2016年高考总复习高中数学高考总复习双曲线习题及详解

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x aby ±= x ba y ±= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．12.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．84.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝15.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．6.已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.567.已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．8.双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？。

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。

高中数学双曲线练习题及答案双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：A。

$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$B。

$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$C。

$\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$D。

$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$3.设 $e_1,e_2$ 分别是双曲线 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和 $-\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 的离心率，则$e_1^2+e_2^2$ 与 $e_1e_2$ 的大小关系是 $1:$定义：双曲线上任意一点 $P$ 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2.已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$点 $P(x,y)$ 在左支上PF_1│=-(e x+a)$；$│PF_2│=-(e x-a)$点 $P(x,y)$ 在右支上PF_1│=ex+a$；$│PF_2│=ex-a$运用双曲线的定义例1.若方程 $x^2\sin\alpha+y^2\cos\alpha=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的双曲线，则角 $\alpha$ 所在象限是（）A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限练1.设双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 上的点$P$ 到点 $(5,0)$ 的距离为 $15$，则 $P$ 点到 $(-5,0)$ 的距离是（）A。

7 B。

23 C。

5 或 23 D。

7 或 232.已知双曲线的两个焦点是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{5y^2}{32}=1$ 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。

A。

$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1$ B。

专题10.2 双曲线【三年高考】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A2．【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A 2 （B ）32（C 3 （D ）2【答案】A【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a=，故双曲线离心率12b e a =+=选A. 3．【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的 圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D4．【2016年高考北京理数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2【解析】∵OABC 是正方形，∴45AOB ∠=︒，即直线OA 方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意22OB =，∴222(22)a a +=，2a =．故填：2．5．【2016高考上海理数】双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点. （1）若l 的倾斜角为2π，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【解析】（1）设(),x y A A A ．由题意，()2F ,0c ，21c b =+，()22241y b cb A =-=，因为1F ∆AB 是等边三角形，所以23c A =，即()24413bb+=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为2y x =．（2）由已知，()1F 2,0-，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由()11F F 0A +B ⋅AB =即1F 0M⋅AB =，知1F M ⊥AB ，故1F 1k k M ⋅=-．而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2323k k k M =-，所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为155±． 6. 【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．7.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（22-，22） （D ）（23-，23）【答案】A8.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=， 因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ，所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <； 当b a <时，1>a b，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >. 所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >.9.【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C 、(2,0)(0,2)- D 、(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A10.【2014新课标1，理4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 （ ）A 3B .3C 3mD .3m【答案】A【解析】化为标准方程为：22133x y m -=，则焦点F 3(1)m +，0）到渐近线方程为0x m +=距离3(1)1m m++3，故选A.11. 【2014天津，理5】已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225b a c c a b ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y ，故选A.12.【2014江西，理20】如图，已知双曲线C :2221x y a-=(0a >)的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:20=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值 .【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程．(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数,,,a b c e 及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等, 直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大, 故预测2016年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主．备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素,,a b c .另外，要深入理解参数,,a b c 的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【2017年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】双曲线的定义与标准方程 【备考知识梳理】1.双曲线的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a -=±(122||a F F <).注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是直线12F F 去掉线段12F F .(2)当122||a F F >时，轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：（1） 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>.给定椭圆221()x y m n m n+=与异号，要根据,m n 的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上. (2)双曲线中,,a b c 关系为：222-a c b =.【规律方法技巧】1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.2.求双曲线的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.(2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是双曲线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设双曲线的方程为221Ax By +=，其中,A B 异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.4.若已知双曲线的渐近线方程为0ax bx ±=，则可设双曲线的标准方程为ax bx λ±=（0λ≠）可避免分类讨论.【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32,其中一条准线方程43x =-，则双曲线C 的方程是（ ）A .22145x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=- D ．22125x =- 【答案】B2. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】过双曲线22145x y -=的左焦点1F ，作圆224x y +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点为M ，则||||MO MT -=_____________． 【答案】25-【考点2】双曲线的几何性质 【备考知识梳理】 1.双曲线的几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b -=>> 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2+b 2) 范围|x |≥a ；y ∈Rx ∈R ；|y |≥a顶点 实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0，±b ) 实轴顶点(0，±a )，虚轴顶点(±b,0) 对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称离心率e ＝ca∈(1，+∞)，其中c ＝22a b +渐近线b y x a=±a y x b=±2.等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为22(0)x y λλ-=≠，离心率为2，渐近线为y x =±. 【规律方法技巧】1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222c b a =+化出关于,a c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：222222c a b e a a +===221b a +⇒21b e a=-. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，可变形为x ya b=±，即22220x y a b -=，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[,c a -+∞).【考点针对训练】1. 【2016年湖北安庆一中高三一模测试】设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的右顶点和右焦点,直线2a x c=交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2 【答案】D222222()()()()()a a a c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a +⇒+=-2211111e e e e +⇒+=-. 解得 2e =.故选D. 2. 【2016年河北石家庄高三二模】已知双曲线14222=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______. 【答案】54【考点3】直线与双曲线的位置关系 【备考知识梳理】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线0Ax By C ++=，将直线方程与双曲线方程联立，消去y 得到关于x 的方程20mx nx p ++=.(1) 若m ≠0，当△＞0时，直线与双曲线有两个交点.当△=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0时，直线与双曲线无公共点.（2）当m =0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心 率的取值范围为（ ）A ．2)B ．10)C ．(2,10)D ．(5,10) 【答案】C2. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率为________． 【答案】7【解析】根据双曲线的定义，可得a BF BF 221=-，∵2ABF ∆是等边三角形，即AB BF =2，∴a BF BF 221=-，即a AF AB BF 211==-，又∵a AF AF 212=-，∴a a AF AF 4212=+=，∵21F AF ∆中，a AF 21=，a AF 42=，12021=∠AF F，∴ 120cos 2212221221AF AF AF AF F F ⋅-+=，即222228214221644a a a a a c =⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=，解之得a c 7=，由此可得双曲线C 的离心率7==ace ，故答案为：7.【应试技巧点拨】１．焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式． ２．离心率的求法 双曲线的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出,a c 的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出,a c 的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于,a c 或,a b 的方程，通过这个方程解出ca或b a ，利用公式ce a=求出，对双曲线来说，221b e a =+，对椭圆来说，221b e a =-.3． 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视双曲线的定义的运用，以简化运算．①斜率为k 的直线与双曲线的交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长21212||1||PP k x x =+-或122121||1||P P y y k=+-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： ()2121212||4x x x x x x -=+-，()2211212||4y y y y y y -=+-.②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4.求解双曲线的的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于,a c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数． 二年模拟1. 【2016届邯郸市一中高三十研】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆：22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．632或B ．23或C ．2323或 D ．23632或【答案】C2. 【2016年江西省九江市三模】过双曲线),0,0(1:222222b a c b a b y a x C +=>>=-的左焦点F 作圆⊙4222c y x =+的切线，且点为E ，延长PE 交双曲线C 右支于点P ，若E 为PF 的中点，，则双曲线C 的离心率为（ )A ．12+B ．212+C ．13+D ．213+ 【答案】C【解析】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，依题意可得F P EO '∥，PF EO ⊥，则,3,c PF c F P =='∴c c a -=32，即13132+=-=e .3. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（ ）A ．25B ．23C ．43D ．45 【答案】A4. 【2016年河南省商丘市高三三模】 已知抛物线x y 82=与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．035=±y xB ．053=±y xC ．054=±y xD ．045=±y x 【答案】A【解析】依题意,抛物线焦点()2,0F ,设()00,M x y ,因为5MF =,所以0025,3x x +==,所以(3,26M ±,代入2221x y a -=得2299241,25a a -==,所以令2220x y a -=,得双曲线的渐近线为x y a=±,即035=±y x .5..【2016年湖南师大附中高三三模】已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，且|F 1F 2|＝b 2a，G 为三角形PF 1F 2的内心，若S △GPF 1＝S △GPF 2＋λS △GF 1F 2成立， 则λ的值为（ ）A.1＋222B ．23－1 C.2＋1 D.2－1【答案】D6. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线1x =-的一个交点的纵坐标为0y ,若02y <,则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(3B ．(5C ．)3,+∞D ．)5,+∞【答案】B【解析】由题意得0b y a =，所以222224515b c a a e e a<⇒-<⇒<⇒<< B. 7. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴的两个端点为A 、B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PA QB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 【答案】C【解析】设2222(,),(,),1x y P m n Q x y M a b-=双曲线:,实轴的两个顶点(,0),(,0)A a B a -,(,),(,)QA x a y PA m a n =---=---∵QA ⊥PA ，∴()()0x a m a ny ----+=，可得,nym a x a+=-+同理根据QB ⊥PB ，可得ny m a x a -=--两式相乘可得222222n y m a x a-=-,∵点(,)P m n 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，22221m n a b ∴-=，整理得22222()b n m a a=- 222221x b y a a -= 故选C ．8. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上的一点，点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为7，若M 为12PF F ∆的内心，且1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆=+，则λ的值为 ．【答案】249．【2016届天津市和平区高三三模】设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的半焦距为c ，原点到直线:l ax by ab +=的距离等于113c +，则c 的最小值为 ．【答案】6【解析】由题设原点O 到直线:l ax by ab +=的距离为c c ab b a ab d 31122+==+=,即ab c c 332=+.而222b a ab +≤（当且仅当b a =取等号）,所以)(2333222b a ab c c +≤=+,即22233c c c ≤+,解之得6≥c ,即的最小值为6.10. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知C ∆AB 的边AB 在直角坐标平面的x 轴上，AB 的中点为坐标原点，若C 12AB⋅A =AB，C 32BA ⋅B =BA，又E 点在C B 边上，且满足32C BE =E ，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点． （Ⅰ）求AB 及此双曲线的方程；（Ⅱ）若圆心为()0,0x T 的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M ，N ，求T 点横坐标0x 取值范围．11.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by ax C 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（ ）A ．2B ．22C ．32D ．4 【答案】D 【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为2，∴2ce a==，∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，不妨设by x a =，即0bx ay -=，则2c a =，223b c a a -=，∵焦点到渐近线的距离为3，∴223d a b ==+223333223ac ac ca a a ===+2c =，则焦距为24c =．12.【2015届吉林省实验中学高三上学期第五次模拟】已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．123+ B ．312+ C ．1313+ D ．1313+ 【答案】D【解析】设14AF m =，则1BF m =,所以22202221624cos6013,13BF m m m m m BF m =+-⨯⨯⨯==，因此离心率等于13113m m+=-，选D ． 13.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为（ ）A.32B.3C.2D.3 【答案】A14. 【山东省济南市2015届高三上学期期末考试】已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右两个焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是 A. ()1,2B.()23，C.()32，D. ()2+∞，【答案】D15.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为 ．【答案】①②③④【解析】对于①，215,122+==b a ，则235222+=+=b a c ，2222215235⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==a c e ，215+=∴e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，ac a c b =-=222，整理得012=--e e ，解得251+=e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③()2221222212211,,2c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股定理得()22222c a a b b c +=+++，整理得ac b =2由②可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-b y a c ，解得a b y 2±=，ab NF 22=，由对称关系知2ONF ∆为等腰直角三角形，ab c 2=∴，即ac b =2，由①可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线．拓展试题以及解析1.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，直线y a =与双曲线两条渐近线的左、右交点分别为,A B ，若四边形21ABF F 的面积为5ab ，则双曲线的离心率为（ ）A ．23B ．2C ．3D ．5 【答案】A【入选理由】本题考查双曲线的方程及其几何性质,直线与双曲线的位置关系,面积公式等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.2.已知抛物线2(0)x ay a =>的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则=a （ ） A.4 B.8 C.41 D.18【答案】D 【解析】抛物线方程化为21y x a =，∴抛物线的焦点为1(,0)4F a ，双曲线22122x y -=的右焦点为()20，，∴124a =，∴18a =，故选D. 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.3.在双曲线),0,0(1222222b a c b a by a x +=>>=-中，已知b a c ,,成等差数列，则该双曲线的渐近线的斜率等于（ ）A. 43±B. 35±C. 34± D.53± 【答案】C【入选理由】本题考查双曲线的方程，双曲线的性质,等差数列等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.4.设双曲线2221(0)2x y b b-=>与抛物线28y x =交于两点A B 、，且=8AB ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．13B ．23C ．4D ．6 【答案】C【解析】由已知得(2,4)A ，带入双曲线方程得21621b-=，则216,4b b ==，所以双曲线的渐近线方程为22y x =±，故该双曲线的焦点(32,0)到其渐近线的距离为22324d ⨯==，故选C ． 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.5.已知双曲线22221(0)x y a b a b=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得的平行四边形的面积为26b ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．233C ．3D ．2 【答案】B【入选理由】本题考查双曲线方程,双曲线的简单几何性质直线与双曲线的位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力，试题形式新颖，故选此题.6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准线的交点坐标为48(,)33-，且双曲线与抛物线的一个公共点M 的坐标0(,4)x ，则双曲线的方程为—————. 【答案】221520x y -=.【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.。

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。

第6节 双曲线课标要求 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质. 能够根据不同的情境，建立双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究双曲线与其它曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些与双曲线有关的实际问题.【知识衍化体验】知识梳理1. 双曲线的定义平面内与两个定点（）的距离差的绝对值等于常数（小于12,F F 12||20F F c =>12||F F 且大于零）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.思考 设集合，，其中a ，c 为常数，且{}12|||||||2P M MF MF a =-=12||20F F c =>，则00c a >>，（1）若______________，则集合P 为双曲线； （2）若，则集合P 为______________； a c =（3）若______________，则集合P 为空集.[微点提醒]1. 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦（通常称为双曲线的通径）的长为.22b a2. 双曲线的离心率为.c e a ===3. 双曲线的焦点到渐近线的距离恰好等于它的短半轴长b .4. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，渐近线的方程为. y x =±基础自测疑误辨析1．判断下列结论的正误（在括号内打“√”或“×”）（1）平面内到点距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.12(0,4),(0,4)F F -（ ）（2）平面内到点距离之差等于6的点的轨迹是双曲线. 12(0,4),(0,4)F F -（ ）（3）方程表示焦点在x 轴上的双曲线.221(0)x y mn m n-=>（ ）（4）双曲线的渐近线方程是. 2222(0,0,0)x y m n m nl l -=>>¹0x y m n ±=（ ）（5）若双曲线与的离心率分别是22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)y x a b b a-=>>，则（此条件中的两条双曲线称为共轭双曲线）.12,e e 2212111e e +=（ ）教材衍化2．（选修2-1 P48习题2.3（2）第7题）经过点，且对称轴是坐标轴的等轴双(3,1)A -曲线的方程为____________.3．（选修2-1 P42习题2.3（1）第3题）已知双曲线上一点M 到它的224640x y -+=一个焦点的距离为1，则点M 到另一个焦点的距离为_____________.考题体验4．(2018浙江)双曲线的焦点坐标是（ ）2213x y -=A ．，B ．，((2,0)-(2,0)C ．，D ．，(0,(0,2)-(0,2)5．（2019江苏7）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，xOy 2221(0)y x b b-=>4)，则该双曲线的渐近线方程是.6．（2019全国III 理10）双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线2242x y -上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为（）=PO PFA B C ． D ．【考点聚焦突破】考点一 双曲线的定义及应用[例1]（1）设圆与两圆2222(4,(4x y x y +=-+=中的一个内切，与另一C 个外切，则的圆心轨迹L 的方程为___________________.C（2）已知是双曲线的左、右焦点，点P 在C 上，12,F F 22:2C x y -=12||2||PF PF =，则= （） 12cos F PF ∠A ．B ．C ．D ．14353445规律方法 1. 在未知曲线的类型求其方程时，有时可利用定义先判定曲线的类型，当根据定义确定轨迹是双曲线时，可直接写出其标准方程.2. 对于双曲线的“焦点三角形”问题，通常需利用正弦定理或余弦定理、双曲线的定义、以及比例的性质来解决问题.12||||||2MF MF a -=[训练1]（1）（2015福建）若双曲线 的左、右焦点分别为，点22:1916x y E -=12,F F P在双曲线上，且，则等于（ ）E 13PF =2PF A ．11 B ．9C ．5D ．3（2）(2016全国II 改编)已知,是双曲线：的左、右焦点，点在1F 2F E 22221x y a b-=M E上，与轴垂直，，则的实轴长与虚轴长的比值为_________.1MF x 211sin 3MF F ∠=E考点二 双曲线的标准方程[例2] （1）（2017新课标Ⅲ）已知双曲线：的一条渐近线C 22221(0,0)x y a b a b-=>>方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）y x =221123x y +=CA ．B ．C ．D ．221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=（2）(2018天津)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直22221(0,0)x y a b a b-=>>于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为x A B A B 1d 和，且，则双曲线的方程为（）2d 126d d +=A ．B ．C ．D ． 221412x y -=221124x y -=22139x y -=22193x y -=规律方法 1. 当知道曲线的类型求其方程时，常用的方法是待定系数法. 求双曲线的标准方程的关键是设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ,b ,c 的方程并求出a ,b ,c 的值，其步骤通常为“先定位，再定量”.2. 与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>. 2222(0)x y a bl l -=¹[训练2]（1）（教材选修2-1P47习题2.3(2)第4题）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，则该双曲线的方程为____________.（2）（教材选修2-1P48习题2.3(2)第9题）与双曲线有公共的渐近线，且经221916x y -=过点的双曲线的方程为___________________.(3,A -考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线[例3-1](2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b程为（）A ．B ．C ．D ． =y =y =y x =±y x角度2 求双曲线的离心率[例3-2]（1）（2019全国I 理16）已知双曲线C ：的左、右焦22221(0,0)x y a b a b-=>>点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，1F A AB =u u u r u u u r，则C 的离心率为____________．120F B F B ⋅=u u u r u u u r（2）（2013重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 且所成的角为的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双60︒曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．2]B ．2)C ．)+∞D ．)+∞角度3 与双曲线有关的范围（最值）问题[例3-3]（1）（2015新课标1）已知是双曲线：上的一点，00(,)M x y C 2212x y -=是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）12,F F C 120MF MF ⋅<0yA ．B ． ((C ．D ．((（2）若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线上的任意O F 2213y x -=P 一点，则的最小值为_____________.OP FP ⋅规律方法 1. 求双曲线离心率或取值范围的方法：（1）求a ,b ,c 的值，由直接求e . 22222221c a b b a a a+==+（2）列出含有a ,b ,c 的齐次方程（或不等式），借助关系式消去b ，然后转222b c a =-化为关于e 的方程（或不等式）求解.（3）求离心率e 的取值范围时，有时也可以将e 表示为某个变量的函数，转化为求函数的值域.2. 与双曲线有关的取值范围（最值）问题的解题思路（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来处理.[变式训练3]（1）（2015重庆）设双曲线（）的右焦点为，22221x y a b-=0,0a b >>F 右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，A F AF ,BC ,B C ,AC AB两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取D D BC a +值范围是（ ）A ．B ．(1,0)(0,1)-∪(,1)(1,)-∞-+∞∪C ．D ．∪(,1))-∞-∞∪（2）（2015江苏）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动xOy P 122=-y x 点．若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为 ． P 01=+-y x c c●反思与感悟 [思维升华]已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只需令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线的方程，即方程就是双曲线的两条22220x y a b -=22221(0,0)x y a b a b-=>>渐近线方程.[易错防范]1．在双曲线中，三个基本量a ,b ,c 之间的关系为，说明c 最大，所以解决双222c a b =+曲线问题时不要忽视这个结论，不能与椭圆中的结论相混淆.2. 求双曲线离心率的大小或范围时，不能忽视双曲线离心率的取值范围是这个(1,)+∞前提条件，否则容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围而致错.3. 双曲线的渐近线方程是；而双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>b y x a=±的渐近线方程是，两者不要混淆. 22221(0,0)y x a b a b -=>>a y x b =±4. 直线与双曲线有且只有一个公共点时，它们不一定是相切的位置关系. 比如，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线就交于一点，但并不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线有且仅有一个公共点.提醒：请完成配套的《课时作业本》第6节 双曲线知识衍化体验知识梳理1.（1）a<c （2）两条射线 （3）a>c2.或，坐标轴，原点 ， ， a y R x -≤∈,a y ≥)0,(),0,(21a A a A -x b a y ±=ac22b a +基础自测1．（1）×. （2）×. （3）×.（4）√.（5）√.2．. 22188x y -=3．17.4．B ．5．y =6．A ．考点聚焦突破例1 （1） （2）C.22 1.4x y -= 解 设圆C 的圆心坐标为P ，半径为r ，所给两圆的圆心分别为(,)x y ，则由题设条件知且或且12(F F 1||2PF r =+2||2PF r =-1||2PF r =-，可合并为，所以点P 的轨迹是以为焦点，实轴长为2||2PF r =+12||||||4PF PF -=12,F F 4的双曲线，所以圆的圆心轨迹L 的方程为C 22 1.4x y -=（2） 双曲线的方程可化为，因为，所以根据双曲线的C 22122x y -=12||2||PF PF =定义可得，解得，又，所以在12||||PFPF -=12|||PF PF ==12||4F F =中由余弦定理得=，12PF F ∆22212211221||||||cos ||||2F F PF PF F PF PF PF +-∠=⋅34==所以选C.变式训练1（1）B ．（2）1．。

三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念22例1设P 是双曲线x 2—匕=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x —2y =0, F 1、F 2 a 9 分别是双曲线的左、右焦点.若 | PF 1 |=3,则|PF 2 |=（）A.1 或5B. 6C. 7D. 9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出| PF 2 |的值.一 ― 一 (x)2y 23解：:双曲线，=1渐近线万程为y=± x,由已知渐近线为 a9 a「.a = Z ，||PF i|—|PF 2||=4,，|PF 2 卜 ±4+|PF 1 |.\|PF 1 |=3, |PF 2 A0,，|PF 2 |=7.故选C.归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.（二）基本量求解2b... .一b 2x 一一x+1=0 有唯一解，所以△ = (―) -4=0, a a所以 b =2 , e = c = ——— =，「(b)2 = J5 ,故选 D. a a a - a3x — 2y = 0 ,点, 例2（2009山东理）设双曲线 则双曲线的离心率为（ b 2=1的一条渐近线与抛物线2y = x +1只有一个公B. 5C.解析：双曲线2 2x _y_2.2a b=1的一条渐近线为b一x,由方程组ab y = x《ya ，消去y,得 2y = x 1归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念, 系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.22x y2 ....例3 （2009全国I 理）设双曲线 --彳=1 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线 y=x +1相切,a b则该双曲线的离心率等于 （）A.、3B.2C.,5 D. ,,6解析：设切点P （x o ，y o ）,则切线的斜率为y I x4 = 2x o .由题意有 义=2% .又有一x 。

高中双曲线基础练习题及讲解### 高中双曲线基础练习题及讲解#### 双曲线的定义与性质双曲线是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有点到两个固定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。

双曲线有以下基本性质：1. 焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是常数。

2. 实轴与虚轴：双曲线有两条对称轴，分别称为实轴和虚轴。

3. 离心率：双曲线的离心率大于1。

#### 练习题一：双曲线的标准方程给定一个双曲线，其焦点在x轴上，中心点为(0, 0)，且a=3，b=2，求双曲线的方程。

解答步骤：1. 根据双曲线的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

2. 代入给定的a和b的值，得到 \(\frac{x^2}{3^2} -\frac{y^2}{2^2} = 1\)。

3. 简化得到 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。

#### 练习题二：双曲线的焦点坐标已知双曲线的中心点为(0, 0)，a=4，b=3，求双曲线的焦点坐标。

解答步骤：1. 计算离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

2. 计算焦点到中心的距离 \(c = ae\)。

3. 由于焦点在x轴上，焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)。

4. 代入数值计算，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。

#### 练习题三：双曲线的渐近线方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，求其渐近线方程。

解答步骤：1. 渐近线方程形式为 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)。

2. 代入a和b的值，得到 \(y = \pm \frac{3}{4}x\)。

#### 练习题四：双曲线的参数方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\)，求其参数方程。

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．【答案】－＝1【解析】由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以，解得a＝2，b＝2，故双曲线方程为－＝1．2.若双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】y2＝2bx的焦点为(，0)，线段F1F2被点(，0)分成7∶5的两段，得＝，可得双曲线的离心率为，故选C．3.已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A、B两点，点F是抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率为()A． B． C．2 D．【答案】D【解析】抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，设直线x＝－1与x轴的交点为C，则|FC|＝2．因为△FAB为直角三角形，所以根据对称性可知，|AC|＝|FC|＝2，则A点的坐标为(－1,2)，代入双曲线方程得－4＝1，所以a2＝，c2＝＋1＝，e2＝＝6，所以离心率e ＝，选D．4.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==165.（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．6.若双曲线的离心率为，则m=A．B．3C．D．2【答案】B【解析】因为，所以。

【学习目标】1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的实际背景及其简单应用.【高考模拟】一、单选题1．设、分别是双曲线C：的左右焦点，点在双曲线C的右支上，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质求出c的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可．【详解】【点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键．2．设是双曲线的左右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点，，，， 为坐标原点，则A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先求出双曲线的方程为，再求出点P 的坐标，最后求.【详解】【点睛】（1）本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 双曲线的通径为.3．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.4．已知双曲线，的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．【详解】【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).5．已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】因为直线与轴的交点为，所以在双曲线中有，故，即，故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.6．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率. 7．当时，方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线【答案】D【解析】【分析】先化简方程得，即得曲线是焦点在轴的双曲线.【详解】化简得，因为ab＜0,所以＞0，所以曲线是焦点在轴的双曲线.故答案为：D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.8．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9．已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题可得，所以，又，由此可求双曲线的离心率.【详解】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，又，所以，解得，从而离心率故选D.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，属中档题.11．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设,则有，利用点差法可得，从而可得结果.【详解】因为直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为，所以，，设,则有，，两式相减可化为，可得，，双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 12．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值．【详解】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，可得PF1+PF2=2a，PF1﹣PF2=2m，可得PF1=a+m，PF2=a﹣m，由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°，即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）=a2+3m2，由离心率公式可得+=4，e1e2=1，即有e24﹣4e22+3=0，解得e2=故选：C．【考点】椭圆、双曲线定义，离心率【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 13．焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法求解双曲线的方程即可. 【详解】【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.14．双曲线的渐近线方程为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程． 【详解】在双曲线的标准方程 中，把等号右边的1换成0，即得双曲线的渐近线方程y=±2x， 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．15．已知点为双曲线的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a 、c 的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率. 【详解】【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a 、c 的齐次式，等号两侧同时除以a 或等，构造离心率.16．在平面直角坐标系中，设分别为双曲线的左、右焦点， 是双曲线左支上一点， 是的中点，且， ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ． 2C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据各个边长关系，判断出；根据勾股定理求出离心率。

双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。

二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。

焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。

2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。

3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。

4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。

5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。

四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。

高中数学圆锥曲线——双曲线一、选择题1．(文)(20１6·山东潍坊)已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是ｙ=±4x ，则该双曲线的离心率是 ( )A.错误! ﻩﻩﻩﻩﻩB.错误! Ｃ.１7４ ﻩﻩ ﻩ D.＼r(15)４[答案] C[解析] 设双曲线方程为错误!－错误!=1,则由题意得,错误!＝4，∴错误!=１6,∴e ＝错误!．(理)(２0１6·河北唐山)过双曲线x ２a2－错误!＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段ＯF (Ｏ为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为( )A ．２ ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩB. 5Ｃ.＼r(2） ﻩﻩﻩﻩﻩﻩD.错误! ［答案] C［解析] 如图，ＦM ⊥ｌ,垂足为M ,∵M 在OF 的中垂线上,∴△O ＦＭ为等腰直角三角形，∴∠MOF =４5°,即＼f(b,a ）＝1，∴e ＝ 2.２．(２010·全国Ⅰ文)已知Ｆ１、F ２为双曲线Cx 2-ｙ2=1的左、右焦点,点P 在C 上，∠F 1ＰF 2＝６0°，则|P Ｆ1|·|PF ２｜=( ）A ．２ﻩﻩﻩB.4 C.6 ﻩﻩ ﻩD ．８[答案] B ［解析] 在△F 1PF 2中，由余弦定理c ｏｓ60°=＼ｆ(|PF 1｜２＋｜ＰＦ2|２-|Ｆ１F 2｜2,２｜PF 1｜·|ＰF ２|）＝＼f((|P Ｆ1|－|ＰF 2|)2-|Ｆ1F 2|2+2｜PF 1|·|ＰF 2|,２|PF 1｜·|PF 2|)＝错误!＋1=错误!＋1,∵b ＝１,∴|PF １|·|PF 2｜＝4.3.(文)（2016·合肥市)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆（ｘ－2)2＋ｙ2＝1都相切，则双曲线Ｃ的离心率是( )A ．错误!或2 ﻩﻩﻩ ﻩB ．2或错误!C ．错误!或错误! ﻩﻩ D.错误!或错误! [答案] Ａ[解析] 焦点在x 轴上时,由条件知错误!＝错误!,∴错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!，同理,焦点在y 轴上时，b a ＝３,此时e ＝2. (理）已知Ｆ1、F 2是双曲线x 2a 2-错误!＝1(a ＞0，b ＞０)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△M Ｆ1F 2,若边MF １的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（ ）Ａ.４＋2＼r （3） ﻩB.３-1C.错误! ﻩﻩﻩD.错误!＋1[答案] D[解析] 设线段ＭＦ1的中点为P ,由已知△F １ＰF 2为有一锐角为６0°的直角三角形，∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和错误!c .由双曲线的定义知:（＼r(3)－1)c =2a ,∴e ＝＼f(２,＼ｒ(3)－1)=３＋１.４．已知椭圆＼f(x 2，3ｍ2)＋错误!=１和双曲线错误!－错误!=1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( ）A ．x ＝±＼f(1５,2）ｙ ﻩﻩB.ｙ=±＼f(＼r(1５）,２）x C ．x =±＼r(３)4y ﻩ ﻩﻩﻩD.ｙ＝±错误!x [答案] D[解析] 由题意c 2=3m 2-５n 2=2m 2＋3ｎ2,∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k =±错误!=±错误!.方程为y ＝±错误!x .5．(文)(2016·湖南师大附中模拟)已知双曲线错误!－错误!＝1，直线l 过其左焦点F １,交双曲线左支于A 、B 两点，且｜AB |＝４,F ２为双曲线的右焦点,△ABF 2的周长为20,则m 的值为( )A ．8 ﻩﻩ B.9 Ｃ．16ﻩ ﻩ ﻩﻩＤ．20[答案] B[解析] 由已知,|ＡＢ｜+|A Ｆ2｜+|ＢＦ2|=20，又|ＡＢ|=4,则|AF ２｜+|BF 2|=16.据双曲线定义,２ａ=｜AF 2|－|ＡF 1｜＝|ＢF ２｜-|BF 1|，所以4a =|A Ｆ２｜+|BF ２|－(|AF １｜＋|B Ｆ1|）＝１6-4=12,即ａ＝3,所以m =a 2＝９,故选B ．（理)（2016·辽宁锦州)△A ＢC 中,A 为动点,B 、Ｃ为定点,B 错误!，Ｃ错误!（其中m ＞0，且m 为常数)，且满足条件sin C －si ｎB =错误!sin Ａ，则动点A 的轨迹方程为（ )A.１6y ２ｍ2-错误!=1 ﻩ Ｂ.错误!-错误!=１C.错误!-错误!=１(x ＞错误!) ﻩＤ.错误!-错误!＝1 [答案] C［解析] 依据正弦定理得:｜AB |-|AC |=错误!|BC ｜=错误!＜｜BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支,且a ＝＼f(m,４)，c =＼f （m,2)，∴b 2＝ｃ２-ａ2＝错误! ∴双曲线方程为＼f(16ｘ２，m ２)-错误!=1(x ＞错误!)6．设双曲线错误!-错误!＝1(a ＞0，b >0）的两焦点为Ｆ1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过Ｆ1作∠Ｆ１ＱF ２的平分线的垂线，垂足为Ｐ,则点Ｐ的轨迹是( ）A ．椭圆的一部分 ﻩ Ｂ.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分ﻩﻩD.圆的一部分[答案] D [解析］ 延长Ｆ1P 交Q Ｆ2于R ,则|QF 1|=｜QR |.∵|QF 2|-|ＱF 1|=2a ，∴|ＱＦ2|-｜QR |=2a =|RF 2｜,又|OP ｜=１2|R Ｆ2|，∴|OP |=ａ. 7.（文)(2016·温州市十校)已知点Ｆ是双曲线＼f(x 2，a 2)－＼ｆ(y ２，ｂ2)＝１(a >0，b ＞0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于Ａ、B 两点,若△AB Ｅ是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,+∞) ﻩﻩ B.(１,2)C ．（１,１＋＼r(2)) ﻩﻩﻩD.(2,1＋＼r （2)) ［答案］ B[解析] 由题意易知点F 的坐标为(－ｃ,0),A 错误!，B 错误!,Ｅ(a,0)，因为△A ＢE 是锐角三角形，所以错误!·错误!>０,即错误!·错误!=错误!·错误!>0,整理得3e 2+2e >e ４,∴e (e 3-3e -3＋1)<0,∴e (e ＋1)2(e －2）<0，解得e ∈（0,2）,又e >1,∴e ∈(1,2),故选Ｂ．(理）（20１6·浙江杭州质检)过双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0,b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线,垂足为M ,延长FM 交y 轴于Ｅ，若FM =ME ,则该双曲线的离心率为( )A ．3 ﻩﻩ B.２ C. 3 ﻩﻩ ﻩﻩﻩＤ.错误![答案] D[解析] 由条件知l :ｙ＝＼f(ｂ,ａ)x 是线段ＦＥ的垂直平分线，∴|ＯE |＝｜O Ｆ|＝c ,又｜FM ｜＝错误!＝b ,∴在Ｒt △ＯE Ｆ中，2c 2=４b 2=4（c 2-a 2），∵e ＝＼f （c ，a )>1,∴ｅ＝ 2.8．若直线ｙ＝ｋｘ＋2与双曲线x 2－y ２=６的右支交于不同的两点,则k 的取值范围是( ）A.错误! ﻩﻩ B ．错误! C.错误! ﻩﻩﻩﻩ D.错误![答案］ D[解析] 直线与双曲线右支相切时,k =-错误!,直线y ＝k ｘ＋２过定点(0，２),当k ＝-1时，直线与双曲线渐近线平行,顺时针旋转直线ｙ＝－x +2时，直线与双曲线右支有两个交点,∴－错误!<k ＜-1.9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (-2，0)分别为双曲线错误!－y ２=1（a >０)的中心和左焦点,点Ｐ为双曲线右支上的任意一点,则错误!·错误!的取值范围为( ）A.［３-23，+∞)ﻩ B.［3+２3,+∞) Ｃ.[-７４,＋∞) ﻩﻩ D ．[错误!，＋∞) [答案] B[解析] 由条件知a ２＋1＝2２＝4，∴a ２＝3,∴双曲线方程为ｘ2３-y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y ），则错误!＝（x ，y )，错误!=(ｘ＋２，y ）,∵ｙ２＝＼ｆ(ｘ2，3)－１,∴错误!·错误!＝x 2+2x ＋y 2=x 2+2ｘ+ｘ2３-1=错误!x 2＋2x -1=＼f （4,3）(ｘ+错误!)2－错误!.又∵ｘ≥３(Ｐ为右支上任意一点)∴错误!·错误!≥３+２错误!.故选Ｂ.(理)(201０·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点,F (3,０）是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，Ｂ两点,且A Ｂ的中点为Ｎ(-１２，-15),则E 的方程为( )A.错误!－错误!＝1 ﻩﻩB ．错误!-错误!＝1 C.错误!－错误!=１ ﻩﻩﻩﻩ D ．错误!－错误!＝１[答案] B[解析] 设双曲线的方程为错误!-错误!=1(a >0，b ＞0）,由题意知c ＝3,a 2+b 2＝9,设A （x １,ｙ1），Ｂ(x 2，y 2)则有:错误!，两式作差得：错误!＝错误!=错误!,∵k AB =错误!，且ｋAB =错误!＝1，所以4b 2＝５a 2代入a 2+b 2=9得a 2＝４,b 2＝5,所以双曲线标准方程是＼ｆ(x 2,4)-＼f(y 2,５）=1，故选B ．1０.(文)过椭圆错误!＋错误!＝１(ａ>b >０)的焦点垂直于x 轴的弦长为错误!a ,则双曲线错误!-错误!=1的离心率e 的值是( )Ａ.错误! ﻩﻩＢ.错误! C.错误! ﻩﻩﻩD.错误! [答案] B[解析] 将x ＝ｃ代入椭圆方程得,错误!+错误!＝1,∴y 2＝错误!×b 2＝错误!×b 2=错误!×ｂ2，∴y =±错误!.∴错误!＝错误!a ,∴b ２＝错误!ａ2,e 2=错误!=错误!=错误!，∴e ＝错误!,故选B.(理)(2016·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝２ｐy (ｐ>０)的焦点F 恰好是双曲线错误!－错误!＝１的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F ,则该双曲线的离心率为( )A ． 2 ﻩﻩﻩﻩ B.1±２ C.１＋错误! ﻩﻩ ﻩD ．无法确定 ［答案］ Ｃ［解析] 由题意知ｐ2=ｃ，根据圆锥曲线图象的对称性,两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是错误!，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，∵ｐ=２c ，错误!＝4c ，∴b 2＝2ａc ,∴c 2－a 2=２ac ，∴ｅ2-2ｅ-1＝0，解得e =1±＼ｒ(2）,∵e >1，∴e =１＋ 2.二、填空题11.（文）（2016·广东实验中学）已知P 是双曲线错误!-错误!＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为３x －y ＝0.设Ｆ1、F ２分别为双曲线的左、右焦点.若｜P Ｆ2|＝3,则|PF 1|=＿＿______.[答案］ 5［解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为3x -ｙ＝0且b ＝３可得：a =１，由双曲线的定义知|PF 1|-|P Ｆ2|＝2ａ， ∴|PF 1|-３＝2,∴|PF １|＝５．(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29-＼f(y ２,a )＝1的右焦点为(＼r(13）,０），则该双曲线的渐近线方程为_____＿__．[答案］ y ＝±＼f(2,3)x[解析］ 由题意知９＋a =13,∴a ＝4,故双曲线的实半轴长为ａ′=3,虚半轴长b ′＝２,从而渐近线方程为ｙ=±2３ｘ. 1２.(２０16·惠州市模考)已知双曲线错误!－y 2＝１(a >0)的右焦点与抛物线ｙ２＝8x 焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是＿＿_____＿．[答案］ y =±＼r(3)３x [解析］ y 2＝８ｘ焦点是(２,0)，∴双曲线ｘ２ａ2-ｙ2=1的半焦距c =2，又虚半轴b ＝1， 又ａ>0，∴a =错误!＝错误!，∴双曲线渐近线的方程是y =±＼f(3，3)x .13．(2０16·北京东城区)若双曲线x 2ａ2－错误!＝1(a >0,b >０）的两个焦点为F 1,F 2，P 为双曲线上一点,且|P Ｆ１|=3|P Ｆ2|,则该双曲线离心率的取值范围是_＿_＿＿＿_＿．［答案］ 1＜e ≤2[解析] 由题意错误!,∴错误!，∵｜PF 1|≥|AF 1｜,∴3a ≥ａ+ｃ,∴e =错误!≤2,∴1<e ≤２.1４.下列有四个命题:①若m 是集合{1，2,３，4,５}中任取的一个值,中心在原点，焦点在ｘ轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx -ｙ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为错误!.②若双曲线＼f(ｘ2,ａ2)－y 2b 2＝１（a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝３x ，且其一个焦点与抛物线ｙ2=8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数ｙ=co ｓ2x 的图象向右平移错误!个单位,可以得到函数y =sin 错误!的图象;④在Ｒt △ABC 中,A Ｃ⊥BC ，AC =a ,ＢC =ｂ,则△ABC 的外接圆半径r =＼f(＼r （a 2+b 2)，２）;类比到空间,若三棱锥Ｓ－A ＢC 的三条侧棱SA 、S Ｂ、SC 两两互相垂直,且长度分别为ａ、b 、c ，则三棱锥Ｓ－AB Ｃ的外接球的半径R ＝错误!.其中真命题的序号为_＿_＿_＿__.（把你认为是真命题的序号都填上）[答案] ①②④[解析] ①设双曲线方程为m ２x ２-ｙ２=1,∵a 2＝１ｍ２,ｂ2＝1，c 2＝a 2＋b 2=错误!∴e =错误!=错误!＜4，∴ｍ＜错误!∴m 取值1、２、３ 故所求概率为35，故①正确. ②根据双曲线x ２a 2-y 2b 2＝1(a >０，b >０)的一条渐近线方程为y ＝错误!x ,可得错误!=错误!,因此离心率e =错误!＝ａ2+b ２a =错误!＝2，②正确；③函数ｙ＝c ｏs2x 的图象向右平移错误!个单位得y ＝cos2（x －错误!)＝ｃo ｓ(2x -错误!)=s ｉｎ[错误!+（2x －π3)]＝sin(2ｘ＋π6)的图象，③错误; ④将三棱锥S -A ＢＣ补成如图的长方体,可知三棱锥Ｓ-A ＢC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R =错误!，④正确.三、解答题1５．(文)已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点F (-2，0)(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ,若|错误!｜=2|错误!|,求直线ｌ的方程．[解析] (１)由题意可设所求的双曲线方程为＼f （x 2，a ２)－错误!=1（a >0，b >０)则有e ＝错误!=2,ｃ=2，∴ａ=1,则b ＝错误!∴所求的双曲线方程为x 2－y 2３=１. (2)∵直线ｌ与ｙ轴相交于M 且过焦点F (－2,0)∴l 的斜率k 一定存在，设为k ，则l :y =k (ｘ+2）令x =０得M （０,2k )∵｜错误!|=2|错误!|且M 、Ｑ、F 共线于l∴错误!=2错误!或错误!＝-2错误!当错误!=２错误!时，x Ｑ＝－错误!，y Q ＝错误!ｋ∴Ｑ错误!,∵Q 在双曲线x ２-错误!＝１上，∴错误!-错误!=1,∴k =±错误!，当错误!＝－２错误!时,同理求得Ｑ（-4,－2k )代入双曲线方程得，16－4k 2３=1,∴k =±错误!错误! 则所求的直线l 的方程为: ｙ=±错误!(x +2）或ｙ＝±错误!(x +2)(理）(2016·湖南湘潭市）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(３，0).(1)求双曲线C 的方程;(２)若直线l ：y ＝kx ＋错误!与双曲线Ｃ恒有两个不同的交点A 和B ，且错误!·错误!>2(其中O 为原点),求k 的取值范围.[解析] （1)设双曲线错误!－错误!=1，由已知得a =错误!,ｃ＝2,再由ａ2＋ｂ2=２２得，ｂ2＝1,故双曲线C 的方程为错误!－y 2＝1.(2)将ｙ=ｋx ＋2代入错误!-ｙ2＝1中得，(1-3k 2)x 2－62k ｘ-9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得错误!,∴k 2≠＼f(１,3)且k 2<1①设A (x A ，y A ),B (x B ,ｙB ),则x Ａ＋ｘB ＝错误!，ｘA x Ｂ＝错误!由错误!·错误!＞2得,x Ａx B ＋y Ａy B >2，x ＡｘB ＋y A y B =x Ａx Ｂ+（kx Ａ＋＼r(２))(kx B ＋2)＝（k 2＋1)x A ｘB ＋错误!k (x A ＋x Ｂ)+2＝(ｋ2＋１)·－9１－３k 2+错误!k ·错误!+2＝错误! 于是3k 2+7３ｋ2－1＞２,即＼f(-３k 2+9,3ｋ2－1）>０， 解此不等式得错误!<k 2<3②由①②得错误!<ｋ2<1,∴错误!<ｋ<１或-１＜ｋ<－错误!.故ｋ的取值范围为错误!∪错误!.16.(20１6·江苏苏州模拟）已知二次曲线Ｃk 的方程:错误!+错误!＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y =ｘ＋１有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数,且m <ｎ，是否存在两条曲线C m 、C n ,其交点Ｐ与点F 1(－5，0),F 2(＼r(5)，０)满足错误!·错误!＝0?若存在，求ｍ、ｎ的值;若不存在,说明理由．[解析] （1)当且仅当错误!,即k ＜４时，方程表示椭圆．当且仅当（9-k )(4－ｋ)<0，即4＜k <9时，方程表示双曲线.(2)解法一：由错误!化简得，（13－2k )x ２+2(9-k ）x +（9-ｋ)(ｋ－3)＝0∵Δ≥０,∴ｋ≥6或k ≤4(舍)∵双曲线实轴最长,∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长,此时双曲线方程为错误!－错误!=１.解法二：若C ｋ表示双曲线，则k ∈(4，９),不妨设双曲线方程为错误!-错误!=1,联立错误!消去ｙ得,(5-2a 2)ｘ2－2a 2ｘ-６a ２＋ａ4=0∵C k 与直线y =x ＋1有公共点，∴Δ＝4a ４－４(5-2a 2)（a 4－6a 2）≥0,即a 4－8a 2+１5≥0,∴a ２≤3或ａ２≥５(舍)，∴实轴最长的双曲线方程为错误!－错误!=1.解法三:双曲线＼f(x ２,9-k ）＋＼f(y ２,４-k )=1中ｃ2=(9-k )＋（k －４)=5，∴c ＝５，∴F 1(-错误!，0），不妨先求得F １(-错误!,0)关于直线ｙ＝x ＋1的对称点F (-1，1－错误!）,设直线与双曲线左支交点为M ,则2a ＝|ＭF 2|-|MF 1|=|MF 2|－|MF |≤|ＦＦ2|=错误!=2错误!∴ａ≤3,∴实轴最长的双曲线方程为错误!-错误!＝1.(3）由(１)知C 1、C ２、C 3是椭圆，Ｃ5、C 6、C ７、C 8是双曲线，结合图象的几何性质,任意两椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间也无公共点设|PF １｜＝d 1,|P Ｆ２|＝ｄ2，m ∈{１，2,３}，n ∈｛5,6，7，８}则根据椭圆、双曲线定义及错误!·错误!＝0(即PF １⊥P Ｆ２）,应有错误!，所以m ＋n ＝８．所以这样的C ｍ、C n 存在，且错误!或错误!或错误!.1７．(文）(2０10·全国Ⅱ文)已知斜率为１的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－错误!=1(a >0，b >0）相交于Ｂ、D 两点,且BD 的中点为M (１,3).(1)求Ｃ的离心率;(２）设C 的右顶点为A ,右焦点为Ｆ,|D Ｆ｜·｜ＢF |＝17,证明：过Ａ、B 、D 三点的圆与ｘ轴相切． ［解析] (1)由题意知，l 的方程为：y =x ＋2，代入Ｃ的方程并化简得,(b 2－ａ２)x 2-4ａ2x -4a 2－ａ2ｂ2=０设B (x 1,y 1),D (x 2，y 2)，则x 1＋x ２＝＼f （4a ２,b 2-a 2),x １·ｘ2＝－4a ２+ａ2b ２b ２－ａ２① 由M (１,3)为B Ｄ的中点知错误!=1，故错误!×错误!=１即b 2=3a ２②故ｃ＝错误!=２a ，∴Ｃ的离心率e =＼ｆ(c,a )=２.(2）由②知，C 的方程为3x ２－ｙ2=3a 2， Ａ（a,0)，Ｆ(2a,0),x 1+x 2＝２，x 1·x ２＝-错误!＜0,故不妨设x 1≤－a ，ｘ2≥a ,|B Ｆ|＝错误!＝错误!＝a －２x １，｜ＦD |=错误!=错误!=2x 2－a ,|B Ｆ|·|F Ｄ|=(a -2x 1）(2x 2－a )＝－4x １x 2＋２a (ｘ1＋x ２)－a 2＝5ａ2+４a +8.又|BF |·｜FD ｜=１7，故5a 2＋４ａ＋８=17,解得a =1，或a =-错误!.故|B Ｄ|＝错误!｜x 1－x 2｜＝错误!错误!=６连结MA ，则由A (1,0),M (１,3)知|MA ｜＝3，从而MA ＝MB =MD ,∠D ＡB =90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、Ｂ、D 三点,且在点A 处与x 轴相切, 所以过Ａ、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(理)（2016·广东理）已知双曲线错误!-y 2＝1的左、右顶点分别为A １，A 2，点Ｐ(x 1,y １),Q (x 1,-y 1)是双曲线上不同的两个动点．（1)求直线A 1Ｐ与A ２Q 交点的轨迹E 的方程;(２)若过点H (0,h )（h ＞1)的两条直线l 1和ｌ2与轨迹Ｅ都只有一个交点，且l 1⊥l 2．求ｈ的值. ［分析] (1）由条件写出直线Ａ１Ｐ与A 2Ｑ的方程,两式相乘后消去x １，ｙ1得交点E 的方程； （2)ｌ1，l ２与E 只有一个交点,写出ｌ1与ｌ2的方程与曲线Ｅ的方程联立，运用Δ＝０求解. ［解析] (１）由条件知|x １|>错误!,∵A 1、A 2为双曲线的左、右顶点∴,Ａ１（-错误!,0），A 2(错误!，0). A 1Ｐy =错误!(x ＋错误!),A 2Q ｙ=错误!(x －错误!),两式相乘得ｙ２＝＼ｆ(-y 12,x １２－2)(x 2－2），①而点Ｐ(x 1,y 1)在双曲线上,所以x 12２－y 12＝1， 即＼f(y １2，x 12-2)＝1２,代入①式,整理得, 错误!＋y ２＝1. ∵|x 1|>错误!,∴点A 1(－错误!，0),A ２(错误!,０)均不在轨迹E 上，又双曲线的渐近线方程为y =±错误!x ,故过点(０,１）和Ａ2(2，０）的直线与双曲线仅有一个交点A 2(错误!，0),故点(0,1）不在轨迹E 上，同理点(0,-1)也不在轨迹E 上，∴轨迹E 的方程为＼ｆ(ｘ２,２)+y 2＝1(x ≠±2,且ｘ≠0）.(２）设l 1y =ｋx +h ，则由l 1⊥l ２知,l ２y =－＼f(1,k ）x +h . 将l 1y =kx ＋h 代入＼f （ｘ2,2)+y 2=1得 错误!＋(kx ＋h )２＝1,即（1＋2k 2)x 2＋４ｋhx ＋２h 2－2=0,由ｌ１与E 只有一个交点知，Δ=１6k 2h 2-4（1+2k ２）（２h 2－2)=0， ∴1+2k 2=h 2.同理，由l 2与E 只有一个交点知,1＋2·错误!=h 2，消去h 2得错误!＝k ２,--即k2=1，从而ｈ２＝１+2k2=3，即ｈ＝３.又分别过Ａ１、A2且互相垂直的直线与ｙ轴正半轴交于点(0，错误!）,∴h=错误!符合题意，综上知h=错误!或＼r(3).--。

高三数学双曲线试题答案及解析1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．2.已知双曲线左、右焦点分别为，若双曲线右支上存在点P 使得，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(0，)B．(，1)C．D．(，)【答案】【解析】由已知及正弦定理知，即.设点的横坐标为，则，所以，，，即，解得，选.【考点】双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.4. (2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为() A．B．C．2D．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,所以双曲线离心率e==2.5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.6.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．【考点】双曲线的标准方程与几何性质.7.已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D8.已知双曲线的两个焦点分别为，以线段直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为.则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，∴①，又双曲线的渐近线为，因此②，则①②解得，∴双曲线方程为，选A．【考点】双曲线的标准方程与性质．9.在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，当直线MA、MB与双曲线相切时，∠AMB最大，此时最小，设过点M的双曲线切线方程为：代入整理得，，则△==0，解得=，即=，∴==，故选D.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.二倍角公式；3.数形结合思想；4.转化与化归思想10.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义11.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.12.已知双曲线C：＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．【答案】＝1【解析】∵＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.＝113.根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【答案】（1）＝1.（2）＝1【解析】解法1：(1)设双曲线的方程为＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为＝1.(2)设双曲线方程为＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为＝.(2)设双曲线方程为＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为＝1.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】双曲线左顶点为A(-a,0),1渐近线为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F（,0）,准线为直线x=-.由题意知-=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±x中与准线x=-交于(-2,-1)的渐近线为y=x,∴-1=×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5,∴c=,∴2c=2.故选B.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .【答案】 -=1【解析】由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b= a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.16.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.17.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1【答案】B==1,【解析】∵kAB∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.18.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.19.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).解:抛物线y2=-8x的焦点(-2,0)也是双曲线-=1的左焦点,则c=2,a2=m,b2=m-2,m+m-2=4即m=3.20.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.21.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.【答案】(1)(2) λ=0或λ=-4【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.解：(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.22.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．23.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．【答案】-2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，取最小值－2.24.点到双曲线的渐近线的距离为______________.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，点到渐近线的距离.【考点】双曲线的标准方程.25.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】由题意，得e＝＝＝＝226.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.27.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝928.双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】(1，)【解析】双曲线＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜5，故e∈(1，)．29.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.30.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.31.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()．A．5x2－y2＝1B．＝1C．＝1D．5x2－y2＝1【答案】D【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝132.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.33.双曲线＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.34.分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.【考点】直线与圆锥曲线.35.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()．A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为＝136.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.37.已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.【考点】1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.38.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设左焦点为，则，设，则有，即，由定义有：，∴，由得.【考点】1.双曲线的定义；2.焦点三角形求离心率的方法.39.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（）A．或B．或C．1或D．或【答案】D【解析】如图所示，，又即，即，所以渐近线的斜率为或.【考点】双曲线的定义、渐近线等基础知识.40.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．【答案】6【解析】双曲线的右焦点是抛物线的焦点，所以，，.【考点】双曲线的焦点.41.已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】,,构成一个等比数列，双曲线为，【考点】等比数列及双曲线性质点评：若成等比数列，则，在双曲线中有，离心率42.设双曲线的焦点为，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线双曲线的焦点为，所以，又，所以，由得所求选A.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题。