第十章 误差椭圆
知识点
习题与解析
10.01 从已知点A确定点P的坐标(如图10-1所示)，观测了角度L、边长S，T为已
知方向，已知AP边边长为200m，测角和测边的中误差分别为
=2″，
S=3cm，试求待
定点P的点位中误差。
10.02 角
和
是怎样定义的?
、及
E之间有什么关系?
10.03 已知某平面控制网经平差后得出待定点P的坐标平差值ˆˆˆT
PPXXY
的协
因数阵为：
22
ˆ20
(/())
01XQdm
单位权中误差为
0ˆ
0.5
，试求该点的点位中误差。
10.04 已知某平面控制网经平差后得出待定点P的坐标平差值ˆˆˆT
PPXXY
的协
因数阵为：
22
ˆ20.5
(/())
0.53XQdm
单位权中误差为
0ˆ
0.5
，试求
=30°方向上的位差。 10.05 在某测边网中，设待定点P
1的坐标为未知参数，即
11ˆT
XXY
，平差后得
到ˆ
X的协因数阵为
75.015.015.025.0
XXQ，且单位权方差22
0ˆ
3.0cm
。
(1)计算P
1点纵、横坐标中误差和点位中误差；
(2)计算P
1点误差椭圆三要素
E、E、F；
(3)计算P
1点在方位角为90°方向上的位差。
10.06 在某测边网中，设待定点P
1的坐标为未知参数，即
11ˆˆˆT
XXY
，平差后得
到x的协因数阵为
25.125.025.075.1
XXQ
，且单位权中误差
0ˆ
2.0
cm。
(1)计算P
1点误差椭圆三要素
E、E、F；
(2)计算P
2点在方位角为45°方向上的位差。
10.07 已知平差后待定点P坐标的协因数和互协因数为
YXYX、Q、Q
Q则当
YXQ=0且
YX＞Q
Q时，P点位差的极大值方向为 ，
E= ；位差的极小值方向
为 ，
F= 。
10.08 已知某点P的坐标平差值的协因数阵为：
２００８矩 安阳师范学院学报 ２３
ＲＫＰＭ方法关于非线性椭圆边值问题的的误差估计
陶桂洪 ，宋叔尼 ，宋 贽
（１．沈阳农业大学理学院，辽宁沈阳１１０１６１；２．东北大学理学院，辽宁沈阳１１０００４）
［摘 要］通过重构核近似的基本原理简单介绍了重构核质点法（ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ ｋｅｒｎｅｌ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｍｅｓｈｆｒｅｅ ｍｅｔｈｏｄｓ，ＲＫＰＭ）．关 于非线性椭圆方程的Ｄｉｒｉｅｈｌｅｔ问题，结合重构核近似的理论误差估计，研究了在满足一定条件下的ＲＫＰＭ法对于该类问
题的解的误差估计， ［关键词］无网格法；误差估计；ＲＫＰＭ；Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题 ［中图分类号］０２４２．２ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７１ ５３３０（２００８）０２．００２３．０３
最近几年，一种新兴的数值计算方法——无
网格方法，引起了人们的重视，涌现了各种各样的
无网格方法．其中主要的有：漫射元法（ＤＥＭ），无
网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ法（ＥＦＧ），有限点法（ＦＰＭ），Ｈｐ云团
法（Ｈｐ ｃｌｏｕｄｓ），无网格局部边界积分方程法（ＭＬ—
ＢＩＥ），无网格局部Ｐｅｔｒｏｖ Ｇａｌｅｒｋｉｎ法（ＭＬＰＧ）等 ．
无网格方法可以克服网格的束缚，可以弥补有限
元的某些不足，该方法的形函数可以有任意阶次
的连续性，很容易满足问题的需要等等，现在的研
究重点集中于在不同领域的应用，是目前国内外
固体力学的热点研究领域之一 ．其中重构核质
点法（Ｒｅｒｏｄｕｃｉｎｇ Ｋｅｍｅｌ Ｐａａｉｃｌｅ Ｍｅｔｈｏｄ）是由Ｗ．Ｋ．
Ｌｉｕ等在重构核函数和小波理论基础上于１９９３年
首次提出的．该方法允许使用形函数通过核函数
变换方法达到函数积分的目的 ．
１ 重构核近似的误差估计
本文以区域Ｑ上定义的函数ｕ（ ）来进行说明
用ｕ （ ）来近似ｕ（ ）
ｕ （ ）＝ｌ （ 一竞）Ｃ（ ，鼋）ｕ（ ）ｄＱ Ｊ ｎ ∈Ｑ （１．１）
第３３卷第１２期
２００６年Ｉ２月 光电工程
Ｏｐｔｏ－Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｏ１．３３，Ｎｏ．Ｉ２
Ｄｅｃ ２００６
文章编号：１００３－５０１ｘ（２ｏ０６）ｌ２—０ｌ０卜０４
引 基于椭圆线轮廓度误差评定的椭圆提取方法
彭 凯‘，刘书桂 ，张雪飞 ，黄风山２
（１，天津大学精密测控技术与仪器国家重点实验室，天津３０００７２；
２．河北科技大学机械电子工程学院，河北石家庄０５００５４）
摘要：简要介绍了目标测头视觉坐标测量系统，分析了测量系统成像目标的图像特征。在此基础
上，提出了一种识别和提取ＣＣＤ图像中目标椭圆的新方法。该方法对ＣＣＤ图像中的每一个封闭 轮廓进行椭圆拟合，根据评价椭圆形状误差的线轮廓度大小来判定该轮廓是否为目标椭圆轮廓。 实际检测结果表明，该算法原理正确，易于编程实现，能有效剔除噪音图像，准确提取目标椭圆， 具有广泛的实用性
关键词：视觉坐标测量；椭圆线轮廓度误差；目标椭圆 中图分类号：ＴＰ３９ｌ 文献标识码：Ａ
Ｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ ｅｌｌｉｐｓｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃａｌ ｐｒｏｆｉｌｅ ｅｒｒｏｒ
ＰＥＮＧ Ｋａｉ ，ＬＩＵ Ｓｈｕ—ｇｕｉ ，ＺＨＡＮＧ Ｘｕｅ－￣ｉ ，ＨＵＡＮＧ Ｆｅｎ．ｓｈａｎ （１．Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆＰｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｍｅａｓｕｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ，
Ｔｉａｎｊｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３０００７２，Ｃｈｉｎａ； ２． Ｐ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｅｂｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５００５４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｖｉｓｉｏｎ ３Ｄ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｕｓｉｎｇ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｐｒｏｂｅ，ａｎｄ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｆｅａｔｕｒｅ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔａｒｇｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｅ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ａ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｒｅｃｏｇｎｉｚｅ ａｎｄ ｅｘｔｒａｃｔ ｔａｒｇｅｔ ｅｌｌｉｐｓｅｓ￣ｆｒｏｍ ａ ＣＣＤ ｉｍａｇｅ．Ｅｌｌｉｐｓｅ ｆｉｔｔｉｎｇ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｅａｃｈ ｃｌｏｓｅｄ ｃｏｎｔｏｕｒ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｃａｐｔｕｒｅｄ ｗｈｅｎ ｌａｒｇｅ ＯＩ。ｔｉｎｙ ｉｎｖａｌｉｄ ｃｏｎｔｏｕｒｓ ａｒｅ ｅｘｃｌｕｄｅｄ．Ａｎｄ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｉｓ ｃｏｎｔｏｕｒ ｉｓ ａ ｔａｒｇｅｔ ｅｌｌｉｐｓｅ ｏｒ ｎｏｔ ｉｓ
第５期 ２００８年ｌ２月 矿 山 测 量 ＭｌＮＥ ＳＵＲＶＥＹＩＮＧ Ｎｏ．５ Ｄｅｃ．２００８
利用Ｅｘｃｅｌ绘制误差椭圆的方法
王 永。，泥立丽 ，钟来星 （１．山东科技大学资源与土木工程系，山东泰安２７１０１９； ２．泰山学院数学与系统科学系，山东泰安２７１０００）
摘要：在测量平差课程中，误差椭圆是非常重要的一部分内容。Ｅｘｃｅｌ是Ｗｉｎｄｏｗｓ操作系统的一个
常用的办公软件，具有强大的数据计算和处理功能，而且可以实现数据的可视化。文中借助于Ｅｘｃｅｌ 的强大功能，生成了误差椭圆，结果表明该方法具有操作简单、清晰直观，令人满意。
关键词：Ｅｘｃｅｌ；误差椭圆；坐标转换；特征点
中图分类号：Ｐ２０９ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１００１—３５８Ｘ（２００８）０５—００４９—０３
在测量平差课程中，误差椭圆是非常重要的一
部分内容，在工程测量中，常常需要用它来评定待定
点的点位精度，了解待定点点位在哪一个方向上的 位差最大，在哪一个方向上的位差最小。通过误差
椭圆还可以求得待定点在任意方向上的位差，可以 较精确、形象且全面地反映待定点点位在各个方向
上误差的分布情况¨ 。Ｅｘｃｅｌ是Ｗｉｎｄｏｗｓ操作系统
的一个常用的办公软件，能进行复杂的数据计算和
处理，而且还具有强大的制图功能 。本文中笔者 借助于Ｅｘｃｅｌ的强大功能，绘制了误差椭圆图。
１ 绘制误差椭圆的基本思路
利用Ｅｘｃｅｌ绘制误差椭圆时，基本思路如下：
（１）已知数据 包括：已知的三角点坐标、位差极大值Ｅ、极小
值Ｆ、极大值方向Ｔ或 、误差椭圆的中心点（即待 定点）Ｐ（Ｘｐ，Ｙｐ）； （２）（参考文献７）如图１所示，以极值方向为坐标
轴建立直角坐标系ＥＰＦ，从Ｅ轴正方向开始，每隔３０度
在椭圆上取特征点，依次记为０，１，……，１１；仍以Ｐ点为 坐标原点建立坐标系ＸＰＹ，则Ｅ轴在坐标系ＸＰＹ中的
坐标方位角为 ，特征点０，１，……，ｌｌ在新坐标系中
