初中数学二次函数课件.ppt

y a( x x1)( x x2 )
x1、x2 是抛物线与x轴交点的横坐标
初中数学
例1：将二次函数 y x2 2x 3 的图象向左
向下
3个单位后得到的函数表达式 为
表达式 a
顶点
平移前
平移后
y ( x 1)2 4 y ( x 1)2 1
a=-1
a=-1
（1,4）
（-1,1）
点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 > y2.
数形结合
初中数学
课堂小结
1. 梳理一下二次函数图象和性质有哪些？ 2. 体会数形结合思想在解决二次函数问题中的重要性.
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
配方 法
b 4ac b2 ( 2a , 4a )
顶点式 y a( x h)2 k
(h, k)
函数最值
初中数学
4.二次函数的增减性 由开口方向和对称轴决定 当a>0时，左减右增 当a<0时，左增右减
初中数学
一般式
顶点式
交点式 （存在的情况下）
y ax2 bx c
y a(x h)2 k
2个单位， .
初中数学
练习：二次函数 y x2 2x 3 关于
y=3
函数表达式为
.
对称前
表达式 y ( x 1)2 4
a 顶点
a=-1 （1,4）
对称后
y = (x-1)2+2
a=1 （1,2）
的
数形结合
初中数学
（1）先将表达式化为顶点式 y a( x h)2 k 2 确定图象变换后的a和顶点坐标（h,k） 3 按顶点式写出变换后的函数表达式

判断a,b,c符号
b2 4ac的符号呢？
变式：若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为
直线x=1，与x轴的一个交点为（-1,0），与y轴的交 点在（0,2）与（0,3）之间.
问题1：你能判断4a+2b+c的符号吗？
5a+b+2c呢？ 2b-3c呢？
问题2：求a的范围
y ax2 bx ca 0
（-1,2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2<x1<-1, 0<x2<1.
四人小组，请写一些 正确的命题
（2017绍兴中考模拟）若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象经过点（-1,2），与x轴交点的横坐标分别为x1， x2，其中-2<x1<-1, 0<x2<1.下列结论正确的是 ________
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ，与x轴的交点为（-1,0），与y轴的交点为
（0,3），请你求出二次函数解析式.
“挖”基本信息，“解”自然而来
—二次函数图象与系数关系
蛟川书院数学组 翁丹枫
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ，与x轴的交点为（-1,0），与y轴的交点为 （0,3），请你求出二次函数解析式.
2b-3c、a+c<1 数
形
……
数缺形时少直观， 形少数时难入微
c0 a b 2c 0
(2017烟台)如图，若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象对称轴为直线x=1，下列结论：①ab<0; ②b2>4ac; ③a+b+2c<0; ④3a+c<0.其中正确的是_________

二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
c>0
c<0
开口向上
c>0 c<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是(-1,0);对称轴
的增大而减小.当x=1时,函数
是直线:x=-1.
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是
(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1
着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函 数y的值最大(是0).
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x2
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12 27 12 3 0 3 12 27
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
y 3x2
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图 y 3x 12
(3)函数y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的 图 象 有 什 么 关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
y 3x2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2

________________，对称轴是过顶点且平行于_____的一条直线． (2) 若a＞0，则当x＝______时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最_____值,为
________ ； 若 a ＜ 0 ， 则 当 x ＝ _____ 时 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 有 最 _____值，为________． 2. 用 配方 法 可 将二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 转 化 为 y＝ a(x ＋ ____)2 ＋ _______．
5.2 二次函数的图像和性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的关
系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)若该函数的图像不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函
数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
∴最大值与最小值之差是 25(不合题意，舍去)． 当 b＞0 时，c＞0，若函数的图像不经过第三象限，则 b2 －4×2b≤0，∴0＜b≤8.∴－4≤－b2＜0. 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－b2≤－2，即 b≥4 时，函数有最大值 1＋3b； 当－b2＞－2，即 b＜4 时，函数有最大值 25－3b.
1. “提”：提出 二次项系数；
方
y＝ - (x+2)2-1.
y＝ － (x2+4x＋4－4)-5 y＝ － (x+2) 2－5+4 y＝ － (x+2) 2－1

解方程，得 m1=-2，m2=3（不符合题意，舍去） ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. （2021•泸州）直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+
（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴
解方程，得 m1= 41-1 ，m2= - 41+1 （不符合题意，舍去）
4
4
∴m= 41-1 ， 4
1 - m＞3，即 m＜-3，当 x=3 时，y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程，得 m1=-1，m2= - 3 （均不符合题意，舍去）. 2
综上所述，m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1＜- m≤3，即-3≤m＜-1，当 x=-m 时，y=6. ∴m2-m=6
bx＋c＝0有 两个不相等的 实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 只有一个 交点，则一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 没有 实数根．
知识点梳理——知识点4：二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1，0)，B(m，0)(－2＜m＜－1)，下列结论①2b＋c＞0；②2a＋c＜0；
③a(m＋1)－b＋c＞0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等实数根，
A 则4ac－b2＜4a；其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系

习题3.5 2、3、4
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．Biblioteka (3)二次函数y=2x2的图象
y x2
y 2x2
是什么形状?它与二次函数
y=x2的图象有什么相同和
不同?它的开口方向、对称
轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
只是开口 大小不同.
二 称次 轴的想项都图一系是象想y数,轴会,a在>;是增同0什减,一开么性坐口样与标都?也系向相中上同作;对.二次原顶函点点数(都0y,=0是-)x.2和y=-2x2
(4)二次函数y=-2x2的图象
是什么形状?它与二次函数
y=-x2的图象有什么相同和
不同?它的开口方向、对称
轴和顶点坐标分别是什么?
y x2
y 2x2
二次函数y=-2x2的 图象形状与y=-x2 一样,仍是抛物线.
顶点都是 原点(0,0).
只是开口 大小不同.
请你总结二 称二次轴次项都函系是数数yy轴=aa<;增x02的减,开图性口象与都和也向性相下质同;对..
(2)如果行车速度是60km／h，那么在雨天行 驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米? 你是怎么知道的?
刹车距离相差一半(36m),由图象,表格或解析 式都可以获知.
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
v
s 1 v2 100
s 1 v2 50
0 20 40 60 80 100 120 140 0 4 16 36 64 100 144 196 0 8 32 72 128 200 288 392

当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0 ,
当x ≠ 0时,y<0.
活动三、应用迁移
例1.
（1）若抛物线y=(2-m)xm2-3有最低点,则m=---------------
（2）点A(-3,y1),B(-2,y2),C(-1,y3)在抛物线
y=ax （a<0）上,则y ,y ,y 的大小关系是 2
x>0时,y随x增大而增大 x>0时,y随x增大而减小
做一做
(1)抛物线y=5x 的顶点坐标是(0,0) ,开口 向上 2 -------------------------对称轴是 y轴 ,在对称轴 右 侧,y随着x的增大而增 大；在对称轴左 侧,y随着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物线y=5x2在x轴 的_上___方(除顶点外). (2)抛物线 y 2 x2 当x<0时,y随着x的 增大而增大 ； 3 当x >0 ,y随着x的增大而减小； ------------------
作业：金榜行动 P4第1-10题，选做P5第6、8题
活动三、应用迁移
例3.已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2； （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图像； （2）根据图像，求出S=1cm2时，正方形的周长； （3）根据图像，求出C取何值时，S≥4cm2 .
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
∴x的值可取负数、零、正数
(2)为了计算和描点方便,x取整数.且以1为 间距取值,取有代表性的7对值
画函数y=x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …

B（5,2）代入解析式得 a 1 2
6.写出范围并单独检查是否取等号.
a 1 2
当a 0时
初中数学
练习.在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,0),B(5,2), 抛物线 y ax2 4ax 3a 2 与线段AB有公共点，结合函数图象， 求a的取值范围．
4.找到符合题意的边界状态及区域并标注；
(3) y ax2 4ax 1(a 0)
经过定点（0,1） 对称轴：直线x=2 过定点（4,1）
初中数学
热身练习
练习.解读以下含参数的二次函数解析式
4 y ax2 4ax 3a 2(a 0)
a x2 4x 3 2 对称轴方程为：直线x=2
a x 1 x 3 2 经过定点（1，-2）和（3，-2）
抛物线 y ax2 4ax 3a 2 与线段AB有公共点，结合函数图象， 求a的取值范围．
1.分析解析式，确定不变量；
对称轴为：直线x=2
经过定点（1，-2）和（3，-2）
2.画出确定的函数图象、标清点；
初中数学
练习.在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,0),B(5,2), 抛物线 y ax2 4ax 3a 2 与线段AB有公共点，结合函数图象， 求a的取值范围．
2. 看对称轴 当a与b成倍数关系时，对称轴确定
(1) y x2 2mx m2 2
2 y mx2 6mx 9m 1(m 0)
(3) y ax2 4ax 1(a 0)
4 y ax2 4ax 3a 2(a 0)
3. 看是否过定点 如顶点（配方法），与y轴的交点 普通点：将含参数的项合并后进行因式分解，使参数的
5.算出边界状态的字母取值；
A（2,0）代入解析式得a 2

y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.

称轴是
．这种方法叫做公式法。
用公式法求下列二次函数的顶点坐标：
1.y=x2-2x-3; 2.y=-2x2-5x-2; 3.y=3x2-2x; 4.y=-2x+3-x2.
用公式法把二次函数一般式化为顶 点式的一般步骤？
1.写出a、b、c的值；
；2.求出
b 2a
和
4ac－b2 4a
的值；
3.代人公式
5.2 二次函数的图像和性质(4)
这一节课我们一起学习了哪些知识？ 你还有什么疑问吗？
1. 提 取二次项系数 ； 2. 配方（在括号内同时 加上并 减 去一次项的系数的一半的 平方）；
3. 化 为顶点式 .
，
你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为y＝a(x＋m)2＋k的情势
吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝ a (x2＋ b x) ＋c
a
＝
a
(x＋
b 2a
)
2
＋
c－
b2 4a
＝ a (x＋ b ) 2 ＋ 2a
的开口 向上 ，对称轴是 直线X=3 ，顶点坐标 是 （3,1） ．当x=___3____时，有最__小___值____1_ .
函数y＝x2＋2x＋2 的图像也是抛物线吗？ 若是，你能求出图像的对称轴和顶点坐标吗？
y ＝x2＋2x＋2 ＝x2＋2x＋1＋1 ＝ (x＋1)2＋1．
由此可知：函数y＝ (x＋1)2＋1的图像可以
（3）当h＞0，k＞0时，抛物线y＝a(x＋h )2＋k可以
看成是由抛物线y=ax2向 左 平移 h 再向 上 平移 k 个单位得到的．
个单位，
练一练
二次函数 y 2(x 3)2 1 的图象，可以由函数 y 2x 2

增大
当x>0时，y随x的增大而
减小 ，
.
5.(1)已知点(-1，y1), (-3，y2)都在二次函数y=-5x2的图象
上，则y1，y2的大小关系是
y1 ＞y2 .
(2)已知点(-2，y1), (3，y2)都在二次函数y=7x2的图象上，
则y1 ，y2的大小关系是
y1 ＜y2
.
22.1二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax²
的图象和性质
温故知新
图象的形状；
图象的形状；
图象的位置；
性质：y随x的增
大如何变化.
一
次
函
数
类比
y=kx
(k≠0)
由
特
殊
到
一
般
二
次
函
数
y=ax²
(a≠0)
k＞0，k＜0，
a＞0，a＜0，
y=x，y=-x.
y=x²，y=-x².
图象的位置；
性质：y随x的增
二次函数 y = ax 2 的图象特征．
(1)在同一直角坐标系中，画出a<0的几个二次函数的图象，并
考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
(2)当a<0时，说出二次函数 y = ax 2 的图象特征．
y
1
-8
-

-2
-






0
0
0


1


-



-

-2
2
-2
-8
…
…
…
1
2
-1
1
3
2

y=a(x+m)2+k
y = a(x+m)2+k
向左平移一个单位
向下平移一个单位
向左平移一个单位，再向下平移一个单位
还有其他平移方法吗？
开口方向
对称轴
顶点坐标
上
下
x=-m
x=-m
（-m,k）
y=a(x+m)2+k
y=a(x+m)2+k
a>0
a<0
（-m,k）
知识点2
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
B
A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m>
8.将二次函数 <m></m> 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的顶点在直线 <m></m> 上，则 <m></m> 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. <m></m>
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
y = ax2
m
-m
结论： 抛物线y=a(x+m)2的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （m＞0）或 （m＜0）平移 个单位.

A．1
B．2
C．3
D．4
y
即当x=a时，y取得的最大值为15
3
2 1
∴2a2－4a－1＝15
x
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5
解得a=4或a=-2(舍)
–1
–2
–3
考题归纳
y
3 2 1
–2 –1 O –1
123
所以当x=a时，y取得的最小值为1
即－a2－2a＋3＝1 x
考题归纳
7
6
5 4
－m2－6m－3＝－4
3
2
1 x
–6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 –1
–2
–3
–4
还有第2种情况哦！
–5
–6
考题归纳
5．(绍兴)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点
(0，－3)，(－6，－3)．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． y 5 8 -3
(1)若－1≤x≤0，则y随x的增大而__减__小__； 当x＝___0___时，y有最小值为___2___； 当x＝___-1___时，y有最大值为___5___．
考题归纳
题型1 二次函数已知，x的取值范围确定求最值 1．二次函数y＝x2－2x＋2的图象如图．
(2)若2≤x≤3，则y随x的增大而__增__大__； 当x＝___2___时，y有最小值为__2____； 当x＝___3___时，y有最大值为__5____．
–1
考题归纳
5．(绍兴)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点 (0，－3)，(－6，－3)．
(1)求b，c的值； (2)当－4≤x≤0时，求y的最大值； (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

利润=每件产品利润×销售数量
【销售最大利润问题】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式，根据函
数图象及性质求最大值。
情景思考（销售最大利润问题）
某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，
每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问：
3）如何定价才能使每周利润最大化
并确定x的取值范围？
情景思考（销售最大利润问题）
某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每
涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进
价为每件40元，请问：
1）题中调整价格的方式有哪些？
涨价和降价
2）如何表示价格与利润之间的关系？
元
情景思考（销售最大利润问题）
某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每
星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问：
3）如何定价才能使每周利润最大化并确定x的取值范围？
300+20x(0 ≤ ≤ 0)
20x
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？
（3）若日销售利润不低于125元，请直接写出售价的取值范围．
情景思考
【分析】
（1） 因为日销售量y是销售价x的一次函数，设y=kx+b，代入对应数值求出函数解析式即可；
（2） 利用销售利润=一件利润×销售件数，一件利润=销售价-成本， 日销售量y是销售价x的
___________________元，此时每周产品的成本______________元，因此周利

x
想一想：
1、抛物线y=ax2+bx+c在x轴
上方的条件是什么？
a＞0
b2 4ac＜ 0
x
变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远是正值的条件是什么？
练一练：不论x取何值时，函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非负数的 条件是什么？
你的收获
a b c b2-4ac
c<0
c=0 y
o
x
知识点一：基本符号的判断
（3）b的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定。
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b同号 a、b异号
y b=0
简记为：
左同右异
o
x
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0 a＜0 b=0
开口____向__上_______________ 开口____向__下_______________ 对称轴为__y___轴
a、b同号 对称轴在y轴的_左___侧 a、b异号 对称轴在y轴的_右___侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于__正___半轴 c＜0 与y轴交于__负___半轴
知识点一：基本符号的判断
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定。
与x轴没有交点
与x轴有一个交点
没有实数根b2-4ac<0 有两个相等的实数根b2-4ac=0
b 2a
与-1的大小关系
知识点二： 2a+b和2a-b符号判断
练一练：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，请判断下列各式符号； y