苏科版2022年九年级数学上册 《确定圆的条件》教材预习辅导讲义(附解析)

苏科版九年级上册圆知识点精讲圆是几何学中最基础的概念之一，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也随处可见。

今天我们就来精讲苏科版九年级上册关于圆的知识点，深入了解圆的性质和相关定理。

1. 圆的定义圆是由在同一平面内离该平面一定距离的所有点组成的集合。

其中，距离被定义为圆心到圆上任意点的距离，称为半径。

2. 圆的性质(1) 圆心：圆心是圆上任意两点间的线段的中点，用字母O表示。

(2) 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。

(3) 直径：直径是通过圆心且在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。

(4) 弦：弦是圆上两点之间的线段。

(5) 弧：弧是圆上的一段弯曲部分。

(6) 弧长：弧长是弧的长度，在计算时用字母L表示。

(7) 圆周：围绕圆形的线段，它的长度用字母C表示。

3. 圆的相关定理(1) 圆的半径相等性质：在同一圆中，任意两条半径相等。

(2) 弧对应角相等定理：在同一圆中，对应于同一弧的两个交角相等。

(3) 弧的度数：一个弧所对应的圆心角的度数等于这个扇形所占的整个圆所对应的度数。

(4) 弧长公式：弧长L等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长C。

(5) 弦切定理：如果一条切线与一条弦相交，那么它的切点到圆心的线段是弦的中垂线。

(6) 切线与半径的垂直性：当半径和切线相交时，相交点处的半径垂直于切线。

通过对这些圆的性质和相关定理的理解，我们可以在解决几何问题时灵活运用，进一步推导和分析。

同时，这也为我们理解更高级的几何知识打下了基础。

4. 应用示例(1) 例题一：已知圆的半径是3cm，求圆的面积。

解答：圆的面积公式为A = πr²，其中r是半径。

代入已知条件，即可求得圆的面积为A = 3.14×(3)² = 28.26cm²。

(2) 例题二：已知圆的周长是10π，求圆的半径。

解答：圆的周长公式为C = 2πr，其中r是半径。

第20讲确定圆的条件
新知新讲
探究与实践
1.平面上有一点A, 经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
2.平面上有两点A、B, 经过已知点A、B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
思考：经过已知的三点作圆, 这样的圆能作出多少个？
3.平面上有不共线的三点A、B、C, 经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个．
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点, 它到三角形三个顶点的距离相等.
想一想：一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？
做一做：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形, 再画出它们的外接圆, 观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
金题精讲
题一：判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
题二：若一个三角形的外心在一边上, 则此三角形的形状为( )
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 等腰三角形
第20讲确定圆的条件金题精讲
题一：(1)√ (2)× (3)× (4)√题二：B
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2.1 圆圆的定义1. 圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．【点拨】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.【点拨】①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇔d ＜r ；点P在圆上⇔d = r ；点P在圆外⇔d ＞r.教材知识总结“ ”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.【点拨】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.【点拨】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【点拨】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。

苏科版九年级数学说课稿：第22讲确定圆的条件一. 教材分析《苏科版九年级数学》第22讲“确定圆的条件”是本册书的重要内容之一。

本讲主要介绍了确定圆的条件，包括圆的定义、圆的性质以及如何根据给定的条件确定一个圆。

通过本讲的学习，学生能够掌握圆的基本概念和性质，理解圆与其他几何图形的关系，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对平面几何图形的性质和判定有一定的了解。

但是，对于圆这一几何图形的认识还不够深入，对于圆的性质和应用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生主动探索、思考，提高学生的数学素养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解圆的定义和性质，掌握确定圆的条件，能够运用圆的相关知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆的定义和性质，确定圆的条件。

2.教学难点：圆的性质的证明和应用，圆与其他几何图形的关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、探究式教学法、小组合作教学法等，引导学生主动探索、思考，提高学生的数学素养。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学辅助工具，直观展示圆的性质和应用，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习已学过的几何图形的性质，引导学生回顾平面几何的基本概念，为新课的学习做好铺垫。

2.新课导入：介绍圆的定义和性质，引导学生理解圆的概念，并通过实物模型或多媒体课件展示圆的特性。

3.知识讲解：讲解确定圆的条件，包括圆的半径、圆心等，并结合实例进行解释说明。

4.课堂互动：引导学生通过观察、操作、思考，探索圆的性质，并与同学进行交流讨论，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

确定圆的条件（2种题型）1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；一．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．二．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．一．确定圆的条件（共5小题）1．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等C．过三点可以画一个圆D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧【分析】根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．【解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2016秋•太仓市校级期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．3．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．4．（2022秋•江宁区校级月考）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、圆的有关定义及确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；③直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，正确，符合题意，正确的有2个，故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等弧的定义、圆周角定理、圆的有关定义及确定圆的条件，难度不大．5．（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置是解此题的关键．二．三角形的外接圆与外心（共20小题）6．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（）A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC 的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．7．（2023•姑苏区校级二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝°．【分析】连接BG，由折叠的性质得出BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠BCE＝∠BFE，由正方形的性质得出AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，证明Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），证出∠ABG＝∠FBG，求出∠GBE ＝∠ABC＝45°，则可得出答案．【解答】解：连接BG，∵将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，∴BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠＝∠BFE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AB＝BF，∵BG＝BG，∴Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），∴∠ABG＝∠FBG，∴∠ABG＝∠FBG，∴∠GBE＝∠ABC＝45°，∵四边形GBEO为圆内接四边形，∴∠EBG+∠EOG＝180°，∴∠EOG＝180°﹣∠EBG＝135°，故答案为：135．【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．8．（2022秋•江阴市校级月考）（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径；（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）在弧上任取三点A，C，C，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心P，于是得到结论．【解答】解：（1）如图（1）所示，点O即为所求；外接圆半径＝＝；故答案为：；（2）如图（2）所示：⊙P【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．9．（2023•无锡二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（）A．三条高的交点B．内心C．外心D．重心【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．即凳子应放在△ABC的外心上．故选：C．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答本题的关键．10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】由∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，求得∠BAE＝15°，则所对的圆心角等于30°，所以的度数为30°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∵已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，∵∠BAE是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于2×15°＝30°，∴的度数为30°，故选：D．【点评】此题重点考查正多边形与圆、正方形及等边三角形的性质、圆周角定理、弧的度数等知识，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解题的关键．11．（2022秋•太仓市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD为⊙O的直径，则AD的值为（）A．6B．C．3D．【分析】先根据“等边对等角”得出∠C的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠D的度数，从而得出直径BD的长度，最后根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，∴，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴BD＝2AB＝6，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：．故选：D．【点评】本题主要考查了“等边对等角”，“同弧所对的圆周角相等”，“直径所对的圆周角为直角”，“在直角三角形中，30°角所对的边为斜边的一半”，勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．12．（2022秋•梁溪区校级期中）三角形的外心具有的性质是（）A．外心在三角形外B．外心在三角形内C．外心到三角形三边距离相等D．外心到三角形三个顶点距离相等【分析】三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质即可确定．【解答】解：根据三角形外心的定义，可知三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．13．（2023•邗江区校级二模）如图，⊙O的直径为m，△ABC是⊙O的内接三角形，AB的长为x，AC的长为y，且x+y＝6，AD⊥BC于点D，AD＝1，则m的最大值为．【分析】过点A作⊙O的直径AE，连接CE，根据圆周角定理，可证得△ABD∽△AEC，根据相似三角形的性质，可得m＝xy，再由x+y＝6，即可得m＝﹣（x﹣3）2+9，根据二次函数的性质，即可求解．【解答】解：如图：过点A作⊙O的直径AE，连接CE，则AE＝m，∠ACE＝90°，∠ABD＝∠AEC，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°，∴△ABD∽△AEC，∴，∴，∴m＝xy，∵x+y＝6，∴y＝6﹣x，∴m＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴当x＝3时，m取最大值，最大值为9，故答案为：9．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得到m关于x或y的二次函数关系式是解决本题的关键．14．（2022秋•阜宁县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝4，则⊙O的半径是．【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，如图，连接BD，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，∴BD＝BC＝×4＝4，∴CD＝2BD＝8，∴OC＝4，即⊙O的半径是4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．15．（2021秋•海州区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于．【分析】连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，得到∠BCD＝90°，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，根据含30°角直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠BCD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠D＝∠BAC＝30°，∵BC＝2，∴BD＝2BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．（2022•亭湖区校级模拟）如图1，它是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝4，AC＝2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O 重合时运动结束、在整个运动过程中，点C运动的路程是．【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC 保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3．【解答】解：如图3，连接OG．∵∠AOB是直角，G为AB中点，∴GO＝AB＝半径，∴原点O始终在⊙G上．∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝，连接OC，则∠AOC＝∠ABC，∴tan∠AOC＝，∴点C在与x轴夹角为∠AOC如图4，C1C2＝OC2﹣OC1＝4﹣2＝2；如图5，C2C3＝OC2﹣OC3＝；∴总路径为：C1C2+C2C3＝＝，【点评】此题主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．17．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O 是△ABC的外接圆．（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．【分析】（1）连接EM，DM，根据垂直定义可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，从而可得EM＝BM＝DM＝CM，即可解答；（2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，根据三角形的高是交于一点的可得AG⊥BC，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAH＝∠BCH＝90°，从而可得AG∥CH，AH∥CE，然后利用平行四边形的判定可得四边形AFCH是平行四边形，从而可得CF＝AH＝6，最后在Rt △BAH【解答】解：（1）点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由：连接EM，DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵M是BC的中点，∴EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，∴EM＝BM＝DM＝CM，∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上；（2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，∴AG⊥BC，∵BH是⊙O的直径，∴∠BAH＝∠BCH＝90°，∴BA⊥AH，BC⊥CH，∴AG∥CH，∵CE⊥AB，∴AH∥CE，∴四边形AFCH是平行四边形，∴CF＝AH＝6，在Rt△BAH中，AB＝8，∴BH＝＝＝10，∴△ABC外接圆的半径长为5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边上的中线，点与圆的位置关系，确定圆的条件，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2022秋•海州区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题．222222（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圆的半径．【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根据勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圆的半径为1．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程变形为（t﹣1）（t﹣4）＝5t（t﹣4），整理得，4t2﹣15t﹣4＝0，解得：t＝4或﹣，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝4，∴c＝＝2，∴Rt△ACB外接圆的半径为1．【点评】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．19．（2022秋•秦淮区期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（）A．8，8，8B．4，10，10C．4，8，10D．6，8，10【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．【解答】解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，∴BF＝CF＝4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，∴∠OBF＝∠ABC＝30°，∴OB＝＝＝，∴△ABC的外接圆的半径为；B、∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，∵AB＝AC＝10，∴＝，BD＝CD＝BC＝2，∴AE是⊙O的直径，AD＝＝＝4，∴∠ABE＝∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠EAB，∴△ADB∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴外接圆半径为；C、作AD⊥BC于点D，作直径AE，连接CE，在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即42﹣BD2＝82﹣（10﹣BD）2，解得BD＝，由勾股定理得，AD＝＝，∵AE为圆的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠ADB＝∠ACE，又∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，∴＝，即＝，解得AE＝，则外接圆半径＝，D、∵62+82＝102，∴此三角形是直角三角形，∴此三角形外接圆的半径为5，∴其外接圆半径最小的是A故选：A．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．（2023•秦淮区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为．【分析】连接OC，OB，OD，根据圆周角定理得到△OCB是等边三角形，根据旋转的性质得到∠COD＝90°，根据勾股定理得到．【解答】解：连接OC，OB，OD，CD，∵∠BOC＝2∠A＝60°，OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴，∵△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，∴∠COD＝90°，根据勾股定理．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．21．（2019秋•新北区校级期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD ＝°．【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．【解答】解：如图，连接BD，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心．22．（2022秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°（2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD ＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．【分析】（1）ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ABO ＝∠OBC，于是得到结论；（2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，在△AOB与△COB中，，∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°；（2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝30°，∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO，∴∠FAO＝∠DBO，在△FAD与△DBO中，，∴△FAD≌△DBO（SAS），∴OF＝OD，同理，OF＝OE，∴OF＝OE＝OD，∴点O也是△DEF的外心．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．23．（2022秋•惠山区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB 外接圆的半径．【分析】（1）利用换元法解方程即可解决问题；（2）利用换元法解方程可得c＝，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半即可解决问题．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程可变为（t+3）（t﹣3）＝27，解得t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，即t2﹣4t﹣5＝0，解得t1＝5，t2＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c2＝5，∴c＝，∴Rt△ACB外接圆的半径为．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，代数式求值，高次方程，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心．24．（2023•建邺区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D交BC于点E．过点D作DF∥BC，分别交AC于点G，⊙O于点F．（1）求证AC＝DF；（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF ＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可得出平行四边形DBCF，继而得出BC＝DF，又由AC＝BC，即可得答案；（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可得出AF＝EF，再证△ACF≌△FDE（SAS），得出CF＝DE＝BD＝3，再证△ABC∽△EBD，得出＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形，∴BC＝DF，∵AC＝BC，∴AC＝DF；（2）解：连接AE，AF，DE，EF，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF，∵DF∥BC，∴∠DFE＝∠FEC，∵∠FAC＝∠FEC，∴∠FAC＝∠DFE，∵AC＝DF，∴△ACF≌△FDE（SAS），∴CF＝DE，∴DE＝BD＝3，∴∠B＝∠DEB，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB，∴∠B＝∠CAB＝∠DEB，∴△ABC∽△EBD，∴＝，∴＝，∴BE＝3.6．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25．（2022秋•溧阳市期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ABC的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB 外接圆的半径．【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根据勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圆的半径为1．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程变形为t（t﹣4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，解得：t＝5或﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c＝＝，∴Rt△ACB外接圆的半径为．【点评】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦【答案】B【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可．【详解】A、能够重合的弧是等弧，弧长相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理是解题的关键．【答案】A【分析】根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．【详解】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心【答案】D【分析】根据圆的确定，垂径定理，弦，圆心角的关系，逐一进行判断即可．【详解】解：A、同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦的弦心距相等，选项说法错误，不符合题意；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，选项说法错误，不符合题意；D、弦的垂直平分线必经过圆心，选项说法正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握圆的确定，垂径定理，弦，圆心角的关系，是解题的关键．在平面直角坐标系中，则ABC的外【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【详解】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．【点睛】此题主要考查三角形的外心的定义，解题的关键是根据题意作出垂直平分线求解．5．（2021秋·江苏泰州·九年级统考期中）下列命题中真命题的是（ ）A ．长度相等的弧是等弧B ．相等的圆心角所对的弦相等C ．任意三点确定一个圆D ．外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形【答案】D【分析】根据等弧、圆心角与弦的关系、确定圆的条件、直角三角形的外心等知识一一判断即可．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A 中命题是假命题，不符合题意；B 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B 中命题是假命题，不符合题意；C 、不共线的三点确定一个圆，故C 中命题是假命题，不符合题意；D 、外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，是真命题，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及等弧、圆心与弦的关系、确定圆的条件、直角三角形的外心等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键．6．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ） A ．8，8，8B ．4，10，10C ．4，8，10D ．6，8，10 【答案】A【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．【详解】A 、∵ABC 是等边三角形，设O 是外心，∴4,BF CF AF BC ==⊥，BE 平分ABC ∠，∴1302OBF ABC ∠=∠=︒， ∴cos30BF OB ==︒，∴ABC 的外接圆的半径为，。

九年级上册数学《确定圆的条件》复习资料苏教版知识点通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略.重点：.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”.2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形.只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了.难点：分析作圆的方法，实质是设法找圆心.过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨.课后练习【例1】下面四个命题中真命题的个数是①经过三点一定可以做圆;②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆;③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形;④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.A.4个B.3个c.2个D.1个试题分析：若两平面有三个公共点，则这两个平面重合，此命题错误，若两平面相交，两个平面也有三个公共点。

两条直线可以确定一个平面，此命题错误，两条平行或相交直线确定一个平面，但两条异面直线不能确定一个平面。

若命题正确，若两平面有一个公共点，则两平面有一条过该点的公共直线。

空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内。

此命题错误，比如空间直角坐标系中在x轴、y轴、z轴。

点评：本题主要考查对公理的理解即把握，熟练掌握平面的基本性质与公理是做本题的关键。

【例2】在△ABc中，Bc=24cm，外心o到Bc的距离为6cm，求△ABc的外接圆半径.。

5.4确定圆的条件一、教材分析通过前几节课的学习，学生已经理解了圆的有关概念及性质，积累了一些动手操作的经验。

本节课主要是引导学生探索确定圆的条件，即不在同一条直线上的三点确定一个圆，同时了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。

为今后的继续学习圆的有关知识打下基础，尤其是对今后学习解析几何时求圆的方程起着十分重要的作用。

教学目标(一)知识目标：了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．(二)能力目标：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．进一步体会解决数学问题的策略．(三)情感目标：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．同时学会与人合作，与他人交流思维的习惯。

学习重点难点: 了解三角形的外接圆，三角形的外心、圆的内接三角形的概念。

会过不在同一条直线上的三点作圆。

二、学情分析心理学研究指出，初中阶段是智力和思想发展的关键年龄段，学生逻辑思维能力逐步发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展，由于学生在前面已经学过圆的有关概念，对圆的性质有了初步的认识；本节课通过教师引导、组织学生观察、比较、探究并以学生动手操作、教师设疑为切入口探究本节课的知识点，教师组织学生自主合作、主动探究的课堂教学活动，从而激发学生的创新意识和创新思维。

三、教法学法本课采用“引导启发、合作交流、自主探索”的方法，通过采用小组合作、相互交流的学习方式，给学生营造出探究知识的学习氛围。

每个学生都有参与数学活动的机会和空间，教师只起到引导和组织的作用。

考虑到学生的思维能力，我将使学生通过自己动手操作、思考、交流等活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，促使学生进行主动探究学习。

四、教学过程（一）创设情境：1、多媒体演示一副残轮片。

工人师傅要铸造一个和残轮片同样大小的圆轮，需要知道它的半径，你帮助工人师傅解决这一问题吗？理念：以生活中的素材作为本节课的情境导入，亲切自然，让学生感受到数学来源于生活，又服务与生活，从而激发学生学习的兴趣。

2.4 圆周角圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【点拨】（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.【点拨】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．教材知识总结【例题1】如图，A，B是O上的两点，点C在O内，点D在O外，AD，BD分别交O于点E，F．求证∠>∠ACB ADB．【例题2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD CD=，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．(1)求∠BAC的度数．(2)求∠BAD的度数．【例题3】如图，在ABC中，AB AC=，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF．(1)求证：B OEC∠=∠；(2)若6BC=，求AF的长．【例题4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．(1)试说明：点C也一定在⊙O上．(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．看例题，涨知识一、单选题1．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（）A．50°B．60°C．100°D．120°2．如图，,OA OB是O的两条半径，点C在O上，若80AOB∠=︒，则C∠的度数为（）A．30B．40︒C．50︒D．60︒3．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．65°4．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究．过程体现的数学思想是（）课后习题巩固一下A ．公理化思想B ．分类讨论思想C ．转化思想D ．建模思想6．如图，半圆的半径为6，将三角板的30︒角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A ，B ，则AB 的长度为（ ）A ．3B ．12C ．23D ．67．如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合），连接CP ．若150B ∠=，则APC ∠的度数不可能为（ ）A ．25B ．35C ．45D ．558．如图，AB 为O 直径，28BAC ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．56°B ．52°C ．60°D ．62°9．如图，△ABC 与△BCD 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，且∠ABC ＝50°，则∠D 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．20°D ．25°10．在锐角ABC 中，60ACB ∠=︒，∠BAC 、∠ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（ ） A ．120AMB ∠=︒ B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在ABC 的外接圆上二、填空题11．如图，点A 、B 、C 在O 上，90ACB AOB ∠+∠=︒，则ACB ∠的大小为______．12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ADC =130°，连接AC ，则∠BAC 的度数为___________．13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4．BD 为⊙O 的直径，则BD ＝_____．14．如图，AB 为O 的直径，点C ，D ，E 在O 上，且AD CD =，80E ∠=︒，则ABC ∠的度数为______．15．如图，在菱形ABCD 中，6BC =，120C ∠=︒，点E 是射线CD 上一点，连接BE ，点P 在BE 上，连接AP ，若BAP CBE ∠=∠，则ABP △面积的最大值为__________．16．如图，半圆的直径5cm AB =，弦3cm AC =，把AC 沿直线AD 对折，且AC 恰好落在AB 上，则AD 的长为__________．三、解答题17．如图，四边形ABCD 内接于120O AB AC ADC =∠=︒，，，求证：ABC 是等边三角形．18．已知：如图，ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，连接DE ，若BD DE =．求证：DE DC =．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．(1)求证∶CD=AD；(2)若AD3AB=2FD的长．20．已知△ABC，∠B=60°，32 ABBC=．(1)如图1，若23BC=AC的长；(2)试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）21．如图，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°．(1)若AB是⊙O的直径，求∠C的度数；(2)若∠C＝30°，求证AB是⊙O的直径．22．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．(1)求证：△ABE是等边三角形．(2)F是AD上一点，且F A＝FC，连接EF．求证：EF＝B C．2.4 圆周角解析圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【点拨】（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．圆内接四边形教材知识总结如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.【点拨】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【例题1】如图，A，B是O上的两点，点C在O内，点D在O外，AD，BD分别交O于点E，F．求证∠>∠ACB ADB．【答案】见解析【分析】延长BC交O于点G，连接AG，BE，根据圆周角定理以及三角形外角性质可得∠ACB=∠CAG+∠AEB，从而得到∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，即可求证．【解析】证明∶如图，延长BC交O于点G，连接AG，BE，∵∠AGB=∠AEB，∠ACB=∠AGB+∠CAG，∴∠ACB=∠CAG+∠AEB，∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，∴∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，∵点C在O内，点D在O外，看例题，涨知识∴∠CAG ＞0°，∠DBE ＞0°， ∴∠>∠ACB ADB ．【例题2】如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD CD =，∠ABD ＝33°，∠ACB ＝44°． (1)求∠BAC 的度数． (2)求∠BAD 的度数．【答案】(1)70°；(2)103°【分析】（1）由同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，可得∠CBD =∠ABD =33°，从而求得∠ABC =∠CBD +∠ABD =66°，最后在ABC 中，运用内角和定理，可求得∠BAC 的度数．（2）由同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAC ＝∠DBC ＝33°，结合（1）的结论，可求得∠BAD 的度数．【解析】(1)解：∵AD CD =， ∴∠CBD =∠ABD =33°， ∴∠ABC =∠CBD +∠ABD =66°，∴∠BAC =180°-∠ABC -∠ACB =180°-66°-44°=70°； (2)解：∵∠DAC ＝∠DBC ＝33°，∴∠BAD ＝∠BAC +∠DAC ＝70°+33°＝103°．【例题3】如图，在ABC 中，AB AC =，以AC 为直径作⊙O 分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接AF ． (1)求证：B OEC ∠=∠； (2)若6BC =，求AF 的长．【答案】(1)见解析；(2)3AF =【分析】（1）根据AB AC =，OC OE =，根据等边对等角即可得证；（2）证明四边形ABEF 是平行四边形，连接AE ，根据直径所对的圆周角是直角，根据等腰三角形的性质可得12CE BE BC ==，根据平行四边形的性质即可求得AF 的长．【解析】(1)AB AC=，B ACB∴∠=∠，OC OE∴=，OCE OEC∴∠=∠，B OEC∴∠=∠，(2)B OEC∠=∠，EF AB∴∥，AE AE=，AFE ACE∴∠=∠，ACE OEC∠=∠，AFE OEC∴∠=∠=FEC∠，AF BC∴∥，∴四边形ABEF是平行四边形，AF BE∴=，连接AE，AC是直径，AE BC∴⊥，AC AB=，CE BE∴=，AF BE ∴=132BC==，3AF∴=．【例题4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．(1)试说明：点C也一定在⊙O上．(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠PFE的度数不变，是45°(3)2EF≤8．【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得EF是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点C在圆上即可；（2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得PE=PF，得到∠PCB=45°，进而根据∠PCB=45°以及等弧所对的圆周角相等即可解决问题；（3）根据E点的移动，可知当E与C重合时，EF最长，而当EF为△ABC的中位线时，EF最短，即可求出线段EF的取值范围.OP OC，【解析】(1)如图，连接,∵FP⊥PE，∴∠FPE=90°，∴EF为直径，∴OP=OE=OF，∵∠C=90°，∴OC=OE=OF，∴点C在⊙O上，(2)连接PC∵AC =BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∵点P 是AB 的中点， ∴CP 平分∠ACB ， ∴∠ACP =45°， ∵=EP EP ， ∴∠BCP =∠PFE =45°， 由于∠BCP 的度数不变，∴∠PFE 的度数不会发生变化,为45°．(3)当E 与C 重合时，EF 最长，此时EF =AC =8；当EF 为△ABC 的中位线时，EF 最短，根据勾股定理可得AB 2， 根据三角形的中位线可得EF 2 所以2EF ≤8．一、单选题1．已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠C ＝1：2，则∠A ＝（ ） A ．50° B ．60°C ．100°D ．120°【答案】B【分析】设∠A ＝x ，则∠C ＝2x ，根据圆内接四边形的性质可得∠A +∠C ＝180°，进而问题可求解． 【解析】解：设∠A ＝x ，则∠C ＝2x ， ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A +∠C ＝180°， ∴x +2x ＝180°，解得，x ＝60°，即∠A ＝60°， 故选：B ．2．如图，,OA OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，若80AOB ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）课后习题巩固一下A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】B【分析】根据圆周角定理即可求解．【解析】∵,OA OB 是O 的两条半径，点C 在O 上， 80AOB ∠=︒ ∴∠C=12AOB ∠ =40°故选：B3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°【答案】A【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB =90°，然后根据∠CAB =65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【解析】解：∵AB 是直径， ∴∠ACB =90°， ∵∠CAB =65°，∴∠ABC =90°-∠CAB =25°， ∴∠ADC =∠ABC =25°， 故选：A ．4．如图，AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD =50°，则∠ACD 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】B【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．【解析】解：如图，连接BD，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=50°，∴∠ABD=90°-50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°．故选：B．5．在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究．过程体现的数学思想是（）A．公理化思想B．分类讨论思想C．转化思想D．建模思想【答案】B【分析】根据分类讨论思想的含义进行判断即可．【解析】解：在探究圆周角与圆心角的数量关系时，因不确定圆周角与圆心角的位置关系是否会影响结论，故对每种位置关系分别进行研究，这种数学思想是分类讨论思想．故选：B．6．如图，半圆的半径为6，将三角板的30 角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（）A ．3B ．12C ．23D ．6【答案】D【分析】如图，半圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，根据圆周角定理可知，=60∠︒AOB ，根据OA =OB ，OAB 为等边三角形，可求解．【解析】解：如图，连接OA ，OB ，根据圆周角定理可知=60∠︒AOB ， ∵OA =OB ，∴OAB 为等边三角形， ∴AB =OA =6． 故选：D ．7．如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合），连接CP ．若150B ∠=，则APC ∠的度数不可能为（ ）A ．25B ．35C ．45D ．55【答案】A【分析】由圆内接四边形的性质得∠D 度数为60°，再由∠APC 为△PCD 的外角求解． 【解析】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠B +∠D ＝180°， ∵∠B ＝150°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝30°， ∵∠APC 为△PCD 的外角， ∴∠APC ＞∠D ，只有A 满足题意． 故选：A ．8．如图，AB 为O 直径，28BAC ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．56°B ．52°C ．60°D ．62°【答案】D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，直角三角形中两个锐角互余求得62B ∠=︒，进而根据同弧所对的圆周角相等即可求解．【解析】解：∵AB 为O 直径， ∴90ACB ∠=︒， ∵28BAC ∠=︒， ∴62B ∠=︒， ∵AC AC =， ∴62D B ∠=∠=︒， 故选D ．9．如图，△ABC 与△BCD 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，且∠ABC ＝50°，则∠D 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．20°D ．25°【答案】A【分析】先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据直角三角形的性质可得40A ∠=︒，然后根据圆周角定理即可得． 【解析】解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， 50ABC ∠=︒，9004A A BC ∠∴︒-=∠=︒，由圆周角定理得：40D A ∠=∠=︒， 故选：A ．10．在锐角ABC 中，60ACB ∠=︒，∠BAC 、∠ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（ ） A ．120AMB ∠=︒ B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在ABC 的外接圆上【答案】D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB +∠MBA =60°，推出∠AMB =120°，可判断A ，证明C ，E ，M ，D 四点共圆，利用圆周角定理可判断B ；在AB 上取一点T ，使得AT =AE ，利用全等三角形的性质证明BD =BT ，可判断C ；无法判断M 与∠ABC 互补，可判断D ． 【解析】解：如图，∵∠ACB =60°， ∴∠CAB +∠CBA =120°， ∵AD ，BE 分别是∠CAB ，∠CBA 的角平分线， ∴∠MAB +∠MBA =12（∠CAB +∠CBA ）=60°，∴∠AMB =180°-（∠MAB +∠MBA ）=120°，故A 符合题意， ∵∠EMD =∠AMB =120°， ∴∠EMD +∠ECD =180°， ∴C ，E ，M ，D 四点共圆， ∵∠MCE =∠MCD ， ∴ EMDM ，∴EM =DM ，故B 符合题意，四边形CEMD 是O 的内接四边形，60,AME ACB BMD在AB 上取一点T ，使得AT =AE ，在△AME 和△AMT 中， AEATMAE MAT AMAM， ∴△AME ≌△AMT （SAS ）， ∴∠AME =∠AMT =60°，EM =MT ， ∴∠BMD =∠BMT =60°，MT =MD ，在△BMD 和△BMT 中，MDMTBMD BMT BMBM ， ∴△BMD ≌△BMT ， ∴BD =BT ，∴AB =AT +TB =AE +BD ，故C 符合题意， ∵M ，M '关于AC 对称， ∴M =∠AMC ， ∵11802AMC CAB ACB11801802ABC=90°+12∠ABC ，∴M 与∠ABC 不一定互补，∴点M '不一定在△ABC 的外接圆上，故D 不符合题意， 故选D ． 二、填空题11．如图，点A 、B 、C 在O 上，90ACB AOB ∠+∠=︒，则ACB ∠的大小为______．【答案】30【分析】根据圆周角定理，设ACB x ∠=，则2AOB x ∠=，构建方程求解即可． 【解析】∵点A 、B 、C 在O 上， ∴2AOB ACB ∠=∠．设ACB x ∠=，则2AOB x ∠=， ∵90ACB AOB ∠+∠=︒， ∴390x =︒， ∴30x =︒， ∴30ACB ∠=︒， 故答案为：30．12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ADC =130°，连接AC ，则∠BAC 的度数为___________．【答案】40°【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC 的度数求得∠B 的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【解析】解：∵四边形ABCD 内接与⊙O ，∠ADC =130°， ∴∠B =180°-∠ADC =180°-130°=50°， ∵AB 为直径， ∴∠ACB =90°，∴∠CAB =90°-∠B =90°-50°=40°， 故答案为：40°．13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4．BD 为⊙O 的直径，则BD ＝_____．【答案】8【分析】由等腰三角形的性质解得∠C ＝30°，由圆周角定理解得∠BOA ＝60°，继而证明△AOB 是正三角形，最后由等边三角形的性质解答．【解析】解：∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4， ∴∠C ＝30°， ∴∠BOA ＝60°又∵OA ＝OB ，∴△AOB 是正三角形∴OB ＝AB ＝4，∴BD ＝8故答案为：8．14．如图，AB 为O 的直径，点C ，D ，E 在O 上，且AD CD =，80E ∠=︒，则ABC ∠的度数为______．【答案】20︒【分析】连接AE 、BD ，由圆周角定理得出90AEB =︒∠，进而结合题意得出10AED ∠=︒，由圆心角、弧、弦的关系定理10CBD DBA AED ∠∠∠===︒，即可求出ABC ∠的度数．【解析】解：如图，连接AE 、BD ，AB 为O 的直径，90AEB ∠∴=︒，80DEB ∠=︒，10AED AEB DEB ∠∠∠∴=-=︒，AD CD =，10CBD DBA AED ∠∠∠∴===︒，101020ABC ABD CBD ∠∠∠∴=+=︒+︒=︒，故答案为：20︒．15．如图，在菱形ABCD 中，6BC =，120C ∠=︒，点E 是射线CD 上一点，连接BE ，点P 在BE 上，连接AP ，若BAP CBE ∠=∠，则ABP △面积的最大值为__________．【答案】33【分析】若要使ABP △的面积最大，底AB 固定，故只要AB 边上的高最大时，即三角形面积最大；可证120APB ∠=︒，故可知点P 在△APB 的外接圆的劣弧AB 上，当点P 在劣弧AB 的中点处，△APB 的面积最大，求出AB 边上的高即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =6，AB //CD ，∴180,ABC BCD ∠+∠=︒∵120C ∠=︒，∴60,ABC ∠=︒ 即60ABP PBC ︒∠+∠=，∵BAP CBE ∠=∠，∴60ABP BAP ∠+∠=︒，∵180()18060120APB ABP BAP ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴点P 在在△APB 的外接圆上，若要使ABP △的面积最大，底AB 固定，120APB ∠=︒，故只要AB 边上的高最大时，即三角形面积最大；此时点P 在劣弧AB 的中点处，如图，设点O 为△APB 的外接圆的圆心，OP ⊥AB 于点F ，∴132AF AB ==，1602APF APB ∠=∠=︒, ∴30,PAF ∠=︒∴2AP PF =由勾股定理得，222AF PF AP +=∴22234PF PF +=∴PF 3∴116333 22APBS AB PF∆==⨯=即ABP△面积的最大值为33故答案为：3316．如图，半圆的直径5cmAB=，弦3cmAC=，把AC沿直线AD对折，且AC恰好落在AB上，则AD的长为__________．【答案】25【分析】连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△ODE，所以OE=AF=32cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解析】连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．根据题意知，∠CAD=∠BAD，∴CD BD=，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=32 cm，∴DE=2cm，又∵AE=5322+=4cm，∴AD22224225AE DE++=．三、解答题17．如图，四边形ABCD 内接于120O AB AC ADC =∠=︒，，，求证：ABC 是等边三角形．【答案】见解析【分析】由圆内接四边形的性质得到60ABC ∠=︒，再由AB AC =，得到AB AC =，根据等边三角形的判定可得到结论．【解析】证明：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，又∵120ADC =∠︒，∴180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵AB AC =， ∴AB AC =，∴ABC 是等边三角形．18．已知：如图，ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，连接DE ，若BD DE =．求证：DE DC =．【答案】见解析【分析】连接AD ，根据直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ADC ∠=∠=︒，根据弦与圆周角的关系可得BAD CAD ∠=∠，进而证明ADB ACD ≌，可得BD DC =，根据已知条件，等量代换即可得证．【解析】连接AD ，如图，AB为直径的⊙O，∴⊥，AD BC∴∠=∠=︒，90ADB ADC=，BD DE∴=，DB EDBAD CAD∴∠=∠，又AD AD=，ASA，∴≌()ADB ACD∴=，BD DCBD DE=，∴=．DE DC19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．(1)求证∶CD=AD；(2)若AD3AB=2FD的长．53【答案】(1)见解析；；【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；（2）过点C作CG⊥AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CF=AC，∴∠CAF=∠F，∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，∴∠CAD=∠ACD，∴CD=AD；(2)如图，过点C作CG⊥AF于点G，∵AC=CF=AB2，∴AG=FG，在Rt∆ACG中，根据勾股定理可得：222AC AG CG=+，在Rt∆DCG中，根据勾股定理可得：222DC DG CG=+，∴2222AC DC AG DG-=-，由（1）知：CD=AD3∴AG=AD+DG3DG，∴8-3=)223DG DG-，解得：3 DG=，∴AG433DG FG==，∴FD=53 FG DG+=∴FD 53．20．已知△ABC，∠B=60°，32 ABBC=．(1)如图1，若23BC=AC的长；(2)试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】(1)AC21(2)见解析【分析】（1）先求得AB3Rt△BCG中，求得BG3CG=3，再在Rt△ACG中，利用勾股定理即可求解；（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线相交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，再以A为圆心，BC长为半径作弧，交弧AC于点D，则四边形ABCD即为所求作．【解析】(1)解：过点C作CG⊥AB于点G，∵3 BC=32 ABBC=，∴AB3在Rt△BCG中，∠B=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=12BC3CG22BC BG-3，AG=AB-BG=3在Rt△ACG中，AC2221AG CG+=(2)解：如图，四边形ABCD即为所求作．证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，由作图知BC=AD，则BC=AD，CD∥AB，分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，如图：∴CE=DF，四边形DCEF为矩形，∴△ADF≌△BCE(HL)，CD=EF，∴AF=BE，∵∠B=60°，∴∠DAF=60°，∴BE=12BC，AF=12AD=12BC=BE，∵32 AB BC∴AF=BE=EF=CD=12BC，∴AD=2CD，∴四边形ABCD符合题意．21．如图，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°．(1)若AB 是⊙O 的直径，求∠C 的度数；(2)若∠C ＝30°，求证AB 是⊙O 的直径．【答案】(1)30°；(2)证明见详解.【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADB =90°，根据三角形的内角和定理求出∠DAB =30°，根据圆周角定理得出∠C =∠DAB 即可；（2）根据圆周角定理得出∠A =∠C ＝30°，再根据∠A ＋∠DBA ＝90°，得出结论．【解析】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°．∴∠A ＋∠DBA ＝90°．∵∠DBA ＝60°，∴∠A ＝30°．∴∠C ＝∠A ＝30°．(2)∵∠C ＝30°，∴∠A ＝∠C ＝30°．∵∠DBA ＝60°，∴∠A ＋∠DBA ＝90°．∴∠ADB ＝90°．∴AB 是⊙O 的直径．22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠B ＝60°，经过点A ，C ，D 的圆与BC 相交于点E ，连接AE ．(1)求证：△ABE 是等边三角形．(2)F 是AD 上一点，且F A ＝FC ，连接EF ．求证：EF ＝B C ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得60ADC ∠=︒，根据圆内接四边形AECD ，对角互补，可得120AEC ∠=︒即可求得60AEB ∠=︒，结合已知条件即可证明ABE △是等边三角形，（2）连接AC ，证明ACD FAE ≌，可得EF AD =，根据平行四边形的性质即可证明EF BC =．【解析】(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，60B ∠=︒， 60ADC B ∴∠=∠=︒，经过点A ，C ，D 的圆与BC 相交于点E ，∴120AEC ∠=︒，∴60AEB ∠=︒，60B ∠=︒，ABE ∴是等边三角形；(2)连接AC ，如图，AC AC =，60AFC ADC ∴∠=∠=︒，F A ＝FC ，，AFC ∴是等边三角形AF AF =，60AEF ACF ∴∠=∠=︒，AEF CDA ∴∠=∠，ABE △是等边三角形，AE AB CD ∴==，AE CD ∴=，AFE CAD ∴∠=∠，∴ACD FAE ≌，∴EF AD =，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=， ∴EF BC =．。

2.6 正多边形与圆教材知识总结正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆正多边形的画法1.用量角器等分圆：由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n 边形.2.用尺规等分圆：对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。

在⊙O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。

再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB 的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

初中数学苏教版九年级上册第二单元第3课《确定圆的条件》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
初中数学苏教版九年级上册第二单元第3课《确定圆的条件》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程
2.了解不在同一直线上的三点确定一个圆,了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念
3.会过不在同一直线上的三点作圆.
2学情分析
1、学生已有的知识基础:学生刚刚学习了圆的相关概念,知道:“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

知道圆上的点到圆心的距离相等,都等于半径。

”另外学生之前还学习了线段的垂直平分线的性质及画法。

2、学生学习新知的障碍:学生在遇到一个新的问题情景时,往往找不到解决问题的切入口,探索不出解决问题的有效途径,在解决问题的过程中,不能进行有条理的思考,不敢猜想,不敢总结,在心理上对老师存在依赖性,在课堂活动中情愿充当听者,而不是主动者。

3重点难点
重点:确定圆的条件.
难点:不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】板块一、类比过点作线引出。

过一点可以作几条直线?
过几点可以确定一条直线?
感知1、直线过点点在直线上
感知2、随着点个数的增加,直线由不定到确定。

第2章 对称图形----圆2.3 确定圆的条件 课程标准 课标解读1.了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

2.培养学生观察、分析、概括的能力；培养学生动手作图的准确操作的能力。

3.通过引言的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。

1.本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。

2.经历不在同一直线上得三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的方法。

3.解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。

知识点01 确定圆的条件1. 确定圆的条件：不在同一直线的三点确定一个圆。

2. 外心概念：三角形的三个顶点确定一个圆，改圆称为该三角形的外接圆，三角形称为圆的内接三角形。

外接圆的圆心称为三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点。

3. 掌握过不在同一直线上三点作圆的尺规作图方法。

【微点拨】1.定理： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2.三角形的外接圆．3.定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，4.这个三角形叫做这个圆的内接三角形5.三角形的外心:（1）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．目标导航知识精讲【即学即练1】1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆【答案】C【分析】根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；故选C．【即学即练2】2．下列命题：①长度相等的弧是等弧；①任意三点确定一个圆；①相等的圆心角所对的弦相等；①外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】根据弧、弦、圆心角的关系及确定圆的条件可进行排除选项．【详解】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故①错误；任意不共线的三点确定一个圆，所以①错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以①错误；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以①正确；①真命题共有1个；故选B．【即学即练3】3．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点C．相等的圆心角所对的弧相等D．平分弦的直径垂直于弦【答案】B【分析】根据圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆，故A错误；三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故B正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误；平分弦的直径垂直于弦（不是直径的弦），故D错误；故选：B．【即学即练4】4．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；①相等的圆心角所对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，①三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心性质即可．【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故①错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故①错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故①正确；综上，错误结论的序号为：①①①，共有3个，故选：C．能力拓展考法01 判断确定圆的条件1、确定圆的条件不在同一条直线上的三个点不能确定一个圆【典例1】给出下列4个命题，其中是真命题．．．的是（ ） A ．经过三个点一定可以作圆．B ．等弧所对的圆周角相等．C ．相等的圆周角所对的弧相等．D ．圆的对称轴是直径．【答案】B【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A 、经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，本选项说法是假命题；B 、等弧所对的圆周角相等，本选项说法是真命题；C 、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本选项说法是假命题；D 、圆的对称轴是直径所在的直线，本选项说法是假命题；故选：B ． 考法02 圆的基本概念辨析圆的基本概念1、定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。