备战中考数学培优专题复习二次函数练习题及答案

备战中考数学培优专题复习二次函数练习题及答案

一、二次函数

1．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=12x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.

（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；

（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；

（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求

C ′B+ 23C′D 的最小值．

【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D的最小值为4103．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A ，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．

如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．

∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32， 即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．

令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP=AGAF=EGPF=15．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．

∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3＝973．

∵423'23OMOC，'23OCOD，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCCD，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．

点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．

2．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求出C、D两点的坐标

（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+2，﹣2）.

【解析】

【分析】

（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．

（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．

（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．

【详解】

解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入

y＝ax2+bx﹣3可得 304233abab

解得12ab

∴y＝x2﹣2x﹣3

（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）

设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入

023kbkb

解得11kb

∴y＝﹣x﹣1

∴D（0，﹣1）

（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）

∴P点纵坐标为﹣2，

∴x2﹣2x﹣3＝﹣2

解得：x＝1±2，∵x＞0∴x＝1+2．

∴P（1+2，﹣2）

【点睛】

本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；

(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x 2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，

13m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；

（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．

【详解】

解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．

∴点A的坐标为(﹣3，0)．

设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x 1)(x﹣x 2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，

∴y＝a(x+3)(x﹣1)．

∵点C的坐标为(0，﹣1)，

∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，

∴抛物线的解析式为y＝13x 2+23x﹣1；

(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，

则点F的坐标为(m，13m 2+23m﹣1)

∴y＝(m+3)﹣( 13m 2+23m﹣1)＝﹣13m 2+13m+4 即y＝-13(m﹣12) 2+4912，

此时点E的坐标为(12，72)；

(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．

理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．

∴EG垂直平分CD

∴点E的纵坐标y＝132＝1，

将y＝1带入y＝x+3，得x＝﹣2．

∵EG关于y轴对称，

∴点G的坐标为(2，1)；

②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG

设点E的坐标为(n，n+3)，

点D的坐标为(0，3)

∴DE＝22(33)nn＝22n

∵DE＝DC＝4，

∴22n＝4，解得n1＝﹣22，n2＝22．

∴点E的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3)

将点E向下平移4个单位长度可得点G，

点G的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)

③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，

设点E的坐标为(k，k+3)，点C的坐标为(0，﹣1)．

∴EC＝22(0)(31)kk＝22816kk．

∵EC＝CD＝4，

∴2k2+8k+16＝16，

解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．

∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)

将点E上移1个单位长度得点G．

∴点G的坐标为(﹣4，3)．

综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．

【点睛】

本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线483yx与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物线24yaxaxc经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）抛物线的解析式为228833yxx； （2）t的值为3011或5013；

（3）t的值为103或6017或258；

（4）符合条件的点F存在，共有两个1F（4，8），2(227F，-8）.

【解析】

（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知36240{8aacc，解得2{38ac，

∴228833yxx.

(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，

①当△ADE∽△AOB时，ADAEAOAB，∴102610tt，∴3011t；

②当△AED∽△AOB时，AEADAOAB，∴102610tt，∴5013t；

综上所述，t的值为3011或5013.

(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴103t；

②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=31025t，∴61025tt，∴6017t；

③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=35t，∴61025tt，∴258t；

综上所述，t的值为103或6017或258.

(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴8FByy，求得x=4，∴F（4，8）；

②当AD为对角线时，则8FByy，∴2288833xx，解得227x，∵x﹥0，∴227x，∴227,8.

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个1F（4，8），2(227F，-8）.