九年级数学确定圆的条件

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如何确定四点〔不在同一条直线上〕是否共圆？
难易度：★★★★★
**四点共圆
答案：
判断四点共圆的关键是看四点到某点的距离是否相等，如果相等，那么四点共圆，反之不共圆。

【举一反三】
典题：如图，在四边形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm,BC=9cm，CD=cm，判断点A,B,C,D 是否在同一个圆上，假设在请指出，假设不在说明理由。

思路导引：根据勾股定理求出BD的长，再由条件确定△BCD的形状，取BD的中点，到A，B，C，D四点的距离相等，所以四点共圆。

标准答案：解：取BD的中点，连接AE,CE
根据勾股定理，
得BD=10cm，又因为BD2=BC2+CD2
∴△BCD是直角三角形，
∴AE=BD=CE=5cm
即AE=DE=CE=BE=5cm
∴点A,B,C,D在以点E为圆心，以5cm为半径的圆上。

2.3 确定圆的条件确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个看例题，涨知识教材知识总结小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内课后习题巩固一下接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）10．如图，ABC为锐角三角形，6BC=，45A∠=︒，点O为ABC的重心，D为BC中点，若固定边BC，使顶点A在ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A∠的大小不变，设BC的中点为D，则线段OD的长度的取值范围为（）A521OD≤B531OD≤C．131OD≤<D．121OD<≤二、填空题11．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为_________°．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x的根，则该三角形外接圆的半径为______．13．如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝______°．14．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．16．已知ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝1b+30，则ABC的外接圆半径的长为___．三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．18．如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作2射线OC交⊙O于点D；②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点， ∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据） 设小O 半径长为r ∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90° ∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ． 20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ； ③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．2.3 确定圆的条件解析确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的教材知识总内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【答案】（1）见解析；（2）10π【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解析】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）连接OB，由勾股定理得：OB223110+=∴外接圆⊙O的面积为：π×102＝10π．看例题，涨知识【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】作AB的垂直平分线，找到AB的中点，则以AB为直径作圆就是三角形的外接圆．【解析】解：如图所示：【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【答案】（1）见解析；（25【分析】（1）作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可．（2）连接OA，利用勾股定理求出OA即可．【解析】解：（1）如图，点O即为所求．（2）半径OA22+1255【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为【答案】（1）图见详解；（2）三角形ABC的边长为103【分析】（1）以OA为半径，在圆上依次截取得到圆的6等分点，从而得到圆的三等分点，进而问题可求解；（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，则有AD⊥BC，然后根据等边三角形的性质及垂径定理可求解．【解析】接：（1）等边三角形ABC如图所示：（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，BC=2BD，∵⊙O半径为10，∴152OD OB==，∴2253 BD OB OD-∴103BC=∴三角形ABC的边长为103故答案为3一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆【答案】C【分析】根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；故选C．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）【答案】A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解析】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，课后习题巩固一∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．【解析】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．故选B4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点【答案】D【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．【解析】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．故选D．5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点【答案】B【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，据此可得出答案．【解析】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，而ABC外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选：B．6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧【答案】D【分析】根据圆的性质：弦的定义、确定圆的条件、外心性质、弧的定义逐一判断解答．【解析】解：A. 直径是弦，故A正确；B. 经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，故B正确；C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故C正确；D. 两个半圆不一定是等弧，故D错误，故选：D．7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定【答案】C【分析】根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理计算即可．【解析】解：如图，连接AO，∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴AO=BO=CO，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC；∵∠BOC=96°，∴∠BAC=48°，故选：C．A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【解析】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A ．（6，8）B ．（4，5）C ．（4，318） D ．（4，338） 【答案】C【分析】先由题意可知，点P 在线段AB 的垂直平分线上，可确定P 的横坐标为4；设点P 的坐标为（4，y ），如图作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ，运用勾股定理求得y 即可． 【解析】解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上， ∴点P 的横坐标为4， 设点P 的坐标为（4，y ）， 作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ， 22224(4)1y y +-+ 解得，y 318=， 故选：C ．10．如图，ABC 为锐角三角形，6BC =，45A ∠=︒，点O 为ABC 的重心，D 为BC 中点，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A ∠的大小不变，设BC 的中点为D ，则线段OD 的长度的取值范围为（ ）A 521OD ≤B 531OD ≤C ．131OD ≤< D ．121OD <≤【答案】D【分析】如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥，由题意知1OD AD 3=且90BEC ∠=︒，3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+=，332AD DE AE =+=+当AD BC⊥时，AD 最长，可求此时OD 最大值；由于3AD BD >=，可得此时OD 最小值，进而可得OD 的取值范围． 【解析】解：如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥由题意知1OD AD 3=∵45A ∠=︒ ∴90BEC ∠=︒ ∴45EBD BED ∠=∠=︒∴3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+= ∴332AD DE AE =+=+∵AD BC ⊥时，AD 最长， ∴OD 最大值为12∵3AD BD >= ∴1OD > ∴112OD <≤故选D ． 二、填空题11．如图，点O 是△ABC 的外心，连接OB ，若∠OBA ＝17°，则∠C 的度数为_________°．【答案】73【分析】连接OA ，OC ，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：连接OA ，OC ，点O 是ABC ∆的外心，OA OB OC ∴==，OBA OAB ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠， 17OBA ∠=︒， 17OAB ∴∠=︒，1801801717146OBC OCB OCA ACO OBA OAB ∠+∠+∠+∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒即146OBC OCB OCA ACO ∠+∠+∠+∠=︒，22146OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73BCA ∴∠=︒．故答案为：73．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x 的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】52【分析】先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径． 【解析】解：2-12+35=0x x ，()()570x x --=，解得215,7x x ==，当7x =时，347+=不能构成三角形； 当5x =时，22234255+==，∴这个三角形是斜边为5的直角三角形， ∴该三角形外接圆的半径为52， 故答案为：52． 13．如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝______°．【答案】140【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA =∠BAE = 70°，求出∠ABE = 40°，连接AE ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF =∠FCB =20°，由三角形内角和定理可得出答案． 【解析】解:∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED ＝12（180°﹣40°）＝70°， ∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°， ∴∠ABE ＝40°， 连接AE ，EF ，∵点F 为△ADE 的外心， ∴AF ＝EF ，AF ＝DF ， ∴点F 在AE 的垂直平分线上， 同理点B 在AE 的垂直平分线上， ∴∠ABF ＝∠EBF ， ∴∠EBF ＝12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°． 故答案为：14014．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 连接,,AB AC 再作,AB AC 的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可.【解析】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C连接,,AB AC 则,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O ，A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，点O 是ABC 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC 外把你认为外心也是O 的三角形都写出来__________________________．【答案】△ADC 、△BDC 、△ABD【分析】先求出△ABC 的外接圆半径r ，再找到距离O 点的长度同为r 的点，即可求解． 【解析】由网格图可知O 点到A 、B 、C 22125+ 则外接圆半径5r =图中D 点到O 22125r +=， 图中E 点到O 221310+=则可知除△ABC 外把你认为外心也是O 的三角形有：△ADC 、△ADB 、△BDC ， 故答案为：△ADC 、△ADB 、△BDC ．16．已知ABC 的三边a ，b ，c 满足|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，则ABC 的外接圆半径的长为___． 【答案】2.5【分析】先根据|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30变形可得22|4|(12)(5)0c b a -+++-=，再根据绝对值和完全平方公式的非负性即可求得a 、b 、c 的值，进而根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，由此可得ABC 外接圆半径的长为斜边的一半． 【解析】解：∵|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，2|4|(1414)(1025)0c b b a a ∴-++-++-+=， 22|4|(12)(5)0c b a ∴-+++-=，又∵22|4|0,(12)0,(5)0c b a -≥+≥-≥， ∴40c -=120b +=，50a -=，解得：4c =，3b =，5a =， ∴22225c b a +==，∴ABC 为直角三角形，且斜边长为5， ∴ABC 的外接圆的半径r ＝5×12＝2.5，故答案为：2.5． 三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC ）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC 上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．【答案】见解析【分析】作∠A 的角平分线AD 交BC 于点O ，以点O 为圆心，点O 到AC 的距离OD 为半径画半圆，此时半圆和AC ，AB 都相切，则该半圆面积最大． 【解析】如图所示：该半圆即为所求．18．如图，学校某处空地上有A 、B 、C 三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A 、B 、C 三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O ．【答案】见解析【分析】连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆即可． 【解析】如图所示．连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆，则O 即为所求，19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆； ③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD 2r 即可得到S 大⊙O ＝π2r ）2＝2S 小⊙O ．【解析】(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝2S 小⊙O ．20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ；③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．【答案】(1)作图见解析；4217【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB 的垂直平分线，找出圆心O ，以O 为圆心，OA 为半径画圆即可，再分别以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于点D ，连接AD ，CD ，即可做出等边三角形ACD ；（2）证明∠BAD =90°，利用勾股定理求出2227BD AB AD =+=AE 的长．【解析】(1)解：作图如下：(2)解：∵AB =4，BC =2，△ACD 是等边三角形，∴∠BAD =∠BAC +∠CAD =30°+60°=90°， ∴323===AD AC AB ∴2227BD AB AD =+= ∴14221172=AB AD AE BD 故线段AE 的长为4217。

浙教版数学九年级上册3.1.2确定圆的条件教学设计课题确定圆的条件单元 3 学科数学年级九学习目标情感态度和价值观目标形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神能力目标经历不在同一直线上得三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的方法知识目标了解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。

重点掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆这个结论，并能过不在同一直线上的三个点作圆的方法。

理解三角形外心的性质难点过不在同一直线上的三个点作圆的方法学法自主探究，合作交流教法多媒体，问题引领教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课问题：你有什么方法使得“破镜重圆”呢？学生：积极思考带着问题参与新课. 通过看似意外的实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程讲授新课类比确定直线的条件:经过一点可以作无数条直线；1.学生动手画过一点的直线，可以画无数条这样的直线。

“学生原有的知识和经验是教学活经过两点只能作一条直线.想一想经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？探索经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?经过两个已知点A、B能作无数个圆问题：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎2.学生动手画过一点的直线：学生动手画过一点的圆，并小组讨论交流。

得出结论：经过一个已知点能作无数个圆。

（圆心、半径均不确定）学生动手画过两个点的圆，并小组讨论交流得出结论：经过两个已知点能作无数个圆。

（圆心在两点所连线段的垂直平分线上，半径不确定）动的起点”通过复习确定直线的方法，启发学生用类比的方法探索确定圆的条件。

让学生动手实践，充分交流，通过探究、讨论、交流得到过一个已知点可以作无数多个圆重视学生的课堂参与。

北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》教案一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径，以及如何根据这些条件来确定一个圆。

同时，通过实例让学生理解圆的方程的意义和应用。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了坐标系和方程的基础知识，对几何图形也有一定的认识。

但是，对于圆的方程的理解可能还需要进一步的引导和培养。

三. 教学目标1.让学生掌握确定一个圆的条件，包括圆心坐标和半径。

2.让学生理解圆的方程的意义和应用。

3.培养学生的空间想象能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.圆的方程的意义的理解和应用。

2.如何引导学生从实际问题中抽象出圆的方程。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生理解圆的方程的意义和应用，然后通过练习让学生进一步巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。

2.准备课件和黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考如何确定一个圆。

例如，给出一个圆的三个点，让学生思考如何确定这个圆。

2.呈现（15分钟）通过课件或者板书，呈现圆的方程。

解释圆的方程的意义，包括圆心坐标和半径。

让学生理解圆的方程是如何表示一个圆的。

3.操练（15分钟）让学生通过练习题来巩固对圆的方程的理解。

可以给出一些具体的圆的方程，让学生求解圆心坐标和半径，或者给出圆心坐标和半径，让学生写出对应的圆的方程。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生应用圆的方程来解决问题。

例如，给出一个圆的方程，让学生求解圆与直线的交点，或者求解圆的面积。

5.拓展（10分钟）可以让学生思考一些拓展问题，例如，如何确定一个圆的位置和大小，如何求解两个圆的交点等。

6.小结（5分钟）通过小结，让学生回顾所学知识，加深对圆的方程的理解。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生在家里完成。

8.板书（5分钟）在黑板上写出圆的方程，以及解题的关键步骤。

3.4 确定圆的条件学习目标:通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略．学习重点:1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．学习方法:教师指导学生自主探索交流法.学习过程:一、举例：【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．二、随堂练习一、填空题1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形5．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心6．下列图形一定有外接圆的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形三、课后练习1．下列说法正确的是（ ）A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在2．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ）A ．a=15，b=12，c=1B ．a=5，b=12，c=12C ．a=5，b=12，c=13D ．a=5，b=12，c=14 3．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）A ．任意三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．A ．23B ．33C ．3D ．216．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ）A ．2B ．6C ．12D ．77．三角形的外心具有的性质是（ ）A ．到三边距离相等B ．到三个顶点距离相等C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．14．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？。

3.5确定圆的条件教学设计（1）线段垂直平分线上的点有怎样的性质？（2）怎样用尺规作一条线段的垂直平分线多媒体出示垂直平分线的画法(3)构成圆的基本要素有哪些?车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，确定它的尺寸（圆盘的大小），你有办法吗？思考：那么过几点可以确定一个圆呢？探究2 过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？探究3 过三点作圆问题1：经过同一直线上的A，B，C三点能作圆吗？问题2：作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？归纳：不在同一条直线上的三点确定一个圆讨论：如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B 两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB 的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆，当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆。

试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.由上可知，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.1.以已知点O为圆心、线段a为半径作圆,可以作( )A.1个圆B.2个圆C.3个圆D.无数个圆2.下列语句正确的是( )A.直径是弦,弦是直径B.相等的圆心角所对的弦相等C.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D.三点确定一个圆3.三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．5.如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD 交△ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．。

北师大版九年级数学下第三章5 确定圆的条件（含答案）一、选择题1．下列四个命题中，正确的有()①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是()A．到三角形三个顶点的距离相等B．到三角形三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点3．如图1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是()图1A．1 B．2C．3 D．44．如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知，△ABC的外心的坐标应是()图2A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)5．如图3，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()图3A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图4所示，利用三块碎片中的一块最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()图4A．①B．②C．③D．均不可能7．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为()A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题8．如图5，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．图59．如图6，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为6，则点P到AC的距离的最大值是________．图610．若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为________________________________________________．三、解答题11．如图7，已知圆弧上有三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；链接听P34例1归纳总结 (2)若△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R.图712.如图8，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(6，8)，点B 的坐标为(12，0)． (1)求证：AO ＝AB ；(2)用直尺和圆规作出△AOB 的外心P ； (3)求点P 的坐标．图813．如图9①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．图9附加题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形的四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图10①②③中四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图10(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试写出图④⑤中∠B＋∠D与180°之间的关系；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．。

北师大版数学九年级下册第三章 3.5 确定圆的条件1. 圆的定义圆是平面上的一组点，这些点到一个固定点的距离都相等，这个固定点叫做圆心，以圆心为距离的长度叫做半径。

符号表示：圆心O，半径R，圆⊙O(R)。

2. 确定圆的条件对于平面内的一组点，如何确定这组点是一个圆呢？下面介绍两种确定圆的条件。

2.1 三点共线如果平面内的三个点A,B和C共线，即A,B和C三个点在一条直线上，那么这三个点不可能构成一个圆。

一个圆上的任意三个点不共线。

2.2 半径相等如果平面内的一组点到一个固定点的距离都相等，那么这组点构成了一个圆。

这个固定点叫做圆心，到这个圆心的距离叫做半径。

例如，有一组点A,B和C，到点O的距离分别是r1,r2和r3，如果r1=r2=r3，那么这组点构成了一个圆。

2.3 综合应用在实际问题中，我们可能需要综合运用以上两种条件来确定一个圆。

例如，已知一个四边形ABCD，如果四边形的对角线AC和BD的交点O与四边形的其他三个顶点A,B和C的距离相等，即OA=OB=OC=OD，那么点O是这个四边形内切圆的圆心，OA=OB=OC=OD就是这个内切圆的半径。

3. 性质和定理下面介绍一些与圆相关的性质和定理。

3.1 弧弧长是弧所对的圆心角的大小占360°的比例。

弧度是弧长与半径的比值。

3.2 弧度制与度制的转换角度d转换成弧度r的公式为：$r=\\frac{d\\pi}{180}$。

弧度r转换成角度d的公式为：$d=\\frac{r\\times180}{\\pi}$。

3.3 弦弦是圆上的两个点所确定的线段。

3.4 弧和弦的关系当弦AB是一个圆的直径时，弦AB所对的弧是一个半圆。

当弦AB不是一个圆的直径时，弦AB所对的弧小于一个半圆。

3.5 切线如果过圆上某一点P作圆的半径，切线与半径垂直。

切线的斜率是与半径所在直线的斜率相反数。

3.6 切线和半径的关系切线与半径的长度的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

北师大版九年级数学下册《确定圆的条件》评课稿1. 引言本文评价的是北师大版九年级数学下册《确定圆的条件》这节课。

本节课主要围绕确定圆的条件展开，通过引入圆的四个基本要素，并利用这些要素确定圆的几何关系，帮助学生掌握圆的特性，从而解题。

2. 教学目标本节课的教学目标主要包括： - 理解圆的定义和基本要素；- 掌握确定圆的条件； - 运用所学知识解决实际问题。

3. 教学内容3.1 圆的定义和基本要素教师首先给出了圆的定义：在平面上，以一定点为圆心、以一定线段为半径的点的集合，称为圆。

然后，教师引入了圆的四个基本要素： 1. 圆心：圆的中心点； 2. 圆周：由圆心和半径确定的圆上的点的集合； 3. 弦：连接圆上两点的线段； 4. 弧：在圆上，有一点开始，通过另一点终止的一段圆周。

3.2 确定圆的条件接下来，教师介绍了确定圆的条件，主要包括： 1. 圆心和半径：给出圆心和半径后，即可确定一个圆； 2. 圆心和圆上一点：给出圆心和圆上的一点后，即可确定一个圆； 3. 圆上三点：给出圆上的三个点后，即可确定一个圆。

教师通过相关图示和示例，一步步演示了以上三种确定圆的条件，并鼓励学生积极思考、参与讨论。

3.3 实际问题的解决在掌握了确定圆的条件后，教师引导学生运用所学知识解决一些实际问题。

例如，给出一个场地的平面图，要求学生确定能将该场地完全围起来的一条栅栏线的最短长度。

教师先与学生一起分析问题，然后引导学生找出圆的特性与该问题的关联，最后通过确定圆的条件来解决问题。

4. 教学过程4.1 导入与热身教师通过提问等方式，引发学生对圆的认识和理解，营造课堂氛围，激发学生的兴趣。

4.2 圆的定义和基本要素的讲解教师简洁明了地讲解了圆的定义和基本要素，辅以图形示例加深学生的理解。

4.3 确定圆的条件的讲解与讨论教师结合课堂互动，逐一讲解确定圆的条件。

在讲解过程中，鼓励学生提问与思考，促进课堂参与。

4.4 实际问题的解决教师适当出示一些实际问题，引导学生通过确定圆的条件来解决问题。

九年级数学《确定圆的条件》教学设计一、学生知识状况分析学生的知识技能基础通过本章前面几节课的学习，学生知道经过一点可以画无数条直线，经过两点有且只有一条直线等知识.同时具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能，掌握了“线段垂直平分线的性质”.学生活动经验基础在经过点画直线等知识的学习过程中，学生具备了一定的合作精神和探究能力，具有一定的分类讨论的数学思想方法和类比方法.二、教学任务分析本节课的内容是第一节内容的延续，学生已积累了画一个圆的经验.基于以上两点，提出本课的具体学习任务：①经过一点、两点、三点能否作出圆、能作出几个圆.②了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，但本课内容从属于“空间与图形”的教学目标：认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性及结论的确定性.同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标.知识与技能1. 了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.过程与方法1．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力. 2．通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.情感态度与价值观形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.教学重点：确定圆的条件.教学难点：确定圆的条件.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备；情景引入；实践探究；合作学习练习提高；课堂小结；布置作业.第一环节：课前准备活动内容：布置学生在课前复习，回答如下的问题：（1）经过一点、两点、三点你能否画出一条直线吗？若能，可以画出几条直线？（2）通过以上问题的回答，你有什么体会？（3）已知线段AB，求作线段AB的中垂线？活动目的：通过问题（3），希望学生复习线段中垂线的尺规作法，为本课作圆作知识的铺垫.通过问题（1）（2）的复习回答，为本课的探索“经过三点能否确定一个圆”作一个探索策略上的铺垫，进一步培养了学生分类讨论的数学思想. 实际教学效果：在课始的提问中,学生对中垂线的尺规作法、经过一点可以画无数条直线、经过两点可以画一条直线的回答较好，但在回答“经过三点能否画直线”问题上出现分歧，部分回答“不能画出直线”或“可以画一条直线”或“以上两种情况都有可能”等.通过对问题的争论、回答，达到了预期目标，培养了学生学会与人合作，能与他人交流思维的过程和结果.第二环节：情景引入活动内容：学生小组讨论如下问题：某地区一空地上新建了三个居住小区A、B、C.现要规划一间学校，使学校到三个小区的距离相等，你如何选取这所学校的地点？活动目的：①通过问题的思考讨论，有承上启下的作用，而先要解决这三个小区是否在一直线上.②引起学生回想圆的定义，得出作圆的关键是定圆心、定半径.③借助实际问题情景，激发学生解决问题的兴趣，为解决本节课的目标“确定圆的条件”和下环节的探究活动注入动力.实际教学效果：学生在一个宽松的气氛下展开对问题的探究：问题应分A、B、C三小区在同一直线上或不在同一直线上两种情况；问题即是找出一个同时经过A、B、C三点的圆.（自然引出课题）第三环节：实践探究，解决问题活动内容：参照教材提供的三个问题：①作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？为什么有这样多个圆？②作圆，使它经过已知点A、B，你是如何做的？依据是什么？你能作出几个这样的圆？其圆心分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？③作圆，使它经过不在同一直线的已知点A、B、C，你是如何做到的.你能作出几个这样的圆？为什么？④你现在能解决课前的问题了吗？动手做一做？活动目的：以问题串的形式引导学生由易到难地开展探究活动、培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想，从中探究出：①不在同一直线上的三个点为什么只确定一个圆？②这个圆如何用“尺规”作出？③三角形外接圆，三角形的外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点难点，使学生掌握过三点作圆的方法.实际教学效果：学生对问题①、②中有多少个符合条件的圆能很快地回答出来，但学生对问题①中“为什么”的回答未能抓住画圆的本质（定圆心、定半径）来回答；对问题③的探究用时比较长，重要原因是部分学生作了三条边的中垂线，对“为什么”的回答也未能抓住交点的唯一性及半径随着点的确定而确定进行回答.第四环节：练习提高活动内容：（1）完成课本随堂练习；（2）判断题：①经过三点一定可以作圆. （）②任意一个三角形有且只有一个外接圆. （）③三角形的外心是三角形三边中线的交点. （）④三角形外心到三角形三个顶点的距离相等. （）(3)如图是一块残缺的圆形木盖，现要重新制作一块与原来一样大小的圆形木盖，你是如何制作的？活动目的：（1）随堂练习——巩固找三角形的外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实.另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.（2）通过判断④和练习（3）目的是加深学生对结论的理解和应用，培养学生“用数学”的意识.实际教学效果:学生都能熟练完成随堂练习及判断题，收到了较好的教学效果.同时引导学生理解记忆判断④的结论，加深了对“三角形外心”的理解.但部分学生在完成练习（3）时遇到了困难，不会将问题转化成“找三角形外心——找出弧上三个点”的问题，说明这部分学生综合理解和运用知识能力还有待提高. 第五环节：课堂小结活动内容：1、学生小组交流本节课学习的体会及要掌握的知识和方法；2、个人仍存在的问题；3、师生共同完成如下的问题：（1）确定圆的条件——（2）锐角三角形在三角形的内部直角三角形外心的位置在斜边上钝角三角形在三角形的外部而三角形的外心具有的特征是：到三个顶点的距离相等，因它是三边中垂线的交点.活动目的：鼓励学生大胆发表自己的意见和收获感想，听取别人的发言，培养语言表达和与人交流的意识，达到情感和价值的目标.同时通过师生共同的小结，加深学生对所学知识的理解记忆.实际教学效果：在短短几分钟的小结活动中，学生能畅所欲言，畅谈自己的收获和感受，比如有些同学谈到学会了找三角形的外心；考虑问题要全面；用数学知识可以解决一些实际问题；数学知识是环环相扣，紧密联系，每一知识点都要学好、理解好等.第六环节：布置作业1、习题3.62、预习下节课内容，搜集现实生活中的直线和圆的位置关系的现象.四、教学反思1. 要创造性地使用教材，领会教材中隐含的数学思想（1）教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师可以根据需要进行适当的调整.本套教材采用“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，所以课前加入了一个实际背景的问题引出学习主题，这有助于展现数学与现实的联系，激发学生的探究热情，为本节课后面的探究活动提供动力.（2）教材一开始是从经过一点、两点、三点画直线过渡到经过一点、两点、三点能作几个圆？这并不是一个可有可无的过程，它可以培养学生一种类比归纳的思维方法，对学生探究本课的问题有一个很好铺垫和引导作用.2. 重视展现数学知识的形成和应用过程经历知识的形成与应用过程，将有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心.因此本节课安排了几个学生的探究活动，通过探究后对“为什么”的回答，使学生亲身感受结论的形成过程和结论的确定性.这有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”过程，逐步发展学生的应用意识和推理能力.3. 相信学生并为学生提供充分的探究和展示自己的机会数学教学是数学活动的教学，向学生提供充分的从事数学活动的机会，可在活动中激发学习潜能，促使学生在探究和交流中理解和掌握数学知识、技能和思想方法，同时也有利于教师发现学生解决问题过程中存在的问题.以便更好地指导学生的学习和因材施教.4. 注意改进的方面（1）学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，不要用教师的讲来代替学生的做.（2）教学过程中发现少数困难生在探究活动中态度欠积极，教师要及时给予指导和引导，焕起他们学习的积极性.（3）线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻，今后在进行“线段中垂线”的教学时仍要加以改进.。

北师大版九年级数学下册：3.5《确定圆的条件》教案一. 教材分析《确定圆的条件》这一节主要让学生了解确定圆的三个重要条件：圆心、半径和圆的方程。

通过学习，学生能够掌握圆的定义，理解圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，以及如何用圆的方程来表示圆。

这一节的内容是九年级数学的重要知识点，也是高考的考点之一。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。

但是，对于圆的概念和性质可能还不够深入，因此，在学习这一节时，需要引导学生通过实际操作和思考，来理解和掌握圆的性质。

三. 教学目标1.让学生了解圆的定义，理解圆心、半径在确定圆的重要性。

2.让学生掌握圆的方程表示方法，能运用圆的性质解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.圆的定义和性质2.圆的方程表示方法3.运用圆的性质解决实际问题五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的性质。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示圆的性质，提高学生的空间想象能力。

3.通过实际操作，让学生亲身体验圆的性质，加深对知识的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备2.圆的模型或图片3.圆的方程示例题七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示圆的模型或图片，引导学生思考：什么是圆？圆有哪些性质？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，介绍圆的定义和性质，让学生理解圆心、半径在确定圆的重要性。

同时，引导学生思考如何用数学语言来表示圆。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组设计一个圆的方程，并解释其含义。

教师巡回指导，给予反馈。

4.巩固（10分钟）教师出示几个实际问题，让学生运用圆的性质来解决。

例如：一个圆的半径为5cm，求其面积、周长等。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：圆的性质在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，强化对圆的性质的理解。

2.3确定圆的条件一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•金湖县期末）△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线B．三条中线C．三条角平分线D．三条高2．（2019秋•梁溪区期末）已知点O是△ABC的外心，作正方形OCDE，下列说法：①点O是△AEB的外心；②点O是△ADC的外心；③点O是△BCE的外心；④点O是△ADB的外心．其中一定不成立的说法是（）A．②④B．①③C．②③④D．①③④3．（2019秋•太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（）A．15 B．7.5 C．6 D．34．（2019秋•相城区期中）如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（）A．3 B．5 C．3D．65．（2019秋•盐都区期中）下列说法错误的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C．经过三点可以作一个圆D．三角形的外心到三角形各顶点距离相等6．（2019秋•崇川区校级月考）下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2019秋•新沂市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B 的坐标为（2，1），点C的坐标为（2，﹣3）．经画图操作可知△ABC的外心坐标可能是（）A．（﹣2，﹣1）B．（1，0）C．（0，0）D．（2，0）8．（2019•碑林区校级模拟）如图，△ABC为⊙O内接等边三角形，将△ABC绕圆心O旋转30°到△DEF处，连接AD，AE，则∠EAD的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．105°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020•姑苏区一模）如图，△ABC内接于⊙O，C为弧BD的中点，若∠A＝30°，则∠BCD＝°．10．（2020•滨湖区一模）若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为cm．11．（2019秋•苏州月考）半径为2的圆的内接正三角形的面积是．12．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为．13．（2019秋•张家港市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为（4，8），则△AOC的外接圆半径为．14．（2019秋•南通期中）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，若∠B＝65°，则∠OAC＝．15．（2019秋•阜宁县期中）①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中错误的是．（填序号）16．（2019秋•江都区期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为．三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•淮阴区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求这个三角形外接圆的半径和面积．18．（2019•兴化市二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，AD与BC相交于点E，且BE＝CE．（1）请判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（2）若BC＝6，ED＝2，求AE的长．19．（2020•海门市校级模拟）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB ＝90°．（1）求证：（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．20．（2019秋•鼓楼区校级月考）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，求⊙O的半径；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•金湖县期末）△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线B．三条中线C．三条角平分线D．三条高【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【解析】△ABC的外接圆圆心是△ABC三边中垂线的交点，故选：A．2．（2019秋•梁溪区期末）已知点O是△ABC的外心，作正方形OCDE，下列说法：①点O是△AEB的外心；②点O是△ADC的外心；③点O是△BCE的外心；④点O是△ADB的外心．其中一定不成立的说法是（）A．②④B．①③C．②③④D．①③④【分析】根据三角形的外心得出OA＝OC＝OB，根据正方形的性质得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE≠OD，再逐个判断即可．【解析】连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：A．3．（2019秋•太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（）A．15 B．7.5 C．6 D．3【分析】直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，通过勾股定理求出AB即可．【解析】如图，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，而AC＝9，BC＝12，∴AB15．又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，∴其外接圆的半径为7.5．故选：B．4．（2019秋•相城区期中）如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（）A．3 B．5 C．3D．6【分析】连接OC，OB，由垂直的定义得到∠ADC＝90°，得到CD AC，根据直角三角形的性质的∠A＝30°，由圆周角定理得到∠O＝60°，推出△OBC是等边三角形，得到BC＝OB，于是得到结论．【解析】连接OC，OB，∵CD垂直AB，∴∠ADC＝90°，∵CD＝3，AC＝6，∴CD AC，∴∠A＝30°，∴∠O＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∵⊙O的半径为5，∴BC＝5，故选：B．5．（2019秋•盐都区期中）下列说法错误的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C．经过三点可以作一个圆D．三角形的外心到三角形各顶点距离相等【分析】根据三角形的外心的性质，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判定即可．【解析】A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；故选：C．6．（2019秋•崇川区校级月考）下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用确定圆的条件、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系逐一作出判断即可得到答案．【解析】①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；故符合题意；④把这题一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意，故选：A．7．（2019秋•新沂市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B 的坐标为（2，1），点C的坐标为（2，﹣3）．经画图操作可知△ABC的外心坐标可能是（）A．（﹣2，﹣1）B．（1，0）C．（0，0）D．（2，0）【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解析】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A．8．（2019•碑林区校级模拟）如图，△ABC为⊙O内接等边三角形，将△ABC绕圆心O旋转30°到△DEF处，连接AD，AE，则∠EAD的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．105°【分析】连结OA、OE、OD、AE、AD，根据旋转的性质得∠AOD＝30°，再根据圆周角定理得∠AED∠AOD＝15°，然后根据等边三角形的性质得∠EFD＝60°，则∠DOE＝120°，求出∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝90°，则∠ADE＝45°，根据三角形内角和可求出∠EAD的度数．【解析】如图，连结OA、OE、OD、AE、AD，∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，∴∠AOD＝30°，∴∠AED∠AOD＝15°，∵△DEF为等边三角形，∴∠EFD＝60°，∴∠DOE＝2∠EFD＝120°，∴∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝120°﹣30°＝90°，∴∠ADE45°，∴∠EAD＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣45°＝120°．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020•姑苏区一模）如图，△ABC内接于⊙O，C为弧BD的中点，若∠A＝30°，则∠BCD＝120°．【分析】根据圆周角定理求出∠BDC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到CB＝CD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解析】由圆周角定理得，∠BDC＝∠A＝30°，∵C为弧BD的中点，∴，∴CB＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴∠BCD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：120．10．（2020•滨湖区一模）若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm．【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据圆周角定理解答即可．【解析】由勾股定理得，直角三角形的斜边长25，∴这个三角形的外接圆的直径长为25cm，故答案为：25．11．（2019秋•苏州月考）半径为2的圆的内接正三角形的面积是3．【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，根据垂径定理得到BD＝CD，∠OBC＝30°，根据直角三角形的性质求出OD，由勾股定理求出BD，得到BC的长，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠BOC120°，则∠OBC＝30°，∴OD OB＝1，由勾股定理得，BD，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的面积＝3S△OBC＝321＝3，故答案为：3．12．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为（6，6）．【分析】由题意得出M在AB、BC的垂直平分线上，则BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，证△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案．【解析】如图所示：∵⊙M是△ABC的外接圆，∴点M在AB、BC的垂直平分线上，∴BN＝CN，∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），∴OA＝OB＝4，OC＝8，∴BC＝4，∴BN＝2，∴ON＝OB+BN＝6，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥AB，∴∠MON＝45°，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝ON＝6，∴点M的坐标为（6，6）；故答案为：（6，6）．13．（2019秋•张家港市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为（4，8），则△AOC的外接圆半径为．【分析】先确定三角形外接圆的圆心，再根据已知条件和勾股定理分别求出OC、OB和AO的长，进而可以求出外接圆的半径．【解析】如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC交AB于点D，根据翻折可知：AB是OC的垂直平分线，作AO的垂直平分线交AB于点O′，则点O′即为△AOC的外心，设OB＝CB＝x，∵点C（4，8）∴CE＝4，OE＝8，则OC4∴CD＝OD＝2，EB＝8﹣x，在Rt△CEB中，根据勾股定理，得x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，即OB＝BC＝5，∴BD∵OD2＝BD•AD∴AD＝4设OO′＝AO′＝r，则DO′＝4r，∴（4r）2+（2）2＝r2解得r．所以△AOC的外接圆半径为：．故答案为：．14．（2019秋•南通期中）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，若∠B＝65°，则∠OAC＝25°．【分析】如图，连接OC．利用圆周角定理求出∠AOC，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．【解析】如图，连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠AOC＝2∠ABC＝130°，∴∠OAC（180°﹣∠AOC）＝25°，故答案为25°．15．（2019秋•阜宁县期中）①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中错误的是②．（填序号）【分析】根据直径与弦的定义判断①；根据确定圆的条件判断②；根据三角形的外心的性质判断③；根据半圆与等弧的定义判断④．【解析】①直径是圆中最长的弦，正确；②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，错误；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；④半径相等的两个半圆是等弧，正确．其中正确的有①③④，错误的为②．故答案为：②．16．（2019秋•江都区期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为35°或145°．【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可．【解析】①当点O在三角形的内部时，如图所示：则∠BAC∠BOC＝35°；②当点O在三角形的外部时，如图所示；则∠BAC（360°﹣70°）＝145°故答案为：35°或145°．三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•淮阴区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求这个三角形外接圆的半径和面积．【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形外心的特点求出外接圆的半径和面积．【解析】∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，∴Rt△ABC的外接圆的半径为5，面积为π×52＝25π．18．（2019•兴化市二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，AD与BC相交于点E，且BE＝CE．（1）请判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（2）若BC＝6，ED＝2，求AE的长．【分析】（1）如图，连接OB、OC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）设半径OC＝r，根据勾股定理即可得到结论．．【解析】（1）AD⊥BC，理由：如图，连接OB、OC，在△BOE与△COE中，，∴△BOE≌△COE（SSS），∴∠BEO＝∠CEO＝90°，∴AD⊥BC；（2）设半径OC＝r，∵BC＝6，DE＝2，∴CE＝3，OE＝r﹣2，∵CE2+OE2＝OC2，∴32+（r﹣2）2＝r2，解得r，∴AD，∵AE＝AD﹣DE，∴AE2．19．（2020•海门市校级模拟）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB ＝90°．（1）求证：（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．【分析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；【解答】（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BAC+∠OAB＝90°，∴∠BAC+∠OBA＝90°，∴∠BTA＝90°，∴BT⊥AC，∴．（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∴∠OAB+∠AED＝90°，∵∠OAB+∠BAC＝90°，∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，∵AF为⊙O直径，∴∠ACF＝90°，同理：∠FCE＝∠BAC，∴∠FEC＝∠FCE，∴FE＝FC，∵AO＝3，AE＝4，∴OE＝1，FE＝FC＝2，在Rt△FCA中∴AC420．（2019秋•鼓楼区校级月考）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，求⊙O的半径；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．【分析】（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝3，根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH＝4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4﹣r）2＝r2，然后解方程即可；（2）作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH＝EF，利用面积法得到，所以EH AH，然后利用（1）得OH，从而计算EH﹣OH得到OE的长．【解析】（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，∵AB＝AC，∴BH＝CH BC＝3，即AH垂直平分BC，∴点O在AH上，在Rt△ABH中，AH4，连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，即⊙O的半径为；（2）作EF⊥AB于F，如图，∵BD平分∠ABC，∴EH＝EF，∵S△ABE BH•AE AB•EF，∴，∴EH AH4，由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，∴OE．。