中考数学培优专题复习二次函数练习题附答案解析
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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图所示，抛物线2yaxbxc的顶点为2,4M，与x轴交于A、B两点，且6,0A，与y轴交于点C．
1求抛物线的函数解析式；
2求ABC的面积；
3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】1 2134yxx；212；27334APCxS当时，有最大值，点P的坐标是153,4P．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式并代入已知点6,0A即可；
(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
(3)假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F，线段PF的长度即为两函数值之差，将APC的面积计算拆分为APFCPFSS即可.
【详解】
1设此函数的解析式为2()yaxhk，
∵函数图象顶点为2,4M，
∴2(2)4yax，
又∵函数图象经过点6,0A，
∴20(62)4a
解得14a，
∴此函数的解析式为21(2)44yx，即2134yxx； 2∵点C是函数2134yxx的图象与y轴的交点，
∴点C的坐标是0,3，
又当0y时，有21304yxx，
解得16x，22x，
∴点B的坐标是2,0，
则11831222ABCSABOC；
3假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F．
设,0Ex，则21,34Pxxx，
设直线AC的解析式为ykxb，
∵直线AC过点6,0A，0,3C，
∴603kbb，
解得123kb，
∴直线AC的解析式为132yx，
∴点F的坐标为1,32Fxx，
则221113332442PFxxxxx，
∴1122APCAPFCPFSSSPFAEPFOE
2221113393276(3)22424244PFOAxxxxx，
∴当3x时，APCS有最大值274， 此时点P的坐标是153,4P．
【点睛】
本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.
2．如图，抛物线y＝12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝213x-22x﹣2，顶点D的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（32，﹣54）．
【解析】
【分析】
（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x32对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线x32交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．
【详解】
（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y212xbx﹣2上，∴2112（）b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b32，∴抛物线的解析式为y21322xx﹣2．
y21322xx﹣212（x2﹣3x﹣4 ）21325228x（），∴顶点D的坐标为 （32528，）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，21322xx﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为 （32528，），∴抛物线的对称轴为x32．
∵抛物线y12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32对称．
∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322xx﹣2＝﹣2，则点C的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bkb，解得：122kb，∴y12x﹣2．
当x32时，y1352224，∴点M的坐标为（3524，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
3．抛物线2yxbxc（b，c为常数）与x轴交于点1,0x和2,0x，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。
（Ⅰ）当121,3xx时，求点A，点E的坐标； （Ⅱ）若顶点E在直线yx上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若11,0xb，当(1,0)P满足PAPE值最小时，求b的值。
【答案】（Ⅰ）0,3A，(1,4)E；（Ⅱ）214yxx；（Ⅲ）317b.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线yx上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；
（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点E的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时PAPE值最小，从而求出b的值.
【详解】
解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2yxbxc，
有10930bcbc。解得2,3bc
2223(1)4yxxx
(0,3),(1,4)AE
（Ⅱ）由222424bcbyxbxcx，得24,24bcbE
∵点E在直线yx上，2424bcb
221111(1)4244cbbb
2110,(1)44Ab
当1b时，点A是最高点此时，214yxx
（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)，有10bc
1cb
24,,(0,)24bcbEAc
2(2),,(0,1)24bbEAb ∴E关于x轴的对称点E为2(2),24bb
设过点A，P的直线为ykxt.把(0,1),(1,0)AbP代入ykxt，得(1)(1)ybx
把点2(2),24bbE代入(1)(1)ybx.
得2(2)(1)142bbb，即2680bb
解得，317b。
0,317bb舍去.
317b
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（5524,）；（4）符合条件的点F的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．
【解析】
【分析】
（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；
（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明； （3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；
（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD时，2122m，②当DF＝BD时，24522mm，③当BF＝DF时，22145mmm，m＝1，然后代入即可．
【详解】
（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，
将B（2，0）代入，
0＝a（2﹣1）2﹣1，
∴a＝1，
抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
将B（2，0）代入y＝kx+2，
0＝2k+2，
k＝﹣1，
∴直线BC的解析式：y＝﹣x+2；
（2）联立222yxyxx，
解得1113xy，2220xy，
∴C（﹣1，3），
∵A（1，﹣1），B（2，0），
∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）如图，作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．
∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，
∴点A与A'关于直线BC对称，
