2018-2019学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
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第1页（共15页）
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是（ ）
A．4 B．2 C
． D
．
2．（5分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（ ）
A．若a，b都不是奇数，则a+b是偶数
B．若a+b是偶数，则a，b都是奇数
C．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数
D．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数
3．（5
分）已知空间向量＝（0，1，﹣1）
，＝（x，0，﹣1），则“x＝1
”是“向量
与的
夹角是”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）等比数列{a
n}的前n项和为S
n，若S
1，S
3，S
2成等差数列，则{a
n}的公比q等于
（ ）
A．1 B．2 C
． D
．﹣
5．（5
分）已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F
1，F
2，若双曲线上一点P满足∠
F
1PF
2＝60°，则△F
1PF
2的面积为（ ）
A． B．9 C．18 D．16
6．（5分）已知数列a
n
＝，令T
n＝a
1•a
2…a
n，若T
n≥14，则n的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（sin2A+sin2C﹣sin2B）•tanB
＝sinA•sinC，则B＝（ ）
A
． B
． C
．
或 D
．
或
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8．（5分）已知点（x，y
）满足，目标函数z＝ax+y仅在点（1，0）处取得最小
值，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．
（） D．
（）
9．（5分）给出如下四个命题：
①命题p：∃x
0∈R，x
02+x
0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0；
②四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；
③函数y＝x2
+2+的最小值是2；
④在△ABC中，a＜b是cos2A＜cos2B的充要条件．
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（5分）已知双曲线C
：（a＞0，b＞0），过左焦点F
1的直线切圆x2+y2＝a2
于点P，交双曲线C右支于点Q，若
＝，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y
＝± D．y
＝
11．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例
如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角
三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A
1B
1C
1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA
1＝2，
当鳖臑A
1﹣ABC体积最大时，直线B
1C与平面ABB
1A
1所成角的余弦值为（ ）
A
． B
． C
． D
．
12．（5
分）过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB
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为直径的圆过该椭圆的右焦点F
2，若∠ABF
2∈
[]，则该椭圆离心率的取值范围
为（ ）
A．
[） B．
[] C．
[） D．
[]
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在等差数列{a
n}中，a
4+a
6+2a
9＝16，则S
13＝ ．
14．（5分）为了计算不可直接测量的A，B两点间的距离，另选一点C，测得AC＝2，∠BAC
＝75°，∠ACB＝60°，则AB＝ ．
15．（5分）化简
：
++……
++……+
＝ ．
16．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，F为焦点，点A在圆（x﹣4）2+（y+1）2＝1
上运动，则|PA|+|PF|的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．（10分）已知命题p：点（1，1）在不等式x﹣（m2﹣2m+4）y+6＞0表示的平面区域内；
命题q：x2﹣mx+1≥0对一切x∈（0，+∞）恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求
实数m的取值范围．
18．（12分）设数列{a
n}的前n项和为S
n，点（a
n+1，S
n）在直线x﹣y﹣1＝0上，且a
1＝1．
（1）求{a
n}的通项公式；
（2）若b
n
＝，且数列{b
n}的前n项和为T
n，求T
n．
19．（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝．
（1）若cosB
＝﹣，求sinC的值；
（2）求角C的取值范围．
20．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为1的一条直线与抛物线交于A，
B两点，且线段AB中点的纵坐标为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）在x轴正半轴上是否存在点M（m，0），使得过点M与抛物线有两个交点C，D的
任一直线均满足∠CFD为钝角？若存在，求出m的范围，若不存在，请说明理由．
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21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为
线段AB，BC的中点．
（1）线段AP上一点M
，满足
＝，求证：EM∥平面PDF；
（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．
22．（12分）已知椭圆C
：＝1（a＞b＞0）
，离心率为，F
1，F
2是椭圆C的左，
右焦点，且|F
1F
2|＝2，点P是直线x＝2上的动点，过点P作圆O：x2+y2＝a2的两条切
线，切点分别为M，N，直线MN与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△F
1AB面积的最大值．
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2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【解答】解：抛物线y＝4x2，即x2
＝y的焦点到准线的距离为：p
＝．
故选：C．
2．【解答】解：根据逆否命题的定义可知：命题的逆否命题为：
若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．
故选：D．
3．【解答】
解：空间向量＝（0，1，﹣1）
，＝（x，0，﹣1），
则
•＝0+0+1，
||＝＝，
||＝，
∴cos
＜
，
＞＝
＝＝
cos
＝，
解得x＝±1，
故“x＝1
”是“向量
与
的夹角是”的充分不必要条件，
故选：A．
4．【解答】解：S
1，S
3，S
2成等差数列，
可得2S
3＝S
1+S
2，
即为2（a
1+a
2+a
3）＝a
1+a
1+a
2，
即有2a
1（1+q+q2）＝a
1（2+q），
化为2q2+q＝0，
解得q
＝﹣（q＝0舍去），
故选：D．
5．【解答】解：由题意可得 F
2（5，0），F
1 （﹣5，0），由余弦定理可得
100＝PF
12+PF
22﹣2PF
1•PF
2cos60°＝（PF
1﹣PF
2）2+PF
1•PF
2＝64+PF
1•PF
2，
∴PF
1•PF
2＝36．
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S
△F1PF2
＝PF
1•PF
2sin60
°＝×36
×＝9．
故选：A．
6．【解答】解：数列a
n
＝，
令T
n＝a
1•a
2…a
n
＝
＝，
由于T
n≥14，
则：，
故：（n+1）（n+2）≥28，
当n＝4时5×6＝30≥28，
故选：A．
7．【解答】解：∵（sin2A+sin2C﹣sin2B）•tanB＝sinA•sinC，
∴（sin2A+sin2C﹣sin2B）•sinB＝sinA•sinC•cosB，
∴由正弦定理可得：（a2+c2﹣b2）•sinB＝a•c•cosB，
∴由余弦定理可得：2a•c•cosB•sinB＝a•c•cosB，可得：2cosB•sinB＝cosB，
∴cosB＝0（舍去），或sinB
＝，
∵B∈（0，π），
∴B
＝
或．
故选：C．
8．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
可行域为△ABC，
由z＝ax+y可得y＝﹣ax+z，直线的斜率k＝﹣a
∵k
AC＝2，k
AB＝﹣1
若目标函数z＝ax+y仅在点A（1，0）处取得最小值，则有k
AB＜k＜k
AC
即﹣1＜﹣a＜2
∴﹣2＜a＜1，
即实数a的取值范围是（﹣2，1）
故选：B．
