函数的单调性与奇偶性

听雪轩·白涛数学工作室 数学（必修一）辅导讲义

知识改变命运 1 细节决定成败

函数的图象和性质（二）

函数的单调性（一）

[学习目标]

1．掌握函数的单调性的概念；

2．掌握函数单调性的证明方法与步骤 .

[知识要点]

1．会判断简单函数的单调性（1）直接法；（2）图象法.

2．会用定义证明简单函数的单调性：（取值、作差、变形 、定号、判断）；

3．函数的单调性与单调区间的联系与区别.

[知识理解]

（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性；

（2）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域；

（3）函数的单调性定义中的12,xx有三个特征：①一是任意性；②二是有大小，即12xx（或12xx）；③三是12,xx属于同一区间，三者缺一不可；

（4）由()fx是增函数（或减函数），且12()()fxfx（或12()()fxfx），可以得到12xx（或12xx），说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”；

（5）函数的单调性是对某个区间而言，所以要受到区间的限制，若在不同的区间上具有不同的单调性，这些区间不能用“”并在一起，只能用“，”或“和”相连；

（6）一些基本初等函数的单调性要熟记.

（7）解决复合函数的单调性的有关问题时，要注意复合函数(())yfgx是由哪些基本函数复合而成的（如函数22log(2)yx是由对数函数2logyu和二次函数22ux复合而成的），如果另()ugx，则()yfu和()ugx同增异减，即()yfu与()ugx有相同的单调性，则(())yfgx必为增函数，若()yfu与()ugx的单调性不同，则(())yfgx必为减函数.

[预习自测]

1．画出下列函数图象，并写出单调区间：

⑴ 22xy ⑵ )0(1xxy

2．证明xxf)(在定义域上是减函数.

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变式练习1、证明函数2()1fxxx在定义域上是减函数.

3．讨论函数3xy的单调性.

[课内练习]

1．（1）判断1)(2xxf在(0,)上的单调性； （2）判断xxxf2)(2在(,0)上的单调性.

3．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）

（A）1yx （B） 21yx （C） 1yx （D）2(21)yx

4． 函数11yx的单调 递 区间为 .

5．证明函数2()fxxx在1(,)2上为减函数.

[归纳反思]

1．要学会从“数”和“形”两方面去理解函数的单调性；

2．函数的单调性是对区间而言的，它反映的是函数的局部性质.

[巩固提高]

1．已知()(21)1fxkx在(,)上是减函数，则（ ）

（A）12k （B）12k （C）12k （D 12k

2．在区间(0,)上不是增函数的是 （ ）

（A）21yx （B）231yx （C）2yx （D） 231yxx

3．若函数2()2(1)2fxxax在区间(4,)上为增函数，则实数a的取值范围是 （ ）

（A）3a （B）3a （C）3a （D）3a 听雪轩·白涛数学工作室 数学（必修一）辅导讲义

知识改变命运 3 细节决定成败

4．如果函数()fx是实数集R上的增函数，a是实数，则 （ ）

（A）2()(1)fafa （B）()(3)fafa （C）22()()faafa （D）22(1)()fafa

5.下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是（ ）

（A）()ln(2)fxx （B）()1fxx （C）1()()2xfx （D）1()fxxx

6.下列函数中，满足“对任意12,(0,)xx，当12xx时，都有12()()fxfx”的是（ ）

（A）1()fxx （B）2()(1)fxx （C）()xfxe （D）()ln(1)fxx

7.奇函数()fx在区间(,0)上单调递减，(2)0f，则不等式(1)(1)0xfx的解集是（ ）

（A）(2,1)(1,2) （B）(3,1)(2,) （C）(3,1) （D）(2,0)(2,)

8.已知函数()yfx是偶函数，(2)yfx在[0,2]上是减函数，则（ ）

（A）(0)(1)(2)fff （B）(1)(0)(2)fff

（C）(1)(2)(0)fff （D）(2)(1)(0)fff

9.定义在R上的偶函数()fx满足：对任意12,[0,)xx，且12xx，都有1212()()0fxfxxx，则（ ）

（A）(3)(2)(1)fff （B）(1)(2)(3)fff

（C）(2)(1)(3)fff （D）(3)(1)(2)fff

10.已知(31)4(1)()log(1)aaxaxfxxx，是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）

（A）(0,1) （B）1(0,)3 （C）11[,)73 （Ｄ）1[,1)7

11．函数11yx的单调减区间为 .

12.函数5()log(21)fxx的单调增区间是 .

13.已知函数()xafxe（a为常数），若()fx在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是 .

14．定义域为R的函数()fx在区间(,5)上单调递减，对任意实数t都有)5()5(tftf，那么(1)f，(9)f，(13)f的大小关系是 .

15.函数(2)yxx的单调递减区间是 . 听雪轩·白涛数学工作室 数学（必修一）辅导讲义

知识改变命运 4 细节决定成败

16．下列函数①3yx；②5log(1)yx；③21yx；④212xy；⑤112xy，其中在区间(0,)上是单调递增函数的序号是 .

17．证明函数xxxf1)(在(0,1)上是减函数.

18．若()fx是定义在1,1上的减函数，且满足(1)(32)fxfx，求x的取值范围.

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函数的图象和性质（二）

函数的单调性（二）—函数的最值

[自学目标]

1．理解函数的单调性，最大（小）值及其几何意义；

2．会求简单函数的最值.

[知识要点]

1．会用配方法，函数的单调性求简单函数最值；

2．会看图形，注意数形语言的转换.

[预习自测]

1．求下列函数的最小值

（1）xy1 ，3,1x （2）1,(0)yaxa，3,1x.

2．已知函数1)(2mxxxf，且(1)3f，求函数()fx在区间[2,3]内的最值.

3．已知函数()yfx的定义域是[,]ab，acb，当[,]xac时，()fx是单调增函数；当[,]xcb时，

()fx是单调减函数，试证明()fx在xc时取得最大值.

[课内练习]

1．函数()21fxx在[1,2]上的最大值和最小值分别是 （ ）

（A）3，0 （B）3，-3 （C）2，-3 （D）2，-2

2．xy1在区间1,2上有最大值吗？有最小值吗？

3．求函数223,2,0yxxx的最小值.

4．已知()fx在区间[,]ac上单调递减，在区间[,]cd上单调递增，则()fx在[,]ad上的最小值为 .

5．填表已知函数()fx,的定义域是F，函数()gx的定义域是G，且对于任意的Gx，Fxg)(，试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空.

()fx ()gx ()()fxgx ()()fxgx

增 增

增 减 听雪轩·白涛数学工作室 数学（必修一）辅导讲义

知识改变命运 6 细节决定成败

减 增

减 减

[归纳反思]

1．函数的单调性是函数的重要性质之一，在应用函数的观点解决问题中起着十分重要的作用；

1． 利用函数的单调性来求最值是求最值的基本方法之一；

2． 在解决问题时，要注意化归与转化思想和数形结合思想的应用.

[巩固提高]

1．函数2()fxxx在[3,0]的最大值和最小值分别是 （ ）

（A）0，-6 （B）41 ，0 （C）41，-6 （D）0，-12

2．已知二次函数2()23fxxmx在2,上是减函数，在,2上是增函数，

则实数m 的取值是 （ ）

（A） -2 （B） -8 （C） 2 （D） 8

3．已知函数2()61(0)fxaxaxa，则下列关系中正确的是 （ ）

（A）(2)(3)ff （B）(5)(3)ff （C）(1)(1)ff （D）(2)(3)ff