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习题课
一、基础过关
1．函数f(x)＝3x1－x＋lg(2x－1)的定义域为 ( C )
A．(－∞，1) B．(0,1] C．(0,1) D．(0，＋∞)
2．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m的值为
( A )
A.10 B．10 C．20 D．100
3．设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－12，则 ( C )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( D )
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋x2＋1) C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋1
5．已知函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则a＝_____3___.
6．已知函数f(x)＝ log2x， x>0，2x， x≤0若f(a)＝12，则a＝____2或－1____.
7．已知f(x)＝log ax (a＞0，a≠1)，当0＜x1＜x2时，试比较f(x1＋x22)与12[f(x1)＋f(x2)]的大小．
解: logax1＋x22－12[logax1＋logax2]＝logax1＋x22－logax1x2，又00，即x1＋x2>2x1x2，即x1＋x22>x1x2.于是当a>1时，f(x1＋x22)>12[f(x1)＋f(x2)]同理0
8．已知f(x)＝log a(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．
解:由a>0可知u＝3－ax为减函数，依题意则有a>1.又u＝3－ax在[0,2]上应满足u>0，故3－2a>0，即a<32.
综上可得，a的取值范围是1
二、能力提升
9．函数f(x)＝log a |x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有 ( C )
1 / 4 3.2.3 指数函数与对数函数的关系
一、教学目标
（一）知识与技能目标
理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
（二）过程与方法目标
通过作图，体会两种函数的单调性的异同．
（三）情感、态度与价值观
对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．
二、教学重点
两种函数的内在联系，反函数的概念
三、教学难点
反函数的概念
四、教学过程
①在同一坐标系中画出x=log2y与y=2x与y=log2x的函数图象。
y=2x与x=log2y
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 81 41 21 1 2 4 8 …
xy2log．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 81 41 21 1 2 4 8 …
2 / 4 图象：
②通过图象探索在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
在指数函数y=2x中，x为自变量，y是x的函数（x∈R,y∈R+），而且其在R上是单调递增函数。过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y值都有唯一的x相对应，可以把y为自变量，x作为y的函数。
③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。
由指数式与对数式关系，y=2x得x=log2y，即对于每一个y，在关系式x=log2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x=log2y。这时我们把函数x=log2y（y∈(0,+∞)）叫做函数y=2x的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x=log2y中的x,y写成xy2log，这样xy2log（x∈(0,+∞)）是指数函数y=2x（x∈R）的反函数。由上述讨论可知，对数函数xy2log（x∈(0,+∞)）是指数函数y=2x（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=2x（x∈R）也是对数函数xy2log（x∈(0,+∞)）的反函数。因此，指数函数y=2x（x∈R）与对数函数xy2log（x∈(0,+∞)）互为反函数。
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张喜林制
3.2.3 指数函数与对数函数的关系
教材知识检索
考点翘识清单
1．反函数的概念
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的 ，我们称这两个函数互为反函数。
函数)(xfy的反函数常用 表示，就是说，函数y)(xf与)(1xfy互为
2．指数函数与对数函数
指数函数)10(aaayx且与对数函数0logaxya（且)1a互为
3．互为反函数的两个函数有如下关系
(1)互为反函数的两个函数的图象
(2)原函数的定义域、值域分别是反函数的 ．
4．指数函数与对数函数的增减变化情况
对相同自变量的增量，指数函数0(aayx且a≠1）与对数函数xyalog（a>0且a≠1）的增量变化见下表：
要点核心解读
1．有关反函数的概念
学习反函数要注意以下两点：第一，并不是所有的函数都存在反函数，只有在函数的定义域与值域之间建立了一一映射的前提下，函数才存在反函数．
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第二，在同一坐标系内，)()(11yfxxfy与的图象相同，)()(1xfyxfy与的图象关于直线y=x对称．
2．求函数的反函数问题
求反函数的步骤：
(1)求函数)(xfy的值域；
(2)由)(xfy解出);(1yfx
(3)在)(1yfx中，将x、y互换得到);(1xfy
(4)标明反函数的定义域，即(1)中求出的值域．
3．函数与它的反函数的图象之间的关系问题
函数)(xfy和它的反函数)(1xfy的图象，在同一坐标系内关于直线xy对称。
函数)()(1yfxxfy与的图象相同．
函数)(xfy的图象关于直线xy对称，则它的反函数是它本身．
4．指数函数与对数函数间的关系
对数函数与指数函数的关系
对数函数与指数函数是数学中两个非常重要的函数概念。它们之间存在着密切的关联和相互依赖的关系。本文将从定义、性质以及图像等方面探讨对数函数与指数函数之间的关系。
一、对数函数与指数函数的定义
1. 指数函数的定义
指数函数是以一个固定的底数为底的，指数为自变量的函数。一般形式为：y = a^x，其中 a 为底数（即常数），x 为指数，y 为函数值。
2. 对数函数的定义
对数函数是指以一个固定的底数为底的，并使指数为自变量的函数。一般形式为：y = loga(x)，其中 a 为底数（即常数），x 为函数值，y
为指数。
二、对数函数与指数函数的性质
1. 互为反函数
对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即对数函数和指数函数可以互相消除对方的作用。对于指数函数 f(x) = a^x，其反函数为对数函数 y = loga(x)；反之亦然，对于对数函数 g(x) = loga(x)，其反函数为指数函数 y = a^x。
2. 对数函数的性质 （1）对数函数的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集 R。
（2）对数函数的图像在不同底数下有所变化，但都具有一定趋近于 y 轴的特性。
（3）对数函数是严格递增函数，即在定义域内，x1 < x2 时，有
loga(x1) < loga(x2)。
3. 指数函数的性质
（1）指数函数的定义域是实数集 R，值域是正实数集(0, +∞)。
（2）指数函数的图像在不同底数下有所变化，但都具有一定趋近于 x 轴的特性。
（3）指数函数是严格递增函数，即在定义域内，x1 < x2 时，有
a^x1 < a^x2。
三、对数函数与指数函数的图像
对数函数和指数函数的图像都具有一些特殊性质。以下以常用的底数 e 为例来讨论：
1. 指数函数的图像
指数函数 y = e^x 的图像是一个过点 (0,1) 的递增曲线，这是因为 e
的近似值为2.71828，大于1，因此 y = e^x 的函数值不断增加。
