2015年天津卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
本试卷共22题，共150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，
则集合A∩∁
UB=（ ）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．18 D．40
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．﹣10 B．6 C．14 D．18
4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2
+x﹣2＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，
MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
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A． B．3 C． D．
6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点
在抛物线y2
=4x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|
﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log
0.53），b=f（log
25），
c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）
﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
二.填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 ．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3
．
11．（5分）曲线y=x2
与y=x所围成的封闭图形的面积为 ．
12．（5分）在（x﹣）6
的展开式中，x2
的系数为 ．
13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2
，
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cosA=﹣，则a的值为 ．
14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC
和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 ．
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sin2
x﹣sin2
（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．
16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲
协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员
中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A
发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A
1B
1C
1D
1中，侧棱AA
1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA
1=2，
AD=CD=，且点M和N分别为B
1C和D
1D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D
1﹣AC﹣B
1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A
1B
1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A
1E的长．
18．（13分）已知数列{a
n}满足a
n
+2=qa
n（q为实数，且q≠1），n∈N*
，a
1=1，a
2=2，且a
2+a
3，a
3+a
4，
a
4+a
5成等差数列
（1）求q的值和{a
n}的通项公式；
（2）设b
n=，n∈N*
，求数列{b
n}的前n项和．
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19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上
且位于第一象限，直线FM被圆x2
+y2
=截得的线段的长为c，|FM|=．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn
，x∈R，其中n∈N•
，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任
意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x
1，x
2，求证：|x
2﹣x
1|＜+2．
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学(参考答案)
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，
7}，∴∁
UB={2，5，8}，则A∩∁
UB={2，5}．故选：A．
2．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．由，解得，即A（0，3）
将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．
3．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1，i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．
4．
【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2
+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2
+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．
5．
【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，
又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．
6．
【解答】解：由题意，=，
∵抛物线y2
=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2
=4x的准线上，
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∴c=，∴a2
+b2
=c2
=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．
7．
【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|
﹣1=2|x﹣m|
﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2
=（x﹣m）2
；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|
﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log
0.53|）=f（log
23），b=f（log
25），c=f（0）；
∵0＜log
23＜log
25；∴c＜a＜b．故选：C．
8．
【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2
，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2
+2﹣|2﹣x|=x2
﹣5x+8．
即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2
=（x+）2
+≥，
当x＞2时，h（x）=x2
﹣5x+8=（x﹣）2
+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，
故选：D．
9．
【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
10．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为
V
几何体=2×π•12
×1+π•12
•2=π．故答案为：π．
