1.1.2 弧度制

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名

1.1.2 弧度制

学习

目标 1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．

2．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．

重点

难点 弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．

明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.

【弧度制】自学教材6~7页

定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，

或1(单位可以省略不写). 这种度量角的单位制称为 .

试试：如图：AOB= rad ；AOC= rad

探究：如右上图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角的终边与x轴的正半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B. 请完成表格. 找出某种规律.

AB的长 OB旋转的方向 AOB的弧度数 AOB的度数

r 逆时针

2r 逆时针

r 1

2r 2



0

180

360

【规律】如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么

角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.

角度化弧度 弧度化角度

360°＝ rad 2π rad＝

180°＝ rad π rad＝

1°＝π180 rad 1 rad＝180π° o r C

r l=2r

o A A B yxAOB鸡西市第十九中学高一数学组

2 【归纳】

① 正角的弧度数是 数，负角的弧度数是 数,零角的弧度数是 .

② 角的弧度数的绝对值 lr. （l为弧长，r为半径）

试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表.

高一数学必修4导学案 编号 编写人： 教研组长签字： 领导签字： 使用时间 姓名： 班级： 评价：

1 《1.1.1 任意角》达标检测

1. 若Ａ＝｛｜＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；B＝｛｜＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；

C＝｛｜＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则A,B.C之间的关系是 .

2. 若是第四象限角，则180°-是( )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

3. 若 与β的终边互为反向延长线，则有( )

A. ＝β＋180° B. ＝β-180°

C. ＝-β D. ＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ

4. 终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是 . .

5. 为第四象限角，则2 是第几象限的角？

《1.1.2 弧度制》预习学案

【学习目标】

理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；能用弧度表示终边相同角的角；

熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.

【预习目标】

知道弧度的概念；能正确的进行角度与弧度之间的换算.

【预习指导】

复习：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?

规定把周角的 作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．有了它，可以计算弧长，公式为 .

新知：

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

新知提炼

1．弧度制

(1)定义：以 为单位来度量角的制度叫做弧度制．

(2)度量方法：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

(3)记法：弧度单位用符号“ ”表示，或用弧度两个字表示．在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写．

(4)求法：正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 ．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ ．

2．角度制与弧度制的换算

(1)弧度制与角度制的互化(换算)

360°＝ rad；180°＝ rad；

1°＝ rad≈0.01745 rad；

1 rad＝180π°≈57.30°＝57°18′.

(2)特殊角的度数与弧度数的对应表

度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 0

π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π

32π 2π

3．扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数．则扇形的弧长：l＝nπr180＝ ；扇形的面积：S＝ ＝ ＝ ．

小试身手

1．－75°的弧度数是( )

A．－π3 B．－5π12

C．－5π6 D．－5π7

2．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )

A．4π3 B．π C．2π3 D．π3

3．(1)18°＝________rad；(2)310π＝________．

题型探究

题型一 弧度制的概念[学生用书P4]

例1 下列说法不正确的是( )

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角

C．根据弧度的定义，180°一定等于π rad

在初中几何里，我们学习过角的度量,

1度的角是怎样定义的呢?

这种用1°角作单位来度量角的制度叫做

角度制，今天我们来学习另一种在数学和其

他学科中常用的度量角的制度——弧度制O /RJ 角的 丄为1度的角。 360 1 •圆心角、弧长和半径之间的关系:

角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋

转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧,

不同的点所形成的圆

弧的长度是不同的,

但都对应同一个圆心角。 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与a的 大小有关。 込空=定值,

r r

设a二沪，掘B弧长为人半径0A为八

则I = n・ 17ir I

--- ，—=n・ 171

360

可以看出，等式右端不含 r

2 •定义: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。

注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。 3.弧度制与角度制相比:

(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单

位制，角度制是以“度"为单位来度量角的 单位制；］弧度工1。;

(2) 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是n 9周 角的大小； 360的所对的圆心 （3） 弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；

（4） 以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。4•公式：Q =上，

表示的是在半径为/的圆中

弧所对的圆心角是a rad。，弧长为/的 5.弧度制与角度制的换算

①用角度制和弧度制度量角，零角既是0。 角,又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的.

②平角、 角的弧度数:

平角二冗rad、 角二2兀rad> ③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是

负数，零角的弧度数是0・

④ 角a的弧度数的绝对值：14 =-

r

a为弧长，/为半径）J兀丿

⑤ T 360°=2TC rad , :. 180°=7t rad