椭圆点差法

椭圆拓展（一）

椭圆内的中点弦 点差法

【学习重点】

1. 点差法的基本思想方法：设而不求

2. 点差法适用范围：斜率固定的平行线截二次曲线所得线段中点的轨迹，一般用于椭圆内的中点弦问题。（在圆内应该用特殊方法）

3. 点差法的核心：求直线斜率和中点弦坐标的等量关系。

【核心推论】

1.

过定点直线和封闭曲线恒有公共点的充要条件是定点在曲线内部或曲线上。

过定点直线和封闭曲线恒有两个公共点的充要条件是定点在曲线内部。

2.

斜率为k1的直线，交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k2，则k1•k2=b2a2。 斜率为k1的直线，交椭圆y2a2+x2b2=1 (a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k2，则k1•k2=a2b2。

3. 平行弦的中点轨迹方程是过原点的、一条无端点、取椭圆内部分的线段。

【重点例题解析】

例题 已知P(-3,0),过点P作直线l交椭圆x24+y2=1于A、B两点，求A、B的中点M的轨迹方程。

解析：此题是典型的利用“点差法”求解的题目。

解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x,y)

点差法的具体步骤：

1. 设交点和中点的坐标（设而不求）。

2. 代入两个交点的坐标。

3. 两式作差。

4. 利用平方差公式因式分解。

x124+y12=1x224+y22=1x12-x224+(y12-y22)=014(x1+x2)(x1-x2) +(y1+y2)(y1-y2)=014(x1+x2)+(y1+y2)(y1-y2)(x1-x2) =0

∴轨迹方程为：

14(2x)+(2y)•kAB=0

6.利用中点坐标公式，表示为x和y的关系。

7.根据题意，将AB的斜率替换为MP的斜率。

8.代入数据。

9.化简，并考虑范围。 14(2x)+(2y)•kMP=014(2x)+(2y)•yx+3=0 x2+3x+4y2=0(取x224+y22=1的内部）

1

圆锥曲线--- 点差法

1、椭圆141622yx的弦被点)1,2(P所平分，求此弦所在直线的方程.

2、椭圆221369xy的一条弦被(4,2)A平分,那么这条弦所在的直线方程是.

3、已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程．

4、已知直线y=－x+1与椭圆)0(12222babyax相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线02:yxl上，求此椭圆的离心率.

5、已知椭圆C的方程xy22431，试确定m的取值范围，使得对于直线4yxm，椭圆C上有不同两点关于该直线对称.

6、在抛物线24yx上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.

7、已知P、Q是椭圆C：12422yx上的两个动点，)26,1(M是椭圆上一定点，F是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列.

求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

8、已知椭圆1257522xy的一条弦的斜率为3，它与直线21x的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标。

9、过点M（-2,0）的直线m与1222yx交于21,PP,线段21PP的中点为P,设直线m的斜率为),0(11kk直线OP的斜率为2k，则21kk的值为

10、椭圆122byax与直线xy1交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为23，ba的值为 2

11、过椭圆14922yx内一点M（2,0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是

12、点P（8,1）平分双曲线4422yx的一条弦，则这条弦所在的直线方程

13、已知椭圆2222yx及椭圆外一点（0,2），过这点任意引直线与椭圆交于点A、B，求弦AB的中点P的轨迹方程。

1 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.

同理可证，在椭圆12222aybx（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.

典题妙解

20．(2013课标全国Ⅱ卷)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1xyab(a＞b＞0)右焦点的直线30xy交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

2 20. （2015年全国高考II卷）已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（II）若l过点(3m，m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.

在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb

（1） 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；

变式：（1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______

3

附：几大典型易错题

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

第 7 讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用 x2 y2 定理 在椭圆 1（ a ＞ b ＞0）中，若直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点，点 P x0 y 0 a2 b2 y0 b2 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 k MN 2 . x0 a 证明：设 M、N 两点的坐标分别为 x1 y1 、 x 2 y 2 ， x1 2 y1 2 2 2 1 1 a b 则有 2

2 x 2 y 2 1. 2 a2 b2 x x y y 2 2 2 2 1 2 ，得 1 2 2 1 2 2 0. a b y 2 y1

y 2 y1 b2 ∴ 2. x 2 x1 x 2 x1 a y 2 y1 y1 y 2 2 y y y b2 又 k MN .

∴ k MN 2 . x 2 x1 x1 x 2 2 x x x a x2 y2 同理可证，在椭圆 1 a

＞ b ＞0） 若直线 l 与椭圆相交于 M、 两点， P x0 y 0 （ 中，

N 点 b2 a2 y0 a2 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 k MN 2 . x0 b 典题妙解 y2 例 1 设椭圆方程为 x 1 ，过点 M 01 的 2 4 直线 l 交椭圆于点 A、B，O 为坐标原点，点 P 满足 1 1 1OP OA OB ，点 N 的坐标为 .当 l

绕点 2 2 2 M 旋转时，求： （1）动点 P 的轨迹方程； （2）

NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点 P 的坐标为 x y .由平行四边形法则可知：点 P 是弦 AB 的中点 .焦点在 y 上， a 4

b 1. 假设直线 l 的斜率存在. 2 2 y a2 y 1 y由 k AB 2 得： 4. x b

x x整理，得： 4 x y y 0. 2 2当直线 l 的斜率不存在时，弦 AB 的中点 P 为坐标原点 O 00 ，也满足方程。∴ 所求的轨迹方程为