2018-2019学年河南省洛阳市高二第一学期期末考试数学(文)试题 解析版

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河南省洛阳市2018-2019学年高二第一学期期末考试数学试题（文)

评卷人 得分

一、单选题

1．已知p：x2-x-2＜0，q：log2x＜1，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

通过求解不等式求解p，解对数不等式求解q，然后利用充要条件的判断方法判断即可．

【详解】

解：由题意可知p：x2-x-2＜0，即（x+1）（x-2）＜0，可得p：-1＜x＜2；

q：log2x＜1，可得0＜x＜2，

则p是q的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】

本题考查二次不等式的解法，对数不等式的求解，充要条件的判断，基本知识的应用．

2．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（ ）

A． B． C．3 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

画出约束条件对应的平面区域，然后通过平移得到结果。

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

2 由得，

由图象知，当直线经过点C时，

直线的截距最大，此时z最大，

由，得，即，

此时，

故选C．

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，准确作出不等式对应的区域是前提，准确解析出目标函数的几何意义是解题的关键．

3．已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1，则B的大小为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

将条件化简整理得，再通过余弦定理便可求得角B的大小。

【详解】

解：

两边同时除以得

3

，故选B

【点睛】

本题考查了余弦定理的知识，解题的关键是要将题中的条件进行转化变形，变成余弦定理的形式，进而解决问题。

4．已知椭圆221(0)259xyab的两个焦点分别为1F,2F, P是椭圆上一点,且1260FPF,则12FPF的面积等于

A．63 B．33 C．6 D．3

【答案】B

【解析】由与P是椭圆上一点，∴12210PFPFa，两边平方可得2212122100PFPFPFPF，即2212121002PFPFPFPF，由于1260FPF， 1228FFc，∴根据余弦定理可得22121264122PFPFPFPF，综上可解得1232PFPF，∴12FPF的面积等于121sin60332PFPF，故选B.

5．等差数列{an}中，a3+a10=5，a7=1，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为（ ）

A．1 B．19 C．60 D．70

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本量表示条件，求解出，进而求解出，得出的最大值。

【详解】

解：设等差数列的首项与公差为

则，解得，

所以，，

二次函数的对称轴为，

4 因为，

所以当时，，

故答案选D。

【点睛】

本题考查了等差数列的通项知识，等差数列常见的解题方法是基本量法，即将条件与目标用基本量来表示，进而求解问题。

6．点P是抛物线y=x2上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离的最小值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设出点，表示出点到直线的距离，然后通过减元将距离变为单变量形式，然后借助函数思想解决问题。

【详解】

解：设点，则

点到直线的距离，

所以，

因为

所以点到直线的距离的最小值为

故选C。

【点睛】

本题考查了点到直线的距离问题，常见的解题方法是将点到直线的距离转化为代数的形式，然后通过减元将多变量问题转化为少变量（单变量）问题，进而利用函数思想解决最值。

5 7．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）=x3+f'（1）x2-2，则f'（1）的值为（ ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【解析】

【分析】

求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案．

【详解】

解：由f（x）=x3+f'（1）x2-2，

得f′（x）=3x2+2xf′（1），

∴f′（1）=3+2f′（1），解得f′（1）=-3，

故选：B．

【点睛】

本题考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题．

8．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1，若a1=1，且对任意的n∈N*都有an+2+an+1=2an，则S5等于（ ）

A．12 B．20 C．11 D．21

【答案】C

【解析】

【分析】

等价于，即，由此可解得的值，进而求得

【详解】

解：设等比数列的公比为

则等价于

因为

故，即

因为

所以

6 故

故选C。

【点睛】

本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解题；求等比数列的前n项和时，要对的范围进行讨论。

9．△ABC中，B=30°，BC边上的高与BC的比为1：3，则cosA等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设边上的高为，则，在中可得，由勾股定理可得，故，在中，，再由余弦定理可得的值。

【详解】

解：设过A点作的高，交边于点，设，

因为BC边上的高与BC的比为1：3，

所以，

在中，，即故，

由勾股定理可得，

故，

在中，，

故选D。

【点睛】

本题考查了解三角形中某个角的问题，当三角形的三条边的比例关系确定时，就可利用余弦定理解得角的大小 ，这也是解决本题的关键。

7 10．已知双曲线：（，），过左焦点的直线切圆于点，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分析：连接,由知为的中点，又为的中点，

,且,利用双曲线定义结合切线性质可得，从而可得结果.

详解：连接,由知为的中点，

又为的中点，

所以,且

,因为点为切点，

则 ，，又因为在双曲线右支上，

则，即，

在中，，

则，则，

则双曲线的渐近线方程为，故选B.

点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质及双曲线定义求双曲线的渐近线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求渐近线方程问题，主要是找到关于的关系式.

11．定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）+f（x）＜0，则下列各式一定成立的是（ ）

A． B．

C． D．

8 【答案】A

【解析】

【分析】

可导函数f（x）满足f'（x）+f（x）＜0，等价于，故函数在R上单调递减，由此可以得出正确选项。

【详解】

解：可导函数满足

等价于

故

令

所以在R上单调递减，

所以

即

即

故选A

【点睛】

本题考查了导数在函数中的应用，构造新的函数是解决本题的关键，再利用导数工具得出新函数的单调性解决问题。

12．过原点的一条直线与椭圆=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

以AB为直径的圆的圆周角∠ABF2∈[]，故圆心角，所以当斜率存在时，斜率，然后将斜率转化为的关系式，求解离心率的取值范围；当斜

9 率不存在时，易得，易解离心率的值，综上便可得出答案。

【详解】

解：当过原点的直线斜率不存在时，

因为以AB为直径的圆经过右焦点，

所以有，此时；

当过原点的直线斜率存在时，设过原点的直线为，，

因为∠ABF2∈[]

所以圆心角，

所以，即，

直线与椭圆联立方程组，解得，

因为以AB为直径的圆经过右焦点，

所以，以AB为直径的圆方程为，

所以有，

即，

故，即，

所以，解得

故得到

综上：，故选B

【点睛】

本题考查了椭圆离心率的取值范围问题，离心率的取值范围问题关键是要建立出关于

10 的等式（不等式），进而再结合求解出椭圆离心率的取值范围。

11

第II卷（非选择题)

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评卷人 得分

二、填空题

13．抛物线y=4x2的焦点坐标是______．

【答案】

【解析】

【分析】

将抛物线转化为标准形式，进而解决问题。

【详解】

解：抛物线可转化为

故，即

所以抛物线的焦点坐标为

【点睛】

本题考查了抛物线的标准方程知识，解题的关键是要将抛物线的方程转化为标准形式，然后得出抛物线的焦点坐标。

14．曲线y=sin2x在点（0，0）处的切线方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】

欲求曲线y=sin2x在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而解决问题．

【详解】

解：∵y=sin2x，

∴f'（x）=2cos2x，

当x=0时，f'（0）=2，得切线的斜率为2，

所以k=2；

所以曲线在点（0，0）处的切线方程为：

y-0=2×（x-0），即y=2x．