平面直角坐标系作图

专题06 平面直角坐标系考点一、平面直角坐标系例1、（2020·山东威海市·中考真题）如图①，某广场地面是用A．B．C三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：m n位置恰第一行的第一块（A型）地砖记作(1,1)，第二块（B型）地时记作(2,1)…若(,)好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条是__________．【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．【详解】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n 同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．考点二、坐标方法的简单应用例2、（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆的顶点A ，B 的坐标分别为，(4,0)，把OAB ∆沿x 轴向右平移得到CDE ∆，如果点D 的坐标为，则点E 的坐标为__________．【答案】(7,0)【分析】根据B 点横坐标与A 点横坐标之差和E 点横坐标与D 点横坐标之差相等即可求解．【详解】解：由题意知：A 、B 两点之间的横坐标差为：431-=，由平移性质可知：E 、D 两点横坐标之差与B 、A 两点横坐标之差相等，设E 点横坐标为a ，则a -6=1，∴a=7，∴E 点坐标为(7,0) ．故答案为：(7,0) ．【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键.达标检测1．点(﹣4，2)所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．【详解】解：点（-4，2）所在的象限是第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．已知点P 的坐标为(3,4)--，则点P 到y 的距离为（ ）A ．3-B ．3C ．4D ．4-【答案】B【分析】根据点到y 轴的距离等于横坐标的长度解答．【详解】解：∴点P 的坐标为（-3，-4），∴点P 到y 轴的距离为3．故选：B ．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y 轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）A ．(0,3)B ．(2,1)-C ．(1,2)-D ．(1,1)-- 【答案】D【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、(0，3)在y 轴上，故本选项不符合题意；B 、(−2，1)在第二象限，故本选项不符合题意；C 、(1，−2)在第四象限，故本选项不符合题意；D 、(-1，-1)在第三象限，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．下列语句正确的是（ ）A ．在平面直角坐标系中，(3,5)-与(5,3)-表示两个不同的点B ．平行于x 轴的直线上所有点的横坐标都相同、C ．若点(,)P a b 在y 轴上，则0b =D ．点(3,4)P -到x 轴的距离为3【答案】A【分析】根据平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点逐一判断即可得.【详解】A.在平面直角坐标系中， (−3，5) 与 (5，−3) 表示两个不同的点，此选项正确；B.平行于 x 轴的直线上所有点的纵坐标都相同，此选项错误；C.若点 P (a ，b ) 在 y 轴上，则a =0 ，此选项错误；D.点 P (−3，4) 到 x 轴的距离为4，此选项错误；故选：A.【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点.5．将点A （2，1）向下平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是（ ）A ．（0，1）B ．（2，﹣1）C ．（4，1）D ．（2，3） 【答案】B【分析】让点A 的横坐标不变，纵坐标减2即可得到平移后点A ′的坐标．【详解】解：将点A （2，1）向下平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是（2，1-2），即（2，-1）．故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，关键是要熟记：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．6．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）【答案】D【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．【详解】解：过点B作BD∴AC，∴∴1=∴A=40°∴港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．7．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5）B．（0，﹣3）C．（﹣2，5）D．（5，﹣3）【答案】B【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可．【详解】解：∴点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，∴x﹣3＝﹣3，y+5＝2，解得x＝0，y＝﹣3，所以，点A的坐标是（0，﹣3）．故选：B．【点睛】本题考查了坐标平移变化规律；明白向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加是关键．8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，若表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（3，2），（﹣3，0），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（2，1）D．（2，0）【答案】B【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．【详解】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可建立直角坐标系，如图所示：故棋子“炮”的点的坐标为：(0，2)．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置建立直角坐标系是解题关键． 9．在直角坐标系中，点P （m ，2—2m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则P 点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据m +2-2m =0计算m 的值，后判定横坐标，纵坐标的正负求解即可【详解】∴点P （m ，2—2m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，∴m +2-2m =0，∴m =2，∴2-2m =-2，∴点P 位于第四象限，故选D【点睛】本题考查了坐标与象限的关系，利用相反数的性质构造等式计算m 的值是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点()2,1M ，()1,1N -，平移线段MN ，使点M 落在点()1,2M '-处，则点N 对应的点N '的坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()0,2-C ．()1,1-D ．()3,1--【答案】A【分析】 根据()2,1M 平移后得到()1,2M '-，确定其平移规律是向左平移3个单位，后向上平移1个单位，根据规律确定点N 的平移坐标即可．【详解】∴()2,1M 平移后得到()1,2M '-，∴其平移规律是向左平移3个单位，后向上平移1个单位，∴()1,1N -，∴平移后的坐标为（1-3，-1+1）即()2,0-，故选A ．【点睛】本题考查了坐标系中点的坐标平移，准确确定平移方向和平移距离，并熟记左减右加，上加下减的计算法则是解题的关键．二、填空题11．己知(82,1)P m m -+点在x 轴上，则点P 的坐标为___．【答案】(10,0)【分析】根据x 轴上点的横坐标为0列方程求出m 的值，然后求解即可．【详解】解：点(82,1)P m m -+在x 轴上，10m ∴+=，解得1m =-，828210m ∴-=+=，∴点P 的坐标为(10,0)．故答案为：(10,0)．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x 轴上点的横坐标为0是解题的关键．12．如图，点A 在射线OX 上，2OA =．若将OA 绕点O 按逆时针方向旋转30到OB ，那么点B 的位置可以用()2,30︒表示．若将OB 延长到C ，使5OC =，再将OC 按逆时针方向继续旋转45︒到OD ，那么点D 的位置可以用____表示．【答案】（5，75°）【分析】直接利用已知点的意义，进而得出点D 的位置表示方法．【详解】解：如图所示：由题意可得：OD =OC =5，∴AOD =75°，故点D 的位置可以用：（5，75°）表示．故答案为：（5，75°）．【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出坐标的意义是解题关键．13．已知点()2,3A --，将点A 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到A '，则A '的坐标为_________．【答案】()2,3【分析】根据平移规律左减右加，上加下减，进行平移计算即可；【详解】∴()2,3A --，向右平移4个单位长度，向上平移6个单位长度∴()24,36A '-+-+∴()2,3A '故答案为：()2,3【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的平移变化，熟悉掌握坐标的变化规律是解题的关键．14．平面直角坐标系中，点(P 到x 轴的距离是_________．【答案】2【分析】根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．【详解】解：点P （2）到x 轴的距离是|2|=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了点的坐标，利用点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值是解题关键．15．把点(2,3)-的向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的点的坐标为________．【答案】（-5，7）【分析】根据点的平移方法可得把点（-2，3）的横坐标减3，纵坐标加4，然后计算即可．【详解】解：点（-2，3）向上平移4个单位长度单位再向左平移3个单位长度所到达点的坐标为（-2-3，3+4），即（-5，7），故答案为：（-5，7）．【点睛】此题主要考查了点的平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．16．全英羽毛球公开赛混双决赛，中国组合鲁恺/ 黄雅琼，对阵马来西亚里约奥运亚军陈炳顺/吴柳萤，鲁恺/黄雅琼两名小将的完美配合结果获胜．如图是羽毛球场地示意图，x轴平行场地的中线，y轴平行场地的球网线，设定鲁恺的坐标是（3，1），黄雅琼的坐标是（0，－1），则坐标原点为__________．【答案】O1【分析】根据黄雅琼的位置即可确定坐标原点的位置．【详解】∴鲁恺的坐标是（3，1），黄雅琼的坐标是（0，−1），∴坐标原点为O1，故答案为：O1．【点睛】本题考查了坐标确定位置的知识，解题的关键是能够了解（0，−1）在坐标原点的下面一个单位，17．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步沿x轴向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度：当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位长度：当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位长度，当走完第6步时，棋子所处位置的坐标是，当走完第7步时，棋子所处位置的坐标是 ，当走完第2021步时，棋子所处位置的坐标是 ． 【答案】A 6（6，2），A 7（7，2），（2021，673） 【分析】设走完第n 步，棋子的坐标用A n 来表示．列出部分A 点坐标，发现规律“A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）”，根据该规律即可解决问题． 【详解】解：设走完第n 步，棋子的坐标用A n 来表示．观察，发现规律：A 0（0，0），A 1（1，0），A 2（3，0），A 3（3，1），A 4（4，1），A 5（6，1），A 6（6，2），A 7（7，2），…， …，∴A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）． ∴2021=673×3+2， ∴A 2021（2021，673）．故答案为：A 6（6，2），A 7（7，2），（2021，673）． 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律“A 3n （3n ，n ），A 3n +1（3n +1，n ），A 3n +2（3n +3，n ）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据棋子的运动情况，罗列出部分A 点的坐标，根据坐标的变化发现规律是关键．18．如图，四边形AOBC 是正方形，曲线123CPP P ⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧1CP ，弧12PP ，弧23P P ，弧34P P 的圆心依次按点A ，O ，B ，C 循环，点A 的坐标为()2,0，按此规律进行下去，则点2021P 的坐标为______．【答案】()4044,0 【分析】由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解【详解】解：由题意可知：正方形的边长为2，∴A（2，0），B（0，2），C（2，2），P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，-12）…可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，P在x轴正半轴，2021÷4=505……1，故点2021OP的长度为2021×2+2=4044，即：P2021的坐标是（4044，0），故答案为：（4044，0）．【点睛】本题考查了直角坐标系内点的坐标运动变化规律，解题的关键是理解A点的坐标除符合变化之外，还由旋转半径确定，而且每旋转一次半径增加2．三、解答题19．在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．（-5，0），（-4，3），（-3，0），（-2，3），（-1，0），（-5，0）【答案】见解析【分析】将坐标表示的点分别在坐标系中标出来，然后用线段依次连接起来即可．【详解】解：如图所示：本题考查了平面直角坐标系中的作图，正确地将点在坐标系中标出来是解题的关键．20．如图所示，在平面直角坐标系中点()30A -,，()5,0B ，()3,4C ，()2,3D -．（1）求四边形ABCD 的面积（2）点P 为y 轴上一点，且ABP △的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，求点P 的坐标．【答案】（1）23；（2）90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或90,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，分别计算AF 、DF 、BE 的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得32ADF S =△，4BCE S =△，352CEFD S =梯形即可解题；（2）设()0,P b ，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可． 【详解】解：（1）分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，因为()30A -，，()B 5，0，()34C ，，()23D -，， 所以1AF =，34DF CE ==，25BE EF ==，所以131322ADF S =⨯⨯=△， 所以12442BCE S =⨯⨯=△，所以()353452CEFD S =+⨯=梯形，所以33542322ABCD S ++==四边形．（2）设()0P b ，则有123=22ABP ABCD S S =△四边形 即11238222AB OP b ⨯⨯=⨯⨯=解得：23||8b = 所以238b =± 所以点P 的坐标为904⎛⎫ ⎪⎝⎭，或904⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21．在平面直角坐标系中，完成以下问题：（1）请在坐标系中标出点(3,2)A 、(2,3)B -；（2）若直线l 经过点B 且//l y 轴．点C 是直线l 上的一个动点，请画出当线段AC 最短时的简单图形，此时点C 的坐标为 ；（3）线段AC 最短时的依据为 ．【答案】（1）见详解；（2）画图见详解，C （﹣2,2）；（3）点到直线的距离垂线段最短 【分析】(1)根据点坐标的定义直接在坐标系中标出点即可；（2）根据点到直线的距离垂线段最短即可判断点C 的坐标； （3）依据点到直线的距离垂线段最短． 【详解】(1)A,B 两点如下图；（2）AC 最短时的图形如下图所示，此时C 点坐标为：（﹣2,2）； （3）点到直线的距离垂线段最短．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标问题，及对点到直线的距离垂线段最短的理解与应用，解题关键在于理解应用点到直线的距离垂线段最短．22．如图，在直角坐标系中，已知A （﹣1，4），B （﹣2，1），C （﹣4，1），将ABC 向右平移3个单位再向下平移2个单位得到111A B C △，点A 、B 、C 的对应点分别是点A 1、B 1、C 1．（1）画出111A B C △；（2）直接写出点A 1、B 1、C 1的坐标； （3）直接写出111A B C △的面积．【答案】（1）见解析；（2）A 1（2，2），B 1（1，﹣1），C 1（﹣1，﹣1）；（3）3． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，画出图形即可； （2）利用（1）中图形，利用平移的性质得出对应点坐标； （3）利用三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：111A B C △，即为所求；（2）由平移的性质结合图形可得：A 1（2，2），B 1（1，﹣1），C 1（﹣1，﹣1）； （3）111A B C △的面积为：12×2×3＝3．【点睛】本题考查的是平移的性质，图形与坐标，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键． 23．在边长为的方格纸中有一个ABC ．（1）作出ABC 的高CD ，并求出ABC 面积；（2）将ABC 向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △； （3）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段．【答案】（1）8，画图见解析；（2）画图见解析；（3）11//A B AB ，11A B AB =． 【分析】（1）直接作高，得到高的长度，利用三角形面积公式计算即可.（2）图形的平移关键是点的平移.按平移的法则确定了A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1位置，连接即可得到111A B C △；（3）根据平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等，举例即可. 【详解】 （1）1144822ABC S AB CD =⨯⨯=⨯⨯=△． 如图所示：（2）先将点A ，B ，C 分别向上平移3个单位，再向左平移2个单位确定点1A ，1B ，1C ，再连接11A B ，11B C ，11AC ，此时111A B C △即为所求．（3）11//A B AB ，11//AC AC ，11//B C BC ．三组线段任写一组． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，图形的平移实质是点的平移，正确的确定对应点的位置是正确作图的关键，同时平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等这一平移性质的运用.24．综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，点O ，A 的坐标分别为()0,0，()02,，将线段OA 沿x 轴方向向右平移，得到线段CB ，点O 的对应点C 的坐标为3,0，连接AB ．点P 是y 轴上一动点．（1）请你直接写出点B 的坐标____________．（2）如图1，当点P 在线段OA 上时（不与点O 、A 重合），分别连接BP ，CP ．猜想BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系，并说明理由．（3）①如图2，当点P 在点A 上方时，猜想BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系，并说明理由．②如图3，当点P 在y 轴的负半轴上时，请你直接写出BPC ∠，ABP ∠，OCP ∠之间的数量关系．【答案】（1）()3,2；（2）BPC ABP OCP ∠=∠+∠，理由见解析；（3）（3）①BPC OCP ABP ∠=∠-∠，理由见解析；②BPC ABP OCP ∠=∠-∠．【分析】（1）根据平移的规律即可求解；（2）过点P 作//PD AB ，得到BPD ABP ∠=∠，再证明//PD OC ，得到CPD PCO ∠=∠，即可得到BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；（3）①过点P 作//PE AB ，得到BPE ABP ∠=∠，再证明//PE OC ，得到EPC OCP ∠=∠，即可证明BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；②过点P 作//PF AB ，得到BPF ABP ∠=∠，再证明//PF OC ，得到FPC OCP ∠=∠，即可证明BPC FPB FPC ABP OCP ∠=∠-∠=∠-∠． 【详解】解:（1）∴线段OA 沿x 轴方向向右平移，得到线段CB ，点O 的对应点为C 坐标为（3,0）， ∴点A （0,2）的对应点B 的坐标为（3,2）， 故答案为：()3,2；（2）BPC ABP OCP ∠=∠+∠，理由如下： 如图1，过点P 作//PD AB ， ∴BPD ABP ∠=∠， 由平移可知，//AB OC ， 又//PD AB ， ∴//PD OC ， ∴CPD PCO ∠=∠，∴BPC BPD CPD ABP OCP ∠=∠+∠=∠+∠；∠=∠-∠，理由如下：（3）①BPC OCP ABPPE AB，如图2，过点P作//∠=∠，∴BPE ABPAB OC，又∴//PE OC，∴//∠=∠，∴EPC OCP∠=∠-∠=∠-∠．∴BPC EPC EPB OCP ABP∠=∠-∠，理由如下：②BPC ABP OCPPF AB，如图3，过点P作//∠=∠，∴BPF ABPAB OC，又∴//PF OC，∴//∠=∠，∴FPC OCP∠=∠-∠=∠-∠．∴BPC FPB FPC ABP OCP 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中平移的规律、平行线的性质与判定等知识，熟知相关知识点并根据题意灵活应用是解题关键．25．在平面直角坐标系xOy 中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来． 第一组：()3,3A -、()4,3C ；第二组：()2,1D --、()2,1E -．（1）直接写出线段AC 与线段DE 的位置关系；（2）在（1）的条件下，线段AC ，DE 分别与y 轴交于点B ，F ．若点M 为射线OB 上一动点（不与点O ，B 重合）．①当点M 在线段OB 上运动时，连接AM 、DM ，补全图形，用等式表示CAM ∠、AMD ∠、MDE ∠之间的数量关系，并证明．②当ACM △与DEM △面积相等时，求点M 的坐标．【答案】（1）线段AC 与线段DE 的位置关系；AC∥DE ，证明见详解；（2）AMD ∠=CAM∠+MDE ∠，证明见详解；（3）M （0，1711）． 【分析】（1）AC∥DE ，由()3,3A -、()4,3C 两点纵坐标相同，-3≠4，可得AC∥x 轴，由()2,1D --、()2,1E -两点纵坐标相同，-2≠2，可得DE∥x 轴，利用平行同一直线两直线平行可得AC∥DE ； （2）AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠，过M 作MN∥AC ，内错角相等得∴CAM =∴AMN ，由AC∥DE ，可得MN∥DE ，内错角相等∴NMD =∴MDE ，可证AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠；（3）由AC ∴y 轴于B ，DE ∴y 轴于F ，求出B （0，3），F （0，-1），,可确BF =4，设OM =m ，MB =3-m ，MF =4-（3-m ）=m +1，AC =7，DE =4，用含m 的式子表示S ∴ACM =()1732m ⨯⨯-，S ∴DEM =()1412m ⨯⨯+，当ACM △与DEM △面积相等时，可列方程()()1173=4122m m ⨯⨯-⨯⨯+，解之即可． 【详解】解：（1）直接写出线段AC 与线段DE 的位置关系；AC∥DE∴()3,3A -、()4,3C 两点纵坐标相同，-3≠4∴AC∥x 轴，∴()2,1D --、()2,1E -两点纵坐标相同，-2≠2∴DE∥x 轴，∴AC∥DE ，（2）AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠过M 作MN∥AC ，∴∴CAM =∴AMN ，∴AC∥DE ，∴MN∥DE ，∴∴NMD =∴MDE ，∴∴AMD =∴AMN +∴NMD =∴CAM +∴MDE ，∴AMD ∠=CAM ∠+MDE ∠，（3）∴AC ∴y 轴于B ，DE ∴y 轴于F ，∴B （0，3），F （0，-1），,∴BF =OB +OF =3+1=4，设OM =m ，∴MB =3-m ，MF =4-（3-m ）=m +1，∴AC =4-（-3）=7，DE =2-(-2)=4，S ∴ACM =()117322AC MB m ⨯⋅=⨯⨯-，S ∴DEM =()114122DE MF m ⨯⋅=⨯⨯+， 当ACM △与DEM △面积相等时，即()()1173=4122m m ⨯⨯-⨯⨯+， 整理得21744m m -=+， 解得1711m =， ∴M （0，1711）．【点睛】本题考查画图，平行线的判定与性质，角的互相关系，三角形面积，一元一次方程，掌握画图技巧，平行线的判定与性质，角的和差关系，三角形面积求法，一元一次方程的解法是解题关键．26．已知，在平面直角坐标系中，AB ⊥x 轴于点B ，点A (a ，b )+|b ﹣3|＝0，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．（1）a ＝ ，b ＝ ，点C 坐标为 ；（2）如图1，点D (m ，n )是射线CB 上一个动点．①连接OD ，利用OBC ，OBD ，OCD 的面积关系，可以得到m 、n 满足一个固定的关系式，请写出这个关系式： ；②过点A 作直线1⊥x 轴，在l 上取点M ，使得MA ＝2，若CDM 的面积为4，请直接写出点D 的坐标 ．（3）如图2，以OB 为边作⊥BOG ＝⊥AOB ，交线段BC 于点G ，E 是线段OB 上一动点，连接CE 交OG 于点F ，当点E 在线段OB 上运动过程中，OFC FCG OEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值．【答案】（1）6，3，（0，-3）；（2）①m -2n ＝6；②（2，-2）或（4，-1）；（3）不变，理由见解析【分析】（1）利用非负数的性质求解即可．（2）①如图1，过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ，利用面积法求解即可．②如图11-中，设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，CM ，CM '．分两种情形：当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2m D m -，根据4CDM CTD MTD CTD S S S S ∆∆∆∆=+-=，构建方程求解，当点M '在点A 的右侧时，同法可得．（3）OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2．利用平行线的性质，三角形的外角的性质证明即可．【详解】解：（1）|3|0b -=，60a ∴-=，30b -=，6a ∴=，3b =，3AB OC ==，且C 在y 轴负半轴上，(0,3)C ∴-，故答案为：6，3，(0,3)-．（2）①如图1-1，过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ．AB x ⊥轴于点B ，且点A ，D ，C 三点的坐标分别为：(6,3)，(,)m n ，(0,3)-， 6OB ∴=，3OC =，MD n =-，ND m =，192BOC S OB OC ∆∴=⨯=， 又BOC BOD COD S S S ∆∆∆=+1122OB MD OC ND =⨯+⨯ 116()322n m =⨯⨯-+⨯⨯ 332m n =-， ∴3392m n -=，26m n ∴-=， m ∴、n 满足的关系式为26m n -=．故答案为：26m n -=．②如图12-中，设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，DM ，CM '．当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2m D m -，4CDM CTD MTD CTD S S S S ∆∆∆∆=+-=， ∴11164(33)4642222m m ⨯⨯+⨯⨯-+-⨯⨯=， 解得2m =，(2,2)D ∴-， 当点M '在点A 的右侧时，同法可得(4,1)D -，综上所述，满足条件的点D 的坐标为(2,2)-或(4,)1-．故答案为：(2,2)-或(4,)1-．（3）OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2．理由如下： 线段OC 是由线段AB 平移得到，//BC OA ∴，AOB OBC ∴∠=∠，又BOG AOB ∠=∠，BOG OBC ∴∠=∠，根据三角形外角性质，可得2OGC OBC ∠=∠，OFC FCG OGC ∠=∠+∠，22OFC FCG FCG OBC ∴∠+∠=∠+∠2()FCG OBC =∠+∠2OEC =∠， ∴22OFC FCG OEC OEC OEC∠+∠∠==∠∠． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．。

图形在坐标中的平移（基础）知识讲解【学习目标】1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.【要点梳理】要点一、点在坐标中的平移在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．要点二、图形在坐标中的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、点在坐标中的平移1．写出下列各点平移后的点的坐标：（1）将A（-3，2）向右平移3个单位；（2）将B（1，-2）向左平移3个单位；（3）将C（4，7）向上平移2个单位；（4）将D（-1，2）向下平移1个单位．（5）将E（2，-3）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位．【思路点拨】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．【答案与解析】解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4）平移后点的坐标为：（-1，1）；（6）平移后点的坐标为：（3，-4）．【总结升华】本题考查了点的平移及平移特征，掌握平移中点的变化规律是关键．2．（荆门）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（-1，3），则点P 的坐标是．【思路点拨】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．【答案】（1，2）．【解析】新点P′的横坐标是-1，纵坐标是3，点P′向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到原来的点P，即点P的横坐标是-1+2=1，纵坐标为3-1=2．则点P的坐标是（1，2）．【总结升华】左右平移的单位数是平移后点的横坐标减去平移前对应点的横坐标，上下平移的单位数是平移后点的纵坐标减去对应平移前点的纵坐标．举一反三：【高清课堂：第二讲平面直角坐标系2 369935 练习4 】【变式1】已知：两点A（-4，2）、B（-2，-6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(-3, -2)； (2)(1,2),(3,-6)； (3)(-4,-1),(-2,-9).【变式2】（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【答案】（0，﹣3）．解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．类型二、图形在坐标中的平移3.（2015春•邵阳县期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣3，1），B（1，3）．把线段AB平移后得到线段A′B′，A与A′对应，B与B′对应．若点A′的坐标是（﹣1，﹣1），则点B′的坐标为．【思路点拨】各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标减2，那么让点B的横坐标加2，纵坐标减2即为点B′的坐标．【答案】（3，1）．【解析】解：由A（﹣3，1）的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣1 ），坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标减2，∴点B′的横坐标为1+2=3；纵坐标为3﹣2=1；即所求点B′的坐标为（3，1）．故答案为（3，1）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．举一反三：【变式】按要求平移下面的图形．（1）将图形①先向右平移3个格，再向下平移5个格．（2）将图形②先向左平移2个格，再向上平移3个格．【答案】解：作图如下：4. 如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，0)，B(6，0)，C(5，5)．(1)求△ABC的面积；(2)如果将△ABC向上平移1个单位长度，得△A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，试求A2、B2、C2的坐标；(3)△A2B2C2与△ABC的大小、形状有什么关系．【思路点拨】 (1)已知AB＝6，故只要求得C到x轴距离即可．(2)在平面直角坐标系中，将图形向右(或左)平移a个单位长度，那么图形的点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可得对应点(x+a，y)或(x-a，y)，将图形向上(或向下)平移b个单位长度，可得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)．(3)可根据平移的性质进行分析和判断．【答案与解析】解：(1)点C到x轴的距离为5，所以11651522ABCS AB h==⨯⨯=△；(2)根据题意求出三角形A2B2C2各顶点的坐标为A2(2，1)，B2(8，1)，C2(7，6)；(3)连接A2B2C2三点可以看出△A2B2C2与△ABC的大小、形状相等或相同．【总结升华】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．举一反三：【变式】如图，三角形DEF经过平移后得到三角形ABC，则点D坐标为，点E的坐标为．【答案】D（2,2），E（3，-2）．。

§1平面直角坐标系1.坐标系(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合. 3.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12).设P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得. 解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.1.一种作图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 试求曲线C 的方程.解 设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1， 可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.【例2】 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为 A (－1，3)，B (－3，－2)，C (4，－2)，D (3，4)，求四边形ABCD 的面积.分析 本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A (a ，b )到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |)，从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，其中BE 的长度等于B 到y 轴的距离减去A 到y 轴的距离，AE 的长度为A 到x 轴的距离加上B 到x 轴的距离，依此类推可以求出DF ，CF ，EF 的长度，从而求出四边形ABCD 的面积.解 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC .垂足分别为E 、F .S △ABE ＝12·BE ·AE ＝2×52＝5；S △CDF ＝CF ·DF 2＝1×62＝3； S 梯形AEFD ＝（AE ＋DF ）·EF 2＝（5＋6）×42＝22， 所以四边形ABCD 的面积为5＋22＋3＝30.【反思感悟】 本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15，两腰分别为33和6，选择适当的坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解 如图所示，以D 为原点，CD 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，33)，B (12，33)，C (15，0)，D (0，0)， |BD |＝319.题型二 坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.分析 根据变换公式，分清新旧坐标即可.解 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线. (2)将⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x ′，y ′表示.3.伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程.解 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点.把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y 代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1.故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 【例4】 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.分析 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆.解 设变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入第二个方程，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.与4x 2＋9y 2＝36比较，将其变为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.【反思感悟】 对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，比较公式中的系数即可.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换. 解 x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②两式得x ′－2＝x －42，y ′＝3y .故所求伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .1.已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程. 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB －的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.2.已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解 解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线m 的相对位置，如图所示，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (－1 000，0).由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)，由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为|－2002－3·2002＋1 000|2＝100(5－2－6)≈113.6>100，所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改.3.阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解 y ＝tan x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .[P 2思考交流]1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －2)2＋(y －3)2＝25.2.在平面直角坐标系中，以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2. [P 5思考交流]我国1990年至2000年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元)表1—2特点. 答 统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～1997年增长较快，1997～2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长. [P 6思考交流]1.观察例3(2)中y ＝sin x 的图像与(1)中y ＝2sin 3x 的图像，讨论它们的关系？答 y ＝sin x 的图像和y ＝2sin 3x 的图像可以通过伸缩变换相互得到： y ＝sin x 的图像――————————————→纵坐标不变横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像―——————————―→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得y ＝2sin 3x 的图像. y ＝2sin 3x 的图像横坐标不变纵坐标缩短为原来的12得y ＝sin 3x 的图像.纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得y ＝sin x 的图像 2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答 设函数y ＝f (x )与函数y ＝μf (ωx )(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为：y ＝μf (ωx )的图像.它们的图像可以通过伸缩变换相互得到. 【规律方法总结】1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.4.在伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1 B.9x 2＋100y 2＝1 C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入x ′2＋4y ′2＝1， 得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程.答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零). ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0).答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程是____________.解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1.答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后曲线方程变为________. 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′， 代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′.答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)， 故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明 法一 坐标法 以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2，|AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二 向量法 在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →， 两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD→， 同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC→， 以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB→＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)， 即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解 先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.习题1－1 (第7页)A 组1.由两点式写直线的方程为35x ＋36y －41＝0.2.直线x 6＋y 4＝－2与x 轴、y 轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(－12，0)、(0，－8)、－23.3.解 △ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，且AB 平行于x 轴，AC 平行于y 轴. ∴∠A 的平分线的斜率为1，所在直线方程为x －y ＋1＝0.BC 所在直线的方程为4x ＋3y －29＝0，解⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋3y －29＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝337.∠A 的平分线的长为1227.4.解 法一 由两点式写出直线AB 的方程为3x ＋y －6＝0.将点C (4，－6)代入方程3×4＋(－6)－6＝0，点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 在同一条直线上.法二 ∵k AB ＝－3，k BC ＝－3∴A 、B 、C 三点在同一条直线上.5.解 与x 轴交点 令y ＝0，2x －10＝0，x ＝5，与y 轴交 点令x ＝0，－5y －10＝0，y ＝－2，S △＝12×5×2＝5.6.证明 如图：矩形OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.则O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0，0)，(a ，0)，(a ，b )，(0，b )|OB |＝a 2＋b 2， |AC |＝b 2＋（－a ）2＝a 2＋b 2，∴|OB |＝|AC |.结论得证.7.解 (1)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2代入C 、D 两点得⎩⎨⎧（－1－a ）2＋1＝r 2，（1－a ）2＋9＝r 2，解得a ＝2，r ＝10，∴方程为(x －2)2＋y 2＝10(2)设圆心为(0，b )m则5＝|b －6|，b ＝1或11，∴方程为x 2＋(y －1)2＝25或x 2＋(y －11)2＝25.(3)设方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵过A 、B 两点，圆心在2x －y ＝3上，∴⎩⎨⎧（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(4)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意可得⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，b ＝2a ，r ＝|2a －b ＋5|1＋4，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝85，r ＝5， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝5， 图略.8.解 以底边中点为原点，底边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设△ABC ，底边BC ＝8，高为AD ＝5，则B (－4，0)，C (4，0)，D (0，0)，A (0，5)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2则⎩⎨⎧（－4－a ）2＋b 2＝r 2，（4－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（5－b ）2＝r 2，得a ＝0，b ＝910，r 2＝412100，∴圆方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9102＝1 681100. 9.解 |A 1F 1|＋|A 2F 1|＝2＋14＝16＝2a ，a ＝8，F 1(－6，0)，F 2(6，0)，c ＝6，∴b 2＝28.∴椭圆标准方程为x 264＋y 228＝1.10.解 (1)由题意知a 2＝8，b 2＝5，椭圆方程为x 28＋y 25＝1.(2)由题意知a ＝3b当焦点在x 轴上时a ＝3，b ＝1，椭圆方程：x 29＋y 21＝1；当焦点在y 轴上时b ＝3，a ＝9，椭圆方程：x 29＋y 281＝1.(3)由题意知c ＝23，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，P (5，－6)在椭圆上.∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6b 2＝1，a 2－b 2＝12，解得a 2＝20，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 220＋y 28＝1.11.略B 组1.证明 ∵圆直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 半径为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）22∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）42＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）24－（y 1－y 2）24＝0， x 2－x (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 2－y (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0，(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，∴圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2.解 由⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －5）2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋（y －5）2＝1得x －54＝0，∴直线方程为x －54＝0.3.解 以地球球心与距地最近点所在直线为x 轴，以最近点与最远点的中点为原点建立平面直角坐标系.则2a ＝6 636＋8 196＝14 832，a ＝7 416，a 2＝54 997 056，c ＝8 196－7 416＝780，∴b 2＝54 388 656.∴椭圆方程为x 254 997 056＋y 254 388 656＝1.。

人教版七年级下册数学平面直角坐标系课时练习（附答案）一、单选题1．在平面直角坐标系中，点P（3，-4）到x轴的距离是（）A．3B．-3C．4D．-42．在平面直角坐标系中，已知点A(m﹣1，2m﹣2)，B(﹣3，2)．若直线AB∥y轴，则线段AB的长为（）A．2B．4C．6D．83．如果把电影票上“5排3座”记作(5，3)，那么(4，9)表示（）A．“4排4座”B．“9排4座”C．“4排9座”D．“9排9座”4．若点A（-3，m）在x轴上，那么点B（m+1，m-2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．在平面直角坐标系中，点P(a，b)在第二象限，则点P(−a，b)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在平面直角坐标系中，点A(x，y)在第四象限，且|x|=2，|y|=3，将点A向左平移3个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是（）A．(−2，3)B．(5，−3)C．(−1，−3)D．(2，−6)7．已知点A(2x−4，x+3)在第二象限，则x的取值范围是（）A．−3<x<2B．x>−3C．x<2D．x>28．在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（0，4﹣a），且A在B的下方，点C（1，2），连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a的取值范围为（）A．﹣1<a≤0B．0<a≤1C．1≤a<2D．﹣1≤a≤1二、填空题9．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，且到x轴y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为．10．若点A(m+3，m−3)在x轴上，则m=.11．点（2，3）在哪个象限.12．已知平面直角坐标系中的点P（a﹣3，2）在第二象限，则a的取值范围是13．已知点P的坐标为（2，﹣5），则P点到x轴的距离为个单位长度.14．在平面直角坐标系中，若点P(m+3，3−m)在y轴上，则m的值是.15．已知点P(-2x，3x+1)是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P到两坐标轴的距离之和为11，则点P的坐标16．点A(m−1,m+2)在x轴上，则此点坐标为；点B(3,a−1)在二、四象限的角分线上，则此点坐标为；点C在x轴下方，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则此点的坐标为．17．点P(3+a，a+1)到x轴距离为3，则点P到y轴的距离为．18．如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用（2，2）→（2，3）→（2，4）→（3，4）→（4，4）→（5，4）表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出从家到学校的另外一线：．19．在平面直角坐标系中，若点A(a，−b)在第三象限，则点B(−ab，b)在第象限．20．如图，在平面直角坐标系中，一个质点P从点P1(−1，0)出发，运动到点P2(−1，−1)，运动到点P3(1，−1)，运动到点P4(1，1)，运动到点P5(−2，1)，运动到点P6(−2，−2)……按照上述规律运动下去，则点P2022的坐标为．三、作图题21．对于边长为6的等边三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．22．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图.⑴请在图中建立平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为A（2，3）、B（﹣2，0）；⑴正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在图中画出格点⑴ABC使得AB＝AC，请写出在⑴中所建坐标系内所有满足条件的点C的坐标.四、解答题23．如图所示，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用（3，5）→（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗？请至少给出3种不同的路径．24．五子棋和象棋、围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如下图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图；(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记做(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙马上获胜．答案1．C 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．B 9．（4，﹣6）10．3 11．第一象限12．a＜3 13．5 14．－3 15．(-4，7)16．(−3,0)；(3,−3)；(−3，−2)或(3，−2)17．1或518．答案不唯一：如（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）19．一20．（-506，-506）21．解：以BC边所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系.OA=√AC2−OC2=√62−32=√27=3√3∴各顶点坐标分别为：A(0，3√3)，B(−3，0)，C(3，0).22．解：⑴如图所示：⑴如图所示，点C即为所求，其坐标为（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）或（2，﹣2）或（5，﹣1）或（6，0）或（7，3）.23．解：答案不唯一，如：⑴（3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；⑴（3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；⑴（3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；⑴（3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；⑴（3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3）等．24．解：∵白棋已经有三个在一条直线上，∴甲必须在（5，3）或（1，7）位置上落子，才不会让乙马上获胜．。

四年级垂线练习题作图作图是数学学习中的重要环节之一，通过作图可以更直观地理解和解决问题。

本文将为四年级学生提供一些垂线练习题，并详细介绍如何进行图形的作图。

1. 作图题一：画一个直角三角形ABC，其中∠ACB为直角，AB=5cm，BC=4cm。

解答：步骤一：用尺子在一张纸上画一条5cm的线段AB，作为直角三角形的直角边。

步骤二：再用尺子在点B上方和下方分别画出两条长度为4cm的线段。

步骤三：连接上述两条线段和点B，得到直角三角形ABC。

2. 作图题二：在平面直角坐标系中，作一个矩形，其中一条边与x轴重合，且矩形的长是4cm，宽是3cm。

解答：步骤一：用尺子在一张纸上画一条长度为4cm的线段AB，作为矩形的一条边。

步骤二：在点B上方和下方分别用尺子画出两条长度为3cm的线段。

步骤三：连接上述两条线段和点A，得到矩形。

3. 作图题三：画一个正方形，边长为6cm。

解答：步骤一：用尺子在一张纸上画一条长度为6cm的线段。

步骤二：以该线段为边，依次在两个端点上方和下方分别画出两条长度也为6cm的线段。

步骤三：连接上述两条线段，得到正方形。

4. 作图题四：作一个等边三角形，边长为8cm。

解答：步骤一：用尺子在一张纸上画一条长度为8cm的线段AB，作为等边三角形的一条边。

步骤二：以点A为圆心，以8cm为半径画一个圆弧。

步骤三：再以点B为圆心，以8cm为半径画一个圆弧。

步骤四：连接上述两个圆弧的交点和两个端点，得到等边三角形。

通过以上几个作图题的解答，我们能够发现，作图的关键在于准确地测量和刻画线段的长度，以及妥善地使用尺子和直尺来进行作图。

在实际操作过程中，同学们应该注意保持手的稳定，使线段和直角边的绘制更加准确。

总结：作图是数学学习中非常重要的一部分，通过作图能够更直观地理解和解决问题。

在进行作图的过程中，我们需要准确地测量和刻画线段的长度，合理地使用尺子和直尺，并保持手的稳定。

相信通过反复的练习和实践，同学们能够变得更加熟练和娴熟地进行作图，提高数学学习的效果。

平面直角坐标系知识结构图：一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

记作（a ，b）（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；a,）一一对应；其1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；2、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：1、点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性；2、点P （y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零； （四）在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1、点P 到x 轴的距离为b ； 2、点P 到y 轴的距离为a ；3、点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +（五）平行直线上的点的坐标特征：1、在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；2、在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；（六）对称点的坐标特征：1、点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；象限 横坐标x纵坐标y第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限正负P （b a ,）abxy OXYA BmXYC Dn2、点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3、点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1、若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；2、若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

平面直角坐标系一、选择题1. (2018 山东省东营市)在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞2C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1【答案】C【解析】∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，∴，解得﹣1＜m＜2．故选：C．2. (2018 山东省济宁市)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（2，2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）【答案】A【解析】∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=2，∴点A的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，则点A′的坐标为（﹣1，2），再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（2，2），故选：A．3. (2018 山东省青岛市)如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）【答案】D【解析】画图如下：则A'（5，﹣1），故选：D．4. (2018 山东省泰安市)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）【答案】A【解析】由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6），∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6），故选：A．5. (2018 山东省潍坊市)在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（）A．（2m，2n）B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）C．（m，n）D．（m，n）或（﹣m，﹣n）【答案】B【解析】点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n），故选：B．6. (2018 山东省潍坊市)在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P （3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q（3，240°）B．Q（3，﹣120°）C．Q（3，600°）D．Q（3，﹣500°）【答案】D【解析】∵P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，﹣120°），（3，600°），故选：D．7. (2019 山东省滨州市)在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（3，1）C．（4，﹣4）D．（4，0）【答案】A【解析】∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，∴点B的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，∴B的坐标为（﹣1，1）．故选：A．8. (2019 山东省滨州市)已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，∴，解得：a＜2．则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选：C．9. (2019 山东省青岛市)如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）【答案】D【解析】将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．10. (2019 山东省枣庄市)在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【答案】A【解析】∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，∴A′的坐标为（﹣1，1）．故选：A．二、填空题11. (2018 山东省威海市)如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线y=x于点B1．过B1点作B1A2∥y轴，交直线y=2x于点A2，以O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y=x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y=2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y=x于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y=2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y=x于点B4，…按照如此规律进行下去，点B2018的坐标为．【答案】：（22018，22017）【解析】：由题意可得，点A1的坐标为（1，2），设点B1的坐标为（a，a），，解得，a=2，∴点B1的坐标为（2，1），同理可得，点A2的坐标为（2，4），点B2的坐标为（4，2），点A3的坐标为（4，8），点B3的坐标为（8，4），……∴点B2018的坐标为（22018，22017），故答案为：（22018，22017）．12. (2018 山东省潍坊市)如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D 在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．【答案】：（﹣1，）【解析】如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．13. (2019 山东省东营市)如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是．【答案】：（，0）【解析】：如图，∵△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，∴CH＝1，∴AH＝，∵∠ABO＝∠DCH＝30°，∴DH＝AO＝，∴OD＝﹣﹣＝，∴点D的坐标是（，0）．故答案为：（，0）．14. (2019 山东省济宁市)已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标．【答案】：（1，﹣2）（答案不唯一）．【解析】∵点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），∴x＞0，y＜0，∴当x＝1时，1≤y+4，解得：0＞y≥﹣3，∴y可以为：﹣2，故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为：（1，﹣2）（答案不唯一）．故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．15. (2019 山东省临沂市)在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x＝1的对称点的坐标是．【答案】（﹣2，2）【解析】∵点P（4，2），∴点P到直线x＝1的距离为4﹣1＝3，∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3，∴点P′的横坐标为1﹣3＝﹣2，∴对称点P′的坐标为（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．三、作图题16. (2017 山东省枣庄市) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==2，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．17. (2015 山东省枣庄市) 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．【解析】（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．。

平面直角坐标系【学习目标】1.感受现实情境中确定物体位置的多种方式、方法。

2.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，并能画出平面直角坐标系。

3.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。

3、通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识。

【重难点】1.体会在平面定位需要两个要素.2.通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识. 【知识要点】1.平面内确定位置的基本规律，方式多种多样，但基本上需要 2 个要素。

2.平面直角坐标系:在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．3.平面内的点和有序实数对一 一对应4.坐标轴上的点的坐标特征: (1)．在x 轴上的点纵坐标为0． (2)．在y 轴上的点横坐标为0 ．ax 轴（横轴）原点Oxy1 2 3 4 5 ----3 142 5 ----注意:坐标轴上的点不属于任何象限。

(－,＋) (＋,＋)(－,－) (＋,－)第一象限第二象限 第三象限 第四象限5.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征: (1)．平行于x 轴的直线上的点纵坐标相同． (2)．平行于y 轴的直线上的点横坐标相同．6.点到坐标轴、原点的距离(1)．点Ｐ(a ，b)到x 轴的距离为:︱ b ︱． (2)．点Ｐ(a ，b)到y 轴的距离为:︱ a ︱．(3)．点Ｐ(a ，b)到原点的距离为: .7.对称点的坐标特征:(1)．点Ｐ(m ，n)关于x 轴的对称点横坐标相等，纵坐标互为相反数．(2)．点Ｐ(m ，n)关于y 轴的对称点纵坐标相等，横坐标互为相反数．(3)．点Ｐ(m ，n)关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．8.象限角平分线上的点的坐标特征:(1). 一、三象限角平分线上的点横坐标、纵坐标相等．(2). 二、四象限角平分线上的点横坐标、纵坐标互为相反数． 【方法点拨】结合横轴、纵轴、的特性画出平面直角坐标系，数形结合理解记忆平面直角坐标系的特性。

《平面直角坐标系》分专题培优单元复习综合练习③七．作图—复杂作图33．（2021春•伊通县期末）已知在平面直角坐标系中，点A（3，4），点B（3，﹣1），点C（﹣3，﹣2），点D（﹣2，3）．（1）在平面直角坐标系中，画出四边形ABCD，其面积为；（2）若P为四边形ABCD内一点，已知P点的坐标为（﹣1，1），将四边形ABCD平移后，点P的对应点P点的坐标为（2，﹣2），根据平移的规则，直接写出四边形ABCD平移后的四个顶点的对应点A′，B′，C′，D′的坐标．34．（2021春•江夏区期末）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格所在的坐标平面里，有A、B两个格点，其中A点的坐标为（﹣2，4）．（1）先画出网格所在的坐标平面里的平面直角坐标系，再直接写出格点B的坐标；（2）请在网格中找出格点D（0，1），并求出△ABD的面积；（3）平移线段AD到BC（使A点的对应点为B点，D点的对应点为C点），连接CD交x轴于一点P，直接写出点P的坐标：．35．在如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1），C（﹣1，4）；点P（x1，y1）是△ABC内一点，当点P（x1，y1）平移到点P1（x1+4，y1﹣2）时．①请画出平移后新△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1三个顶点的坐标；②若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则M点的坐标是．若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是．③求△A1B1C1的面积．八．作图—应用与设计作图36．（2021秋•高新区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm，点A、B、C均为格点．（1）根据要求画图：①过C点画直线MN∥AB；②过点C画AB的垂线，垂足为D点．（2）图中线段的长度表示点A到直线CD的距离；（3）三角形ABC的面积＝cm2．37．（2021秋•高邮市期末）如图，A、B、C为网格图中的三点，利用网格作图．（1）过点A画直线AD∥BC；（2）过点A画线段BC的垂线AH，垂足为H；（3）点A到直线BC的距离是线段的长；（4）三角形ABC的面积为．38．（2021秋•新吴区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，点P、A、B、C、D、E、F是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．（1）在图①中，过点P画出AB的平行线，过P点画出表示点P到直线AB距离的垂线段；（2）在图②中，以线段AB、CD、EF的长为边长的三角形的面积等于．九．坐标与图形变化-平移39．（2013•金湾区一模）将点P（﹣4，3）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得点P′，则点P′的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（﹣6，1）C．（﹣6，5）D．（﹣2，1）40．（2021春•枣阳市期末）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（1，﹣4）的对应点为E（4，﹣2），则点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（）A．（﹣6，﹣3）B．（﹣1，﹣1）C．（0，3）D．（﹣6，3）41．（2021秋•肇源县期末）将点P（2m+3，m﹣2）向上平移2个单位得到P′，且P′在x轴上，那么点P 的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（3，0）C．（7，0）D．（9，1）42．（2021春•青山区期末）若点A（n﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A'，若点A'位于第三象限，则n的取值范围是（）A．n＜﹣2B．n＜﹣4C．n＞1D．﹣4＜n＜﹣243．（2021春•江夏区期末）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a+2，b﹣6），如果点A 在经过此次平移后对应点A1（4，﹣3），则A点坐标为（）A．（6，﹣1）B．（2，﹣6）C．（﹣9，6）D．（2，3）44．（2018春•柘城县期末）在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0）、B（5，0）、C （3，3），D（2，4）．（1）求：四边形ABCD的面积．（2）如果把四边形ABCD先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得四边形A′B′C′D'，求A'，B′，C'，D′点坐标．45．（2021春•饶平县校级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a﹣7，3﹣2a），将点P向上平移4个单位，再向右平移5个单位后得到点Q．（1）若点Q位于第一象限，求a的取值范围．（2）若a为整数，求出P、Q两点坐标．46．（2021春•江夏区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（1，4），BC∥y轴与x轴交于点C，BD∥x轴与y轴交于点D，平移四边形ABCD，使点D的对应点为DO的中点E，则图中阴影部分的面积为．47．（2019春•柳江区期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C 点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C ﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．（1）写出点B的坐标（）．（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．48．（2009秋•南昌期中）如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，将△ABC 向右平移m个单位得到△A2B2C2，已知A（﹣3，4），B（﹣6，0），C（﹣2，0）．（1）在备用图1中画出△A1B1C1；（2）m为何值时，点A1与A2重合？并说明B2C1＝B1C2；（3）m为何值时，△A1B1C1与△A2B2C2一边重合？若A1B1与A2B2并交于P点，请证明P A1＝P A2；（4）m为何值时，B2、C2的横坐标是某正数的两个不同的平方根？【参考答案】七．作图—复杂作图33．解：（1）如图，四边形ABCD为所作；S四边形ABCD＝6×6−12×6×1−12×1×6＝30；故答案为30；（2）A ′（6，1），B ′（6，﹣4），C ′（0，﹣5），D ′（1，1）． 34．解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示，B （﹣5，0）， 故答案为：（﹣5，0）．（2）S △ABD ＝5×4−12×3×4−12×2×3−12×1×5＝8.5． （3）设P （m ，0），则有12•（m +5）×4＝8.5，∴m =−34， ∴P （−34，0）．35．解：①如图，△A 1B 1C 1即为所求作，A 1（0，﹣3），B 1（5，﹣1），C 1（3，2）．②由平移的性质可知，M（1，5），MM1＝PP1，故答案为：（1，5），MM1＝PP1．③S△A1B1C1=5×5−12×5×3−12×2×3−12×5×2＝9.5．八．作图—应用与设计作图36．解：（1）如图，①直线MN即为所求作的图形；②AB的垂线CD即为所求；（2）图中线段AD的长度表示点A到直线CD的距离；故答案为AD；（3）三角形ABC的面积为：6−12×2×1−12×2×1−12×3×1＝2.5cm2．故答案为2.5．37．解：（1）如图，直线AD即为所求；（2）如图，直线AH即为所求；（3）点A到直线BC的距离是线段AH的长；故答案为：AH；（4）三角形ABC的面积＝2×3−12×1×2−12×1×2−12×1×3＝2.5．故答案为：2.5．38．解：（1）如图，直线PT，线段PQ即为所求；（2）如图②中，以线段AB、CD、EF的长为边长的三角形的面积等于△ABR的面积＝3×4−12×2×4−12×1×2−12×2×3＝4．故答案为：4．九．坐标与图形变化-平移39．解：将点P（﹣4，3）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，即坐标变为（﹣4﹣2，3﹣2），即点P′的坐标为（﹣6，1）．故选B．40．解：由点P（1，﹣4）的对应点为E（4，﹣2），知线段PQ向右平移3个单位、向上平移2个单位即可得到线段EF，∴点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（﹣3+3，1+2），即（0，3），故选：C．41．解：∵将点P（2m+3，m﹣2）向上平移2个单位得到P′，∴P′的坐标为（2m+3，m），∵P′在x轴上，∴m＝0，∴点P 的坐标是（3，﹣2）． 故选：A ．42．解：点A （n ﹣1，n +2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A ′（n +2，n +4）， ∵点A ′位于第三象限， ∴{n +2＜0n +4＜0， 解得，n ＜﹣4， 故选：B ．43．解：由题意，点A 向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A 1（4，3）， ∴点A 坐标（4﹣2，﹣3+6），即（2，3）， 故选：D ．44．解：（1）如图，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，过C 作CF ⊥x 轴，垂足为F ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE +S 四边形DEFC +S △CFB ∵S △ADE =12×1×4＝2， S 四边形DEFC =12（3+4）×1=72， S △CFB =12×2×3＝3， ∴S 四边形ABCD ＝2+72+3=172；（2）由题可得，四边形ABCD 先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得四边形A ′B ′C ′D '， ∴平移后，各顶点的横坐标减小3，纵坐标减小1， ∵A （1，0）、B （5，0）、C （3，3），D （2，4），∴A ′（﹣2，﹣1），B ′（2，﹣1），C ′（0，2），D ′（﹣1，3）． 45．解：（1）∵点P 的坐标为（a ﹣7，3﹣2a ），∴将点P 向上平移4个单位，再向右平移5个单位后得到点Q （a ﹣2，7﹣2a ），∵点Q 位于第一象限， ∴{a −2＞07−2a ＞0， 解得2＜a ＜3.5．（2）∵a 为整数，2＜a ＜3.5， ∴a ＝3，∴P （﹣4，﹣3），Q （1，1）．46．解：由题意，E （0，2），J （﹣1.5，0），C （1，0），T （﹣3，﹣2），Q （1，﹣2）．∵四边形EPQT 是由四边形DBCA 平移得到， ∴S 四边形DBCA ＝S 四边形EPQT ，∴S 阴＝S 四边形JCQT =12×（2.5+4）×2＝6.5， 故答案为：6.5．47．解：（1）根据长方形的性质，可得AB 与y 轴平行，BC 与x 轴平行； 故B 的坐标为（4，6）； 故答案为：（4，6）；（2）根据题意，P 的运动速度为每秒2个单位长度， 当点P 移动了4秒时，则其运动了8个长度单位， 此时P 的坐标为（4，4），位于AB 上；（3）根据题意，点P 到x 轴距离为5个单位长度时，有两种情况： P 在AB 上时，P 运动了4+5＝9个长度单位，此时P 运动了4.5秒； P 在OC 上时，P 运动了4+6+4+1＝15个长度单位，此时P 运动了152=7.5秒．48．解：（1）画图如下图：（2）当点A 1与点A 2重合时，A 2（3，4）∵A 2（﹣3+m ，4）∴m ＝6（4分）由B 2C 2＝B 1C 1∴B 2C 1＝B 1C 2（5分）（3）如右图，当m ＝8时，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2一边重合，则B 2C 2与B 1C 1重合；（6分）∵△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2 在△A 1C 1P 和△A 2C 2P 中 {∠A1=∠A 2∠A 1PC 1=∠A 2PC 2A 1C 1=A 2C 2∴△A 1C 1P ≌△A 2C 2P ∴P A 1＝P A 2；（9分）（4）当m ＝4时，B 2、C 2的横坐标是正数4的两个不同的平方根．（10分） ∵B 2（﹣6+m ），C 2（﹣2+m ） ∴（﹣6+m ）+（﹣2+m ）＝0 ∴m ＝4（12分）．。