专题16 概率与统计（解答题）（文科专用）
1．【2022年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，
𝑃(𝐾2⩾𝑘) 0.100 0.050 0.010
𝑘 2.706 3.841 6.635
2．【2022年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积𝑥i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量𝑦i 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得∑𝑥i210i=1=0.038,∑𝑦i210i=1=1.6158,∑𝑥i𝑦i10i=1=0.2474．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数𝑟=∑(𝑥i−𝑥̅)𝑛i=1(𝑦i−𝑦̅)√∑(𝑥i−𝑥̅)2𝑛i=1∑(𝑦i−𝑦̅)2𝑛i=1,√1.896≈1.377．
绝密★本科目考试启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x|–11}，则A∪B=
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】∵{|12},{|1}AxxBx ，
∴(1,)AB ，
故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
2.已知复数z=2+i，则zz
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得z，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】∵z2i,zz(2i)(2i)5 故选D.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..
3.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A. 12yx B. y=2x C. 12logyx D. 1yx
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可..
【详解】函数122,logxyyx，
1yx 在区间(0,) 上单调递减，
函数12yx 在区间(0,)上单调递增，故选A.
【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图中的条件逐次运算即可.
【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ，
概率统计与排列组合二项式定理
安徽理
（12）设()xaaxaxaxL，则 .
（12)1120C【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.
【解析】101110102121(1)aCC，111011112121(1)aCC，所以
aaCCCCCC.
（20）（本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,ppp,,ppp，假设,,ppp互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,qqq，其中,,qqq是,,ppp的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；
（Ⅲ）假定ppp，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.
解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
)1)(1)(1(321ppp，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，
并等于
（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,qqq时，随机变量X的分布
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(统计与数字特征)汇编
考点01 随机抽样
1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法
作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名
学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．4515400200CC种 B．2040400200CC种
C．3030400200CC种 D．4020400200CC种
考点02 图表类统计图综合
1．（2022∙天津∙高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数
据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第
一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，
第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
2．（2021∙天津∙高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评
分数据分为8组：66,70、70,74、L、94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86
内的影视作品数量是（ ）
A．20 B．40 C．64 D．80
4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家
庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
