青岛科技大学 数学分析 2017年考研专业课真题

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2017年硕士研究生统一入学考试试题

科目代码: 811 科目名称: 数学分析 A卷

注意：答案必须全部写在答题纸上，写在试题上无效；答案要标注题号，答题纸要填写姓名和考号，并标注页码与总页数；交卷时，将答题纸与试题一起装入试卷袋，密封签字。

一、求下列极限（每小题8分，共16分）：

1．nnnn1)321(lim； 2．)cos1()1arctan(lim0002xxdudttxux．

二、(第1小题6分，第2小题10分，共16分)

1． 叙述函数)(xf在区间I上一致连续的定义；

2．用定义证明函数2)(xxf在),0[上不一致连续．

三、（本题18分）设,0,0,0,)()(xxxexgxfx其中)(xg是可导函数，且在0x处二阶可导．若1)0(g，1)0('g，求)('xf．

四、（本题18分）设函数)(xf连续，且20arctan21)2(xdttxtfx．已知1)1(f，求21)(dxxf的值．

五、（本题18分）判断数项级数2ln1sinnnn是条件收敛、绝对收敛还是发散的，并说明理由．

六、（本题18分）证明:函数3sin)(nnxxf在),(上连续,且有连续的导函数．

七、（本题16分）设)()(xyxgyxyfu，其中函数gf,具有二阶连续偏导数，求

yxuyxux222．

八、（本题18分）设),(yxf在全平面有连续偏导数，曲线积分Lydyxdxyxfcos),(在全平面与路径无关，且2),()0,0(2cos),(tydyxdxyxftt，求),(yxf．

12017全国研究生入学考试考研数学（数学一）真题解析

本试卷满分150，考试时间180分钟

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求的，请将所选项前的字母填在答题纸

．．．指定位置上.

（1

）若函数1cos

,0

()

,0x

x

fx

ax

bx













，在0x

处连续，则（）

（A）1

2ab

（B）1

2ab

（C）0ab

（D）2ab

【答案】（A）

【解析】由连续的定义可知：

00lim()lim()(0)

xxfxfxf





，其中

0(0)lim()

xffxb



，

2

0001

()

1cos1

2

lim()limlim

2

xxxx

x

fx

axaxa





，从而1

2b

a，也即1

2ab

，故选（A）。

（2）若函数()fx

可导，且()()0fxfx



，则（）

（A）(1)(1)ff

（B）(1)(1)ff

（C

）(1)(1)ff

（D

）(1)(1)ff

【答案】（C）

【解析】令2()()Fxfx

，则有()2()()Fxfxfx



，故()Fx

单调递增，则(1)(1)FF

，即

22[(1)][(1)]ff，即(1)(1)ff

，故选C。

（3）函数22(,,)fxyzxyz

在点(1,2,0)

处沿向量(1,2,2)u

的方向导数为（）

（A）12

（B）6

（C）4

（D）2

【答案】（D）

【解析】2{2,,2}gradfxyxz

，将点(1,2,0)

代入

得

(1,2,0){4,1,0}gradf

，则

122

.{4,1,0}.,,2

333fu

gradf

uu









。

（4）甲、乙两人赛跑，即使开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线

1()vvt

（单位：m/s），虚线表示乙的速度

2()vvt

，三块阴影部分面积的数值依次为10203、、

，即使开始

2后乙追上甲的时刻记为

0t

（单位：s），则（）

（A）

010t

2017考研数学三真题及解析

2017年考研数学真题

一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上.

(1) 若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在x=0连续，则

(A)12ab (B)12ab

(C)0ab (D)2ab

【答】应选（A）

【解】由连续的定义可知：00lim()lim()(0)xxfxfxf，其中0(0)lim()xffxb，20001()1cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，从而12ba，也即12ab，故选（A）。

(2) 二元函数(3)zxyxy的极值点（ ）

(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1)

【答】应选(D).

【解】(3)(32)xzyxyxyyxy

(3)(32)yzxxyxyxxy

2xxzy，322xyzxy，2yyzx

验证可得（A）、（B）、（C）、（D）四个选项均满足00xyzz,其中(D)选项对应(1,1)2xxAz，(1,1)1xyBz，(1,1)2yyCz满足230ACB，所以该点为极值点.

(3) 设函数fx可导，且0fxfx则

(A)11ff (B)11ff

(C)11ff (D)11ff

【答】应选(C). 2017考研数学三真题及解析

【解】令2()()Fxfx，则有()2()()Fxfxfx，故()Fx单调递增，则(1)(1)FF，即22[(1)][(1)]ff，即(1)(1)ff，故选C.

1 2017年考研数学三真题

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

1．若函数1cos

,0

()

,0x

x

fx

ax

bxì

-

>ï

=

í

ï

£

î在0x

=

处连续，则

（A）1

2ab

=（B）1

2ab

=-（C）0ab

=（D）2ab=

【详解】

0001

1cos1

2

lim()limlim

2

xxxx

x

fx

axaxa

+++

®®®-

===

，

0lim()(0)

xfxbf

-

®==

，要使函数在0x

=

处连续，

必须满足11

22bab

a=Þ=

．所以应该选（A）

2．二元函数(3)zxyxy

=--

的极值点是（）

（A）(0,0)

（B）03(,)

（C）30(,)

（D）11(,)

【详解】2(3)32zyxyxyyxyy

x¶=---=--

¶，232zxxxy

y¶=--

¶，

2222

222,2,32zzzz

yxx

xyxyyx¶¶¶¶

=-=-==-

¶¶¶¶¶¶

解方程组2

2320

320z

yxyy

x

z

xxxy

y¶ì

=--=ï

¶

ï

í¶

ï

=--=

¶ï

î，得四个驻点．对每个驻点验证2

ACB

-

，发现只有在点11(,)

处满足

2

30ACB

-=>，且20AC

==-<，所以11(,)

为函数的极大值点，所以应该选（D）

3．设函数()fx

是可导函数，且满足()()0fxfx

¢

>

，则

（A）(1)(1)ff

>-

（B）11()()ff

<-

（C）11()()ff

>-

（D）11()()ff

<-

【详解】设2()(())gxfx

=，则()2()()0gxfxfx

¢¢=>，也就是

()2()fx

是单调增加函数．也就得到

()()

22

(1)(1)(1)(1)ffff

>-Þ>-

，所以应该选（C）

4．若级数

211

sinln(1)

nk

nn¥

=éù

--

êú

ëûå

收敛，则k

=

（）

（A）1

（B）2

（C）1

-

（D）2

-

2 【详解】ivn

®¥时2

2221111111111sinln(1)(1)

22kkkoko

nnnnnnnnnæöæöæöæö--=---+=++ç÷

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显然当且仅当(1)0k