方差-协方差

第九周协方差与相关系数

9.2协方差

多元随机变量更本质的方面是各分量之间的相互关系、相互作用，这方面最重要的数

字特征是协方差与相关系数。

定义：设

YX,是二元随机变量，

YEYXEXE称为YX,的协方差，

记为

YXCov,。



0,aXCov，

XYCovYXCov,,，



YXCovccbYcaXcCov,,

2121,

ZYCovZXCovZYXCov,,,，



,CovXYEXYEXEY，若

,XY相互独立，

,0CovXY

**********************************************************

例9.2.1从4,3,2,1中等可能地取1个数记为X，再从X,,2,1中等可能地取1个数

记为Y。求

YXCov,。

解：

YX,的联合与边缘分布列为

\1234

11400014

218180014

3112112112014

411611611611614

254813487481161XYYYYYPXi

X

X

X

X

PYk











1111

12122313233414243445

481216EXY

575

,5

248CovXYEXYEXEY

。

*********************************************************

例9.2.2设随机变量

~XGep(01p)，,

,11

01X

Y

X







，计算

,CovXY。解：1

EX

p，

110011EYPYPYPXp





1100EXYEEXYYPYEXYYPYEXYY



1111PYEXYYPXEXXp,

协方差分析简介

在许多研究中，两组或多组均数的比较还需要控制一些非研究因素的影响，这些非研究因素称为混杂因素（Confounding factor）。

为了帮助读者进一步理解分类自变量的线性回归的回归系数的特殊意义。先用下例说明自变量为二分类变量的直线回归中的回归系数检验与成组t检验之间的关系。

例12.7 为了评价控制饮食对糖尿病控制的作用，在坚持控制饮食的糖尿病人群和未控制饮食的糖尿病人群中各随机抽取30个对象，测量其空腹血糖如下

控制饮食组(group=1) 6.6 7.3 7.2 7.3 7.4 6.5 7.3 6.4 7.2 7.7 6.8 6.3 7.1 7.8 7.2 7.7 6.7

7.2 6.8 8 6.9 6.6 7 7.4 7.7 7.1 7.1 7.8 6.4 7.4

未控制饮食组(group=0) 7.7 7.7 7.2 6.9 7.6 7.4 7.9 6.9 7.5 6.9 8.4 7.2 7.2 7.1 7.8 7.4 7.4

8.4 7.6 7.9 6.9 7.9 7.2 7.5 7 7.2 6.7 7.1 7.3 7.6

数据格式

group y

1 1 6.6

2 1 7.3

3 1 7.2

4 1 7.3

5 1 7.4

6 1 6.5

7 1 7.3

8 1 6.4

9 1 7.2

10 1 7.7

11 1 6.8

12 1 6.3

13 1 7.1

14 1 7.8

15 1 7.2

16 1 7.7

17 1 6.7

18 1 7.2

19 1 6.8

20 1 8

21 1 6.9

22 1 6.6

23 1 7

24 1 7.4

25 1 7.7

26 1 7.1

27 1 7.1 28 1 7.8

29 1 6.4

30 1 7.4

协方差分析

某城市教育局在一次对全市初中一年级至高中三年级学生的调查研究中想要考察身心发展对学习成绩的影响，研究者手机了各学校初一年级至高三年级学生的学业成绩以及相关身心发展量表得分，在分析时以学生所在年级来代表年龄差异，但是由于男同学与女同学的身心发展存在差异，因此需要在结果中排除性别因素，然而无法在收集数据时只收集男同学的数据或收集女同学的数据，那么该如何排除性别因素对结果的影响呢？

在实验设计中，考虑到实际的实验情形，无法一一排除某些会影响实验结果的无关变量（干扰变量），为了排除这些不能在实验处理中所操作的变量，而其结果又会影响因变量，可以通过“统计控制”的方法来弥补实验控制的不足，为了提高实验研究的内在效率，必须将可能干扰实验结果的无关变量加以控制，不致产生严重的系统性误差。控制系统误差的方法有很多，例如以随机的方式将被试分配至不同群体；将系统误差加入实验设计，使其变成一个自变量；尽可能控制可控制的系统误差如光纤亮度、噪音等。

实验研究的优点众所周知，即其严密的逻辑性以及可以良好的控制误差，但是让一个标准的实验设计走出实验室，在社会科学领域实施通常比较困难。因此在社会科学领域中经常实施的是准实验设计，在准实验设计中无法使用实验控制法来完全控制无关的干扰变量，故经常增加实验内在效度的方法——统计控制法，最常用的便是协方差分析（analysis of

covariance，ANCOVA）。

顾名思义，协方差分析是方差分析的一种，它也包括自变量与因变量，同方差分析，因变量为连续变量且需要满足方差分析关于因变量的假设条件，自变量为分类变量。不同的是，并不是实验所关注的自变量却为研究者进行控制的一类变量被加入分析，它们被称为“协变量”（covariate），要注意，协变量是连续变量。

1. 协方差分析的假设

协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值独立、方差齐性等，此外还有三个重要的假设：

第九周上机题目 方差分析与协方差分析

题目：

1、某家电制造公司准备购进一批5#电池，现有A、B、C三个电池生产企业愿意供货，为比较它们生产的电池质量，从每个企业各随机抽取5只电池，经试验得其寿命（小时）数据见表1，试分析三个企业生产的电池的平均寿命之间有无显著差异？如果有差异，用LSD方法检验哪些企业之间有差异？(a=0.05)

表2 电池使用寿命数据表

试验号 电池生产企业

A B C

1 50 32 45

2 50 28 42

3 43 30 38

4 40 34 48

5 39 26 40

2、为检验广告媒体和广告方案对产品销售量的影响，一家营销公司做了一项试验，考察三种广告方案和两种广告媒体，获得的销售量数据见表2，检验广告方案、广告媒体作用对销售量的影响是否显著？ (=0.05)

表2 广告媒体和广告方案对产品销售量的影响数据表

媒体

方案 广告媒体

报纸 电视

广告方案 A 8 12

12 8

B 22 26

14 30

C 10 18

18 14

3、为研究食品的包装和销售地区对其销售量是否有影响，在某周的三个不同地区中用三种不同包装方法进行销售，获得的销售量数据见表3，检验不同的地区和不同的包装方法对该食品的销售量是否有显著影响？ (a=0.05)

表3 销售量表

销售地区（A） 包装方法（B）

B1 B2 B3

A1 45 75 30

A2 50 50 40

A3 35 65 50

4、有5种不同品种的种子和4种不同的施肥方案，在20快同样面积的土地上，分别采用5种种子和4种施肥方案搭配进行试验，取得的收获量数据见表4，检验种子的不同品种对收获量的影响是否有显著差异？不同的施肥方案对收获量的影响是否有显著差异？ (=0.05)

表4 收获量表

品种 施肥方案