高中数学课时达标训练二十一北师大版必修

课时作业(二十一)一、选择题 1．已知t >0，假设 (2x －2)d x ＝8，那么t ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．4或2解析：由题意得(x 2－2x )t 0＝t 2－2t ＝8.因此t ＝4或t ＝－2<0(舍去)．答案：C2．(2021年山东青岛一模)直线y ＝2x ＋4与抛物线y ＝x 2＋1所围成封锁图形的面积是解析：直线与抛物线在同一坐标系的图象如图，那么其围成的封锁图形的面积是2x ＋3)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＝323.答案：C3．(2021年福建莆田高三质检)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部份面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝＝(e x －e x )21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B4．(2021年江西九校联考) d x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32π的值为( )A ．3 ＋1 ＋3解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋|x －π2|d x ＝1＋5π28.答案：B5．(2021年广州一模)已知a ＝ (3cos x －sin x )d x ，那么二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝ (3cos x －sin x )d x ＝3sin x ＋cos x＝－2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的通项T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－2x －1)r ＝(－2)r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝1，∴r ＝3. 现在x 的系数为(－2)3C 35＝－80 答案：D 6．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )B ．4D ．6解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得其交点坐标为(4,2)，因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为答案：C二、填空题7．(2021年西安质检)(sin x ＋2x )d x ＝________.解析：依题意得(sin x ＋2x )d x ＝－cos x ＋x 2⎪⎪⎪⎪2－2＝(－cos 2＋22)－[－cos (－2)＋(－2)2]＝0.答案：0 8.(2021年郑州模拟)曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是________．解析：结合图形知其面积为S ＝cos x d x ＋答案：39．(2021年山东)设a >0.假设曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封锁图形的面积为a 2，那么a ＝________.解析：由题意可得曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封锁图形的面积S ＝＝a 2，解得a ＝49.答案：49三、解答题10．计算以下定积分： 解：(1)∵x (x ＋1)＝x 2＋x ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2′＝x ， ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143.(2)∵(ln x )′＝1x，(e 2x )′＝e 2x ·(2x )′＝2e 2x ，＝12e 4－12e 2＋ln 2.(3)由(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，得＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－0－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2π－12sin 0 ＝π2. 11．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积． 解：在同一直角坐标系下作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象．所求面积为图中阴影部份的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x得交点(1,1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32·32－13·33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32·12－13·13＝133. 12．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线和x 轴所围的面积为112.试求：切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解：如图，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S 曲边△AOB ＝⎠⎜⎛x 0x 2d x ＝13x 3x00＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30.即：S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. 因此x 0＝1， 从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1. [热点预测]13．由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封锁图形的面积为 ( ) A ．2 3B ．9－2 3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xy ＝3－x 2解得x ＝－3，或x ＝1，因此封锁图形的面积为(3－x 2－2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪⎪1－3＝323.答案：D14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈1，e](e 为自然对数的底数)，那么f (x )d x 的值为________．解析：答案：4315．设f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1且f (－x )d x ＝m ，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析：因为f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.因此f (－x )d x ＝(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 221＝56＝m ，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋1612＝1.答案：1。

课时跟踪检测（二十一）圆的标准方程一、基本能力达标1．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为()A．4x－y＝0B．4x＋y＝0C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0解析：选B由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y ＝－4x，即4x＋y＝0.2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：选A(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.3．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析：选D y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．4．已知一圆的圆心为M(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析：选A由已知条件可得直径的两个端点坐标分别为(0，－6)，(4,0)，此圆的半径为(4－2)2＋(0＋3)2＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.5．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于()A．13 B．7C．－13 D．以上答案都不对解析：选B 当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a ，－5)代入直线方程x ＋2y ＋3＝0，得a ＋2×(－5)＋3＝0.解得a ＝7.6．点(a ，a )在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2a 2的内部，则a 的取值范围为________．解析：由(a －1)2＋(a ＋2)2＜2a 2得a ＜－52. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－52 7．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (0,1)的圆的方程为________．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径r ＝(2－0)2＋(－3－1)2＝25，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝20.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝208．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________． 解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝19．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．解：(1)∵PQ 中点为⎝⎛⎭⎫12，12，且k PQ ＝－1，∴圆心所在的直线方程为y －12＝x －12，即x －y ＝0. (2)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，则{ (1－a )2＋b 2＝1，a 2＋(b －1)2＝1，解得{ a ＝0，b ＝0或{a ＝1，b ＝1. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的标准方程．解：(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD 的两条对角线的交点为点M (2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22， 所以矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.二、综合能力提升1．△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,0)，B (3,0)，C (3,4)，则△ABC 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝20B ．(x －2)2＋(y －2)2＝10C ．(x －2)2＋(y －2)2＝5D ．(x －2)2＋(y －2)2＝ 5解析：选C 易知△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°，所以圆心是斜边AC 的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r ＝5，所以外接圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.2．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选B 由题意，知|PQ |的最小值即为圆心到直线x ＝－3的距离减去半径长，即|PQ |的最小值为6－2＝4，故选B.3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：选C 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.4．圆心在直线2x －y ＝3上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1D ．不存在解析：选C 设圆心为C (a ，b )，则|a |＝|b |，∵圆心在2x －y ＝3上，∴当a ＝b 时，代入得a ＝b ＝3，圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9.当a ＝－b 时，同理得a ＝1，b ＝－1，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.5．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由{ x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝(2－0)2＋(4－0)2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝206．已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1，当m 变化时，圆C 上的点到原点的最短距离是________．解析：由题意可得，圆C 的圆心坐标为(2,4－m )，半径为1，圆C 上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d ＝22＋(4－m )2－1的最小值，当m ＝4时，d 最小，d min ＝1.答案：17．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB 的中点(0,1)，半径r ＝12|AB |＝10. 则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3， 即线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0. 由{ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得{x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝r 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，r 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.探究应用题8．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求y x 的最大值和最小值． (2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求(x －2)2＋(y －3)2 的取值范围．解：(1)法一：如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x 最大，过圆心A (2,0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt △ABO中，OA ＝2，AB ＝ 3.∴切线l 的倾斜角为60°，∴y x 的最大值为 3.类似地容易求得y x 的最小值为－ 3.法二：令y x ＝n ，则y ＝nx 与(x －2)2＋y 2＝3，联立消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3，∴－3≤n ≤3，即y x 的最大值、最小值分别为3，－ 3.(2)(x －2)2＋(y －3)2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离．圆心C (0,1)到A (2,3)的距离为d ＝(0－2)2＋(1－3)2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离的范围是⎣⎡⎦⎤22－12，22＋12. 所以(x －2)2＋(y －3)2的取值范围是 ⎣⎡⎦⎤22－12，22＋12.。

课时达标训练（二十一）一、选择题1．某产品的利润y (元)关于产量x (件)的函数关系式为y ＝3x＋4，则当产量为4时，利润y 等于( )A ．4元B ．16元C ．85元D ．不确定2．某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t 为出发后的某一时刻，s 为汽艇与码头在时刻t 时的距离，下列图像中能大致表示s ＝f (t )的函数关系的为( )3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋bx4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t t ，＜t ，150－50t＜tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t t ，150－50t t ＞D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t t，＜t，150－t －＜t二、填空题5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t (单位：天)的函数．日销售量为f (t )＝2t ＋100，价格为g (t )＝t ＋4，则该种商品的日销售额S (单位：元)与时间t 的函数关系式为S (t )＝________.6．一个高中研究性学习小组对本地区2013年至2015年快餐公司发展情况进行了调查，制成该地区快餐公司个数的函数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均情况条形图(如下图)．根据图中提供的信息，可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．7．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m 处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m 时，球到达最高点，此时球高3 m ，已知球门高2.44 m ，________踢进球门(填“能”或“否”)．8．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________．三、解答题9．某企业根据企业现状实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34.设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； (2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？10．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x 与当年灌溉面积y .现有连续10年的实测资料，如下表所示.(1)描点画出灌 溉面积y 随最大积雪深度x 变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y ＝f (x )，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm ，则可以灌溉土地多少公顷？答案1．解析：选C 当x ＝4时，y ＝34＋4＝85. 2．解析：选C 由题中所述，只有C 符合题意．3．解析：选B 在坐标系中描出表中各点，知拟合函数为y ＝a ＋b x. 4．解析：选D 根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可． 5．解析：日销售额S ＝f (t )g (t )＝(2t ＋100)(t ＋4)． 答案：(2t ＋100)(t ＋4)6．解析：根据题意知，三年内共销售盒饭为： 30＋45×1.5＋90×2＝277.5， ∴平均每年销售盒饭92.5万盒． 答案：92.5 7．解析：建立如图所示的坐标系，拋物线经过点(0,0)，顶点为(6,3)． 设拋物线解析式为y ＝a (x －6)2＋3， 把x ＝0，y ＝0代入得a ＝－112， ∴y ＝－112(x －6)2＋3.当x ＝10时，y ＝－112(10－6)2＋3＝53＜2.44.∴球能射进球门． 答案：能8．解析：总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，故当Q ＝300时，总利润最大值为2 500万元． 答案：2 500万元9．解：(1)裁员x 人后，企业员工数为(200－x )人，每人每年创纯利润(1＋0.01x )万元，企业每年需付给下岗工人0.4x 万元，则y ＝(200－x )(1＋0.01x )－0.4x ＝－0.01x 2＋0.6x ＋200. ∵200－x ≥34×200⇒x ≤50，∴x 的取值范围为0＜x ≤50，且x ∈N ； (2)y ＝－0.01(x －30)2＋209， ∵0＜x ≤50，且x ∈N ，∴当x ＝30时，y 取得最大值209.∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元． 10．解：(1)描点作图如下：(2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝a ＋bx .取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝a ＋10.4b ，45.8＝a ＋24.0b .用计算器可算得a ≈2.4，b ≈1.8.这样，我们得到一个函数模型：y ＝2.4＋1.8x .作出函数图像如图②，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝2.4＋1.8×25，求得y ＝47.4， 即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4公倾.。

课时分层作业(二十一) 函数与方程(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)B [因为函数f (x )的图像是连续不断的一条曲线，又f (－1)＝2－1－3＜0，f (0)＝1＞0，所以f (－1)·f (0)＜0，故函数零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B.]2．函数f (x )＝x －xx －3的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [由f (x )＝x －xx －3＝0得x ＝1，∴f (x )＝x －xx －3只有一个零点．]3．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1D ．a ≥1B [由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1.]4．函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点所在大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)B [∵f (x )＝log 3x ＋x －3， ∴f (1)＝log 31＋1－3＝－2<0，f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1＜0， f (3)＝log 33＋3－3＝1>0， f (4)＝log 34＋4－3＝log 34＋1＞0， f (5)＝log 35＋5－3＝log 35＋2＞0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点所在大致区间是(2,3)．故选B.] 5．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 C [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e－ln 1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13－ln 1＝13＞0， f (e)＝e 3－ln e ＝e 3－1＜0.故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．]二、填空题6．函数f (x )＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________． 1 [由题意(－6)2－6m －6＝0，解得m ＝5，由x 2＋5x －6＝0，解得x 1＝－6，x 2＝1.故另一个零点为1.]7．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． (1，＋∞) [函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图像(如图所示)，可知a ＞1时两函数图像有两个交点，0＜a ＜1时两函数图像有唯一交点，故a ＞1.]8．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.2 [∵2＜a ＜3＜b ＜4， 当x ＝2时，f (2)＝log a 2＋2－b ＜0；当x ＝3时，f (3)＝log a 3＋3－b ＞0， ∴f (x )的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2.] 三、解答题9．求函数y ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2(a ∈R )的零点． [解] 令y ＝0并化为：(ax －1)(x －2)＝0. 当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2； 当a ＝12时，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝0，解得x 1＝x 2＝2，则其零点为x ＝2；当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，则其零点为x ＝1a或x ＝2.10．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．[解] 令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f 或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0. [等级过关练]1．在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 C [∵g (x )＝e x在(－∞，＋∞)上是增函数，h (x )＝4x －3在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝e x＋4x －3在(－∞，＋∞)上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e －14－4＜0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.] 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x ＞0的图像如图所示：则f (x )的零点个数为2.]3．函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 [因为f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋a －2的函数图象为开口向上的抛物线，且有两个零点，一个大于1，另一个小于1，则f (1)＝12＋(2a －1)×1＋a －2<0，解得a <23，故实数的a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a <23.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 [令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m .由题意函数f (x )与y ＝m 的图像有三个不同的交点． 由图可知．故当－14＜m ＜0时，两函数有三个不同的交点，故函数的取值范围为－14＜m ＜0.]5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a ＞b ＞c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，且f (x 1)≠f (x 2)，若方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．[证明] (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 又∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，即ac ＜0， ∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根， ∴f (x )必有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 1)－f (x 2)]， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 2)－f (x 1)]． ∵g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，且f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)＜0. ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根.。

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课时提升作业(二十一)换底公式(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若a>0,a≠1,则=log c b成立的条件是( )A.b>0,c>0B.b>1,c>1C.b>0,c>0且c≠1D.b>0,b≠1且c>0,c≠1【解析】选C.由于c为底数,b为真数,故=log c b成立的条件是b>0,c>0且c≠1.2.(log29)·(log34)=( )A. B. C.2 D.4【解析】选D.原式=〃==4.【一题多解】选D.原式=2log23〃=2〓2=4.3.(2014·西安高一检测)若log a b·log3a=5,则b=( )A.a3B.a5C.35D.53【解析】选C.利用换底公式,得〃=5,化简得=5,即lgb=5lg3,故b=35.【变式训练】若a,b>0,且a≠1,b≠1,log a b=log b a,则( )A.a=bB.a=C.a=b或a=D.a,b为一切非1的正数【解析】选C.因为log a b=log b a,所以=,即lg2a=lg2b,所以lga=〒lgb,即lga=lgb或lga=lgb-1,得a=b或a=.4.(2014·长春高一检测)已知2x=3y,则=( )A.log23B.log32C.lgD.lg【解题指南】先对等式2x=3y两边取常用对数,然后借助对数的换底公式求解. 【解析】选A.对等式2x=3y两边取常用对数,得lg 2x=lg3y,即xlg2=ylg3,所以==log23.5.(2014·黄冈高一检测)已知函数f(n)=log(n+2)(n+3)(n∈N*),使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)且满足k在区间[1,100]内,则k的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为f(n)=log(n+2)(n+3)=,所以f(1)〃f(2)〃…〃f(k)=〃〃〃〃…〃==log3(k+3).所以当k分别为6, 24,78时满足题意.6.已知lg2=a,lg3=b,则用a,b表示log125的值为( )A. B. C. D.【解题指南】利用换底公式将log125表示成含有lg2与lg3的式子即可解决. 【解析】选A.因为lg2=a,lg3=b,所以log125=====,故选A.二、填空题(每小题4分,共12分)7.,,lo,lo a n,(a>0,a≠1,b>0,b≠1,ab≠1,n∈N+)中和log a b相等的有个.【解析】结合换底公式可知log a b=,=log b a,lo=log b a,lo a n=log b a,===log a b.故只有两个.答案：28.(2014·宜春高一检测)计算log225·log3(2)·log59的结果为. 【解析】原式=〃〃=〃〃=6.答案：69.(2014·齐齐哈尔高一检测)已知log a x=1,log b x=2,log c x=3,则log abc x= .【解析】由已知,有log x a=1,log x b=,log x c=.所以log x(abc)=log x a+log x b+log x c=.所以log abc x=.答案：三、解答题(每小题10分,共20分)10.计算：(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).【解题指南】由于对数的底数不同,先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值.【解析】原式===log25〃(3log52)=13log25〃=13.【一题多解】原式====13.【拓展延伸】对数运算的理论依据及应用技巧1.对数运算的理论依据2.应用技巧11.光线每通过一块玻璃板,其强度要减少10%,至少要把几块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们后的光线强度在原强度的以下?(lg3≈0.4771).【解析】设光线没有通过任何玻璃板时的强度为m,通过x块玻璃板后其强度为y.当x=1时,y=0.9m;当x=2时,y=0.92m;当x=3时,y=0.93m;…则y=0.9x m.设0.9x m=m,所以0.9x=.所以x=log0.9==≈10.4,即至少要把11块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们后的光线强度在原强度的以下.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.log23·log3m=,则m=( )A.2B.C.4D.1【解题指南】先利用换底公式化简,再借助指数式与对数式的关系求m的值. 【解析】选B.因为log23〃log3m=log2m=,所以m==,故选B.2.(2014·商洛高一检测)已知log23=a,log37=b,则log27等于( )A.a+bB.a-bC.abD.【解析】选C.因为log27=log23〃log37=ab,故选C.3.若P=log23·log34,Q=lg2+lg5,M=e0,N=ln1,则正确的是( )A.P=QB.M=NC.Q=MD.N=P【解析】选C.P=log23〃log34=〃=2;Q=lg2+lg5=lg10=1;M=e0=1;N=ln1=0.故选C.4.(2014·沈阳高一检测)若2.5x=1000,0.25y=1000,则-=( )A. B.3 C.- D.-3【解析】选A.x=log2.51000,y=log0.251000,所以=log10002.5,=log10000.25,所以-=log10002.5-log10000.25=log100010=,故选A.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·南昌高一检测)计算：1+lg2·lg5-lg2·lg 50-log35·log259·lg5 = .【解析】原式=1+lg2〃lg5-lg2(1+lg 5)-〃〃lg5=1+lg2〃lg5-lg2- lg2〃lg5-lg5=1-(lg2+lg5)=1-lg10=1-1=0.答案：0【变式训练】(2014·菏泽高一检测)不用计算器求：log3+2log510+log50.25+.【解析】原式=log3+log5(100〓0.25)+7〔=log3+log552+=-+2+=.6.设log89=a,log35=b,则lg2= .【解析】由log89=a得log23=a,所以=,又因为log35==b,所以〓=ab,所以=ab,所以lg2=.答案：三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·汉中高一检测)已知log1227=a,求log616的值.【解析】由log1227=a,得=a,所以lg2=lg3.所以log616====.【拓展延伸】不同底数的对数的计算、化简和恒等证明的常用方法在应用换底公式时,(1)先换底,然后再将底统一.(2)在解题方向还不清楚的情况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底),然后再化简.8.(2014·西安高一检测)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60～110为过渡区,110以上为有害区.(1)根据上述材料,列出声压级y与声压P的函数关系式.(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区,声音环境是否优良?【解析】(1)由已知得y=20lg(其中P0=2〓10-5).(2)当P=0.002时,y=20lg=20lg102=40(dB).由已知条件知40dB小于60dB,所以此地为噪音无害区,声音环境优良.关闭Word文档返回原板块。

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课堂达标·效果检测
1.下列表格中的x与y能构成函数的是( )
【解析】选C.A中,当x=0时,y=±1;B中0是偶数,当x=0时,y=0或y=-1;D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系,如x=1∈N(Z,Q),故y的值不唯一,故A,B,D均不正确.
2.已知集合P={x|0≤x≤4},集合Q={y|0≤y≤2},下列对应不表示从集合P到集合Q的函数的是( )
A.f：x→y=x
B.f：x→y=x
C.f：x→y=x
D.f：x→y=
【解析】选C.对于C,当x=4时,y=6,而6∉Q.
3.下列图形中可以表示以集合M={x|0≤x≤1}为定义域,以集合N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图像的是( )
【解析】选C.由题意知,自变量的取值范围是[0,1],函数值的取值范围也是[0,1],故可排除A,B;再结合函数的定义,可知对于集合M中的任意x,N中都有唯一的元素与之对应,故排除D.
4.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则y=f(x)的定义域是,值域是.
【解析】由图观察知,定义域为[-3,0]∪[1,3],值域为[1,5].
答案：[-3,0]∪[1,3] [1,5].
5.求函数y=的定义域.
【解析】要使函数有意义,需满足即x<且x≠-1.所以函数的定义域为(-∞,-1)∪.
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一、选择题1．下列区间中，使函数y ＝－2x 2＋x 是增函数的是( )A ．RB ．[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 2．如果函数y ＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则实数k 的取值范围为( )A ．k ≤40B ．k ≥160C ．40<k <160D ．k ≤40或k ≥1603．(浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝04．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x－0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.56万元C ．45.6万元D ．45.51万元二、填空题5．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数，则f(－1)＝________.6．已知二次函数f(x)＝(x＋a)(bx＋a)(常数a，b∈R)的图像关于y轴对称，其值域为(－∞，4]，则a＝________，b＝________.7．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为 ________.8．已知关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题9．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图像与y轴交于点(0,1)，且满足f(－2＋x)＝f(－2－x)(x∈R)．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知函数在(t－1，＋∞)上为增加的，求实数t的取值范围．10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线表示如图．(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．解：(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋25 2，由t＝0时，R＝0，得a＝－1 2 .∴R＝－12(t－5)2＋252(0≤t≤5)．(2)年纯收益y＝－12t2＋5t－0.5－14t＝－12t2＋194t－0.5，当t＝194＝4.75时，y取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．答案1．解析：选D 函数y＝－2x2＋x＝－2(x－14)2＋18的图像的对称轴是直线x＝14，图像的开口向下，所以函数在对称轴x ＝14的左边是增加的． 2．解析：选D 抛物线y ＝4x 2－kx －8的对称轴为x ＝k 8， 若函数y ＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数， 则k 8≤5或k 8≥20. ∴k ≤40或k ≥160. 3．解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.4．解析：选C 设公司获得的利润为y ，在甲地销售了x 辆，则在乙地销售了(15－x )辆．则y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15，x ∈N )， 此二次函数的对称轴为x ＝10.2，∴当x ＝10时，y 有最大值为45.6(万元)．5．解析：∵a ＋18＝－1，∴a ＝－9，则f (x )＝4x 2＋8x ＋5.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.答案：16．解析：f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )＝bx 2＋a (b ＋1)x ＋a 2. f (x )图像的对称轴为x ＝－a b ＋12b＝0，∴b ＝－1. ∴f (x )＝－x 2＋a 2，顶点为(0，a 2)．∵f (x )的值域为(－∞，4]，∴a 2＝4，∴a ＝±2.答案：±2 －17．解析：由图知抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标是(3,0)，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1,0)．所以关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3. 答案：－1,38．解析：设f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4，法一：当a ＝2时，f (x )＝－4<0恒成立；当a ≠2时，f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立， 即f (x )有最大值且最大值小于零．即⎩⎨⎧ a －2<0，f x max ＝－a －2<0，解得－2<a <2.综上知，a 的取值范围是(－2,2]．法二：a ＝2时不等式显然成立，a ≠2时，若不等式成立，即f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，必有a－2<0，且Δ＝4(a－2)2＋4(a－2)×4<0，解得－2<a<2.综上得－2<a≤2.∴a的取值范围是(－2,2]．答案：(－2,2]9．解：(1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1)，知c＝1.又f(－2＋x)＝f(－2－x)，∴函数f(x)的对称轴为x＝－22a ＝－1a＝－2.∴a＝12 .∴f(x)＝12x2＋2x＋1.(2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上为增函数，∴t－1≥－2.∴t≥－1.10．解：(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋252，由t＝0时，R＝0，得a＝－1 2 .∴R＝－12(t－5)2＋252(0≤t≤5)．(2)年纯收益y＝－12t2＋5t－0.5－14t＝－12t2＋194t－0.5，当t＝194＝4.75时，y取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．34422 8676 虶?22367 575F 坟F!sx24237 5EAD 庭23791 5CEF 峯40673 9EE1 黡)^"25130 622A 截。