2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点课时分层作业22

方程的根与函数的零点(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·烟台高一检测)函数f(x)=log5(x-1)的零点是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令log5(x-1)=0,得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2.2.(2017·开封高一检测)二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选C.二次函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数与对应的一元二次方程f(x)=0的实根个数有关,由于Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.3.(2017·聊城高一检测)函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点是-3,则它的另一个零点是( )A.-1B.1C.-2D.2【解析】选B.设另一个零点是x,由根与系数的关系得-3+x=-=-2,所以x=1.即另一个零点是1.4.(2017·吉安高一检测)已知函数f(x)=-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<x1<x0,则f(x1) ( )A.恒为负值B.等于0C.恒为正值D.不大于0【解析】选C.由实数x0是方程f(x)=0的解,得=log2x0,分别作出函数y=,y=log2x 的图象,由图象可知,当0<x1<x0时,>log2x1,所以f(x1)=-log2x1>0.【一题多解】因为函数y=是单调减函数,y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以根据函数单调性的性质可知,函数f(x)=-log2x在(0,+∞)上是减函数.因为0<x1<x0,所以f(x1)>f(x0)=0.5.(2017·黄冈高一检测)若函数f(x)在定义域{x|x∈R,且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有( )A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断【解析】选B.因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(2)=0,所以在(0,+∞)上有且仅有一个零点2,又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2,所以函数f(x)的零点有两个.6.(2017·郑州高一检测)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选B.由2a=3,3b=2,得a=log23,b=log32,ab=1,f(-1)=a-1-1-b=-1<0,f(0)=1-b=1-log32>0.所以零点所在区间是(-1,0).7.函数g(x)=x2+a存在零点,则a的取值范围是( )A.a>0B.a≤0C.a≥0D.a<0【解析】选B.函数g(x)=x2+a存在零点,则x2=-a有解,所以a≤0.【延伸探究】若本题中条件“存在零点”换为“有两个零点”,其结论又如何呢?【解析】选D.函数g(x)=x2+a有两个零点,则x2=-a有两个实数解,所以a<0,故选D.【补偿训练】函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选D.在平面直角坐标系中作出函数y=|x|-1和y=ax的图象如图,结合图象可以看出:当a≥1时,两函数的图象只有一个交点,且交点横坐标小于0,即函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点.故应选D.8.已知函数f(x)=x--1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,x3,则( )A.x2<x1<x3B.x2<x3<x1C.x3<x1<x2D.x1<x2<x3【解析】选 B.f(x)=x--1=0⇔x-1=,根据图象可得两个函数图象的交点x1>1,g(x)=x+2x=0⇔2x=-x,根据两个函数图象的交点可知x2<0,h(x)=x+lnx=0⇔lnx=-x,根据两个函数图象的交点可知0<x3<1,所以x2<x3<x1.【一题多解】选B.三个函数图象y=--1,y=2x,y=lnx与y=-x的交点横坐标比较大小,这样画在同一坐标系下也清楚交点的大小.由图可知x2<x3<x1.【补偿训练】(2017·德州高一检测)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点【解析】选C.因为f(0)·f(1)<0,故f(x)在(0,1)内一定有零点.尽管f(1)·f(2)>0,f(x)在(1,2)内也可能有零点,如图,故C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·嘉兴高一检测)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为________.【解析】当x≤1时,令2x-1=0,得x=0.当x>1时,令1+log2x=0,得x=,此时无解.综上所述,函数零点为0.答案:010.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围为________.【解析】易知函数f(x)=x2+x+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=-.若函数f(x)在区间(0,1)上有零点,则只需满足f(0)·f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0.答案:-2<a<0【补偿训练】已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=f(x).若f(x)有2015个零点,则这2015个零点之和为________.【解析】设x0为其中一根,即f(x0)=0,因为函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(-x0)=f(x0)=0,即-x0也为方程一根,又因为方程f(x)=0有2015个实数解,所以其中必有一根x1,满足x1=-x1,即x1=0,所以这2015个零点之和为0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)11.判断函数f(x)=lnx-在区间[1,3]内是否存在零点.【解析】因为函数f(x)=lnx-的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线,且f(1)=-1<0,f(3)=ln3->0,从而由零点存在性定理知,函数在[1,3]内存在零点.12.(2017·大同高一检测)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,解得2x=1或2x=-(舍去),所以x=0,所以函数f(x)的零点为0.(2)若f(x)有零点,则方程2a·4x-2x-1=0有解.于是2a==+=-,因为>0,所以2a>-=0,即a>0.【补偿训练】已知函数f(x)=x2-bx+3.(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的范围.【解题指南】第(2)问将函数的零点转化为函数图象与x轴交点的横坐标,利用图象找出关于b的不等式,然后解不等式即可.【解析】(1)因为f(0)=f(4),所以3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3,令f(x)=0即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.需f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.【能力挑战题】已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.求当m为何值时,函数f(x)有两个零点.【解析】函数f(x)有两个零点,即方程2(m+1)x2+4mx+2m-1=0有两个不相等的实根,所以解得m<1且m≠-1,所以当m<1且m≠-1时,函数f(x)有两个零点.。

第三章 函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点 课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理解二次函数的图象与x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.1.函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴的交点和相应的ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的关系函数图象判别式 Δ>0 Δ＝0Δ<0 与x 轴交点个数 ____个 ____个 ____个方程的根 ____个 ____个 无解2.对于函数y ＝f(x),我们把________________叫做函数y ＝f(x)的零点.3.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y ＝f(x)的图象______________⇔函数y ＝f(x)__________.4.函数零点的存在性定理如果函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象是________的一条曲线,并且有____________,那么,函数y ＝f(x)在区间(a,b)内________,即存在c ∈(a,b),使得__________,这个c 也就是方程f(x)＝0的根.一、选择题1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中,a·c<0,则函数的零点个数是( )A .0个B .1个C .2个D .无法确定2.若函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是( )A .若f(a)f(b)>0,不存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0B .若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0C .若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝0D .若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c ∈(a,b)使得f(c)＝03.若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2,那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A .0,－12B .0,12C .0,2D .2,－124.函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A .(－2,－1)B .(－1,0)C .(0,1)D .(1,2)5.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( ) A .0 B .1C .2D .36.已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示,则实数b 的取值范围是( )A .(－∞,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,＋∞)二、填空题7.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,－2是它的一个零点,且在(0,＋∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.8.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________.9.根据表格中的数据,可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ,k ＋1)(k ∈N ),则k 的值为________.三、解答题10.证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解.11.关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.能力提升12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0),f (－2)＝－2,则方程f (x )＝x 的 解的个数是( )A.1B.2C.3D.413.若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k 的取值范围.第三章 函数的应用§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1.2 1 0 2 12.使f(x)＝0的实数x3.有实数根 与x 轴有交点 有零点4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0作业设计1.C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中,∵ac<0,∴a ≠0,∴Δ＝b 2－4ac>0,即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根,则对应函数的零点个数为2个.]2.C [对于选项A ,可能存在根；对于选项B ,必存在但不一定唯一；选项D 显然不成立.]3.A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0,∴b ≠0,a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0,得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 4.C [∵f(x)＝e x ＋x －2,f(0)＝e 0－2＝－1<0,f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.]5.C [x ≤0时,令x 2＋2x －3＝0,解得x ＝－3.x>0时,f(x)＝ln x －2在(0,＋∞)上递增,f(1)＝－2<0,f(e 3)＝1>0,∵f(1)f(e 3)<0∴f(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点.总之,f(x)在R 上有2个零点.]6.A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ,则由f (0)＝0可得d ＝0,f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ,又由x ∈(0,1)时f (x )>0,可得a >0,∴b <0.]7.3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)＝0,又∵f (x )在(0,＋∞)上是增函数,由奇函数的对称性可知,f (x )在(－∞,0)上也单调递增,由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0,＋∞)上只有一个零点,综上f (x )在R 上共有3个零点,其和为－2＋0＋2＝0.8.2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数.在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知,两个函数图象有2个交点,即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点.9.1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2),由题意知f (－1)<0,f (0)<0,f (1)<0,f (2)>0,所以方程的一个实根在区间(1,2)内,即k ＝1.10.证明 设f (x )＝x 4－4x －2,其图象是连续曲线.因为f (－1)＝3>0,f (0)＝－2<0,f (2)＝6>0.所以在(－1,0),(0,2)内都有实数解.从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.11.解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧ m <0f (4)>0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0,解得－1913<m <0. 12.C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 当x ≤0时,方程为x 2＋4x ＋2＝x ,即x 2＋3x ＋2＝0,∴x ＝－1或x ＝－2；当x >0时,方程为x ＝2,∴方程f (x )＝x 有3个解.]13.解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。