2015年高考文科数学天津卷(含详细答案)
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数学试卷 第1页（共30页） 数学试卷 第2页（共30页） 数学试卷 第3页（共30页） 绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB=+.
柱体的体积公式VSh=，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高.
锥体的体积公式13VSh=.其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U=，集合{2,3,4}A=，集合{1,3,4,6}B=，则集合AUBð=
（ ）
A．{3} B．{2,5} C．{1,4,6} D．{2,3,5} 2．设变量,yx满足约束条件2020280xxyxy≤，≤，≤，ì-ïï-íï+-ïî则目标函数3zxy=+的最大值为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．设xRÎ，则“12x<<”是“|2|1x-<”的 （ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线22221(0,0)xyabab-=>>的一个焦点为(2,0)F，且双曲线的渐近线与圆2223xy（）-+=相切，则双曲线的方程为 （ ）
A．221913xy-= B．221139xy-=
C．2213xy-= D．2213yx-= 6．如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为 （ ）
A．83
B．3
C．103
D．52
7．已知定义在R上的函数||()21xmfx-=-（m为实数）为偶函数.记0.5(log3)af=，2(log5)bf=，(2)cfm=，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A．abc<<
B．cab<<
C．acb<<
D．cba<<
8．已知函数22|| ,2()(2) ,2xxfxxx≤，＞，ì-ï=í-ïî函数()3(2)gxfx=--，则函数()()yfxgx=-的零点个数为 （ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
姓名________________ 准考证号_____________ 数学试卷 第4页（共30页） 数学试卷 第5页（共30页） 数学试卷 第6页（共30页） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2．本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.
9．i是虚数单位，计算12i2i-+的结果为___________.
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为___________3m.
11．已知函数lnfxaxx（）=，0,x（）??，其中a为实数，fx（）¢为fx（）的导函数.若'13f=（），则a的值为___________.
12．已知0,0,8,abab>>=则当a的值为_________时，22log log2ab（）取得最大值.
13．在等腰梯形ABCD中，已知ABDC∥，2AB=，1BC=，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和CD上，且23BEBC=，16DFDC=，则 AEAF的值为_________.
14．已知函数sincos0fxxx（）（）www=+>，xRÎ.若函数fx（）在区间,（）ww-内单调递增，且函数y=fx（）的图象关于直线xw=对称，则w的值为_________.
三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为1A，2A，3A，4A，5A，6A.从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为5A和6A的两名运动员至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率. 16．（本小题满分13分）
△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，2bc-=，1cos4A=-.
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求πcos26A（）+的值.
17．（本小题满分13分）
如图，已知1AA^平面ABC，11BBAA∥，AB=AC=3，25BC=，17AA=，127BB=，点E和F分别为BC和1AC的中点.
（Ⅰ）求证：EF∥平面11ABBA；
（Ⅱ）求证：平面1AEA^平面1BCB；
（III）求直线11AB与平面1BCB所成角的大小.
18．（本小题满分13分）
已知{}na是各项均为正数的等比数列，{}nb是等差数列，且111ab==，2332bba+=，
5237ab-=.
（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；
（Ⅱ）设nnncab=，nÎ*N，求数列{}nc的前n项和.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆22221(0)xyabab+=>>的上顶点为B，左焦点为F,离心率为55.
（Ⅰ）求直线BF的斜率；
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，||=||PMMQl.
（i）求l的值；
（ii）若75||sin=9PMBQPÐ，求椭圆的方程.
20．（本小题满分14分）
已知函数4()4fxxx=-，xRÎ.
（Ⅰ）求()fx的单调区间；
（Ⅱ）设曲线()yfx=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()ygx=，求证：对于任意的实数x，都有()()fxgx≤；
（III）若方程()=()fxaa为实数有两个实数根12xx，，且12xx＜，求证：132143axx≤--+. 3 / 10
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】{235}{25}UACB，，，，，则(){25}UAB，ð，故选B．
【提示】求出集合B的补集，然后求解交集即可.
【考点】集合运算.
2.【答案】C
【解析】513=(2)(28)9922zxyxxy，当23xy，取得最大值9，故选C．此题也可画出可行域，借助图像求解.
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.
【考点】线性规划
3.【答案】C
【解析】
由程序框图可知：0101927iSiSiS，；，；，；34iS，；.4i,0.S
故选C．
【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的iS，的值，当0S时满足条件1S，退出循环，输出i的值为4.
【考点】程序框图.
4.【答案】A
【解析】由2112113xxx，可知“12x”是“21x”的充分而不必要条件，故选A．
【提示】求解||21x＜，得出“12x”，根据充分必要条件的定义判断即可.
【考点】不等式、充分条件与必要条件. 数学试卷 第10页（共30页） 数学试卷 第11页（共30页）
数学试卷 第12页（共30页） 5.【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线0bxay与圆22(2)3xy相切，得2223bab，由222cab，解得13ab，，故选D．
【提示】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径，求出ab，的关系，结合焦点为(20)F,，求出ab，的值，即可得到双曲线的方程.
【考点】圆与双曲线的性质.
6.【答案】A
【解析】由相交弦定理，得83CMMDCMMDCNNENECN，故选A．
【提示】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可.
【考点】相交弦定理.
7.【答案】B
【解析】因为21xmfx为偶函数，所以0m，即()21xfx.
221log3log30.521(log3)log21213123aff，2log52(log5)214bf.
0(2)(0)210cfmf，所以cab＜＜.故选B．
【提示】根据函数的奇偶性得出21021210xxmxxfxx，，，利用单调性求解即可.
【考点】奇偶性质，对数运算.
8.【答案】A
【解析】当0x时，22fxx此时方程2()()1fxgxxx的小于零的零点为152x；
当02x时，(2)22fxxx，方程()()231fxgxxx无零点；
当2x时，(2)224fxxx，方程22()()(2)155fxgxxxxx大于2的零点有一个，故选A．
【提示】求出函数()-()yfxgx的表达式，构造函数()()(2)hxfxfx，分类讨论进行求解即可.
【考点】函数与方程.
第Ⅱ卷
二、填空题
9.【答案】i
