 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=o ，22sin BAC ∠=，AB 32=，AD 3=．()1求BD 长； ()2求cosC【答案】（13（2）63. ()1由已知利用诱导公式可求cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可计算BD 的长． ()2由()1可求cos BAD ∠的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠，由正弦定理可求sin ADB ∠的值，根据诱导公式可求cosC 的值． 【详解】（1）由题意，因为DAC 90∠=o ，πsin BAC sin BAD cos BAD 2∠∠∠⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，22cos BAD ∠∴=在ABD V 中，由余弦定理得，222BD AB AD 2AB AD cos BAD ∠=+-⋅⋅， 即222BD 18923233=+-⨯=，得BD 3.= ()2由22cos BAD 3∠=，得1sin BAD 3∠=，在ABD V 中，由正弦定理，得：BD ABsin BAD sin ADB∠∠=．1AB sin BADsin ADB BD∠∠⋅∴===πADB DAC C C 2∠∠=+=+Q，cosC ∴= 本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：213n T ≤<.【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）详见解析.【详解】（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+，当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =， ∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，∴831582q q q -+=-+⇒=或12q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------，∴123n n T c c c c =++++L 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-------L 111121n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.） 19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2)见解析（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组求解椭圆的方程；（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断. 【详解】解：（1）因为椭圆C的离心率e ==，即222a b =.因为点)在椭圆C 上，所以22211a b+=. 由22222211a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y kx m =+，联立方程组22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=，()228420k m∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k-=+，()121222212my y k x x m k +=++=+.22222421k m MN k +-=+⨯， 点O 到直线MN 的距离是21m d k=+.由OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v，得2412D km x k -=+，2212D my k=+. 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=. 由题意，四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为2222222421121OMDNm k m S MN d k k k +-==+⨯++ 222242m k m +-=. 由22122k m +=，得6OMDN S ∆=，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为6. 本题主要考查椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，椭圆方程求解一般是采用待定系数法；直线和椭圆的关系问题一般是求出目标表达式，根据表达式的特征选择合适的方法. 20．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②2(,)z N μσ:，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）根据平均数公式计算x ；（2）根据正态分布的对称性计算P （z ≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）． 【详解】 （1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,Nμσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 21．已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e． ()1求实数b 的值；()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 0b =;(2) 2a =时，()f x 在()0,+∞单调增；12a <<时, ()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；2a >时,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；（3）不存在. 分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 由111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==' ①11a -=即2a =,则()()21x f x x='-，故()f x 在()0,+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<; 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增 （3）由（1）知()2ln 2F x x x x =-+，所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1'20x xω=->对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增，所以()()''110F x F >=>恒成立， 所以函数()F x 在区间()1,+∞内单调递增.假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+， 问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 即方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 令()2ln 22x x x h x x -+=+， ()1,x ∈+∞，则()()22342ln '2x x x h x x +--=+， 设()2342ln p x x x x =+--， ()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x-+=+-=>对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭； 所以Q 2P =本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |·f b a ⎛⎫⎪⎝⎭.【答案】（1）{x |x ≥3或x ≤－5}．（2）证明见解析（1）分段讨论当x ＜－3时，当－3≤x ≤1时，当x ＞1时，求解不等式即可； （2）利用分析法，要证f (ab )＞|a |f b a ⎛⎫⎪⎝⎭，只需证|ab －1|＞|b －a |，再两边平方证明即可. 【详解】解：（1）依题意，原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|≥8. 当x ＜－3时，则－2x －2≥8，解得x ≤－5. 当－3≤x ≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅. 当x ＞1时，则2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8的解集为{x |x ≥3或x ≤－5}． （2）证明：要证f (ab )＞|a |f b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需证|ab －1|＞|b －a |， 只需证(ab －1)2＞(b －a )2.∵|a |＜1，|b |＜1，知a 2＜1，b 2＜1，∴(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)＞0. 故(ab －1)2＞(b －a )2成立． 从而原不等式成立．本题考查了解绝对值不等式，重点考查了利用分析法证明不等式，属中档题.。
2020-2021学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。
1．下列各式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2+2x＝x2﹣1C．（x﹣1）（x﹣3）＝0D．＝23．如果＝1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥4．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．0B．±2C．2D．﹣25．把方程2x2﹣4x﹣1＝0化为（x+m）2＝的形式，则m的值是（）A．2B．﹣1C．1D．26．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A、B、C，直线DF交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．在一幅长为70cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是4800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+110x﹣1000＝0B．x2+55x﹣500＝0C．x2﹣110x﹣1000＝0D．x2﹣55x﹣500＝09．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝3，则点F到BC的距离为（）A．3B．2C．D．10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P从点A出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若式子有意义，则x的取值范围是．12．若m是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式3m2﹣9m﹣10的值为．13．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，可列方程为．14．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流奕子，在任何一方向（横向竖向或斜线方向）上连成五子者为胜如图是两个五子棋爱好者甲和乙的部分对弈图（甲执黑子先行乙执白子后走），观察棋盘思考：若A点的位置记作（8，4），若不让乙在短时内获胜，则甲必须落子的位置是（用坐标表示）15．如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，E点在AB延长线上，G为DE的中点，连结CG，若AD＝6，AB＝CF＝4，则CG的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（9分）计算：+﹣（）+．17．解方程：（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；（2）3x2﹣2＝4x．18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，（1）画出△ABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A1B1C1；（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2；（3）直接写出△CC1C2的面积，及A1，A2的坐标．19．（9分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形的周长．20．（9分）在△ABC中，BC＝10cm，AC＝6cm，点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A移动，若P，Q 同时出发，设运动时间为ts，则△CPQ能否与△CBA相似？若能，求t的值；若不能，请说明理由．21．（9分）如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连结CG，并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG＝CG．（2）若GE＝2，EF＝4，求CG的长．22．（10分）“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：普通口罩N95口罩进价（元/包）820（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．（3）疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？23．（10分）阅读探究如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E，点E不与A，B重合，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们把E叫做四边形ABCD边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 边AB上的“强相似点”．（1）如图①，若∠A＝∠B＝∠DEC＝40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点？；（填是或否）（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B 作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，试判断点C是否是四边形ABED边DE上的相似点并说明理由．（3）如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B，求证：点P是四边形ABCD边AB上的一个强相似点．24．（11分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在AC上，且AE＝，过E点作EF⊥AC于点E，交AB于点F，连接CF，DE．【问题发现】（1）线段DE与CF的数量关系是，直线DE与CF所夹锐角的度数是；【拓展探究】（2）当△AEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；【解决问题】（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为1时，请直接写出CF的长．2020-2021学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。
2020-2021学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.过点(−1,3)且斜率为12的直线在x轴上的截距为()A. −8B. −7C. −72D. 722.已知全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x∈R|x>3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A. {0,1，2}B. {1,2}C. {0,1，2，3，4}D. {0,1，2，3}3.下列四组函数中，表示相等函数的一组是()A. f(x)=x，g(x)=lg10xB. f(x)=x2−1x+1，g(x)=x−1C. f(x)=√x2，g(x)=(√x)2D. f(x)=1，g(x)=x04.设点P(1,1，1)关于原点的对称点为P′，则|PP′|=()A. √3B. 2√3C. 2√5D. 65.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是()A. 2πB. 3πC. 4πD. 16π6.已知a=ln2，b=√2，c=log21e，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>a>c7. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，且AC =12BC ，则直线B 1C 1与平面ABC 1所成的角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 若函数y =log 2(x 2−ax +3a)在(2,+∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,4]B. (−∞,4)C. (−4,4]D. [−4,4]9. 若a 2+b 2=c 2(c ≠0)，则直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=2所截得的弦长为( )A. √22B. √2C. 2D. 2√210. 已知函数f(x)=(m 2−m −5)x m 2−6是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，若a ，b ∈R ，且a +b >0，则f(a)+f(b)的值( )A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断11. 已知点(x,y)是曲线y =√4−x 2上任意一点，则y−2x−3的取值范围是( )A. (0,2)B. [0,2]C. [−23,0]D. [0,23]12. 已知函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4互不相等)，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是( )(注：函数ℎ(x)=x +1x 在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增)A. (−12,0)B. [−12,0]C. [0,12)D. (0,12]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=√x−2−1的定义域为______ ．14. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)(12)x (x ≤0)，若f(a)=4，则a = ______ ．15. 圆O 1：x 2+y 2−2x +4y −20=0与圆O 2：x 2+y 2+4x −8y −16=0的公切线条数是______ ． 16. 已知函数f(x)=ln(1+|x|)−11+|x|，若f(log a 3)≥f(1)(a >0且a ≠1)，则a 的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={y|y =(12)x ,−2≤x ≤0}，B ={x|0≤lnx ≤1}，C ={x|t +1<x <2t,t ∈R}．(Ⅰ)求A ∩B ；(Ⅱ)若A ∩C =C ，求t 的取值范围．18.已知直线l经过两直线l1：3x−y+12=0，l2：3x+2y−6=0的交点，且与直线x−2y−3=0垂直．(Ⅰ)求直线l的方程；(Ⅱ)若第一象限内的点P(a,b)到x轴的距离为2，到直线l的距离为2√5，求a+b的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，点M是棱PD的中点．(Ⅰ)求证：PB//平面ACM；(Ⅱ)求三棱锥P−ACM的体积．20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励log2(A+1)万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y万元，年销售利润为x万元．(Ⅰ)写出y关于x的函数解析式；(Ⅱ)如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？21.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=√2AB，E为CC1的中点．(Ⅰ)证明：AC1//平面BDE；(Ⅱ)证明：平面BDE⊥平面ACC1；(Ⅲ)求二面角E−BD−C的大小．22.已知圆C：x2+y2−2x−4y+1=0．(Ⅰ)若过点A(0,5)的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；(Ⅱ)从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|=|PA|，求|PM|最小时点P的坐标．答案和解析1.【答案】B(x+1)，【解析】解：依题意知，该直线方程为y−3=12令y=0，则x=−7．所以直线在x轴上的截距是−7．故选：B．(x+1)，令y=0，即可求得答案．设直线的方程为方程y−3=12本题主要考查了直线的点斜式方程，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，∵全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x>3}，∴∁R B={x|x≤3}，∴A∩∁R B={0,1，2}，故选：A．由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，再利用集合的基本运算即可求解．本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：A.f(x)=x的定义域为R，g(x)=x，定义域为R，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．B.f(x)=x−1(x≠−1)，g(x)=x−1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数，C.f(x)=|x|，定义域为{x|x≠0}，g(x)=x(x≥0)，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是相等函数，D.g(x)=1(x≠0)，f(x)=1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数，故选：A．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．本题主要考查相等函数的定义，函数定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】B【解析】解：点P(1,1，1)关于原点的对称点为P′的坐标为(−1,−1,−1)，由空间两点间距离公式可得|PP′|=√(1+1)2+(1+1)2+(1+1)2=2√3．故选：B．利用点P与P′关于原点对称，求出P′的坐标，然后利用空间两点间距离公式求解即可．本题考查了空间中点的对称问题，主要考查了空间两点间距离公式的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体；如图所示：设几何体的外接球半径为R，则：(2R)2=(√2)2+12+12，解得R=1，所以S球=4⋅π⋅12=4π．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，锥体和外接球的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵0<ln2<lne=1，∴0<a<1，=−log2e<0，∵c=log21e∴b>a>c，利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.【答案】A【解析】解：在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，∴AB⊥AC，又AB∩BC1=B，AB⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1，∵直线B1C1//直线BC，∴∠ABC是直线B1C1与平面ABC1所成的角，∵∠BAC=90°，BC1⊥AC，且AC=12BC，∴∠ABC=30°，∴直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小为30°．故选：A．由BC1⊥AC，AB⊥AC，得AC⊥平面ABC1，由直线B1C1//直线BC，得∠ABC是直线B1C1与平面ABC1所成的角，由此能求出直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小．本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：函数y=log2(x2−ax+3a)在(2,+∞)是增函数，令t(x)=x2−ax+3a，由题意知：t(x)在区间(2,+∞)上单调递增且t(x)>0，故有{a2≤2t(2)=4−2a+3a≥0，解得−4≤a≤4，故选：D．由题意知函数f(x)=log2(x2−ax+3a)是由y=log2t和t(x)=x2−ax+3a复合而来，由复合函数单调性结论，只要t(x)在区间(2,+∞)上单调递增且t(x)>0即可．本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本，属于中档题．【解析】解：圆的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离为：√a2+b2，因为a2+b2=c2(c≠0)，所以√a2+b2=√a2+b2√a2+b2=1，半弦长为：√(√2)2−12=1，所以直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为：2．故选：C．求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．本题是基础题，考查直线被圆截得的弦长的求法，注意点到直线的距离公式的应用，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是快速解题的关键．10.【答案】A【解析】解：由题意得：m2−m−5=1，解得：m=3或m=−2，若对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则f(x)在(0,+∞)单调递增，m=3时，f(x)=x3，符合题意，m=−2时，f(x)=1x2，不合题意，故f(x)=x3，由于a，b∈R，且a+b>0，所以a>−b，由于函数为单调递增函数和奇函数，故f(a)>f(−b)，所以f(a)>−f(b)，所以f(a)+f(b)>0，即f(a)+f(b)的值恒大于0，故选：A．根据幂函数的定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，结合幂函数的性质判断f(a)+f(b)的值即可．本题考查了函数的单调性，考查幂函数的性质，是一道基础题．11.【答案】B【解析】解：曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，半径为2的上半个圆，y−2x−3的几何意义是半圆上的点与P(3,2)连线的斜率，如图：A(0,2)，B(2,0)，k PA =0，k PB =2−03−2=2， 所以y−2x−3的取值范围是[0,2]． 故选：B ．画出图形，利用直线的斜率，转化求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线的斜率的求法，是基础题．12.【答案】D【解析】解：作出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，如图，x =12或2时，f(x)=1，令t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，设x 1<x 2<x 3<x 4，则有x 1+x 2=−2，x 3⋅x 4=1，且12≤x 3<1， 故x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3，因为函数ℎ(x)=x +1x 在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 故x 3+1x 3的最小值趋近于1+11=2，最大值等于12+112=52．x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是(0,12]， 故选：D ．画出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，利用f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，转化求解x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.【答案】{x|x ≥2且x ≠3}．【解析】解：要使函数有意义，则{x >0x −2≥0√x −2≠1，即{x >0x ≥2x ≠3，即x ≥2且x ≠3，即函数的定义域为{x|x ≥2且x ≠3}．故答案为：{x|x ≥2且x ≠3}．根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题．14.【答案】−2或16．【解析】解：当a >0时，f(a)=log 2a =4，解得a =16；当a ≤0时，f(a)=(12)a =4，解得a =−2，所以a =−2或a =16．故答案为：−2或16．利用分段函数的解析式，分a >0和a ≤0两种情况，列出关于a 的方程，求解即可．本题考查了分段函数的求值问题，对于分段函数，一般会运用分类讨论或是数形结合的方法进行求解． 15.【答案】2【解析】解：圆O 1：x 2+y 2−2x +4y −20=0的标准方程是：(x −1)2+(y +2)2=25，其圆心坐标是(1,−2)，半径是5；圆O 2：x 2+y 2+4x −8y −16=0的标准方程是(x +2)2+(y −4)2=36，其圆心坐标是(−2,4)，半径为6， 6−5<O 1O 2=√(1+2)2+(−2−4)2=3√5<5+6，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2+y 2−2x +4y −20=0与圆O 2：x 2+y 2+4x −8y −16=0的公切线条数是2． 故答案是：2．判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．本题考查两个圆的位置关系，两个圆相离公切线4条，相交2条，外切3条，内切1条．16.【答案】[13,1)∪(1,3]【解析】解：因为函数f(−x)=ln(1+|−x|)−11+|x|=ln(1+|x|)−11+|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，则只需考虑x >0时f(x)的单调性．因为y =ln(x +1)和y =−1x+1在(0,+∞)都是递增函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，若f(log a 3)≥f(1)，则|log a 3|≥1，所以{log a 3≥1log a 3≤−1， 解得13≤a <1或1<a ≤3，所以a 的取值范围为[13,1)∪(1,3]．故答案为：[13,1)∪(1,3]．先判断出函数为偶函数，然后研究x >0时函数的单调性，得到f(x)的单调性区间，利用偶函数的性质和单调性将不等式转化为对数不等式，再求出a 的取值范围．本题考查了函数的单调性以及奇偶性，解题的关键是判断出函数的单调性，属基础题． 17.【答案】解：∵(Ⅰ)集合A ={y|y =(12)x ,−2≤x ≤0}={y|1≤y ≤4}，B ={x|0≤lnx ≤1}={x|1≤x ≤e}，∴A ∩B ={x|1≤x ≤e}；(Ⅱ)∵集合A ={y|1≤y ≤4}，C ={x|t +1<x <2t,t ∈R}，A ∩C =C ，∴C ⊆A ，当C =⌀时，t +1≥2t ，解得t ≤1，当C ≠⌀时，{t +1<2tt +1≥12t ≤4，解得1<t ≤2．综上，t 的取值范围是(−∞,2]．【解析】(Ⅰ)求出集合A ，B ，再求出A ∩B ；(Ⅱ)由A ∩C =C ，得C ⊆A ，当C =⌀时，t +1≥2t ，当C ≠⌀时，{t +1<2t t +1≥12t ≤4，由此能求出t 的取值范围．本题考查交集及其运算，考查交集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：(Ⅰ)联立方程组可得{3x −y +12=03x +2y −6=0，解得x =−2，y =6，故交点A 的坐标为(−2,6)， 直线x −2y −3=0的斜率为12，又直线l 与直线x −2y −3=0垂直，故直线l 的斜率为−2，设所求直线l 的方程为y −6=−2(x +2)，即2x +y −2=0；(Ⅱ)因为点P(a,b)在第一象限，故a >0，b >0，P 到x 轴的距离为2，所以b =2，故P(a,2)，又P(a,2)到直线l 的距离为2√5，所以|2a+2−2|√22+12=2√5，解得a =5，所以a +b =7．【解析】(Ⅰ)联立方程组求出交点的坐标，然后利用垂直，求出斜率，由点斜式求出直线方程即可； (Ⅱ)由P 在第一象限，得到a >0，b >0，利用P 到x 轴的距离为2和到直线l 的距离为2√5，列式求解a 和b ，即可得到答案．本题考查了直线方程的应用，涉及了两条直线交点的求解、两条直线垂直关系的应用、点斜式直线方程的应用、点到直线距离公式的应用，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：如图，连接BD 交AC 于O ，则O 为BD 中点，连接OM ，∵M 是棱PD 的中点，∴OM//PB ，∵OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，∴PB//平面ACM ；(Ⅱ)解：∵M 是棱PD 的中点，∴V P−ACM =V D−ACM =V M−ACD =12V P−ACD ，∵PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =1，底面ABCD 为正方形，∴V P−ACM =V D−ACM =V M−ACD =12V P−ACD =12×12×12×1×1×1=18．【解析】(Ⅰ)连接BD 交AC 于O ，连接OM ，可得OM//PB ，再由直线与平面平行的判定可得PB//平面ACM ； (Ⅱ)由M 是棱PD 的中点，可得V P−ACM =V D−ACM =V M−ACD =12V P−ACD ，再由棱锥体积公式求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知，当销售利润x ≤100万元时，y =5%x =0.05x ，当销售利润x >100万元时，y =100×0.05+log 2[(x −100)+1]，所以y 关于x 的函数关系式为y ={0.05x,x ≤1005+log 2(x −99),x >100， (2)因为小张的奖金为10万元，设其销售的利润为x 万元，①当x ≤100时，10=0.05x ，解得x =200>100，所以不符题意，②当x >100时，则10=5+log 2(x −99)，解得x =131，故小张的年销售利润为131万元．【解析】(1)由题意对销售利润分类讨论，即小于等于100和大于100时分别建立函数关系式；(2)由(1)分类讨论即可求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了分段函数的性质，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：设底面正方形的对角线AC 与BD 交于点O ，则O 为AC的中点，又E 为CC 1的中点，所以AC 1//OE ，因为AC 1⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AC 1//平面BDE ；(Ⅱ)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，又AC 与BD 为正方形ABCD 的对角线，则BD ⊥AC ，又AC ∩CC 1=C ，AC ，CC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥平面ACC 1，又BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACC 1；(Ⅲ)解：因为E 为CC 1的中点，所以DE =BE ，又BC =CD ，O 为BD 的中点，所以OE ⊥BD ，OC ⊥BD ，故∠EOC 即为二面角E −BD −C 的平面角，不妨设长方体的底面边长为2，则CE =√2，OC =√2，在Rt △EOC 中，OC =EC ，所以∠EOC =45°，故二面角E −BD −C 的大小为45°．【解析】(Ⅰ)利用中位线定理得到AC 1//OE ，由线面平行的判定定理即可证明；(Ⅱ)利用长方体的几何性质可得CC 1⊥底面ABCD ，利用线面垂直的性质定理可得CC 1⊥BD ，由正方形的几何性质可得BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC1，由面面垂直的判定定理即可证明；(Ⅲ)利用等腰三角形中线就是高，可得OE⊥BD，OC⊥BD，从而得到∠EOC即为二面角E−BD−C的平面角，在Rt△EOC中求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解二面角的时候，本题选择了定义法求解，即利用二面角的定义找到二面角的平面角，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，圆C：x2+y2−2x−4y+1=0，即(x−1)2+(y−2)2=4，其圆心为(1,2)，半径r=2，若过点A(0,5)的直线l与圆C相切，直线l的斜率必定存在，设其斜率为k，则切线l的方程为y=kx+5，即kx−y+5=0，则有√1+k2=2，解可得：k=3±2√63，即直线l的斜率为3±2√63．(Ⅱ)设P(x,y)，PM为圆C的切线，则CM⊥PM，因为|CP|2=(x−1)2+(y−2)2，|CM|2=4，所以|PM|2=(x−1)2+(y−2)2−4，因为|PA|2=x2+(y−5)2，且|PM|=|PA|，所以x2+(y−5)2=(x−1)2+(y−2)2−4，即x=3y−12，所以|PM|2=10y2−82y+169，所以当y=4110时，|PM|最小，此时P点坐标为(310,41 10).【解析】(Ⅰ)求出圆心和半径，根据题意可知直线l斜率存在，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l的斜率；(Ⅱ)设P(x,y).由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得x=3y−12，利用二次函数的性质可求|PM|最小时y的值，从而可求得点P的坐标．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题．。
2020-2021学年河南省南阳市宛城区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若式子有意义，则实数x的值可以是（）A．0B．1C．2D．52．已知＝，则的值是（）A．B．C．D．3．下列二次根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．4．关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．25．从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（）A．+1B．5﹣1C．﹣2D．1﹣6．若x＝2﹣5，则x2+10x﹣2的值为（）A．10+1B．10C．﹣13D．17．定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（）A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根8．某口罩加工厂2020年一月份口罩产值达50万元，第一季度总产值达175万元，若设二、三月份的月平均增长率为x，则由题意可列方程为（）A．50（1+x）2＝175B．50+50（1+x）2＝175C．50（1+x）+50（1+x）2＝175D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝1759．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（）A．14B．14或15C．4或6D．24或2510．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．4B．C．10D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是．12．如图是小孔成像原理示意图，若点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，物体AB的高度是9cm，则像CD的高度是cm．13．已知M＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应M值的总和是．14．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是．15．如图，A、B、C、D都是格点（小正方形的顶点），动点E在线段AC上，若点A的坐标是（1，1），则当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是．三、解答题（共75分）16．解方程：x2﹣4x﹣＝0．17．计算：（1）（）﹣1﹣+|1﹣|﹣（）0；（2）（）（﹣）+（3﹣2）2．18．求当m为何值时，关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有实数根．19．如图，E是▱ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，交AC于点O，交AD于F．（1）图中的相似三角形共有．A.7对；B.6对；C.5对；D.4对．（2）求证：OB2＝OE•OF．20．“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x﹣＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为；（2）直接写出方程x2﹣3|x|+2＝0的根；（3）解方程：x2﹣x+2﹣8＝0．21．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】（2）如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，则∠MPN的度数是．（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM 长的最大值和最小值．22．【问题提出】在2020抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，九年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班56名同学共通过多少次电话呢？【模型构建】用点M1、M2、M3、…、M56分别表示第1、2、3、…、56名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：【问题解决】（1）填写如图中第5个图中S的值为．（2）通过探索发现，通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为，则当n＝56时，对应的S＝．（3）若该班全体女生相互之间共通话253次，求该班共有多少名女生？（4）若该班数学兴趣小组的同学们，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信182条，则该班数学兴趣小组的人数是．23．（1）【证明】如图①，在△ABC中，D为BC上一点，∠CAD＝∠B．求证：CA2＝CD •CB．（2）【应用】如图②，在▱ABCD中，P为BC上一点，Q为BA延长线上一点，∠CQP ＝∠D．若CQ＝6，CP＝3，求AD的长．（3）【拓展】如图③，在菱形ABCD中，P是BC上一点，BD∥PQ，BD＝2PQ，∠ABC ＝2∠PAQ，当BP＝1，AQ＝3时，请直接写出菱形ABCD的边长．参考答案一、选择题（共10小题）.1．若式子有意义，则实数x的值可以是（）A．0B．1C．2D．5解：根据题意，得1﹣x＞0．解得x＜1．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．2．已知＝，则的值是（）A．B．C．D．解：∵＝，∴设a＝2k，则b＝3k，∴＝＝，故选：A．3．下列二次根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．解：A、＝2，能与合并，故本选项不符合题意；B、＝，不能与合并，故本选项符合题意；C、＝，能与合并，故本选项不符合题意；D、能与合并，故本选项不符合题意．故选：B．4．关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．2解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，解得：k＝1或k＝﹣1，故选：C．5．从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（）A．+1B．5﹣1C．﹣2D．1﹣解：A、（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B、无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；C、（+1）﹣（﹣2）＝3，故本选项不合题意；D、（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：B．6．若x＝2﹣5，则x2+10x﹣2的值为（）A．10+1B．10C．﹣13D．1解：x2+10x﹣2＝x2+10x+25﹣27＝（x+5）2﹣27，当x＝2﹣5时，原式＝（2﹣5+5）2﹣27＝28﹣27＝1，故选：D．7．定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（）A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根解：由新定义得（x+1）（x﹣1）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣2＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．某口罩加工厂2020年一月份口罩产值达50万元，第一季度总产值达175万元，若设二、三月份的月平均增长率为x，则由题意可列方程为（）A．50（1+x）2＝175B．50+50（1+x）2＝175C．50（1+x）+50（1+x）2＝175D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175解：设二、三月份的月平均增长率为x，则二月份口罩产值为50（1+x）万元，三月份口罩产值为50（1+x）2万元，依题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．故选：D．9．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（）A．14B．14或15C．4或6D．24或25解：设底边为a，分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4＝10，解得：a＝6，即此时底边为6，②底边为4，2a＝10，解得a＝5，所以该等腰三角形的周长是14．故选：A．10．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．4B．C．10D．解：设A（t，0），∵D（﹣2，3），AD＝5，∴（t+2）2+32＝52，解得t＝2，∴A（2，0），设C（0，m），∵D点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到C点，∴A点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到B点，∴B（4，m﹣3），∵AC＝BD，∴22+m2＝（4+2）2+（m﹣3﹣3）2，解得m＝，∴B（4，），把B（4，）代入y＝得k＝4×＝．故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是x1＝2，x2＝﹣1．解：x（x﹣2）＝2﹣x，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1；故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．12．如图是小孔成像原理示意图，若点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，物体AB的高度是9cm，则像CD的高度是3cm．解：∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO，∴，又∵AB＝9cm，∴CD＝3cm．故答案为：3．13．已知M＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应M值的总和是2022．解：M＝﹣x+3＝|x﹣2|﹣x+3，①当x≤2时，|x﹣2|＝2﹣x，此时M＝﹣x+3＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x，x＝1，M＝5﹣2x＝3，x＝2，M＝5﹣2x＝1，②当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，此时M＝﹣x+3＝x﹣2﹣x+3＝1，∴当x分别取1，2，3，…，2020时，M＝﹣x+3＝3+1+1×（2020﹣2）＝2022．故答案为：2022．14．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是﹣2．解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BE＝CD＝BC，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BC＝BC，∴DE＝BE﹣BD＝BC﹣BC＝（﹣2）AB，∴△ADE与△ABC的面积之比＝＝＝＝﹣2，故答案为：﹣2．15．如图，A、B、C、D都是格点（小正方形的顶点），动点E在线段AC上，若点A的坐标是（1，1），则当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是（3，3）或（，）．解：根据题意得：AD＝1，AB＝3，AC＝＝6，∵∠A＝∠A，∴若△ADE∽△ABC时，＝，即：＝，解得：AE＝2，∵点A的坐标是（1，1），∴E（3，3）；若△ADE∽△ACB时，＝，即：＝，解得：AE＝，∴E（，），∴当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是（3，3）或（，），故答案为：（3，3）或（，）．三、解答题（共75分）16．解方程：x2﹣4x﹣＝0．解：整理得x2﹣3x﹣＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣）＝10，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．17．计算：（1）（）﹣1﹣+|1﹣|﹣（）0；（2）（）（﹣）+（3﹣2）2．解：（1）（）﹣1﹣+|1﹣|﹣（）0；＝﹣2+﹣1﹣1＝﹣2；（2）（）（﹣）+（3﹣2）2．＝（）2﹣（）2+（3）2﹣12+4＝﹣+18﹣12+4＝22﹣12．18．求当m为何值时，关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有实数根．解：当m＝0时，方程为x﹣2＝0，解得x＝2；当m≠0时，根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣2）≥0，解得m≥﹣且m≠0，综上所述，当m≥﹣时，关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有实数根．19．如图，E是▱ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，交AC于点O，交AD于F．（1）图中的相似三角形共有B．A.7对；B.6对；C.5对；D.4对．（2）求证：OB2＝OE•OF．解：（1）∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥DC∵△ABO∽△CEO，△AOF∽△COB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC 五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC，∴共6对，故选B；（2）∵AB∥CD，∴△AOB∽△COE．∴OE：OB＝OC：OA；∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴OB：OF＝OC：OA．∴OB：OF＝OE：OB，即OB2＝OF•OE．20．“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x﹣＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为0；（2）直接写出方程x2﹣3|x|+2＝0的根；（3）解方程：x2﹣x+2﹣8＝0．解：（1）设x2+y2＝t，原方程转化为2t2+t＝0，解得t1＝0，t2＝﹣，当t＝0时，x2+y2＝0；当t＝﹣时，x2+y2＝﹣（舍去）；所以x2+y2的值为0；故答案为0；（2）设|x|＝t，原方程转化为t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，当t＝1时，则|x|＝1，解得x＝±1，当t＝2时，则|x|＝2，解得x＝±2，所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣2，x4＝2；（3）设＝t，原方程转化为t2+2t﹣8＝0，解得t1＝﹣4，t2＝2，当t＝﹣4时，＝﹣4，不合题意舍去；当t＝2时，＝2，则x2﹣x＝4，解得x1＝，x2＝，经检验，原方程的解为x1＝，x2＝，21．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】（2）如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，则∠MPN的度数是135°．（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM 长的最大值和最小值．【解答】（1）证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，在△AED和△CEF中，，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，∴AB∥CF，∵AD＝DB，∴BD＝CF，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC；（2）解：∵M、P分别为AD、BD的中点，∴MP∥AB，∴∠MPD＝∠ABD，∵N、P分别为BC、BD的中点，∴PN∥CD，∴∠NPD+∠PDC＝180°，∴∠NPD＝180°﹣∠PDC，∵∠PDC＝∠E+∠ABD，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+180°﹣∠E﹣∠ABD＝135°，故答案为：135°；（3）解：延长CB至H，连接FH，AH，∵CM＝MF，CB＝BH，∴BM＝FH，由勾股定理得，AH＝＝5，当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2，当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8，∴BM长的最大值为4，最小值为1．22．【问题提出】在2020抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，九年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班56名同学共通过多少次电话呢？【模型构建】用点M1、M2、M3、…、M56分别表示第1、2、3、…、56名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：【问题解决】（1）填写如图中第5个图中S的值为15．（2）通过探索发现，通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为S＝n（n﹣1），则当n＝56时，对应的S＝1540．（3）若该班全体女生相互之间共通话253次，求该班共有多少名女生？（4）若该班数学兴趣小组的同学们，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信182条，则该班数学兴趣小组的人数是14人．解：（1）5×6÷2＝15．故答案为：15．（2）S＝n（n﹣1）．当n＝56时，S＝×56×（56﹣1）＝1540．故答案为：S＝n（n﹣1）；1540．（3）设该班有x名女生，依题意得：x（x﹣1）＝253，整理得：x2﹣x﹣506＝0，解得：x1＝23，x2＝﹣22（不合题意，舍去）．答：该班有23名女生．（4）设该班数学兴趣小组的人数是y人，则每人发送（y﹣1）条微信，依题意得：y（y﹣1）＝182，整理得：y2﹣y﹣182＝0，解得：y1＝14，y2＝﹣13（不合题意，舍去）．故答案为：14人．23．（1）【证明】如图①，在△ABC中，D为BC上一点，∠CAD＝∠B．求证：CA2＝CD •CB．（2）【应用】如图②，在▱ABCD中，P为BC上一点，Q为BA延长线上一点，∠CQP ＝∠D．若CQ＝6，CP＝3，求AD的长．（3）【拓展】如图③，在菱形ABCD中，P是BC上一点，BD∥PQ，BD＝2PQ，∠ABC ＝2∠PAQ，当BP＝1，AQ＝3时，请直接写出菱形ABCD的边长．【解答】（1）证明：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴，∴CA2＝CD•CB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠B＝∠D，∵∠CQP＝∠D，∴∠CQP＝∠B，∵∠PCQ＝∠QCB，∴△PCQ∽△QCB，∴，∴CQ2＝CP•CB，∴CB＝＝＝12，∴AD＝12；（3）如图③，延长PQ，AD相交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠ADC＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠PAQ，∴∠PAQ＝∠ADB，∵PQ∥BD，∴∠ADB＝∠E，∴∠PAQ＝∠E，∵∠APQ＝∠EPA，∴△APQ∽△EPA，∴＝＝，∴AP2＝PE•PQ，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵BD∥PQ，∴四边形BDEP是平行四边形，∴DE＝BP＝1，PE＝BD，∵BD＝2PQ，∴PE＝2PQ，∴AP2＝2PQ2，∴AP＝PQ，∴，∴AE＝AQ＝＝6，∴AD＝AE﹣DE＝6﹣1＝5．∴菱形ABCD的边长为5．。
2020-2021学年河南省南阳市卧龙区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.1．将化简后的结果是（）A．2B．C．2D．42．下列运算正确的是（）A．﹣＝B．＝2C．＝2﹣D．＝3a23．计算：﹣＝（）A．﹣B．0C．D．4．已知2是关于x的方程x2﹣2a＝1的一个解，则2a﹣1的值为（）A．﹣2B．2C．4D．55．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（）A．x1＝1，x2＝0B．x1＝﹣1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．无法确定6．若a*b＝ab2﹣2ab﹣3，则方程3*x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定7．如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对B．3对C．2对D．1对8．如图，已知a∥b，另外两条直线交于点A，并与这两条平行线分别交于点B、C和D、E，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.8，则AE的值为（）A．0.9B．1.8C．2.7D．3.69．若＝，则＝（）A．﹣B．﹣3C．﹣D．10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，0），B（6，0），C（4，8），则△ABC 重心的坐标是（）A．（2，4）B．（3，4）C．（，）D．（，）二、填空题（每小题3分，共15分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．如图，△ABC中，AB＞AC，D、E分别是边AC、AB上的点，且DE与BC不平行．不再添加其它字母和线段，请你填上一个合适的条件，使△ADE∽△ABC，你填的条件是．13．方程x（x+2）＝x的解是．14．如图，等边△ABC的边长为6，被一矩形DEFG所截，已知DG∥BC，且边AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A、B的坐标分别为（﹣2，5）和（6，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为．三、解答题（共75分）16．计算：（1）﹣|﹣2|；（2）（3﹣2）÷．17．解方程：3x2+5x﹣2＝0．18．解方程：2x2+x﹣3＝0．19．随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场．如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高A′C＝9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）20．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．由2017年的5000亿元增加到2019年的7500亿元．求我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率．（参考数值：≈2.45）21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．22．将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．23．如图，已知正方形ABCD，∠BAE＝60°，AB＝AE，DF⊥BE的延长线于点F．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）若AB＝1，求CF的值．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．将化简后的结果是（）A．2B．C．2D．4解：＝＝2，故选：C．2．下列运算正确的是（）A．﹣＝B．＝2C．＝2﹣D．＝3a2解：A、与﹣不能合并，所以A选项错误；B、原式＝＝，所以B选项错误；C、原式＝﹣2，所以C选项错误；D、原式＝3a2，所以D选项正确．故选：D．3．计算：﹣＝（）A．﹣B．0C．D．解：原式＝﹣＝0．故选：B．4．已知2是关于x的方程x2﹣2a＝1的一个解，则2a﹣1的值为（）A．﹣2B．2C．4D．5解：∵2是方程的解，∴把2代入方程有：6﹣2a＝1，∴2a＝5，∴2a﹣1＝5﹣1＝4，5．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（）A．x1＝1，x2＝0B．x1＝﹣1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．无法确定解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0，满足a﹣b+c＝0，∴当x＝﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝0即为：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0；∴a﹣b+c＝0，∴当x＝1时，代入方程ax2+bx+c＝0，有a+b+c＝0；方程的根是x1＝1，x2＝﹣1．故选：C．6．若a*b＝ab2﹣2ab﹣3，则方程3*x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定解：方程利用题中的新定义化简得：3x2﹣6x﹣3＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36+36＝72＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．7．如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对B．3对C．2对D．1对解：（1）∵∠E＝∠E，∠FCE＝∠D，∴△CEF∽△DAF．（2）∵∠E是公共角，∠B＝∠FCE，∴△ABE∽△FCE，（3）∴△ABE∽△FDA．故有3对．8．如图，已知a∥b，另外两条直线交于点A，并与这两条平行线分别交于点B、C和D、E，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.8，则AE的值为（）A．0.9B．1.8C．2.7D．3.6解：∵a∥b，AB＝1，BC＝2，DE＝1.8，∴，∴，解得：AD＝0.9，∴AE＝AD+DE＝0.9+1.8＝2.7，故选：C．9．若＝，则＝（）A．﹣B．﹣3C．﹣D．解：∵＝，∴2b＝3a+3b，故b＝﹣3a，则＝＝﹣3．故选：B．10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，0），B（6，0），C（4，8），则△ABC 重心的坐标是（）A．（2，4）B．（3，4）C．（，）D．（，）解：连接OC，如图，∵A（﹣6，0），B（6，0），∴O点为AB的中点，∴△ABC的重心D在OC上，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，∵D点为△ABC的重心，∴CD＝2OD，∴OD：OC＝1：3，∵DF∥CE，∴＝＝＝，而C（4，8），∴OE＝3，CE＝8，∴＝＝，∴DF＝，OF＝，∴D（，）．故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是x＞．解：∵二次根式有意义，∴≥0，∴2x﹣3＞0，解得：x，故答案为：．12．如图，△ABC中，AB＞AC，D、E分别是边AC、AB上的点，且DE与BC不平行．不再添加其它字母和线段，请你填上一个合适的条件，使△ADE∽△ABC，你填的条件是∠ADE＝∠B（或∠AED＝∠C或＝）．解：∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝，时，△ADE∽△ACB．故答案是：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝．13．方程x（x+2）＝x的解是x＝0或x＝﹣1．解：∵x2+2x＝x，即x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，则x＝0或x+1＝0，解得：x＝0或x＝﹣1，故答案为：x＝0或x＝﹣1．14．如图，等边△ABC的边长为6，被一矩形DEFG所截，已知DG∥BC，且边AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为3．解：如图，AB被矩形DEFG截成三等分，DG∥BC，∴△AIH∽△AJK∽△ABC，∴＝，，∴S△AIH：S△AJK：S△ABC＝1：4：9，∴S阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△ABC＝S△ABC＝××22＝3．故答案为：3．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A、B的坐标分别为（﹣2，5）和（6，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（，2）．解：∵∠ACB＝90°，四边形OCDE为正方形，而A（﹣2，5），∴OC＝OE＝DE＝2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，5），B（6，0）分别代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∵正方形OCDE沿x轴向右平移，∴E点的纵坐标为2，当y＝2时，﹣x+＝2，解得x＝，当点E落在AB边上时，此时E点坐标为（，2），把E（，2）向左平移2个单位得到D点，∴此时点D的坐标为（，2）．故答案为（，2）．三、解答题（共75分）16．计算：（1）﹣|﹣2|；（2）（3﹣2）÷．解：（1）原式＝2++﹣2＝2；（2）原式＝（12﹣6）÷＝6÷＝6．17．解方程：3x2+5x﹣2＝0．解：3x2+5x﹣2＝0，因式分解得：（3x﹣1）（x+2）＝0，可化为3x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x1＝，x2＝﹣2．18．解方程：2x2+x﹣3＝0．解：∵a＝2，b＝，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝（）2﹣4×2×（﹣3）＝2+24＝26，∴x＝＝＝，即x1＝，x2＝．19．随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，为此修建了很多停车场．如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂BO长是1.1米，当长臂端点垂直升高A′C＝9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）解：∵A′C⊥AB，B′D⊥AB，∴∠OCA′＝∠ODB′＝90°，又∵∠COA′＝∠DOB′，∴△OCA′∽△ODB′．∴，即，∴，答：短臂端点垂直下降了0.825米．20．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．由2017年的5000亿元增加到2019年的7500亿元．求我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率．（参考数值：≈2.45）解：设年平均增长率为x，依题意，得5000（1+x）2＝7500，整理，得x2+2x﹣＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（不合题意，舍去），∴x＝﹣1+≈﹣1+＝0.225＝22.5%．答：我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率约为22.5%．21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．【解答】证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠C．∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE＝90°．∵∠BOA+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE．∴△ABF∽△COE．22．将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．解：（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm，依题意，得（）2+（）2＝17，整理，得x2﹣20x+64＝0，解得x1＝16，x2＝4．当x＝16时，20﹣x＝4；当x＝4时，20﹣x＝16．答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm和16cm．（2）不能，理由如下：设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm，依题意，得（）2+（）2＝10，整理，得y2﹣20y+120＝0．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×120＝﹣80＜0，∴此方程无解，即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm2．23．如图，已知正方形ABCD，∠BAE＝60°，AB＝AE，DF⊥BE的延长线于点F．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）若AB＝1，求CF的值．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝60°，AB＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝∠AEB＝60°，BE＝AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°﹣60°＝30°．∵AD＝AE＝AB，∴∠AED＝∠ADE＝75°，∴∠DEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DF⊥BF，∴∠EDF＝∠DEF＝45°．∴△DEF是等腰直角三角形，（2）∵BD是正方形ABCD的对角线，DC＝AB＝1，∴．由（1）知，△DEF是等腰直角三角形，∠DFE＝90°，∴．∴，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDC＝45°．∴∠BDE＝∠BDC﹣∠EDC＝45°﹣∠EDC．由（1）知，∠EDF＝45°，∴∠CDF＝∠EDF﹣∠EDC＝45°﹣∠EDC．∴∠BDE＝∠CDF，∴△BDE∽△CDF，∴，∵BE＝AB＝1，∴．∴CF＝．。
2020-2021学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i3．化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c5．函数f（x）＝（x2+1）sin2x，（﹣π≤x≤π）的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P（x0，2），若点P到该抛物线焦点的距离为4，则|OP|等于（）A．B．C．4D．7．已知球面上A，B，C三点，O是球心．如果AB＝BC＝AC＝，且球的体积为π，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．1B．C．D．28．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B+2sin A cos C＝0，则cos B的最小值为（）A．B．C．D．9．记函数g（x）＝e x﹣e﹣x+sin x，若不等式g（2x+a）+g（x2﹣1）＞0，对∀x∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）10．先将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g（x）的图象，若方程f（x）＝g（x）有实根，则ω的值可以为（）A．B．1C．2D．411．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形x2+y2＝4．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为；④若点P（0，1），MN为圆x2+y2＝4过点P的直径，线段AB是圆x2+y2＝4所有过点P的弦中最短的弦，则的值为12．其中所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．①③④D．①②④12．已知A，B，C是双曲线上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．15．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为．16．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC将三角形ABC折起，使得点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cos∠BAD的值是．三.解答题（共70分.）（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}是一个等差数列，且a3＝3，a2+a5＝7，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且满足：b1＝．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数{c n}列满足c n＝a n b n，其前n项和为T n．求证：T n＜2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．在平面直角坐标系中，已知F1（﹣1，0），直线l：x＝﹣4，点P为平面内的动点，过点P做直线l的垂线，垂足为点M，且（2﹣•（2+）＝0，点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设F2（1，0），过F2且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B．则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n的方程；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝3x2+（6﹣a）x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞3x2+5x+2．21．某单位为患病员工集体筛查病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k（k∈N*，k≥2）份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．下面有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a（a＞0）元，若k份血液样本采用混合检验方案，则需要额外收取元的材料费和服务费．（1）若k（k∈N*，k≥2）份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X 的分布列及数学期望；（2）①若，以检验总费用的数学期望为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一的，求k的最大值．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1，1，ln7≈1.9，ln10≈2.3，ln11≈2.4）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4─4：坐标系与参数方程]22．若以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），，当直线l与曲线C相交于A，B两点，求．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+1|．（1）解不等式：f（x）≥6；（2）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若正实数a，b，c满足a+b+c＝M，求ab+bc+ca 的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）解：U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）．故选：D．2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i解：由z（1+2i）＝|4﹣3i|＝，得z＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．3．化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值是（）A．B．C．﹣D．﹣解：由两角差的余弦公式可得cos15°cos45°+sin15°sin45°＝cos（45°﹣15°）＝cos30°＝故选：B．4．已知a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2，则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c解：∵a＝20.5＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log2＜0．∴a＞b＞c．故选：D．5．函数f（x）＝（x2+1）sin2x，（﹣π≤x≤π）的图象可能是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（x2+1）sin（﹣2x）＝﹣（x2+1）sin2x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x＝时，f（）＝[（）2+1]sin（2×）＝0．排除C，故选：D．6．已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P（x0，2），若点P到该抛物线焦点的距离为4，则|OP|等于（）A．B．C．4D．解：由题意设抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），抛物线的准线方程为y＝﹣，由抛物线的性质可得2+＝4，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝8y，将P点的坐标代入可得x02＝8×2＝16，所以|OP|＝＝＝2，故选：D．7．已知球面上A，B，C三点，O是球心．如果AB＝BC＝AC＝，且球的体积为π，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．1B．C．D．2解：由AB＝BC＝AC＝，可得△ABC为正三角形，设其中心为G，可得其外接圆的半径r＝＝1，再设球的球心为O，半径为R，连接OG，由球的体积为π，得πR3＝π，得R＝，∴球心到平面ABC的距离为OG＝，又，∴，故选：C．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B+2sin A cos C＝0，则cos B的最小值为（）A．B．C．D．解：∵sin B+2sin A cos C＝0，∴由正弦定理及余弦定理得：b+2a•＝0，可得：a2+2b2﹣c2＝0，又cos B＝＝＝+≥，当且仅当＝，即＝时取等号，即cos B的最小值为．故选：C．9．记函数g（x）＝e x﹣e﹣x+sin x，若不等式g（2x+a）+g（x2﹣1）＞0，对∀x∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）解：函数g（x）＝e x﹣e﹣x+sin x，由g（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin x）＝﹣g（x），可得g（x）为奇函数，又g′（x）＝e x+e﹣x+cos x，由e x+e﹣x≥2＝2，﹣1≤cos x≤1，可得g′（x）＞0，g（x）在R上递增，由g（2x+a）+g（x2﹣1）＞0，即g（2x+a）＞﹣g（x2﹣1），可得g（2x+a）＞﹣g（x2﹣1）＝g（1﹣x2），即为2x+a＞1﹣x2在x∈[﹣1，1]恒成立，也即﹣a＜x2+2x﹣1在x∈[﹣1，1]恒成立，由y＝x2+2x﹣1在x∈[﹣1，1]递增，可得y＝x2+2x﹣1的值域为[﹣2，2]，则﹣a＜﹣2，即a＞2，故选：B．10．先将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g（x）的图象，若方程f（x）＝g（x）有实根，则ω的值可以为（）A．B．1C．2D．4解：先将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin（ωx+）的图象；再向上平移2个单位长度后得到函数g（x）＝sin（ωx+）+2的图象，若方程f（x）＝g（x）有实根，即sinωx＝sin（ωx+）+2能成立．当ω＝时，方程即sin＝sin（+）+2，它不会成立．当ω＝1时，方程即sin x＝sin（x+）+2，它不会成立．当ω＝2时，方程即sin2x＝sin（2x+π）+2＝﹣sin2x+2，即sin2x＝1，它能成立；当ω＝4时，方程即sin4x＝sin（4x+2π）+2＝sin4x+2，它不会成立；故选：C．11．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形x2+y2＝4．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为；④若点P（0，1），MN为圆x2+y2＝4过点P的直径，线段AB是圆x2+y2＝4所有过点P 的弦中最短的弦，则的值为12．其中所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．①③④D．①②④解：对于①，设黑色阴影部分的面积为S b，整圆所面积为S，一由对称性知，S b═S．所以随机点取自黑色阴影部分的概率为：p＝，所以①对；对于②，直线方程为y＝x，即3x+2y+6＝0，下面求（0，0）到此直距离：d＝，直线与圆x2+y2＝4相离，y＝ax+2a与白色部分没有公共点，所以②错；对于③，设x+y＝k，黑色阴影部分的边界在第一象限的方程为：x2+（y﹣1）2＝1，圆心（0，1），由点到直线距离公式得，d＝≤1⇒1﹣≤k≤1+，“＝”成立时，即x2+（y﹣1）2＝1与直线x+y＝k在第一象限相切，此时x+y取最大值+1，所以③对；对于④，由于MN为圆x2+y2＝4过点P的直径，M、N为与y轴交点，M（0，2），N （0，﹣2），线段AB是圆x2+y2＝4所有过点P的弦中最短的弦，则AB是平行于x轴的弦，设AB与y轴交点Q点，|AQ|2＝|OA|2﹣|OQ|2，|AQ|═，A（﹣，1），B（，1），＝（2，0），＝（0﹣（），2﹣1）＝（，1），＝（，﹣2﹣1）＝（，﹣3），＝（）•（2，0）＝﹣12，所以④错；故选：A．12．已知A，B，C是双曲线上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：取双曲线的左焦点F′，可设AF＝t，CF＝3t，由双曲线的定义可得CF'＝2a+3t，AF'＝2a+t，BF⊥AC，可得四边形AFBF'为矩形，可得△AF'C为直角三角形，即有AF'2+AC2＝CF'2，即（2a+t）2+16t2＝（2a+3t）2，解得a＝t，即有AF＝a，AF'＝3a，FF'＝2c，可得AF2+AF'2＝FF'2，可得a2+9a2＝4c2，即10a2＝4c2，即e＝＝故选：D．二、填空题：（每题5分，共20分）13．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为4．解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x+2y＝0并平移，由图知当直线3x+2y﹣z＝0经过点A（0，2）时，z＝3x+2y取得最小值，即z min＝3×0+2×2＝4．故答案为：4．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.715．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为270．解：根据题意，令x＝1，可得（3+a）5＝32，解得a＝﹣1，所以即的展开式的通项公式为T r+1＝（3x2）5﹣r＝（﹣1）r35﹣r x10﹣5r，令10﹣5r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为（﹣1）233＝270．故答案为：270．16．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC将三角形ABC折起，使得点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cos∠BAD的值是．解：设点B在平面ACD上的射影在线段AD上为H，则BH⊥平面ADC，∴AH⊥DC，又DC⊥AD，且AD∩BH＝H，∴DC⊥平面ABD，可得CD⊥BD，在Rt△BDC中，由BC＝4，CD＝3，可得BD＝＝＝；设DH＝x，则AH＝4﹣x，∴BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，即7﹣x2＝7﹣（4﹣x）2，解得x＝2，可得cos∠BAD＝＝．故答案为：．三.解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}是一个等差数列，且a3＝3，a2+a5＝7，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且满足：b1＝．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数{c n}列满足c n＝a n b n，其前n项和为T n．求证：T n＜2．解：（1）解：∵{a n}为等差数列，设公差为d，∴，∴，∴a n ＝a1+（n﹣1）d＝n，∵{b n}为等比数列，b n＞0，设公比为q，则q＞0，∴，∴，∴，即a n＝n，b n＝（）n；（2）证明：由（1）得c n＝a n b n＝，∴①，∴②，∴由①﹣②得：∴T n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1＝＝1﹣（n+2）•（）n+1，∴T n＝2﹣（n+2）•（）n，∴T n＜2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB＝4，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝2．∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），＝（2，2，0），＝（0，0，2a），＝（1，﹣1，a）．取＝（1，﹣1，0），则•＝•＝0，为面PAC的法向量．设＝（x，y，z）为面EAC的法向量，则•＝•＝0，即，取x＝a，y＝﹣a，z＝﹣2，则＝（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|＝＝＝，则a＝2．…于是n＝（2，﹣2，﹣2），＝（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…19．在平面直角坐标系中，已知F1（﹣1，0），直线l：x＝﹣4，点P为平面内的动点，过点P做直线l的垂线，垂足为点M，且（2﹣•（2+）＝0，点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设F2（1，0），过F2且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B．则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设动点P（x，y），则M（﹣4，y），由F1（﹣1，0），则＝（﹣1﹣x，﹣y），＝（﹣4﹣x，0），2﹣＝（2﹣x，﹣2y），2+＝（﹣6﹣3x，﹣2y），∵（2﹣）•（2+）＝0，∴4（x+1）2+4y2＝（x+4）2，化简得：+＝1．∴所求曲线C的方程为+＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨令y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆半径为R，则△F1AB的周长为4a＝8，＝（|AB|+|F1B|+|F2B|）R＝4R，由此可知，当△F1AB的面积最大时，△F1AB的内切圆面积最大，可设直线n的方程为x＝my+1，联立得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，则＝|F1F2||y1﹣y2|＝＝，令＝t，则m2＝t2﹣1（t≥1），∴＝＝，令f（t）＝3t+（t≥1），则f'（t）＝3﹣，当t≥1时，f'（t）＞0恒成立，则f（t）＝3t+在[1，+∞）上单调递增，∴f（t）≥f（1）＝4，即f（t）的最小值为4．∴≤3，即当t＝1时，的面积最大为3，此时，△F1AB的内切圆的最大半径为R＝，所以，△F1AB的内切圆的面积取得最大值为S＝πR2＝故直线n的方程为x＝1，△F1AB的内切圆的面积最大值为．20．已知函数f（x）＝3x2+（6﹣a）x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞3x2+5x+2．解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），由已知得，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当a＝1时，不等式f（x）+e x＞3x2+5x+2可变为e x﹣lnx﹣2＞0，令h（x）＝e x﹣lnx﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，而h′（）＝﹣3＜0，h′（1）＝e﹣1＞0，所以方程h'（x）＝0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即，当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；所以，即e x﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，所以对任意x＞0，f（x）+e x＞3x2+5x+2成立．21．某单位为患病员工集体筛查病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k（k∈N*，k≥2）份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．下面有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是a（a＞0）元，若k份血液样本采用混合检验方案，则需要额外收取元的材料费和服务费．（1）若k（k∈N*，k≥2）份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X 的分布列及数学期望；（2）①若，以检验总费用的数学期望为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一的，求k的最大值．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1，1，ln7≈1.9，ln10≈2.3，ln11≈2.4）解：（1）X所以对任意1和k+1P（X＝1）＝（1﹣p）k，P（X＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，所以随机变量X的分布列为：X1k+1P（1﹣p）k1﹣（1﹣p）k所以E（X）＝1×（1﹣p）k+（k+1）×[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k．（2）①设方案一总费用为Z，方案二总费用为Y，则，所以方案二总费用的数学期望为：，又k＝5，所以，又方案一的总费用为Z＝5a，所以，当时，，又a＞0，所以，所以Z＞E（Y），所以该单位选择方案二合理．②由①知方案二总费用的数学期望，当时，，又方案一的总费用为Z＝ak，令E（Y）＜Z得，，所以，即，即，所以，设，所以，令f'（x）＞0，得2≤x＜7，f'（x）＜0得x＞7，所以f（x）在区间[2，7）上单调递增，在区间（7，+∞）上单调递减，f（x）max＝f（7）＝ln7﹣1﹣2（ln3﹣ln2）＝0.1＞0，，，，，，所以k的最大值为11．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4─4：坐标系与参数方程]22．若以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），，当直线l与曲线C相交于A，B两点，求．解：，∴ρ2sin2θ＝6ρcosθ，根据，∴曲线C的直角坐标系方程为y2＝6x．（2）直线l的参数方程为，代入y2＝6x得t2﹣4t﹣12＝0．则，因为在直线l上，所以|PA|⋅|PB|＝|t1t2|＝12，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+1|．（1）解不等式：f（x）≥6；（2）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若正实数a，b，c满足a+b+c＝M，求ab+bc+ca 的最大值．解：（1）当时，不等式等价为﹣2x+3﹣2x﹣1≥6，解得x≤﹣1；当时，不等式等价为﹣2x+3+2x+1≥6，无解；当时，不等式等价为2x﹣3+2x+1≥6，解得x≥2；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；（2）由|2x﹣3|+|2x+1|≥|2x﹣3﹣2x﹣1|＝4，可得f（x）的最小值为M＝4，即a+b+c＝4，由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，当且仅当“a＝b＝c”时取等号，所以3（ab+bc+ca）≤（a+b+c）2＝16，故，当且仅当“a＝b＝c”时取等号，故ab+bc+ca的最大值为．。
