第3讲 函数的单调性(学案)

1 函数的单调性与最值

导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．

自主梳理

1．单调性

(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2))，那么就说f(x)在区间D上是______________．

(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔fx1－fx2x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是________．

(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________．

(4)函数y＝x＋ax(a>0)在 (－∞，－a)，(a，＋∞)上是单调________；在(－a，0)，(0，a)上是单调______________；函数y＝x＋ax(a<0)在______________上单调递增．

2．最值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的____________．

自我检测

1．若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )

A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增

2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有 ( )

A．f(a)f(a)

3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( )

1 文登一中高一数学组教学案

1.2.1函数的单调性（3）——复合函数的单调性 （ ）月（ ）日

编者: 温芳 审稿人：王江玮、孙玉强 星期 授课类型：新授课

1、学习目标： （1）会由图像求分段函数的单调性；

（2）会求复合函数的单调性；

2、重点难点：复合函数的单调性

3、教学方法：自主探究，小组合作

课堂内容展示

一、自主学习：分段函数的单调性

1、求下列函数的增区间与减区间

⑴xy23 ⑵y＝|x2＋2x－3|

⑶)0()3()0()3(xxxxxxy

二、 合作探究：复合函数的单调性 规律总结

1. 求xy的单调区间。 2.求762xxy的单调区间

练习：求单调区间

（1）822xxy （2）652xxy

小结：

规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。

注意：单调区间必须是 的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.

课堂小结 本节课学了哪些重要内容？试着写下吧！

本节反思 反思一下本节课，应该注意哪些问题呢？

2 三、当堂检测

1、下列函数中：

①1()fxx； ②221fxxx； ③()fxx； ④()1fxx．

其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有 ．

2、函数yxx的递增区间是 ．

3、 函数22yxx的单调递增区间为 .

4. 函数3522xxy的单调递减区间为 。

3．1.2　函数的单调性

第1课时　单调性的定义与证明

课程标准

借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用

和实际意义．

新知初探·自主学习——突出基础性

教材要点

知识点一　定义域为A的函数f(x)的单调性

状元随笔　定义中的x1，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x

1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一

般；

(2)有大小，通常规定x

1＜x2；

(3)属于同一个单调区间．

知识点二　单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区

间上具有(严格的)________，区间M叫做y＝f(x)的________．

状元随笔　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用

“和”连接. 如函数y＝1

x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1

x

在

1(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．

知识点三　函数的最值

一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x

0)，

则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)

max＝f(x0))，而x

0称为f(x)的最大值点；如果对任意

x∈D，都有f(x)≥f(x

0)，则称f(x)的最小值为f(x

0)(记作f(x)

min＝f(x0))，而x

0称为f(x)的

最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．

状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－

x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.

　基础自测

1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )

A．m＞1

2 B．m＜1

2

C．m＞－1

2D．m＜－1

2

2．函数f(x)＝1

x在[1，＋∞)上( )

A．有最大值无最小值

B．有最小值无最大值

C．有最大值也有最小值

D．无最大值也无最小值

3．若f(x)在R上是增函数，且f(x

1 第3讲 函数的奇偶性与单调性

考点梳理

一．奇、偶函数的概念

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．

如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

二．函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.但f(0)＝0不能说f(x)为奇函数。(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．

考点自测

1．(2012·海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．

解析 由f(0)＝0，得b＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.

答案 －3

2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

解析 由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝13.

答案 13

2 3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f13的x的取值范围是________．

解析 f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，