最新高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580

高三复数的知识点归纳总结复数在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到实数的扩充，提供了更广阔的数学思维空间。

复数的理解和运算是高三数学学习中必备的知识点，下面对高三复数的知识点进行归纳总结。

1. 复数的定义和表示方法复数由实部和虚部组成，用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

实部和虚部都是实数。

实部为0时，复数为纯虚数，形如bi。

虚部为0时，复数为实数，形如a。

2. 复数的相等性两个复数相等的条件是它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d。

3. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只需将实部和虚部分别相加或相减即可。

4. 复数的乘法复数的乘法遵循分配律和乘法公式。

当两个复数相乘时，将实部和虚部按照乘法公式展开计算，并应用i^2=-1进行简化。

5. 复数的除法复数的除法通过乘以共轭复数实现。

将除数和被除数同时乘以除数的共轭复数，并应用i^2=-1进行简化。

6. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，用|z|表示，其中z=a+bi为复数。

复数的模定义为|z|=√(a^2+b^2)。

7. 复数的幅角复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角，用arg(z)表示，其中z=a+bi为复数。

复数的幅角可以用三角函数计算，即arg(z)=arctan(b/a)。

8. 欧拉公式欧拉公式是复数运算中的一个重要公式，它建立了复数与三角函数之间的联系。

欧拉公式表示为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e为自然对数的底，i为虚数单位。

9. 求解复数方程求解复数方程时，可以利用已学的代数方法解方程，例如使用因式分解、配方法等。

在解方程的过程中，要注意实部和虚部分别相等。

10. 复数的应用复数在高等数学和物理学中有广泛的应用，例如电路分析、信号处理、谐振等领域。

复数的运算和性质为求解和分析这些问题提供了便利。

通过对高三复数的知识点进行归纳总结，我们对复数的定义和表示、加减乘除运算、模和幅角、欧拉公式以及应用有了更深入的理解。

复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。

新高考数学复数知识点总结数学，作为一门重要的学科，对于每一个学生来说都至关重要。

而在数学中，复数是一个重要的概念，它有着广泛的应用和深远的意义。

本文将对新高考中的复数知识点进行总结。

一、复数的定义和表示方式复数是由实数和虚数单位i组成的数。

其中，虚数单位i满足i^2 = -1。

复数一般用a+bi的形式表示，其中a为实部，bi为虚部。

二、复数的基本运算1. 复数的加法和减法对于两个复数a+bi和c+di，它们的加法和减法分别为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2. 复数的乘法对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘法为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

3. 复数的除法对于两个复数a+bi和c+di，它们的除法为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

三、复数的共轭与模1. 复数的共轭对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。

共轭复数的实部相同，虚部符号相反。

2. 复数的模对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)，即复数与原点的距离。

四、复数的乘方和根式1. 复数的乘方对于复数a+bi，它的n次幂为：(a+bi)^n = [(a^2+b^2)^(n/2)] * (cos(nθ) + sin(nθ)i)，其中θ为复数的辐角。

2. 复数的开方对于复数a+bi，它的平方根为：√(a+bi) = ±[√(√(a^2+b^2)+a)/2] + ±[√(√(a^2+b^2)-a)/2]i。

五、复数与方程1. 一元二次方程对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，其中a、b、c为实数且a≠0，如果它的解不是实数，那么方程有两个共轭复数解。

2. 方程组对于形如ax+by=c和dx+ey=f的方程组，其中a、b、c、d、e、f 为实数且ad-be≠0。

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

数学总结复数知识点归纳一、复数的定义复数是数学中一种特殊的数。

它由实部和虚部组成，通常写成a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

例如，3+4i就是一个复数，其中实部是3，虚部是4。

复数既可以用代数形式表示，也可以用几何形式表示。

二、基本运算1. 复数加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数乘法：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad+bc)i4. 复数除法：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)= (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)i/(c²+d²)三、幂指数形式1. 复数的幂指数形式表达：z = r(cosθ + isinθ) = r(e^(iθ))2. 复数的乘幂：z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ)) = r^n(e^(inθ))3. 复数的根：z^(1/n) = (r^(1/n))(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))四、三角形式1. 三角形式的定义：z = r(cosθ + isinθ) = r∠θ2. 三角形式的加法：z₁ + z₂ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) + r₂(cosθ₂ + isinθ₂)= (r₁cosθ₁ + r₂cosθ₂) + i(r₁sinθ₁ + r₂sinθ₂)= r(cosθ+ isinθ)3. 三角形式的乘法：z₁ * z₂ = r₁∠θ₁ * r₂∠θ₂= r₁r₂∠(θ₁+θ₂)五、欧拉公式欧拉公式是数学中非常重要的公式，也被称为数学中最美丽的公式之一，它将三角函数、指数函数和虚数单位联系在了一起。

复数全章知识点一、知识概述《复数》①基本定义：复数就是把实数和虚数合在一起的数。

比如，3是实数，但如果写成3 + 0i，这就是复数了。

其中i是虚数单位，规定i的平方等于-1。

就好像有一个神秘的数字世界，原本只有像1、2、3这些实实在在能看到摸到的实数，但科学家为了解决一些问题，发现还得有像i这么个神奇的东西，当它和实数组合起来就成了复数。

②重要程度：在数学学科里可是非常重要的，很多数学问题，特别是和方程、函数相关的，如果没有复数的概念，就没办法完整解决。

像在高等数学、物理学中的交流电计算等领域它可都是大功臣。

③前置知识：要掌握好实数的知识，像有理数、无理数，它们的运算规则，四则运算这些基本功。

因为复数也会用到实数的运算规则。

④应用价值：在电工学里，计算交流电的时候，如果只考虑实数，很多计算是没办法进行的。

因为交流电是有相位差的，而这个相位差就是复数里虚数部分在现实中的体现。

在信号处理里，也经常用到复数，把信号分解成实部和虚部来分别处理。

二、知识体系①知识图谱：复数在数学学科里算是数系扩充后的内容，它是实数系的扩展。

如果我们把数系比作一个家族，实数是家族的一大部分，那复数就是把这个家族又扩大了一些，把像i这种很奇怪的成员也包含进来了。

②关联知识：和方程、函数特别是多项式函数有很大联系。

许多多项式方程在实数范围内无解，但在复数范围内就有解了。

还和向量有点联系。

可以把复数看成一种特殊的向量，实部和虚部分别是向量的两个分量。

③重难点分析：- 掌握难度：我刚学的时候觉得有点难的就是虚数单位i这个概念，有点抽象。

它不像实数那么直观。

- 关键点：理解复数的实部、虚部，还有i的平方等于-1这条铁律。

能熟练进行复数的四则运算。

④考点分析：- 在考试中，如果是基础数学考试，会重点考查复数的基本运算，像加、减、乘、除。

比如出一道题让你计算(2 + 3i)+(1 - 2i),这种简单的计算。

如果是稍难一点的或者高等数学考试，会考查复数在方程中的应用，比如解一个在实数内无解的二次方程在复数范围内的解。

专题一复数一．基本知识㈠复数的基本概念⑴ i 叫虚数单位，规定：① i 2=﹣ 1, ②实数的一切运算法则对 i 都成立。

⑵ i 的正整数指数幂的化简i 4n =i4n+1=i4n+2=i4n+3=⑶形如 ab，它的平方等于－，+ i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为 i1其中 a 叫做复数的实部， b 叫做虚部 . ①实数：当 b = 0 时复数 a + b i 为实数 ②虚数：当时的复数 a + bi 为虚数；③纯虚数：当 a = 0 且时的复数 a + b i 为纯虚数 .⑷两个复数相等的定义：a+bi=c+di ?a=c 且 b=d ;a+bi=0 ?a=0 且 b=0.强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。

⑸共轭复数： z a bi 的共轭记作 za bi ；⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； z a bi ，对应点坐标为 p a,b；（象限的复习）⑺复数的模：对于复数 z a bi ，把 z a 2b 2 叫做复数 z 的模；㈡复数的基本运算设 z 1 a 1 b 1i ， z 2 a 2 b 2i（ 1） 加法： z 1 z 2a 1a 2b 1 b 2 i ；（ 2） 减法： z 1 z 2 a 1 a 2 b 1 b 2 i ；（ 3） 乘法： z 1 z 2 a 1a 2b 1b 2a 2b 1 a 1 b 2i 特别 z za 2b 2 。

（4） 除法：c di c di a biac bdadbc iza bi a bia 2b 2=a bi二． 例题分析【例 1】已知 za 1b 4 i ，求（ 1） 当 a, b 为何值时 z 为实数 （ 2） 当 a, b 为何值时 z 为纯虚数 （ 3） 当 a, b 为何值时 z 为虚数（ 4） 当 a, b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式 1】若复数为纯虚数，则实数的值为（）A ．B ．CD ．或（2）（ 2012 北京文 2）在复平面内，复数10i 对应的点的坐标为（ ）3 i（A ） (1,3)（ B ） (3,1) （ C ） ( 1,3) （ D ） (3, 1)【例 2】已知 z 1 3 4i ； z 2 a 3 b 4 i ，求当 a, b 为何值时 z 1=z 2【例 】已知 z1 i ，求z ， z z ；3【变式 1】 复数 z 满足 z2 i，则求 z 的共轭 z1 i－ 3+i (2 ）（ 2012 年新课标全国文2）复数 z ＝2+i 的共轭复数是（ ）（ A ） 2+i（ B ） 2－ i（C ）－ 1+i（ D ）－ 1－i3 i ，则 z ? z =（）【变式 2】（ 2010 年全国卷新课标） 已知复数 z3i) 2(1A.1B.1 42【例4】已知z 12 i ， z 23 2i（ 1） 求 z 1z 2 的值；（ 2） 求 z 1 z 2 的值；（ 3） 求 z 1 z 2 .【变式 1】已知复数 z 满足 z 2 i1 i ，求 z 的模 .【变式 2】若复数 1 ai 2是纯虚数，求复数 1 ai 的模 .【例 5】若复数 za3ia R （i 为虚数单位），1 2i（ 1） 若 z 为实数，求 a 的值（ 2） 当 z 为纯虚，求 a的值 .1. (2012年山东 1) 若复数 z 满足 z(2 i ) 11 7i(i 为虚数单位 ) ，则 z 为 （）(A)3+5i (B)3－ 5i(C) － 3+5i(D) － 3－ 5i2. （ 2013 全国理 2）若复数z 满足3 4i z 43i则 z 的虚部为（）（ A ）4（ B ）4（ C ） 4 45（ D ）53． (2013 北京，文 4) 在复平面内，复数 i(2 － i) 对应的点位于 ( ) ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限1 2i 4.(2013 课标全国Ⅰ，文 2)1 i2 ＝ () ．1 1 i1+ 1i1+ 1i1 1iA ．2B ．2C ．2D ．25． (2013 山东，文 1) 复数 z ＝2i 2(i 为虚数单位 ) ，则 | z | ＝ () ．iA ． 25B ．41 C ． 5 D ． 56.(2014 北京 9) 若 x i i1 2i x R ，则 x.7. （ 2014 年全国文 3）设 z1 i ，则 | z |i1A.1B.2 C.3 D. 22228. （ 2014 山东文 1）已知 a,b R ， i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则(a bi )2（A ） 54i （ B ） 5 4i （ C ） 3 4i （ D ） 3 4i【例 6】（20122的四个命题：其中年全国卷新课标）下面是关于复数 z1i的真命题为（）p1 : z 2 p2 : z22i p3 : z 的共轭复数为 1i p4 : z 的虚部为1 ( A) p2, p3 (B) p1, p2 (C ) p , p(D ) p , p【变式 1】设a是实数，且a 1 i是实数，求 a 的值..1i2【变式 2】若z y3ix, y R 是实数，则实数xy的值是. 1xi【例 7】复数 z cos3 i sin3 对应的点位于第象限【变式 1】是虚数单位 , 等于 ()A．i B．-iC． 1D．-1【变式 2】已知 =2+i, 则复数 z=（）（ A） -1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i【变式 3】 i 是虚数单位，若，则乘积的值是（ A）－ 15（B）－3（C）3（D）15【例 8】（2012 年天津）复数z7i =（）3i（ A） 2 i（Ｂ） 2 i（Ｃ） 2i（Ｄ） 2 i【变式 4】（ 2007 年天津）已知i是虚数单位，2i3（）1 i Ａ 1 iＢ 1 iＣ 1 iＤ． 1 i【变式 5】 . （ 2011 年天津）已知i是虚数单位，复数13i =（）1i2 i2iC 1 2iD1 2iA B【变式 6】（ 2011 年天津）已知 i 是虚数单位，复数13i（）12i(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)-5-5i (D)-1－ i【变式 7】 . （ 2008 年天津）已知i是虚数单位，则i3i1（）i1(A) 1 (B)1(C)i(D)i。

高三数学复数知识点总结
嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠高三数学复数的那些知识点！
复数啊，就像是数学世界里的小精灵，有点神秘但又超级有趣！比如说，3+4i，这就是一个复数啦，这里面 3 就是实部，4i 就是虚部。

这就好像一
个团队，实部是超级靠谱的队长，虚部就是很有特色的队员。

复数的四则运算是不是有时候让你有点头疼呢？其实啊，就把它想象成搭积木，加就是往上堆，减就是拿走几块，乘就像是把积木变多变大，除就比较麻烦点啦，得慢慢调整。

咱再说说复数的共轭复数，嘿，这就好像是它的影子。

比如 3+4i 的共轭复数就是 3-4i。

“哎呀，这复数咋这么难啊！”别着急，同学。

你看，我们一点点来，就像是爬山，一步一步总能爬到山顶。

老师不是常说嘛，“慢慢来，比较快！”咱就把复数的知识点一个一个搞定，多做几道题，多思考思考，它就会变得乖乖的啦！
复数在生活中也有很多应用哦，就像工程师用复数来分析电路啊，信号处理啊等等。

你想想，要是没有复数，那这些领域该多麻烦啊！
所以啊，同学们，复数虽然有点小复杂，但它真的超级重要啊！咱可不能怕它，而要勇敢地去面对它，征服它！高三的时光虽紧张，但我们也要笑着面对数学里的这些挑战呀，加油！到最后你会发现，哇塞，原来我也可以这么厉害呀！我觉得啊，只要我们认真去学，就一定能学好复数，一定能在数学的海洋里畅游无阻！。

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580专题二 复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

高中数学复数知识点归纳哎呀呀，说到高中数学的复数，这可真是个让人又爱又恨的家伙！你想想看，复数就像是一个神秘的小世界，藏着好多有趣又有点复杂的知识。

首先，啥是复数？简单说，复数就是形如a + bi 的数，这里的a 和b 可都是实数，i 呢，就是那个神奇的虚数单位，i² = -1 。

这就好比我们平时玩的游戏，a 是我们熟悉的“常规武器”，b 就是那个神秘的“魔法道具”，而i 就是打开魔法世界的钥匙！复数的实部和虚部，那可是它的“左膀右臂”。

实部a 决定了它在实数世界的位置，虚部b 则带着它在虚数的世界里遨游。

比如说，3 + 4i ，3 就是实部，4 就是虚部。

你说这是不是很有趣？再来说说复数的四则运算。

加法和减法，那就像是小伙伴们一起排队，实部和实部相加相减，虚部和虚部相加相减。

比如（3 + 4i）+ （2 - 3i），那不就是3 + 2 作为实部，4 - 3 作为虚部，结果就是5 + i 嘛！乘法呢，那就有点像搭积木，得把它们展开再合并同类项。

除法可就有点难啦，得先把分母实数化，这就好比要把一个歪歪扭扭的积木块变成方方正正的好处理。

复数的几何意义也很神奇哟！它在复平面上的坐标就是（a，b），这就像是给复数安了个家，让我们能清楚地看到它在哪里。

还有共轭复数，就像双胞胎一样，一个是a + bi ，另一个就是a - bi 。

它们总是形影不离，在计算中也经常能派上用场。

老师在课堂上讲复数的时候，我同桌还一脸懵呢，悄悄问我：“这玩意儿到底有啥用啊？”我就告诉他：“这就好比你在黑暗中找路，复数就是那盏明灯，能帮你找到方向！”你说，复数是不是很有意思？反正我觉得它就像一个充满神秘宝藏的迷宫，等着我们去探索，去发现其中的奥秘！我的观点就是，虽然复数的知识有点复杂，但是只要我们用心去学，多做练习，一定能把它拿下！。

高三复数知识点总结
1. 复数的定义
复数是数学中的一种概念，用来表示具有实部和虚部的数。

通
常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，而i是虚数单位。

2. 复数的运算
- 加法：将两个复数的实部和虚部分别相加。

- 减法：将第二个复数的实部和虚部分别取相反数，然后与第
一个复数相加。

- 乘法：根据分配律，将两个复数进行分别相乘，然后将结果
相加。

- 除法：将两个复数的分子和分母都乘以第二个复数的共轭复数，然后将结果进行化简。

3. 复数的性质
- 共轭复数：将复数的虚部取相反数，得到的数称为共轭复数。

- 大小比较：将两个复数的模进行比较，模较大的复数称为“大”。

4. 复数的应用
复数在许多领域都有广泛的应用，包括电路分析、信号处理、量子力学等。

在这些领域中，复数用来描述和计算相位、振幅、频率等物理量。

5. 复数的表示方法
复数可以用直角坐标系中的点表示，也可以用极坐标系中的模和幅角表示。

两种表示方法可以相互转换。

6. 常见的复数形式
- 标准形式：a + bi，其中a和b都是实数。

- 极坐标形式：r(cosθ + isinθ)，其中r是模，θ是幅角。

以上是高三复数的知识点总结，希望对你有所帮助！。

专题一复数一．根本知识㈠复数的根本概念i叫虚数单位，规定：①i2=﹣1,②实数的一切运算法那么对i都成立。

⑵i的正整数指数幂的化简i4n=i4n+1=i4n+2= i4n+3=⑶形如a+bi的数叫做复数〔其中a，b R〕；复数的单位为i，它的平方等于－1，其中a叫做复数的实部，b叫做虚部.①实数：当b=0时复数a+bi为实数②虚数：当 b 0时的复数a+bi为虚数；③纯虚数：当a=0且b 0时的复数a+bi为纯虚数.⑷两个复数相等的定义：a+bi=c+di?a=c且b=d;a+bi=0?a=0且b=0.强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。

⑸共轭复数：zabi的共轭记作z a bi；⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z abi，对应点坐标为pa,b；〔象限的复习〕⑺复数的模：对于复数z a bi，把za2b2叫做复数z的模；㈡复数的根本运算设z1a1b1i，z2a2b 2i〔1〕加法：z1z2a121b2i；〔2〕减法：z1z2a1a21b2i；〔3〕乘法：z1z2a1a2b1b2a2b1a1b2i特别zza2b2。

〔4〕除法：cdi c diabiacbdadbciza 2b2= abi abiabi二．例题分析【例1】z a 1 b 4i，求1〕当a,b为何值时z为实数2〕当a,b为何值时z为纯虚数3〕当a,b为何值时z为虚数4〕当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

【变式1】假设复数z (x21) (x 1)i为纯虚数，那么实数x的值为〔〕A．1 B．0 C1 D．1或1〔2〕〔2021北京文2〕在复平面内，复数10i对应的点的坐标为〔3i〔A〕(1,3)〔B〕(3,1)〔C〕(1,3)〔D〕(3,)【例2】z1 3 4i；z2 a 3 b 4i，求当a,b为何值时z1=z2【例3】z 1 i，求z，zz；【变式1】复数z满足z2i，那么求z的共轭z1i－3+i(2〕〔2021年新课标全国文2〕复数z＝的共轭复数是〔2+i〔A 〕2+i〔B〕2－i〔C〕－1+i〔D〕－1－i【变式2】〔2021年全国卷新课标〕3i，那么z?z=〔复数z3i)2(11.1A.42【例4】z12i，z232i〔1〕求z12的值；〔2〕求z1z2的值；3〕求z1z2.【变式1】复数z满足z 2i 1 i，求z的模.【变式2】假设复数1 ai2是纯虚数，求复数1 ai的模.【例5】假设复数z a3i a R〔i为虚数单位〕，12i1〕假设z为实数，求a的值2〕当z为纯虚，求a的值.1.(2021年山东1)假设复数z满足z(2)117i(i为虚数单位)，那么z为〔〕(A )3+5i (B)3－5i(C)－3+5i(D)－3－5i2.〔2021全国理2〕假设复数z满足4iz43i那么z的虚部为〔〕〔A〕4〔B〕〔C〕4〔D〕453．(2021北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.(2021课标全国Ⅰ，文2)1i＝()．111i1+1i1+1i11iA．2B．2C．D．25．(2021山东，文1)复数z＝2i(i为虚数单位)，那么|z|＝()．A ．25B．41C．5D．56.(2021北京9)假设x ii12iR，那么x.7.〔2021年全国文3〕设zi，那么|z|i1A.1B..3 D.2 2228.〔2021山东文1〕a,bR，i是虚数单位，假设ai与2bi互为共轭复数，那么(abi)2〔A〕5 4i 〔B〕5 4i 〔C〕3 4i 〔D〕3 4i【例6】〔20212的四个命题：其中 年全国卷新课标〕下面是关于复数z1i的真命题为〔〕1 2p2:z 2 2ip3:z 的共轭复数为1ip4:z 的虚部为1p :z(A)p 2,p 3(B)p 1,p 2(C)p,p (D)p,p【变式1】设a 是实数，且a1i是实数，求a 的值..1 23i.【变式2】假设zx,yR 是实数，那么实数xy 的值是xi【例7】复数z cos3 isin3对应的点位于第 象限【变式1】i 是虚数单位,(1i )4等于( )-iA ．iB ．-iC ．1D ．-1【变式2】Z=2+i,那么复数z=〔〕i1〔A〕-1+3i(B)1-3i(C)3+i( D)3-i【变式3】i是虚数单位，假设17iabi(a,bR)，那么乘积ab的值是2i〔A〕－15〔B〕－3〔C〕3〔D〕15【例8】〔2021年天津〕复数z7i=〔〕3i〔A〕2i〔Ｂ〕2i〔Ｃ〕2i〔Ｄ〕2i【变式4】〔2007年天津〕i是虚数单位，2i3〔〕1iＡ1iＢ1iＣ1iＤ．1i【变式5】.〔2021年天津〕i是虚数单位，复数13i=〔1iA2iB2iC12iD12i【变式6】〔2021年天津〕i是虚数单位，复数13i〔〕12i(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【变式7】.〔2021年天津〕i是虚数单位，那么i3i1〔〕1(A) 1 (B)1 (C) i (D)i。

人教版高中复数知识点总结一、名词的复数形式名词的复数形式有规则变化和不规则变化两种方式。

1. 规则变化名词的复数形式一般遵循以下规则：① 一般情况下，在名词后加-s构成复数，如：book-books, pen-pens。

② 以s, x, sh, ch, o结尾的名词，多数直接加-es，如：bus-buses, box-boxes, brush-brushes, church-churches, tomato-tomatoes。

③ 以辅音字母+y结尾的名词，变y为i，再加-es，如：baby-babies。

④ 以-f或-fe结尾的名词，多数变f或fe为v，再加-es，如：wolf-wolves, wife-wives。

⑤ 部分名词仅在复数形式有变化，如：foot-feet, tooth-teeth。

2. 不规则变化有些名词的复数形式与其单数形式完全不同，常见的有：① 单复数同形，如：sheep-sheep, fish-fish, deer-deer。

② 单数形式以-en结尾，如：child-children, ox-oxen, man-men。

③ 不规则变化的名词，复数形式需要特别记忆，如：foot-feet, tooth-teeth。

二、名词的复数形式在句中的用法在句中，名词的复数形式通常用来表示多个或多种事物，并在主语、宾语、表语等成分中使用。

1. 主语复数形式的名词作为主语时，谓语动词也要用复数形式，如：Books are my best friends.2. 宾语宾语如果是表示总称的不可数名词，用复数形式的名词来表示其中的部分，谓语动词用单数形式，如：These news are very important to us.3. 物主代词与名词的复数形式物主代词与名词的复数形式连用时，一般要用复数形式的名词，如：These are my books.4. 表语当名词位于系动词的后面，作表语时，通常用单数形式，如：The news is very important.5. 复数名词连用复数名词连用表示一种复数概念，表示同类或相似的多种事物，如：apples and bananas are my favorite fruits.6. 不可数名词与复数名词不可数名词与复数名词连用，表示不同种类的事物，如：bread and cakes are delicious. 三、名词的不可数形式不可数名词是指不能直接用复数形式表示数量的名词，如：bread, water, information等。

【1】复数的根本概念〔1〕形如a+bi的数叫做复数〔其中〕；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部实数：当b=0时复数a+bi为实数虚数：当时的复数a+bi 为虚数；纯虚数：当a=0且时的复数a+bi为纯虚数〔2〕两个复数相等的定义：〔3〕共轭复数：zbi的共轭记作z abi；〔4〕复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；zabi，对应点坐标为pa,b；〔象限的复习〕〔〕复数的模：对于复数zbi，把z a叫做复数z的模；5【2】复数的根本运算设z1a1b1i，z22b2i〔1〕加法：z1z2a1a2b1b2i；〔2〕减法：z1z2a1a2b1b2i；〔3〕乘法：z1z2a1a2b1b2a2b1a1b2i特别zza2b2。

〔4〕幂运算：i1ii21i3i41i5ii61【3】复数的化简c di〔a,b是均不为0的实数〕；的化简就是通过分母实数化的方法将分母a bi化为实数：i cdi i acbdadbc iabi abiabia2b2对于z i b，当cd时z为实数；当z为纯虚数是z可设为i bc dii进一步建立方程求解a biz3i a R【例4】假设复数12i〔i为虚数单位〕，(1)假设z为实数，求a的值(2)当z为纯虚，求a的值.【变式1】设a是实数，且ai是实数，求a的值..1i2【变式2】假设z3ix,y R是实数，那么实数xy的值是.xi【例7】复数zcos3isin3对应的点位于第象限【变式1】是虚数单位,等于(A．i B．-iC．1D．-1【变式2】=2+i,那么复数z=〔〕〔A〕-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i【变式3】i是虚数单位，假设，那么乘积的值是〔A〕－15〔B〕－3〔C〕3〔D〕15【例8】〔2021年天津〕复数zi=〔〕i〔A〕2〔Ｂ〕2i〔Ｃ〕2i〔Ｄ〕2i【变式4】〔2007年天津〕i是虚数单位，2i3〔〕1iＡ1iＢ1iＣ1iＤ．1i【变式5】.〔2021年天津〕i是虚数单位，复数13i=〔〕2ii iD12i1iA B【变式6】〔2021年天津〕i是虚数单位，复数13i〔〕12i(A) 1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【变式7】.〔2021年天津〕i是虚数单位，那么i3i1〔〕1(A)1(B)1(C)(D)i。

复数知识点与公式总结复数这玩意儿，在数学里可有点意思。

咱今天就好好来捋一捋复数的那些知识点和公式。

先来说说啥是复数。

你就想象吧，有一天数学世界觉得实数不够玩了，于是就创造出了复数。

复数呢，一般写成 a + bi 的形式，其中 a 叫实部，b 叫虚部，i 呢，就是那个神奇的家伙，i² = -1 。

比如说 3 + 2i ，这就是一个复数。

那复数有啥用呢？我给你讲个事儿。

有一次我去商场买东西，看中了一款耳机，标价 50 块，但是又看到一款音箱，价格挺奇怪，标着 30 - 10i 元。

我就纳闷了，这咋还有虚数呢？后来才知道，这是商家搞的一个促销噱头，其实就是想说这个音箱的价格在 30 元上下有一定的波动，用虚数来增加点神秘感。

这时候复数就成了一种表示不确定性或者说范围的工具。

咱再看看复数的运算。

复数的加法，那就是实部加实部，虚部加虚部。

比如说 (2 + 3i) + (1 + 4i) ，就等于 (2 + 1) + (3 + 4)i ，也就是 3 + 7i 。

减法也差不多，实部减实部，虚部减虚部。

复数的乘法，那可得好好说道说道。

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²，因为 i² = -1 ，所以化简一下就是 (ac - bd) + (ad + bc)i 。

比如说 (2 + 3i)(1 + 4i) ，算一下就是 2×1 + 2×4i + 3i×1 + 3i×4i = 2 + 8i + 3i - 12 = -10 + 11i 。

除法稍微麻烦点，得把分母实数化。

比如说 (2 + 3i)÷(1 + 4i) ，分子分母同时乘以分母的共轭复数 1 - 4i ，化简之后就能得到结果。

共轭复数也挺重要，对于复数 a + bi ，它的共轭复数是 a - bi 。

共轭复数在解决一些问题的时候特别有用，比如说求复数的模。

复数知识点小结1、复数的概念复数 (,)z a bi a b R =+∈Re Im a z b z ⎧⎨⎩——实部————虚部——，其中21i =-，i 叫做虚数单位. 2、复数的分类 (0) (,)(0) (0b z a bi a b R b a =⎧=+∈⎨≠=⎩实数复数虚数特别地，时为纯虚数)3、两个复数相等定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。

复平面中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。

5、复数的向量表示OZ Z 向量复平面上点复数↔↔+=),(b a bi a z6、复数的模复数模（绝对值）的定义，几何意义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。

|z|=|a+bi|=022≥+b a .[说明] ||||z z a ==为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。

当且仅当a=b=0时，|z|=07、复数的四则运算性质：R d c b a ∈,,,1）、加法：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++2）、减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+3）、乘法：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++4）、除法：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++ （目的：分母实数化） [要点说明]①计算结果一律写成),(R b a bi a ∈+的代数形式；②复数的加法满足交换律、结合律；③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律；交换律：1221z z z z ⋅=⋅结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅分配律：3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即n n n mn n m n m n m z z z z z z z z z N n m C z z z 2121*321)(,)(,,,,,=⋅==∈∈+时：8、i 的整数指数幂的周期性特征：414243441, 1, , 1k k k k k i i i i i i ++++==-=-=若为非负实数，则（）；024*******=+++++++k k k k i i i i ）（9、||21z z -的几何意义：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 则2221)()(|)()(||)()(|||d b c a i d b c a di c bi a z z -+-=-+-=+-+=-几何意义：对应复平面上点12(,), (,)Z a b Z c d 两点间距离22)()(d b c a d -+-=10、共轭复数1）定义： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为bi a z -=问题：当R z ∈时，是否有共轭复数？两者关系如何？z z R z =⇔∈2）运算性质：结论可推广到n 个2121)1(z z z z ±=± 2121)2(z z z z ⋅=⋅ )0()()()3(22121≠=z z z z z 3）模的运算性质：① 121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；② 1212z z z z ⋅=⋅，可推广至有限多个，特别地n n z z= ③ 2121z z z z = ④ 22z z z z ==，特别地，当1=z 时，1=z z 即 1z z=. 11、复数的平方根：在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(， 则称bi a +是di c +的一个平方根.从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.12、复数的立方根 设i 2321+-=ω，则： 322331322(1) 1; (2) 10 ; (3) ;(4) 1,{}3.n n n nT ωωωωωωωωωωω++=++======即是的等比数列 13、实系数一元二次方程根的情况1）20(0)ax bx c a ++=≠实系数一元二次方程在复数集内根的情况：① 0 ,∆>当时有两个不相等的实根；② 0 ∆=当时，有两个相等的实根； ③ 0 ∆<当时，有两个共轭虚根.2）0∆<当时，2212112122Re ,||||b c x x x x x x x a a+==-⋅=== 3）120||x x a∆≥-=当时，；120||||22||b i b i x x a a a --∆<-=-=当时，12||x x -=综上：。

复数高中知识点总结嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠复数这一块儿的高中知识点哈。

复数，听起来好像挺玄乎的，其实啊，没那么难搞。

你就把它想象成是数学世界里的一个神秘小天地。

先来说说复数的定义吧。

它就是由实数和虚数组成的啦。

就好像是一个团队，有实在的部分，还有那么一点点虚幻的成分。

实数咱都熟，那虚数呢，就是那个带着小尾巴 i 的家伙，i 的平方等于-1 哦，可别记错啦！复数的表示形式也挺有意思的，一般就是 a+bi 这样。

a 呢就是实数部分，b 呢就是虚数部分，它们俩搭伙过日子，就组成了一个完整的复数。

复数的运算那可得搞清楚咯。

加、减运算就像是合并同类项一样，实部和实部相加、减，虚部和虚部相加、减。

乘除法呢，也有它的门道。

乘法就展开来算呗，不过要记得 i 的平方等于-1 这个小秘密哦。

除法稍微麻烦点，得给分子分母同乘分母的共轭复数，这样就能化简计算啦。

复数还有模呢，这就好比是复数的大小。

你想想，一个复数在那个神秘小天地里，总得有个“个头”吧。

模的计算公式可得记好咯。

复数在几何上也有它的意义呢！它可以和平面上的点对应起来呀，实部是横坐标，虚部是纵坐标。

哇塞，是不是一下子就觉得复数变得好形象啦？说到这，你是不是对复数有点感觉啦？别小看这些知识点哦，它们在好多地方都能派上用场呢！考试的时候，复数题目那也是常客呀。

要是没掌握好，那不就傻眼啦？复数就像是一个隐藏在数学世界里的小宝藏，等你去发掘它的奥秘。

你只要用心去学，去理解，肯定能把它拿下。

别害怕它，它没那么可怕。

你想想，连那么难的函数咱都能搞定，复数算啥呀！所以啊，同学们，好好把复数的这些知识点记在心里，多做几道题练练手，到时候遇到复数题目，那都不是事儿！相信自己，咱能行！加油哦！。