2020年湖南省永州市高考数学三模试卷(文科) (含答案解析)

2020年湖南省永州市高考数学三模试卷(文科)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 集合𝑈={0,1，2，3，4，5}，𝐴={1,2}，𝐵={𝑥∈𝑁|𝑥2−3𝑥≤0}，则∁𝑈(𝐴∪𝐵)=( )

A. {𝟎,1,2，𝟑} B. {𝟎,4,𝟓} C. {𝟏,2,𝟒} D. {𝟒,𝟓}

2. 已知𝑧𝑖𝑖−1=𝑖+1，则复数z在复平面上所对应的点位于( )

A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 第一象限 D. 第二象限

3. 如图，茎叶图中表示的一组数据的众数恰为84，则这组数据的中位数为( )

A. 84 B. 85 C.

85.5 D. 86

4.

要得到函数𝑓(𝑥)=cos(2𝑥−𝜋6)的图像，只需将函数𝑔(𝑥)=sin2𝑥的图像( )

A.

向左平移𝜋6个单位 B. 向右平移𝜋6个单位

C. 向左平移𝜋3个单位 D. 向右平移𝜋3个单位

5. 已知𝑎=(13)25，𝑏=(25)−13，𝑐=log213，则 ( )

A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑐<𝑏<𝑎 C. 𝑏<𝑐<𝑎 D. 𝑐<𝑎<𝑏

6. 已知向量𝑎⃗ =(1,√3)，向量𝑎⃗ ,𝑐⃗ 的夹角是𝜋3，𝑎⃗ ⋅𝑐⃗ =2，则|𝑐⃗ |等于( )

A.

−2 B. 4

C. 2 D. −4

7.

若在区间[0,2]上随机取两个数，则这两个数之和小于3的概率是( )

A. 78 B. 38 C. 58 D.

18

8. 双曲线𝑦23−𝑥2=1的渐近线方程为(

)

A. 𝑦=±√3𝑥 B. 𝑦=±√33𝑥 C. 𝑦=±2𝑥 D. 𝑦=±2√33𝑥

9. 函数𝑓(𝑥)=2cos𝑥+cos2𝑥+2(𝑥∈𝑅)的最大值是( )

A. 12 B. 5 C. 6 D. 1 10. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器--商鞅铜方升，一个爱好者根据该标准量器制作了一个几何体模型，该几何体的三视图如图所示(单位：寸)，若几何体体积为13.5(立方寸)，(𝜋取3)，则图中x的为( )

A. 2.4 B. 1.8 C. 1.6 D. 1.2

11. 已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，若当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=−log2(−2𝑥)，则𝑓(32)=( )

A. −32 B. −6 C. 6 D. 64

12. 已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，椭圆的右顶点为A，点P在椭圆上，且𝑃𝐹1⊥𝑥轴，直线AP交y轴于点Q，若𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率等于( )

A. 12 B. 13 C. √22 D. √23

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 曲线𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥+1在点(0,𝑓(0))处的切线方程为______．

14. 在ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c，若𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶，则△𝐴𝐵𝐶是______ 三角形．

15. 在正项等比数列{𝑎𝑛}中，有𝑎1𝑎3+2𝑎2𝑎4+𝑎3𝑎5=16，则𝑎2+𝑎4=______．

16. 将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．

(1)在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；

(2)在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在公差不为零的等差数列{𝑎𝑛}中，若首项𝑎1=1，𝑎4是𝑎2与𝑎8的等比中项．

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)求数列{2𝑛⋅𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛．

18. 如图，在直角梯形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，且𝐵𝐶=2𝐴𝐷=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使𝐴𝐸⊥𝐶𝐹，得到如下的立体图形．

(1)证明：平面𝐴𝐸𝐹𝐷⊥平面EBCF；

(2)若𝐵𝐷⊥𝐸𝐶，求点F到平面ABCD的距离．

19. 某品牌奶茶公司计划在A地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数x与平均每个店的月营业额𝑦(万元)具有如表所示的数据关系： x 2 4 6 8 10

y 20.9 20.2 19 17.8 17.1

(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程；

(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则A地开设加盟店的个数不能超过几个？

参考公式：线性回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为𝑏̂=∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥−)(𝑦𝑖−𝑦−)∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥−)2，𝑎̂=𝑦−−𝑏̂𝑥−

20. 已知点M为直线𝑙1：𝑥=−1上的动点，𝑁(1,0)，过M作直线𝑙1的垂线，交MN的中垂线于点P，记P点的轨迹为C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线𝑙2：𝑦=𝑘𝑥+𝑚与圆E：(𝑥−3)2+𝑦2=6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线𝑙2的方程．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥+𝑎−1．

(1)若𝑓(𝑥)的极值为𝑒−1，求a的值；

(2)若𝑥∈[𝑎,+∞)，则𝑓(𝑥)≥0恒成立，求a的取值范围．

22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为𝜌(sin𝜃+√3cos𝜃)=4√3，若射线𝜃=𝜋6，𝜃=𝜋3分别与l交于𝐴,𝐵两点．

(1)求|𝐴𝐵|；

(2)设点P是曲线𝐶:𝑥2+𝑦29=1上的动点，求𝛥𝐴𝐵𝑃面积的最大值．

23. 已知𝑎2+𝑏2=1．

(1)求证：|𝑎−𝑏|≤|1−𝑎𝑏|；

(2)若𝑎⋅𝑏>0，求(𝑎+𝑏)⋅(𝑎3+𝑏3)的最小值．

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．

求出集合B的等价条件，结合补集并集的定义进行计算即可．

解：𝐵={𝑥∈𝑁|0≤𝑥≤3}={0,1，2，3}，

则𝐴∪𝐵={0,1，2，3}，

则𝐶𝑈(𝐴∪𝐵)={4,5}，

故选D．

2.答案：B

解析：

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面上所对应的点的坐标得答案．

解：由𝑧𝑖𝑖−1=𝑖+1，得𝑧𝑖=(1+𝑖)(𝑖−1)=−2，

∴𝑧=−2𝑖=2𝑖−𝑖2=2𝑖，

∴复数z在复平面上所对应的点的坐标为(0,2)，位于虚轴上，

故选：B．

3.答案：B

解析：

本题考查了借助茎叶图求样本数据的众数、中位数，属于基础题．

根据数据众数为84，得𝑡=4，然后把数据从小到大排列，根据中位数定义求出中位数即可． 解：因为数据众数为84，所以𝑡=4，

数据从小到大排列：79，84，84，84，86，87，93，93所以中位数为84+862=85.

故选B.

4.答案：A

解析：

本题主要考查函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．

由题意利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论．

解：将函数𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥=cos(2𝑥−𝜋2)的图象向左平移𝜋6个单位，可得函数𝑓(𝑥)=cos(2𝑥−𝜋6)的图象，

故选：A．

5.答案：D

解析：

本题考查比较大小、对数函数与指数函数的单调性，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．

利用对数函数与指数函数的单调性即可得出结果．

解：因为𝑎=(13)25∈(0,1)，𝑏=(25)−13>(25)0=1，𝑐=log213<0，

所以𝑐<𝑎<𝑏．

故选D．

6.答案：C

解析：

本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．

根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．

解：∵向量𝑎⃗ =(1,√3)，

∴|𝑎⃗ |=√12+(√3)2=2； 又向量𝑎⃗ ,𝑐⃗ 的夹角是𝜋3，𝑎⃗

⋅𝑐⃗

=2，

∴|𝑎⃗ |⋅|𝑐⃗ |⋅cos𝜋3=2|𝑐⃗ |⋅12=2，

∴|𝑐⃗ |=2．

故选：C．

7.答案：A

解析：解：如图，在区间[0,2]上随机取两个数为x，y，则不等式组{0≤𝑥≤20≤𝑦≤2，表示的平面区域为边长是2的正方形OACE区域，面积为4.又𝑥+𝑦<3，所以所求概率𝑝=𝑆阴𝑆正=2×2−12×1×12×2=78．

故选：A．

由题意，本题属于几何概型，首先画出变量对应的区域，利用区域面积的比求概率．

本题考查了几何概型的概率求法；主要明确几何概型对应变量对应的区域面积，利用面积比求概率即可．

8.答案：A

解析：解：双曲线𝑦23−𝑥2=1，

其渐近线方程𝑦23−𝑥2=0，

整理得𝑦=±√3𝑥.

故选：A．

把双曲线𝑦23−𝑥2=1其渐近线方程是方程𝑦23−𝑥2=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．

9.答案：B

解析：解：𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥+2=2𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑐𝑜𝑠2𝑥−1+2=2(cos2𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥+14)+12=2(𝑐𝑜𝑠𝑥+12)2+12，