全国通用2017届高考数学一轮总复习第八章立体几何8.4直线平面垂直的判定与性质课件理新人教B版

考点清单

考点直线、平面垂直的判定与性质

考向基础

1 •线面垂直的判定和性质

类别 文字语言 图形语言 符号语言

判定 如果一条直线与一个 平面内的两条相交直 线都垂直.则该直线与 此平面垂宜（即线线垂 宜=>

线面垂直）

1

7 I丄丄h \

① ? =>/ ±a

丿 破考点 考点考向清单 考点题霸集训 如果两条平行直线中 的一条垂肖于一个平 面，那么另一条也垂直 于这个平面 a

4 2 b 7 a//b) _ =②_ a丄a丿

性质 如果一条直线和一个 平面垂直，则这条直线 垂直于平面内任意一 条直线（即线面乖直斗 线线垂直）

a a丄a

bCa, （=③

垂直于同一个平面的 两条直线平行

a

b k a丄a b丄a, ，=＞④

2 •面面垂直的判定和性质

类别 文字语言 图形语言 符号语言

判定 两个平面相交，如果

它们所成的二面角 是直二面角，就说这 两个平面互相垂直 a

/ / /卩 B 4

- 乙AOB是二面角a -/-Q的平面角，且

CO氏⑤ ，

贝1] °丄0

如果一个平面过另 一个平面的垂线，则 这两个平面互相垂 直（即线面垂直n面 面垂直）

y 卧⑥

续表

类别 文字语言 图形语言 符号语言

性质 如果两个平面垂直9

则其中一个平面内 垂直于交线的直线 垂直于另一个平面

V a丄B "

aC\/i=a

心

IS

-Z

如果两个相交平面同

时垂直于第三个平

面，那么它们的交线

垂直于第三个平面 a

^0/3=/? 仪丄y ,

0丄y J 3•直线与平面所成的角

(1) 斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的

射影所成的⑨ ，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(2) 当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和 平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0。.

⑶直线Z与平面a所成角&的取值范围

直线/和平面a 的位置关系 /Ca 或 /丄a /和a

（全国通用）高考数学一轮总复习第八章立体几何8.4直线、平面垂直的判定与性质专用题组理新人教B版

1 / 13 §8.4 直线、平面垂直的判定与性质

考点 垂直的判定与性质

13.(2014浙江,20,15分)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.

(1)证明:DE⊥平面ACD;

(2)求二面角B-AD-E的大小.

解析 (1)证明:在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,

由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE,

所以AC⊥DE.又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD.

(2)解法一:作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连结BG,

由(1)知DE⊥AD,则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角.

在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB.

由AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.

在Rt△ACD中,由DC=2,AC=,得AD=.

在Rt△AED中,由ED=1,AD=,得AE=.

在Rt△ABD中,由BD=,AB=2,AD=,得BF=,AF=AD.从而GF=.

在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=,BG=.

在△BFG中,cos∠BFG==.

所以,∠BFG=,即二面角B-AD-E的大小是.

解法二:以D为原点,分别以射线DE,DC为x轴,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.

（全国通用）高考数学一轮总复习第八章立体几何8.4直线、平面垂直的判定与性质专用题组理新人教B版

2 / 13 由题意及(1)知各点坐标如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,),B(1,1,0).

1 专题8.4 直线、平面平行垂直的判定及其性质

【基础巩固】

一、填空题

1．(2017·南京调研)对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．

【答案】必要不充分

【解析】若m⊂α，l⊥m，则直线l与平面α垂直、相交、平行或直线l在平面α内都有可能，充分性不成立；若m⊂α，l⊥α，则l⊥m，必要性成立，所以“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．

2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，给出下列命题：

①过点P垂直于平面α的直线平行于平面β；

②过点P垂直于直线l的直线在平面α内；

③过点P垂直于平面β的直线在平面α内；

④过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β.

其中假命题为________(填序号)．

【答案】②

3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

【答案】4

【解析】∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

4．在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．

【答案】①②

【解析】如图， 2

∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，

DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，

∴AC∥平面PDE.故①②正确．

5．(2017·苏北四市联考)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.

专题8.4 直线、平面平行垂直的判定及其性质

【基础巩固】

一、填空题

1．(2017·南京调研)对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．

【答案】必要不充分

【解析】若m⊂α，l⊥m，则直线l与平面α垂直、相交、平行或直线l在平面α内都有可能，充分性不成立；若m⊂α，l⊥α，则l⊥m，必要性成立，所以“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．

2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，给出下列命题：

①过点P垂直于平面α的直线平行于平面β；

②过点P垂直于直线l的直线在平面α内；

③过点P垂直于平面β的直线在平面α内；

④过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β.

其中假命题为________(填序号)．

【答案】②

3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

【答案】4

【解析】∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

4．在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．

【答案】①②

【解析】如图，

∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，

DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，

∴AC∥平面PDE.故①②正确．

5．(2017·苏北四市联考)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.