第一章函数,第二章极限与连续

微积分教案

章节

次数 第1讲：第一章 函数

教学目的要求 1. 理解函数的概念。

2. 掌握函数的初等函数的性质及其图形。

3. 会建立简单应用问题中的函数关系式。

主要内容

集合、映射、函数

函数的几种几何特性

反函数、复合函数、初等函数

常见的经济函数

重点难点 理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，

基本初等函数的性质及其图形。

教学方法

和手段

以讲授为主，使用电子教案

课后作业练习

作业：14页 习题1-2 2, 4, 5, 6

20页 习题1-3 2, 3, 4, 5

27页 习题1-4 1, 2,

34页 习题1-6 2，3，4，7

备注 本章内容带有复习性质，凡中学已经学习过的有关函数的知识，只需加以复习提高，不必再作详细讲解。

1 课程的性质与任务

《微积分》充满了辩证法。《微积分》课程是财经类高等院校学生必修的一门重要基础理论课，是培养造就高层次专门人才所需数学素质的基本课程，是经济工作者从事经济数量分析的重要基础和有力工具。它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用，它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。

在让学生掌握基本理论与基本运算技能的基础上，要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章 函数

教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。

一、集合

1、 集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。

表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。

1)},,,{321aaaA

2)}{PxxA的性质

元素与集合的关系：Aa，Aa

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作BA。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作BA

若作BA且BA则称A是B的真子集。

全集I：AiI（I=1，2，3，……..）。

空集： A。

2、 集合的运算

并集BA：}Ax|{xBABx或

交集BA：}Ax|{xBABx且

差集BA\：}|{\BxAxxBA且

补集（余集）CA：I＼A 2 集合的并、交、余运算满足下列法则：

交换律：ABBA ABBA

结合律：)()(CBACBA，)()(CBACBA

分配律： )()()(CBCACBA，)()()(CBCACBA

对偶律： (cccBABA) cccBABA)(

笛卡儿积： A×B}|),{(ByAxyx且

3、区间和邻域

1）有限区间：开区间),(ba，闭区间ba,，半开半闭区间baba,,。

2）无限区间：（,a），,a，,a，,a，,。

3）邻域：}{),(axaxaU

注：a 邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为),(aU。

二、映射

定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

YXf：

其中y称为元素x的像，并记作)(xf，即)(xfy。

注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。

三、函数

1、 函数的概念

定义 设数集RD，则称映射RDf:为定义在D上的函数，记为

Dxxfy,)(。

注：函数相等：定义域、对应法则相等。

2、 函数的几种特性

1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。

2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值)(1xf与)(2xf的大小（注：与区间有关）。

3）函数的奇偶性(定义域对称、)(xf与)(xf关系决定)，图形特点 (关于原点、Y轴对称)。

4)函数的周期性(定义域中成立：)()(xflxf) 3 3、 函数与复合函数

1）反函数：函数)(:DfDf是单射，则有逆映射xyf)(1，称此映射1f为f函数的反函数。

函数与反函数的图像关xy于对称。

2）复合函数：函数)(ygu定义域为D1，函数)(xfy在D上有定义、且1)(DDf。则)())((xfgxfgu为复合函数。

3）分段函数：分段函数的统一表达式。

结论：对于分段函数

f（x）=12()()()()fxxafxxa

若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）= f2（a），则

f（x）= f1[12（x+a-2()xa）]+ f1[12（x+a+2()xa）]- f1（a）

4、初等函数

1）幂函数：axy

2)指数函数：xay

3)对数函数：)(logxya

4)三角函数：)cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy

5)反三角函数：)arcsin(xy，)arccos(xy

)cot()arctan(xarcyxy

以上五种函数为基本初等函数。

例1 已知分段函数

22,10,()1,0,2,01.xxfxxxx

1）求其定义域并作图；2）求函数值1122(),(0),().fff

例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：

y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2.

例3 求函数的反函数及反函数的定义域：

y=x2,（0 x<〉， 221,01,2(2),12.xxyxx 4

四、经济学中的常用函数

1. 需求函数

需求是指消费者在一定条件下对商品的需要,它受消费者收入；商品的质量、价格；相关商品的质量、价格等许多因素的影响。

这里，把商品的需求量Qd只看作是该商品价格p的函数，记为

Qd = f (p)

一般的，它是减函数。

2. 供给函数

供给是指在某时期内，生产者在一定条件下愿意并可能出售的产品即商品。

商品的供给量Qs也看作是该商品价格p的函数，记为

Qs =  (p)

一般的，它是增函数。

3. 生产函数

生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素 .为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况 .

4．成本函数

总成本函数

总成本C是指生产某产品时所需要的成本总额。它是产量Q的函数，记为C(Q)。

C(Q)=C0+ C1(Q)

其中, C0: 固定成本，如企业管理费、设备折旧费等；

C1(Q): 可变成本，如生产该产品所投入的原材料、燃料、动力费用及生产人员的工资等。

总成本函数与产量的商，称为平均成本函数，记作

QQCQC)()(

最简单的成本函数是线性成本函数: bQaQC)(

其中，a＞0为固定成本，b>0 为生产一个单位产品所需的可变成本。

5. 总收益(总收入)函数

总收益R是指产品出售后，所得到的全部收入。它是销量Q的函数，记为R(Q)。(通常假设产销平衡)

若产品的单位售价p不变， 则 R(Q)=pQ

若价格p是产量Q的单调减少函数p(Q), 则 R(Q)=p(Q)Q 5 6. 总利润函数

利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即

产销平衡时， L(Q) = R(Q) - C(Q)

7. 库存润函数

设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，每次进货批量为 Qqn，进货周期为Ttn . 假定每件物品的贮存单位时间费用为1C ，每次进货费用为 2C，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为2q，在时间 T 内的总费用 E

为

1212QECTqCq

112CTq其中，为储存费2QCq，为进货费用。

6 微积分教案

章节

次数 第2、3讲：第二章 §2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限

教学目的要求 1. 了解数列与函数极限的概念，性质。

2. 会用极限的分析定义证明一些简单的极限。

3. 理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

4. 掌握无穷级数的基本性质。

主要内容

数列、数列极限的定义与几何意义

数列极限唯一性及收敛数列的有界性

自变量趋于无穷大及趋于有限数时函数的极限

函数极限的几何解释

单侧极限

重点难点 极限的概念的理解及应用；

理解函数左极限与右极限，极限性质。

教学方法

和手段

以讲授为主，使用电子教案

课后作业练习

作业：

第2讲：42页 习题2-1： 1、(2)(4)(6)，2、3、4、6（1）（2）

第3讲：68页 习题 2-2： 1、(1)(3)，3、4、6、7

备注 函数极限的基本性质同数列极限的性质。