2019-2020学年河南省洛阳市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)

2019-2020学年河南省洛阳市高二第二学期期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题）.

1．已知a是实数，是实数，则的值为（ ）

A． B． C．0 D．

2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，下列￢p形式正确的是（ ）

A．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1≥0

B．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0

C．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0

D．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0

3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为（ ）

A．2 B．3 C． D．

4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ）

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心（，）

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

5．若实数x，y满足不等式组则z＝2x+3y的取值范围为（ ）

A．[0，2] B．[﹣2，3] C．[2，3] D．[0，3]

6．已知极坐标系中，点P的极坐标是，则点P到直线l：的距离是（ ）

A．2 B． C． D．1

7．对于函数y＝ex，曲线y＝ex在与坐标轴交点处的切线方程为y＝x+1，由于曲线y＝ex在切线y＝x+1的上方，故有不等式ex≥x+1，类比上述推理：对于函数y＝lnx有不等式（ ） A．lnx≥x+1 B．lnx≤1﹣x C．lnx≥x﹣1 D．lnx≤x﹣1

8．设a∈R，若函数y＝ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（ ）

A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D．

9．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则log2a•log2b的最大值为（ ）

A． B． C．4 D．8

10．函数f（x）＝的部分图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D，的棱长为4，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝2，A1E＝m，DQ＝n．DP＝p（m，n，p大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）

A．与m，n，p都有关 B．与m有关，与n，p无关

C．与p有关，与m，n无关 D．与n有关，与m，p无关

12．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，经过点M（﹣2，0）的直线交C于A，B两点，若OA∥BF（O为坐标原点），则△FAB的面积为（ ） A． B． C． D．

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）

13．曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为

．

14．关于x的不等式﹣x2+ax+b＞0的解集为（﹣2，1），则复数a+bi所对应的点位于复平而内的第 象限．

15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：

感染 未感染 总计

服用 10 40 50

未服用 20 30 50

总计 30 70 100

参考公式：．

P（K2＞k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

参照附表，在犯错误的概率最多不超过 （填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”

16．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝ ．

三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角C；

（2）若a＝4，△ABC的面积为，求c．

18．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB＝SC，M是BC的中点．AB＝1，BC＝2．

（1）求证：AM⊥SD；

（2）若，求点M到平面ADS的距离．

19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）在椭圆上，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l与x轴相交于点G，且，求k的值．

20．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，若数列{Sn+1}是公比为2的等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2），求数列{bn}的前n项和Tn．

21．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点．x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的中点为，求线段AB的长度．

22．已知函数f（x）＝x（ex﹣2a）﹣ax2．

（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有极小值且极小值为0，求a的值．

参考答案

一、选择题：本题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.

1．已知a是实数，是实数，则的值为（ ）

A． B． C．0 D．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，代入得答案．

解：∵＝是实数，

∴，即a＝﹣1．

∴＝cos（﹣）＝．

故选：A．

2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，下列￢p形式正确的是（ ）

A．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1≥0

B．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0

C．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0

D．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0

【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果，并判断真假即可．

解：∵全称命题的否定是特称命题，

∴命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则￢P：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，

故选：B．

3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为（ ）

A．2 B．3 C． D．

【分析】设等比数列{an}的公比为q，由S1，2S2，3S3成等差数列，可得S1+3S3＝2×2S2，即a1+3（a1+a2+a3）＝4（a1+a2），），化简即可得出．

解：设等比数列{an}的公比为q，∵S1，2S2，3S3成等差数列，∴S1+3S3＝2×2S2，

∴a1+3（a1+a2+a3）＝4（a1+a2），化为：3a3＝a2，解得q＝． 故选：D．

4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ）

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心（，）

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

【分析】根据回归方程为＝0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．

解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；

对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；

对于C，∵回归方程为＝0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；

对于D，x＝170cm时，＝0.85×170﹣85.71＝58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确

故选：D．

5．若实数x，y满足不等式组则z＝2x+3y的取值范围为（ ）

A．[0，2] B．[﹣2，3] C．[2，3] D．[0，3]

【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用z＝x+2y的几何意义转化求解即可．

解：作出实数x，y满足不等式组的平面区域，由图可知，平移直线z＝x+2y，直线在O处的截距取得最小值，此时z取得最小值，在B处，直线在y轴上的截距取得最大值，此时z最大．

z＝x+2y在O（0，0）取最小值0，在B（0，1）取最大值3，

故选：D．

6．已知极坐标系中，点P的极坐标是，则点P到直线l：的距离是（ ）

A．2 B． C． D．1

【分析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．

解：点P的极坐标是，根据转换为直角坐标为（0，2）．

直线l：转换为直角坐标方程为x﹣y＝0．

所以点（0，2）到直线x﹣y＝0的距离d＝．

故选：C．

7．对于函数y＝ex，曲线y＝ex在与坐标轴交点处的切线方程为y＝x+1，由于曲线y＝ex在切线y＝x+1的上方，故有不等式ex≥x+1，类比上述推理：对于函数y＝lnx有不等式（ ）

A．lnx≥x+1 B．lnx≤1﹣x C．lnx≥x﹣1 D．lnx≤x﹣1

【分析】求出导数和函数图象与轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线方程，再与函数的图象位置比较，得到不等式．

解：由题意得，y′＝（lnx）′＝，且y＝lnx图象与x轴的交点是（1，0），

则在（1，0）处的切线的斜率是1，

∴在（1，0）处的切线的方程是y＝x﹣1，

∵切线在y＝lnx图象上方（x＞0）， ∴x﹣1≥lnx（x＞0），

故选：D．

8．设a∈R，若函数y＝ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（ ）

A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D．

【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．

解：∵y＝ex+ax，

∴y'＝ex+a．

由题意知ex+a＝0有大于0的实根，令y1＝ex，y2＝﹣a，则两曲线交点在第一象限，

结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，

故选：A．

9．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则log2a•log2b的最大值为（ ）

A． B． C．4 D．8

【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．

解：a＞0，b＞0，ab＝8，

则log2a•log2b

＝（log28﹣log2b）•log2b

＝（3﹣log2b）•log2b

＝3log2b﹣（log2b）2

＝﹣（log2b﹣）2≤．当且仅当b＝2＝2时，函数取得最大值．

故选：B．