2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题(含答案解析)
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2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．设复数z满足21iz，则z的共轭复数为（ ）
A．1i B．1i C．1i D．1i
【答案】B
【解析】先利用复数除法的公式化简z,再求共轭复数即可.
【详解】
2121111iziiii,故z的共轭复数为1i.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型.
2．已知集合3Axx，2log0Bxx，则（ ）
A．13ABxx B．AB
C．{|3}ABxxU D．1ABxx
【答案】A
【解析】根据对数不等式的解法求集合B,再分析交集并集即可.
【详解】
2log01Bxxxx.故13ABxx,ABRU.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型.
3．执行图中所示程序框图，若输入14p，则输出结果为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】根据程序框图逐步运行求解即可.
【详解】
由框图知：输入14p,1,1nS,
1. 14S判定为是, 11122S,2n.
2. 14S判定为是, 111244S,3n
3. 14S判定为否,输出3n.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.
4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）
A．他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变
B．他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人
C．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg）
D．他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg
【答案】D
【解析】根据饼图逐个选项计算分析即可.
【详解】
对A,易得们健身后,体重在区间[90kg,100kg）内的人数占比均为0040,故A正确.
对B,体重在区间[100kg,110kg）内的人数减少了000000503020,即0020204人.
故B正确.
对C,因为健身后[80kg,90kg）内的人数占0030,[90kg,100kg）内的人数占0040,故中位数位于[90kg,100kg）.故C正确.
对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg,减肥后为109kg依然满足.故D错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型.
5．已知数列321121,,,,nnaaaaaaaL是首项为8，公比为12的等比数列，则4a等于（ ）
A．8 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【解析】由题可列出3241123,,,aaaaaaa的值再累乘计算即可.
【详解】
由题, 32411238,4,2,1aaaaaaa,故32441123842164aaaaaaaa.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.
6．某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（ ）
A．15 B．715 C．815 D．45
【答案】C
【解析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可.
【详解】
由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010.
故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生.
即抽到的10人中,有男生4人,女生6人,
再从这10位学生中随机抽取2人座谈,
基本事件总数21045nC,
2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624mCC,
故2人中既有男生又有女生的概率2484515mpn.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型.
7．已知定义在R上的奇函数fx满足(1)(3)0fxfx，若(1)2f，则(1)(2)(3)(2019)ffffL（ ）
A．2 B．0 C．2 D．2020
【答案】B
【解析】根据奇偶性与(1)(3)0fxfx可得函数fx的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)ffff即可.
【详解】
因为奇函数fx满足(1)(3)0fxfx,即(1)(3)(3)fxfxfx.
故fx周期为4.故(1)(2)(3)(2019)ffffL,因为20194504......3.故原式
504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)fffffff.
令0x,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2fffff.
令1x,则(11)(31)02(2)0(2)0ffff.
又奇函数fx故(4)00ff.
故
504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020fffffff.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.
8．已知函数()2sin()(0,||)fxx的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2AB，则的值为（ ）
A．56 B．56 C．6 D．6
【答案】D
【解析】根据图像判断函数的周期,从而确定的值,再代入对应的点求得即可.
【详解】
由图像可知,周期22T.即()2sin(2)fxx,代入0,1可知,
12sin.
因为||,故6π或56.又由图可得,0x在最高点的左侧,所以6π.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知的范围.属于中等题型.
9．北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是
（ ）（保温带厚度忽略不计）
A．14 B．14 C．221414 D．22116116
【答案】D
【解析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可.
【详解】
由题,作''APBD于P.
根据题意可知'BP宽为带宽的四分之一即1414,又水管直径为4 cm.
故4AP.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是
2222'1116cos''11614BPABPBA.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.
10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．823
【答案】A
【解析】由题意可知该三棱锥底面是边长为2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.
【详解】
由题意可知该三棱锥底面是边长为2的等腰直角三角形,高为2.
故外接球直径为222+2=22.故外接球表面积22224482SR.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.
11．如图，已知双曲线22221(0)xybaab的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若12AFF△的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）
A．233 B．54 C．53 D．322
【答案】C
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)Fc，设双曲线的一条渐近线方程为byxa，可得直线2AF的方程为()byxca，联立双曲线的方程可得A的坐标，设1||AFm，2||AFn，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a，c的方程，结合离心率公式可得所求值．
【详解】
设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)Fc，
设双曲线的一条渐近线方程为byxa，
可得直线2AF的方程为()byxca，与双曲线22221(0)xybaab联立，
可得22(2caAc，22())2bacac，
设1||AFm，2||AFn，
由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422bbcamnccac，
化简可得2442cmnaca①
由双曲线的定义可得2mna②
在三角形12AFF中22()sin2bcanac，(为直线2AF的倾斜角），
由tanba，22sincos1，可得22sinbbcab，
可得222cana，③
由①②③化简可得223250caca，
即为(35)()0caca，
可得35ca，则53cea．
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程
