2018_2019学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率__导数讲义含解析苏教版

1．1.2 瞬时变化率——导数

曲线上一点处的切线

如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．

问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？

提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．

问题2：割线PPn斜率是什么？

提示：割线PPn的斜率是kn＝f(xn)－f(x0)xn－x0.

问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？

提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．

问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？

提示：能．

1．割线

设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．

2．切线

随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线.

瞬时速度与瞬时加速度

一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间．

问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？

提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为8－3(1＋Δt)2－8＋3×12Δt＝－6－

3Δt.

问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？

提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.

1．平均速度

运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．

2．瞬时速度

一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0＋Δt)－S(t0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．

3．瞬时加速度

一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v(t0＋Δt)－v(t0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．

导 数

1．导数

设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

2．导数的几何意义

导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．

3．导函数

(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数．

(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．

1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．

2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．

[对应学生用书P5]

求曲线上某一点处的切线

[例1] 已知曲线y＝x＋1x上的一点A2，52，用切线斜率定义求：

(1)点A处的切线的斜率；

(2)点A处的切线方程．

[思路点拨] 先计算f(2＋Δx)－f(2)Δx，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值．

[精解详析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋12＋Δx－2＋12＝－Δx2(2＋Δx)＋Δx，

∴ΔyΔx＝－Δx2Δx(2＋Δx)＋ΔxΔx＝－12(2＋Δx)＋1.

当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于34，

即点A处的切线的斜率是34.

(2)切线方程为y－52＝34(x－2)，

即3x－4y＋4＝0.

[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．

1．曲线y＝－12x2－2在点P1，－52处的切线的斜率为________．

解析：设P1，－52，Q1＋Δx，－12(1＋Δx)2－2，则割线PQ的斜率为kPQ＝－12(1＋Δx)2－2＋52Δx＝－12Δx－1.

当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，所以曲线y＝－12x2－2在点P1，－52处的切线的斜率为－1.

答案：－1

2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________．

解析：设P点坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx.

当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，

因此4x0＋4＝16，即x0＝3，

所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.

即P点坐标为(3,30)．

答案：(3,30)

3．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．

解：设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－(1＋Δx))，

则kAB＝3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx，

当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.

切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.

瞬时速度

[例2] 一质点按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．

[思路点拨] 先求出质点在t＝2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．

[精解详析] 因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔSΔt＝4a＋aΔt.

当Δt无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于4a.

所以t＝2 s时的瞬时速度为4a m/s.

故4a＝8，即a＝2.

[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量ΔS，再求出平均速度v＝ΔSΔt，最后计算当Δt无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．

4．一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为________．

解析：由于ΔS＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，

所以ΔSΔt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt.

当Δt无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于常数－1.

故物体在t＝2时的瞬时速度为－1.

答案：－1

5．如果一个物体的运动方程S(t)＝ t2＋2，0≤t<3，29＋3(t－3)2，t≥3，试求该物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．

解：当t＝1时，S(t)＝t2＋2，

则ΔSΔt＝S(1＋Δt)－S(1)Δt＝(1＋Δt)2＋2－3Δt＝2＋Δt，

当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2，

所以v(1)＝2；

∵t＝4∈[3，＋∞)，

∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，

∴ΔSΔt＝3(4＋Δt)2－18(4＋Δt)＋56－3×42＋18×4－56Δt

＝3Δt2＋6·ΔtΔt＝3·Δt＋6，

∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6→6，即ΔSΔt→6，

所以v(4)＝6.

导数及其应用

[例3] 已知f(x)＝x2－3.

(1)求f(x)在x＝2处的导数；

(2)求f(x)在x＝a处的导数．

[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．

[精解详析] (1)因为ΔyΔx＝f(2＋Δx)－f(2)Δx

＝(2＋Δx)2－3－(22－3)Δx

＝4＋Δx，

当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，

所以f(x)在x＝2处的导数等于4.

(2)因为ΔyΔx＝f(a＋Δx)－f(a)Δx

＝(a＋Δx)2－3－(a2－3)Δx

＝2a＋Δx，

当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，

所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.

[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：

(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；

(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．

6．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．

解析：∵函数y＝f(x)＝x＋1x，

∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)

＝1＋Δx＋11＋Δx－1－1＝(Δx)21＋Δx，

∴ΔyΔx＝Δx1＋Δx，当Δx→0时，ΔyΔx→0，

即y＝x＋1x在x＝1处的导数为0.

答案：0

7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.

解析：∵f(1＋Δx)－f(1)Δx＝a(1＋Δx)＋4－a－4Δx＝a，

∴f′(1)＝a，即a＝2.

答案：2

8．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．