备战中考数学培优专题复习二次函数练习题及详细答案

备战中考数学培优专题复习二次函数练习题及详细答案

一、二次函数

1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333yxx与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2323y=x+33；（-2，23）；（1,0）；

（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）E（-1，-433）、F（0，233）或E（-1，43-3），F（-4，1033）

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可

【详解】

（1）∵223432333yxx，a=233，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33；

联立两解析式求交点2234323332323y=x+33yxx，解得x=-2y=23或x=1y=0，

∴A（-2，23），B（1,0）；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，

在223432333yxx中，令y=0可求得x= -3或x=1，

∴C（-3,0），且A（-2，23），

∴AC=22-++2133=（23）（）

由翻折的性质可知AN=AC=13，

∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，

∴N在y轴上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得

DN=22AN-AD=13-4=3，

∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ ACK=∠ EFH，

在△ ACK和△ EFH中

ACK=EFHAKC=EHFAC=EF

∴△ ACK≌△ EFH， ∴FH=CK=1，HE=AK=23，

∵抛物线的对称轴为x=-1，

∴ F点的横坐标为0或-2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点的横坐标为0时，则F（0，233），此时点E在直线AB下方，

∴E到y轴的距离为EH-OF=23-233=433，即E的纵坐标为-433，

∴ E（-1，-433）；

当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

∵ C（-3,0），且A（-2，23），

∴线段AC的中点坐标为（-2.5， 3），

设E（-1，t），F（x，y），

则x-1=2×（-2.5），y+t=23，

∴x= -4，y=23-t，

23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，

∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-433）、（0，233）或E（-1，43-3），F（-4，1033）

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

2．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=12x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.

（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；

（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；

（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求

C ′B+ 23C′D 的最小值．

【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D的最小值为4103．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A ，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．

如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．

∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32， 即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．

令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP=AGAF=EGPF=15．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．

∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3＝973．

∵423'23OMOC，'23OCOD，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCCD，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．

点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．

3．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

【答案】（1）y=60-10x；（2）z=-110x2+40x+12000；（3）w=-110x2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；

（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；

（3）支出费用为20×（60﹣10x），则利润w=（200+x）（60﹣10x）﹣20×（60﹣10x），利用配方法化简可求最大值．

试题解析：解：（1）由题意得：

y=60﹣10x

（2）p=（200+x）（60﹣10x）=﹣2110x+40x+12000

（3）w=（200+x）（60﹣10x）﹣20×（60﹣10x）

=﹣2110x+42x+10800

=﹣110（x﹣210）2+15210

当x=210时，w有最大值．

此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,

4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？

（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？

【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085或2013．

【解析】

（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；

（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；

（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．

解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），

∵抛物线的顶点为A，

设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，

代入点C（3, 0），可得a＝－1．

∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）∵P（112t，４），

将112xt代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝2144t，