研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二
习题二
1．化下列矩阵为Smith 标准型：
（1）222211λλλλ
λλλλλ??
-??
-+-??
; （2）2222
00
000
00(1)00000λλλλλλ
-?
-??
-??
; （3）2222
232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ??
+--+-??+--+-+---??
;
(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ++?? -----??
. 解：（1）对矩阵作初等变换
23221311(1)100
10
000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-→-→?
-++
，
则该矩阵为Smith 标准型为
+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为
44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为
22
2341234123()()()
()1,()(1),()(1),()(1)()()()
D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ==
=-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00
00(1)λλλλλλ??
--??
-??；（3）对矩阵作初等变换
故该矩阵的Smith 标准型为
+--)1()1(112
λλλ; (4)对矩阵作初等变换
在最后的形式中，可求得行列式因子
3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为
2541234534()()
()()()1,()(1),()(1)()()
D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ====
=-==-故该矩阵的Smith 标准形为
2
1
0000
010
0000100000(1)00
00
0(1)λλλλ
-??
-??
. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：
（1）
21
0021002λλλ-----??；
（2）100
1000
λαββλα
λαββ
λα+-+?
+??-+??
；
（3）1
00100015
4
32λλ
λλ--?
-??
+??
；（4）0
012012012002000λλλλ+++??+??
. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故而33()(2)D λλ=-，
所以该λ-矩阵的不变因子为
2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;
（2）当0β=时，由于
4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，
故不变因子为
12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+
当0β≠时，由于
224()[()]D λλαβ=++，
且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为
2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，
则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;
（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故而
4324()2345D λλλλλ=++++，
所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;
（4）该λ-矩阵的行列式因子为
123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,
所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.
3．求下列λ-矩阵的初等因子：
（1）333232
212322λλλλλλλλ??++??--+--+??；（2）322322 2212122122λλλλλλλλλλ??-+--+??-+--??
. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为
212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，
故初等因子为2
1,(1)λλ+-；
(2) 该λ-矩阵的行列式因子为
212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，
故不变因子为
因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.
4．求下列矩阵的Jordan 标准形：
（1）131616576687------??；（2）452221111-----??；（3）3
732524103---??
--??
；
（4）111333222-----??；（5）***********????-????--??
；（6）1
234012300120
001??
. 解：（1）设该矩阵为A ，则
2
10001000(1)(3)E A λλλ??
-→??
-+??
，
故A 的初等因子为
2(1)(3)λλ-+，
则A 的Jordan 标准形为
300011001-
；（2）设该矩阵为A ，则
3
10
001000(1)E A λλ-→??
