中考数学 二次函数 培优练习(含答案)附答案

中考数学 二次函数 培优练习(含答案)附答案

一、二次函数

1．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=12x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.

（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；

（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；

（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求

C ′B+ 23C′D 的最小值．

【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D的最小值为4103．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A ，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．

如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．

∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32， 即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．

令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP=AGAF=EGPF=15．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．

∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3＝973．

∵423'23OMOC，'23OCOD，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCCD，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．

点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．

2．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

【答案】（1）y=60-10x；（2）z=-110x2+40x+12000；（3）w=-110x2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；

（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；

（3）支出费用为20×（60﹣10x），则利润w=（200+x）（60﹣10x）﹣20×（60﹣10x），利用配方法化简可求最大值．

试题解析：解：（1）由题意得：

y=60﹣10x

（2）p=（200+x）（60﹣10x）=﹣2110x+40x+12000

（3）w=（200+x）（60﹣10x）﹣20×（60﹣10x）

=﹣2110x+42x+10800

=﹣110（x﹣210）2+15210

当x=210时，w有最大值．

此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

3．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C .

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.

①若点P的横坐标为12，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；

②直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ 31524，）；②△PQD面积的最大值为8

【解析】

分析：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：

309330abab＝＝，解得：12ab＝＝，

∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．

（2）（I）当点P的横坐标为-12时，点Q的横坐标为72，

∴此时点P的坐标为（-12，74），点Q的坐标为（72，-94）．

设直线PQ的表达式为y=mx+n， 将P（-12，74）、Q（72，-94）代入y=mx+n，得：

17247924mnmn＝＝，解得：154mn＝＝，

∴直线PQ的表达式为y=-x+54．

如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），

∴DE=-x2+2x+3-（-x+54）=-x2+3x+74，

∴S△DPQ=12DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．

∵-2＜0，

∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．

（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，

∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），

利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），

∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，

∴S△DPQ=12DE•（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．

∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．

∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+72；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．

4．在平面直角坐标系中，有两点,Aab、,Bcd，若满足：当ab时，ca，2db；当ab时，ca，db，则称点为点的“友好点”.

（1）点4,1的“友好点”的坐标是_______.

（2）点,Aab是直线2yx上的一点，点B是点A的“友好点”.

①当B点与A点重合时，求点A的坐标.

②当A点与A点不重合时，求线段AB的长度随着a的增大而减小时，a的取值范围.

【答案】（1）41,；（2）①点A的坐标是2,0或1,1；②当1a或322a时，AB的长度随着a的增大而减小；

【解析】

【分析】

（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B点坐标，A点又在直线2yx上，得到2ba；①当点A和点B重合，得2bb．解出即可，②当点A和点B不重合， 1a且2a．所以对a分情况讨论，1°、当1a或2a时，222313224ABbbaaa，所以当a≤32时，AB的长度随着a的增大而减小，即取1a．2°当12a时，22231+3224ABbbaaa，当32a时，AB的长度随着a的增大而减小，即取322a． 综上，当1a或322a时，AB的长度随着a的增大而减小．

【详解】

（1）点4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点4,1的“友好点”的坐标是41,

（2）Q点,Aab是直线2yx上的一点，

2ba．

Q2aa，根据友好点的定义，点B的坐标为2,Bab，

①当点A和点B重合，2bb．

解得0b或1b．

当0b时，2a；当1b时，1a，

点A的坐标是2,0或1,1．

②当点A和点B不重合，1a且2a．