【课堂新坐标】高中数学人教版必修四练习：模块综合测评

模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位后，得到f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称解析：f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，f (x )的图象关于x ＝－π3对称；f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝cos 16π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 5π6≠0，因此选B.答案：B5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C.答案：C6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移7π24个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＞－π3上的值域为[－1，2]，则θ等于( )A.π6B.π4C.2π3D.7π12解析：由图象可知，A ＝－2，T ＝π，ω＝2，φ＝π4，所以f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.g (x )＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －7π24＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由题意及g (x )的单调性知，g (θ)＝－1，解得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，结合题意知θ＝π4.答案：B7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限． 答案：B8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值分别是( )A ．1，1 B.3，1 C ．－3，－1D ．－3，1解析：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.〈OC →，OB →〉＝5π6－π2＝π3.则OC →＝λOA →＋μOB →＝(λ，μ)，OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×(－32)＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|·cos π3，即μ＝2×12＝1，所以λ＝－3，μ＝1，选D.答案：D9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．在△ABC 中，P 是边BC 的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形但不是等边三角形 解析：如图，由P 是BC 的中点，cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )·PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →不共线，所以a －c ＝c －b ＝0， 所以a ＝b ＝c ，故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos φ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －12＝12sin 2x sin φ＋12cos φcos 2x ＝12cos(2x －φ)， 所以g (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ. 因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，所以2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z)，即φ＝2π3－2k π(k ∈Z)．因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3. 答案：D12．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.13B.27C.17D.23解析：由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，解得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34.则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，所以cos α＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＝23π， 所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：314．若函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．解析：令y ＝12，可得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，x 的值为…，－7π6，π6，5π6，13π6，…，两个相邻的x 值相差的最大值为4π3，因为函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以b －a 的最大值是4π3. 答案：4π315．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．如图，在同一平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________．解析：由tan α＝7，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－43. 以O 为原点，OA 方向为x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则A 点坐标为(1，0)． 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α ＋π4＝－43，OB →的模为1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由tan α＝7，OC →的模为2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.由OC →＝mOA →＋nOB →，代入A ，B ，C 点坐标可得， ⎩⎪⎨⎪⎧m －35n ＝15，45n ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74. 所以m ＋n ＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0，所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，1)， (1)求a －2b ；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； (3)若向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，求k 的值．解：(1)a －2b ＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0)．(2)cos θ＝a ·b |a ||b |＝1×（－3）＋2×112＋22·12＋（－3）2＝－210. (3)因为向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直， 所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0， 即a 2－k 2b 2＝0.因为a 2＝5，b 2＝10， 所以5－10k 2＝0，所以k ＝±22. 19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， 由于cos α≠0，所以6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解得tan α＝－43或tan α＝12.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以tan α＜0， 所以tan α＝－43.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．所以sin α2＝55，cos α2＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2·sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z)，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z)．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰好有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，又k ＞0，所以k ＝3，令t ＝3x －π3，11 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 若sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1， 所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1，3)， 即实数m 的取值范围是[3＋1，3)．。

模块综合检测(时间：120分钟满分:150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P(－3，4）,则sin α的值等于( )A．－错误! B。

错误!C。

错误! D．－错误!解析：选C sin α＝4－32＋42＝错误!.2．已知cos错误!＝－错误!且｜φ｜＜错误!，则tan φ＝( ）A．－错误! B.错误!C．－错误! D。

错误!解析:选D 由cos错误!＝－错误!得sin φ＝错误!，又｜φ｜＜错误!，所以φ＝错误!，所以tan φ＝错误!.3．已知M是△ABC的BC边上的中点，若AB＝a，AC＝b，则AM＝( ）A.错误!(a－b） B。

错误!（a＋b）C．－错误!(a－b) D．－错误!(a＋b）解析：选B AM＝AB＋BM＝AB＋错误!BC＝AB＋错误!(AC－AB)＝错误!(a＋b)．4．设角α＝－错误!,则错误!的值为（）A.错误! B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：选D 因为α＝－35π6＝错误!－6π,所以错误!＝2sin αcos α＋cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

故选D。

5．已知向量a＝(2,1)，b＝（1,k),且a与b的夹角为锐角，则k的取值范围是（) A．（－2，＋∞) B。

错误!∪错误!C．(－∞,－2） D．（－2，2）解析：选B 当a，b共线时，2k－1＝0，k＝12，此时a，b方向相同夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不共线．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2,且k≠错误!，即实数k的取值范围是错误!∪错误!.6．向量a，b满足｜a＋b|＝错误!，|a－b｜＝错误!,则a·b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A 向量a，b满足｜a＋b｜＝错误!，｜a－b｜＝错误!,可得a2＋2a·b＋b2＝7，a2－2a·b＋b2＝3，两式相减可得4a·b＝4.解得a·b＝1，故选A.7.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R,且ω＞0,0≤φ＜2π）的部分图象如图所示，则( )A．ω＝错误!，φ＝错误!B．ω＝错误!，φ＝错误!C．ω＝错误!，φ＝错误!D．ω＝错误!，φ＝错误!解析：选C ∵T＝4×2＝8,∴ω＝错误!.又∵π4×1＋φ＝错误!，∴φ＝错误!。

模块综合测试卷班级 ____ 姓名 ____ 考号 ____ 分数 ____本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．一、选择题：本大题共12 题，每题 5 分，共 60 分．在以下各题的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的．1．－ 3290 °角是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案： D分析： － 3290°＝－ 360°× 10＋ 310° ∵310 °是第四象限角 ∴－3290 是°第四象限角 2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为 3，则该弦 AB 所对的弧长 l 为 ( )2 3A.3π B. 4π 5π D ．πC.6答案： A分析： 设该弦 AB 所对的圆心角为α，由已知 R ＝ 1，ABα 23 α π22∴sin 2＝ R ＝ 2，∴2＝3，∴α＝3π，∴l ＝ αR＝3π.3．以下函数中周期为 π)的偶函数是 (2A ． y ＝ sin4xB ．y ＝ cos 22x － sin 22xC ．y ＝ tan2xD ． y ＝ cos2x 答案： B分析： A 中函数的周期T ＝ 2π πB 可化为 y ＝ cos4x ，其周期为 T ＝2π π4＝ 2，是奇函数．4 ＝2，π2π是偶函数． C 中 T ＝ 2，是奇函数， D 中 T ＝ 2 ＝ π，是偶函数．应选 B.4．已知向量 a ， b 不共线，实数 x ， y 知足 (3x － 4y)a ＋ (2x － 3y) ·b ＝ 6a ＋ 3b ，则 x － y 的值为()A ．3B ．－ 3C ．0D ． 2 答案： A3x － 4y ＝6，x ＝ 6，分析： 由原式可得解得∴x － y ＝ 3.2x － 3y ＝3， y ＝ 3.5．在四边形 → → →ABCD 中， AB ＝a ＋ 2b ，BC ＝－ 4a － b ，CD ＝－ 5a －3b ，则四边形 ABCD是()A ．长方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形 答案： D→ → → → →分析： AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝－ 8a － 2b ＝ 2BC ，→ → 且 |AD|≠ |BC|1∴四边形 ABCD 是梯形．6．已知向量 a ＝ (1,0) ，b ＝ (cos θ， sin θ)， θ∈ π π－ ， 2，则 |a ＋ b|的取值范围是 ()2 A ． [0， 2] B ． [0,2] C ．[1,2] D ． [ 2，2]答案： D分析： |a ＋ b|2＝ a 2＋ b 2＋ 2a ·b ＝ 2＋ 2cos θ，由于 θ∈ － π π2， 2 ，因此 2＋ 2cos θ∈ [2,4] ，所 以|a ＋ b|的取值范围是 [ 2，2]．7．已知 cos α＝－ 4，且 α∈ π π)， π ，则 tan － α＝ ( 1 5 2 4A ．－ 7B ． 71C.7 D ．－ 7 答案： Bπ433分析： ∵α∈2， π， cos α＝－ 5，∴sin α＝ 5，tan α＝－ 4，1－ － 3π4tan 4－ α＝＝ 7.1＋ － 348．函数 f(x)＝ 2sinx －π的部分图象是 ()2答案： Cπ分析： ∵f(x)＝ 2sin x － 2 ，ππ∴f(π－x)＝ 2sin π－x － 2 ＝ 2sin 2－ x＝ f(x)，π∴f(x)的图象对于直线 x ＝ 2对称．清除 A 、 B 、D.π9． y ＝2cos 4－ 2x 的单一减区间是 () π5A. k π＋ 8， k π＋8π(k ∈ Z)3πB. － 8π＋ k π， 8＋ k π(k ∈ Z)π 5C. 8＋ 2k π， 8π＋ 2k π(k ∈ Z)D. － π3π＋ 2k π， ＋ 2k π(k ∈ Z)8 8答案： Aπ π π分析： y ＝ 2cos 4－ 2x ＝ 2cos 2x － 4 .由 2k π≤ 2x －4≤ π＋ 2k π， (k ∈ Z)π 5π 得 8＋ k π≤x ≤ 8π＋ k π(k ∈ Z)时， y ＝ 2cos 2x － 4 单一递减．应选 A.2π5π和 x ＝是函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)图象的两条相邻的对称10．已知 ω>0,0< φ<π，直线 x ＝44轴，则 φ的值为 ()π πA. 4B.3π 3π C.2 D. 4答案： A分析：由于直线 x ＝π5π因此 5π π T T4和 x ＝4 是函数图象中相邻的两条对称轴，4 －4＝ 2，即 2＝ π，2ππT ＝ 2π又. T ＝ ω＝ 2 π，因此 ω＝ 1，因此 f(x)＝ sin(x ＋φ)．由于直线x ＝ 4是函数图象的对称轴，π πππ因此 4＋ φ＝ 2＋ k π， k ∈ Z ，因此 φ＝ 4＋ k π， k ∈ Z.由于 0< φ<π，因此 φ＝4，查验知，此时直5π线 x ＝ 4 也为对称轴．应选A.11．若向量 a ＝ (2x － 1,3－x)， b ＝ (1－ x,2x － 1)，则 |a ＋ b|的最小值为 ( )A. 2－1 B ．2－ 2C. 2 D ．2答案： C分析： |a ＋ b|＝ 2 x 2＋2x ＋ 2 ≥ 2.π π π 1 π β ＝ 3 α＋ β ＝( )12．若 0< α< ，－<β<0 ， cos ＋ α＝ ， cos－ 2 ，则 cos 222434 333A. 3B ．－ 35 36C. 9 D ．－ 9答案： Cβ π π β分析： ∵α＋ 2＝ α＋ 4 － 4－ 2 ，β π π β ππ βππ β 1 × 3∴cos α＋ 2 ＝ cos α＋ 4 － 4－ 2＝ cos α＋ 4 cos 4－ 2 ＋ sin α＋4 sin 4＋2 ＝3 32 2× 63＋ 4 3 5 3＋ 3 3 ＝9 ＝9 .二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．π13．已知 |a|＝ 4， a 与 b 的夹角为 ，则 a 在 b 方向上的投影为 __________ ．6 答案： 2 3分析： 由投影公式计算： π 3.|a|cos ＝ 2614．函数 y ＝ 2sinxcosx － 1， x ∈R 的值域是 ______． 答案： [－ 2,0]分析： y ＝ 2sinxcosx － 1＝ sin2x － 1，∵x ∈ R ， ∴sin2x ∈ [－ 1,1] ，∴y ∈ [－ 2,0] ．π15．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx－ 6 (ω>0) 和 g(x)＝2cos(2x ＋ φ)＋ 1 的图象的对称轴完整相π同．若 x ∈ 0， 2 ，则 f(x)的取值范围是________．3答案： － ，33π分析： 由 f(x)与 g(x)的图像的对称轴完整同样，易知：ω＝ 2，由于 x ∈ 0， 2 ，因此 2x π π 5π － π ＝－π －∈－， 6，则 f(x)的最小值为 3sin 6 3，最大值为 3sin ＝ 3，6 6 －3，3 .2 2 因此 f(x)的取值范围是 216．以下判断正确的选项是 ________．(填写全部正确判断序号 ) ①若 sinx ＋ siny ＝ 1，则 siny －cos 2x 的最大值是 433 3π π π②函数 y ＝ sin 4＋ 2x 的单一增区间是 k π－ 8， k π＋ 8 (k ∈ Z) 1＋ sinx － cosx③函数 f(x)＝是奇函数x1④函数 y ＝ tan 2－ sinx 的最小正周期是 π2，∴sinx ＝－4 分析： ① siny － cos 2x ＝sin 2x － sinx －1 时，最大值为 .33π ππ3π π ② 2k π－ ≤ 2x ＋ ≤2k π＋ ，∴k π－8 ≤ x ≤ k π＋.2 4 28③定义域不对于原点对称．x 1 1④ y ＝ tan 2－sinx ＝－ tanx ，∴T ＝ π.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．π sin － π－ αcos ＋α2 的值． 17． (10 分)已知角 α终边上一点 P(－ 4,3)，求 11π9πcos －αsin ＋ α 2 2解： ∵ tan α＝ y ＝－ 3x 4πcos 2＋ αsin － π－ α－ sin α·sin α 3.∴ 11π ＝ ＝ tan α＝－9π － sin α·cos α 4cos 2 － αsin 2 ＋α18． (12 分)已知向量 m ＝ (sinA ， cosA)， n ＝ (1，－ 2)，且 m ·n ＝ 0. (1)求 tanA 的值；(2)求函数 f(x)＝ cos2x ＋ tanA ·sinx( x ∈R )的值域． 解： (1)∵ m ·n ＝ 0，∴ sinA － 2cosA ＝ 0.∴ tanA ＝cosAsinA＝ 2.(2)f(x)＝ cos2x ＋ tanAsinx ＝ cos2x ＋ 2sinx＝ 1－ 2sin 2x ＋ 2sinx ＝－ 2 sinx －1 2＋ 3.22∵－ 1≤ sinx ≤ 1∴ sinx ＝ 1时， f(x)取最大值 3，2 2sinx ＝－ 1 时， f(x)取最小值－ 3，3∴ f(x)的值域为 － 3， 2 .19． (12 分)已知 a ， b ，c 是同一平面内的三个向量，此中a ＝ (1,2)．(1)若 |c|＝ 2 5，且 c ∥a ，求 c 的坐标；4(2)若 |b|＝ 5，且 a ＋ 2b 与 2a －b 垂直，求 a 与 b 的夹角 θ.2解： (1)设 c ＝ (x ，y)．∵ |c|＝ 2 5，∴ x 2＋ y 2＝ 2 5，即 x 2＋ y 2＝ 20.①∵ c ∥ a ， a ＝ (1,2)∵ 2x －y ＝ 0，即 y ＝2x ，②x ＝2x ＝－ 2联立①②得或y ＝4 y ＝－ 4，∴ c ＝ (2,4) 或 (－ 2，－ 4)． (2)∵ (a ＋ 2b)⊥ (2a － b)，∴ (a ＋ 2b) ·(2a － b)＝ 0，∴ 2|a|2＋ 3a ·b － 2|b|2＝0.∵ |a|2＝ 5， |b|2＝ 5，代入上式得 a ·b ＝－ 5，4 5 2∴ cos θ＝ a ·b＝ － 2 ＝－ 1. |a| |b|· 5× 52又∵ θ∈ [0， π]， ∴ θ＝π.20． (12 分)已知函数 f(x)＝ cos 2x － π－ sin 2x.6π的值；(1)求 f 12(2)若对于随意的x ∈ 0， π，都有 f(x)≤ c ，务实数 c 的取值范围．2解： (1)f π ＝ cos 2 － π π π 312 － sin 2 ＝ cos ＝12 12 6 2 .(2)f(x)＝ 1 1＋ cos 2x － π 123 － (1 －cos2x)2＝ 1 cos 2x －π＋ cos2x2 3 ＝ 1 3 3 ＝ 3 sin 2x ＋ π .2 2sin2x ＋ cos2x 2 32由于 x ∈ π 2x ＋ π π 4π0， 2 ，因此3 ∈ ，，3 3π π π3因此当 2x ＋ ＝ ，即 x ＝时， f(x)获得最大值2.3 212π3因此对随意 x ∈ 0， 2 ， f(x)≤c 等价于 2 ≤ c.x ∈π ， f(x)≤c 时， c 的取值范围是3.故当对随意 0， 2 2 ，＋∞3 5，α∈ π，sin ππ π0， 4 ＝ 3， β∈，21． (12 分)已知 sin α＋cos α＝ 5 β－4542 .(1)求 sin2α和 tan2α的值；(2)求 cos(α＋2β)的值．解： (1)由题意得 (sin α＋ cos α)2＝ 9，即 1＋ sin2α＝9，∴ sin2α＝ 4.5 3 5 5 π又 2α∈ 0， 2 ，∴ cos2α＝ 1－ sin 22α＝ 5，∴ tan2α＝ sin2α 4 .＝cos2α 35π π π π(2)∵ β∈ 4，2 ， β－ 4∈ 0， 4 ，∴ cos β－π＝ 4，4 5于是 sin2 β－ π ＝ 2sin β－ π cos β－ π ＝ 244 4 4 25 .又 sin2 β－π4＝－ cos2β，∴ cos2β＝－ 2425.又 2β∈ πβ＝ 7 ，又 cos 2α＝ 1＋ cos2α 4 ， π，∴ sin2 252 ＝ ，25 ∴ cos α＝ 2 ，∴ sin α＝ 1α∈ 0， π .545∴ cos(α＋ 2β)＝ cos αcos2β－ sin αsin2β＝25× －24 － 5×7＝－11 55 255 2525.22．(12 分 )如图，点 P 0， A是函数 y ＝ Asin 2π2 3 x ＋ φ (此中 A>0，φ∈ [0，π)) 的图象与 y轴的交点，点 Q ，点 R 是它与 x 轴的两个交点．(1)求 φ的值； (2)若 PQ ⊥ PR ，求 A 的值．A1解： (1)∵函数经过点 P 0， 2 ，∴ sin φ＝2，又∵ φ∈ [0， π)，且点 P 在递加区间上，∴π φ＝ .2π π6(2)由 (1) 可知 y ＝ Asin 3 ＋ 6 .2π π 令 y ＝ 0，得 sin 3 x ＋ 6 ＝ 0，2π π1 5∴ 3 x ＋ 6＝ k π， (k ∈ Z)，∴可得 x ＝－ 4， 4，∴ Q －1，05， 0.4， R 4A→ －1，－ A→5，－ A 又∵P 0，2，∴ PQ ＝ 4 2，PR ＝ 4 2 .→ → ＝－ 5 ＋ 1 2＝ 0，解得 A ＝ 5 ∵ PQ ⊥ PR ，∴ PQ16 4A2.·PR6。

模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是(C ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C.2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝⎛cos 4π3，⎭⎪⎫sin 4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω＞0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (0)＝(D )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝sin π3＝32.故选D. 4．将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(B )A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位Y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.5．已知sin(π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值是(B )A ．－45B ．－35C ．±45 D.35解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，又∵α是第三象限的角，∴cos(2π－α)＝cosα＝－35.故选B.6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象(D ) A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，故只需将y ＝2sin 3x 向左平移π12个单位．7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于(C ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．90°解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cosa ，b ＝a ·b ||a ||b ＝－12⇒a ，b ＝120°.故选C. 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3 解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.故选B.9．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点BC →＝3CD →，则(A ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：由题知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于(B )A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝34. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17，故选B.11．函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是(D )A ．0 B.π2 C ．π D.3π212．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是(D )A ．2 2B ．2 3C ．2D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：因为a 2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝9＋2－9×1×1×13＝8，所以cos β＝83×22＝223.考点：向量数量积及夹角 答案：223.14．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤f (x )≤2， ∴f (x )的最小值为1. 答案：115．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析：由题意f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋kπ，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.答案：3π816．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝si n 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，∴当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点．(1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解析：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，∵P 在AB 上，∴BA →与PA →共线． BA →＝(4，2)，PA →＝(1－m ，－2－n )，∴4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.① 又∵OP →⊥AB →，∴(m ，n )·(－4，－2)＝0. ∴2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，∴OP →＝(1，－2)． 18．(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13. (1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x .(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (x )＝65，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin x cos π6＋2cos x sin π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π ，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调增区间为[－π3＋2k π，23π＋2k π](k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝725.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：(1)由0＜α＜π2，且sin α＝22，求出角α的余弦值，再根据函数f (x )＝cosx (sin x ＋cos x )－12，即可求得结论．(2)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，由正弦与余弦的二倍角公式，以及三角函数的化一公式，将函数f (x )化简，根据三角函数周期的公式即可得结论，根据函数的单调递增区间，通过解不等式即可得到所求的结论．(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22，所以f (a )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝[f (x )]2－2，求函数g (x )的最小正周期与单调递增区间．解析：(1)∵函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0.即－32＋a2＝0.解得a ＝ 3. (2)g (x )＝4sin 2(x ＋π3)－2＝2(1－cos(2x ＋2π3)－2＝－2cos(2x ＋2π3)∴g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－ π＋2k π≤2x ＋2π3≤2k π，k ∈Z－5π6＋k π≤x ≤k π－π3，k ∈Z ∴g (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋k π，－π3＋k π，k ∈Z.22．(本小题满分10分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .∵f (C )＝12，∴cos C ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A ，代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A ，∴tan A ＝33， ∵0<A <π，∴A ＝π6.。

模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A.1213B.513 C ．－513 D ．－12132．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 等于( ) A.12B ．－2C ．－7D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A.25 B ．－25 C.25或－25 D ．－155．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于( )A.32B. 3 C ．2 3 D.127．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34B ．－14 C.34 D.1411．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．1212．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12C.⎣⎡⎦⎤π，5πD.⎣⎡⎦⎤5π，π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin 2 010°＝________.14．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________.15．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .19．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．20．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213.]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3.]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25.] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos 30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos 15°·4sin 15°＝a ·b 4sin 30° ∴a ·b ＝3，故选B.]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图象．]8．A [由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若与原图象重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.]13．－12解析 sin 2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1.15.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105. 16．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)． 17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12.18．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 21．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1， |a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)3.(2016•某某阿克苏高一期末)函数y=cos 2x+sin2x,x∈R的值域是()A.[0,1]B.C.[-1,2]D.[0,2]解析:因为函数y=cos 2x+sin2x=cos 2x+cos 2x=cos 2x,且x∈R,所以cos 2x∈[-1,1],所以cos 2x∈[0,1].故选A.答案:A4.已知两向量a=(2,sin θ),b=(1,cos θ),若a∥b,则的值为()A.2B.3C.4D.5解析:∵a∥b,∴2cos θ=sin θ,∴tan θ=2,∴=2+tan θ=4.答案:C5.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为()A. B. C.π D.2π解析:∵f(x)=2sin=1,∴sin,∴ωx1++2k1π(k1∈Z)或ωx2++2k2π(k2∈Z),则ω(x2-x1)=+2(k2-k1)π.又相邻交点距离的最小值为,∴ω=2,∴T=π.答案:C7.函数y=在一个周期内的图象是()解析:y=cos x·=-2sin x cos x=-sin 2x,故选B.答案:B9.(2016·某某某某二中期中)设函数f(x)=cos (2x+φ)+sin (2x+φ),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数解析:f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ)=2=2cos.∵ω=2,∴T==π.又函数图象关于直线x=0对称,∴φ-=kπ(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z).又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2cos 2x.令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数的递减区间为(k∈Z).又(k∈Z),∴函数在上为减函数,则y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数.故选B.答案:B10.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin 3x的图象,只需将f(x)的图象() A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:由题中图象可知,A=1,,即T=,∴ω=3,∴f(x)=sin(3x+φ).又f=sin=sin=-1,∴+φ=+2kπ,k ∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=,即f(x)=sin.∵g(x)=sin 3x=sin=sin,∴只需将f(x)的图象向右平移个单位长度,即可得到g(x)=sin 3x的图象,故选C.答案:C11.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b夹角的取值X围是()A. B. C. D.解析:设a与b的夹角为θ,∵Δ=|a|2-4a·b≥0,∴a·b≤,∴cos θ=.∵θ∈[0,π],∴θ∈.答案:B12α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,则cos α的值为()A. B.C. D.以上都不对解析:∵0<α+β<π,cos(α+β)=>0,∴0<α+β<,sin(α+β)=.∵0<2α+β<π,cos(2α+β)=>0,∴0<2α+β<,sin(2α+β)=.∴cos α=cos [(2α+β)-(α+β)]=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)=.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知sin α=(2π<α<3π),则sin+cos=.解析:∵2π<α<3π,∴π<,∴sin<0,cos<0.由=1+2sincos=1+,知sin+cos=-.答案:-14.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为. 解析:=()·()=()·|·||·|2+1=1.得||=|=,则AB的长为.答案:15.设f(x)=2cos2x+sin 2x+a,当x∈时,f(x)有最大值4,则a=.解析:f(x)=2cos2x+sin 2x+a=cos 2x+sin 2x+a+1=2sin+a+1.由x∈,∴f(x)max=3+a=4,∴a=1.答案:116.关于函数f(x)=cos+cos,则下列命题:①y=f(x)的最大值为;②y=f(x)最小正周期是π;③y=f(x)在区间上是减函数;④将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位后,将与已知函数的图象重合.其中正确命题的序号是.解析:f(x)=cos+cos=cos+sin=cos-sin==coscos,∴y=f(x)的最大值为,最小正周期为π,故①,②正确.又当x∈时,2x-∈[0,π],∴y=f(x)在上是减函数,故③正确.由④得y=cos 2cos,故④正确.答案:①②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中点P是图象的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知α∈,且sin α=,求f.解:(1)由函数最大值为2,得A=2.由题图可得周期T=4=π,由=π,得ω=2.又ω·+φ=2kπ+,k∈Z,及φ∈,得φ=.∴f(x)=2sin.(2)由α∈,且sin α=,得cos α=-=-,∴f=2sin=2.18.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.(1)请用表示,用表示;(2)记∠BAP=θ,求的最大值.解:(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cos θ=3sin θ+13cos θ+8=14sin(θ+φ)+8,∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f,求cos 的值.解:(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….由-≤φ<,得k=0,所以φ==-.(2)由(1)得f sin ,所以sin.由<α<,得0<α-,所以cos=.因此cos=sin α=sin=sincos +cos sin=.20.(本小题满分12分)(2016·某某某某高一期末)已知向量a=(1,cos 2x),b=(sin 2x,-),函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f,求f的值.解:(1)由题意得f(x)=a·b=sin 2x-cos 2x=2sin.因为函数y=sin x的单调递减区间为,k∈Z,∴由+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(2)∵f(x)=2sin,∴f=2sin=2sin (α+π)=-2sin α=,∴sin α=-,∴f=2sin=2sin=2cos 2α=2(1-2sin2α)=2.21.(本小题满分12分)在如图所示的直角坐标系xOy中,点A,B是单位圆上的点,且A(1,0),∠AOB=.现有一动点C在单位圆的劣弧上运动,设∠AOC=α.(1)求点B的坐标;(2)若tan α=,求的值;(3)若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.解:(1)由任意角的三角函数定义,可得点B的坐标为.(2)∵=(1,0),=(cos α,sin α),∴=cos α.又tan α=,且0≤α≤,∴cos α=,即.(3)方法一:由=x+y,得(cos α,sin α)=x(1,0)+y,∴∴x+y=cos α+sin α=cos α+sin α)=sin,又0≤α≤,∴当α=时,x+y有最大值.方法二:即∴x+y=[cos α+cos(60°-α)]==cos α+sin α=sin.又0≤α≤,∴当α=时,x+y有最大值.22本小题满分12分)(2016•某某揭阳惠来一中检测)已知点A(sin 2x,1),B,设函数f(x)=(x∈R),其中O为坐标原点.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值与最小值;(3)求函数f(x)的单调减区间.解:(1)∵A(sin 2x,1),B,∴=(sin 2x,1),,∴f(x)==sin 2x+cos=sin 2x+cos 2x cos -sin 2x cos=sin 2x+cos 2x=sin 2x cos +cos 2x sin=sin.故f(x)的最小正周期T==π.(2)∵0≤x≤,∴≤2x+,∴-≤sin≤1,∴f(x)的最大值和最小值分别为1和-.(3)由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴f(x)的单调减区间是,k∈Z.。

模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3 B ．－43 C.433 D ．－4332．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．63．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α等于( )A ．－12B ．－14 C.12 D.324．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 5．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )A ．－22 B.22C ．－1D ．16．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．37．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos(x －π3)的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位8．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 3 D ．3212．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( ) A.1 B.1 C.1 D.1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.14．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________.15．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.16．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2.(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．18．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．19．(12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．20．(12分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0. (1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．21．(12分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．模块综合检测(C)答案1．B [∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a <0.∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝a－4＝3，∴a ＝－4 3.]2．D [a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.]3．A [∵|a |＝cos 2α＋14＝22，∴cos 2α＝14.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12.]4．B [∵|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12. ∴|a ＋2b |＝2 3.] 5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28° ＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28° ＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]6．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.]7．A [方法一 y ＝cos(x －π3)＝sin(x ＋π6)，向右平移π6个单位即得y ＝sin(x －π6＋π6)＝sin x ，故选A.方法二 y ＝sin x ＝cos(x －π2)，y ＝cos(x －π3)6π−−−−−−→向右平移个单位6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝cos(x －π2)，无论哪种解法都需要统一函数名称．]8．C [∵f (π3)＝0，∴A 不正确．∵f (π4)＝cos π3＝12≠0，∴B 不正确．f (x )向左平移π12个单位得f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x ，故C 正确．]9．A [∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0.∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数，∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B .∴p ·q ＝sin A －cos B >0.∴p 与q 所成的角是锐角．]10．D [f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x2＝14－14cos 4x ，∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，故选D.] 11．D [|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤18＝3 2.]12．D [由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)，即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)．∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12，则ωmin ＝12(ω>0)．] 13.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2.14.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23.又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53.∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156.15．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2. 16.12解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tanθ21＋tan 2θ2＝45.∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0，∴tan θ2＝12或tan θ2＝2.∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]．∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12.17．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4.(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得 a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.18．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x .(2)由已知得cos(α＋π3)＝13.∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)．∴sin(α＋π3)＝223.∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429.19．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1.由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32.∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ).x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －1 0220．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)．当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)．当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]．若a >0，当2x ＋π6＝π2时，f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52；若a <0，当2x ＋π6＝7π6时，f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5.21．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直，得5f (π4－A )＋1＝0，∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45.∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)，∵sin(2A －π3)＝－45<0，∴2A －π3∈(－π3，0)，∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3]＝35×12＋45×32＝43＋310.22．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2.∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22.由于0<x <π，故x ＝11π12.所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0.∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。

模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 8π3的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析：选D tan8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 2．下列函数中最大值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.3.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ―→＝mAM ―→，AC ―→＝n AN ―→，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．94解析：选B 由AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，结合AB ―→＝mAM ―→，AC ―→＝n AN ―→，得AO ―→＝12mAM ―→＋12n AN ―→.又O ，M ，N 三点共线，所以12m ＋12n ＝1，所以m ＋n ＝2.故选B.4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，sin 2α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，2sin αcos α＜0. 即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限． 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35 ＝－25. 7．已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE ―→·BF ―→＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝12BC ―→－BA ―→，BF ―→＝BC ―→＋1λBA ―→，因此AE ―→·BF―→＝⎝⎛⎭⎫12BC ―→－BA ―→·⎝⎛⎭⎫BC ―→＋1λ BA ―→ ＝12BC ―→2－1λBA ―→2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC ―→·BA ―→，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3. 8．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z. 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A. 9．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8， 则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析：选B 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形， 又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5， 故三角形为直角三角形，且a ⊥b ， 所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35.11．如图，在四边形ABCD 中，|AB u u u r |＋|BD u u u r |＋|DC u u u r |＝4，|AB u u u r |·|BD u u u r|＋|BD u u u r |·|DC u u u r |＝4，AB u u u r ·BD u u u r ＝BD u u u r ·DC u u u r ＝0，则(AB u u u r ＋DC u u u r )·AC u u u r的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．2 2解析：选A ∵AC u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r ＋DC u u u r ，AB u u u r ·BD u u u r ＝BD u u u r ·DC u u u r＝0，∴(AB u u u r ＋DC u u u r )·AC u u u r＝(AB u u u r ＋DC u u u r )·(AB u u u r ＋BD u u u r ＋DC u u u r ) ＝AB u u u r 2＋AB u u u r ·BD u u u r ＋AB u u u r ·DC u u u r ＋DC u u u r ·AB u u u r ＋DC u u u r ·BD u u u r ＋DC u u u r2 ＝AB u u u r 2＋2AB u u u r ·DC u u u r ＋DC u u u r2. ∵AB u u u r ·BD u u u r ＝0，BD u u u r ·DC u u u r ＝0， ∴AB u u u r ⊥BD u u u r ，DC u u u r ⊥BD u u u r ，∴AB u u u r ∥DC u u u r ， ∴AB u u u r ·DC u u u r ＝|AB u u u r ||DC u u u r|， ∴原式＝(|AB u u u r|＋|DC u u u r |)2.设|AB u u u r|＋|DC u u u r |＝x ， 则|BD u u u r |＝4－x ，|BD u u u r |·x ＝4，∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2， ∴原式＝4，故选A.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A ∵函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数， ∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，排除C 、D ；y ＝2cos ωx ∈[－2,2]，结合题意可知T ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2，排除B ，选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC u u u r ＝λAE u u u r ＋μAF u u u r，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，则AE u u u r ＝a ＋12b ，AE u u u r ＝12a ＋b ，AC u u u r ＝a ＋b ，代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案：4314．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA uuu r ＝(－1，t )，OB uuu r＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB u u u r ⊥OB uuu r ，∴OB uuu r ·AB u u u r ＝0.又AB u u u r ＝OB uuur －OA uuu r ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0.∴t ＝5. 答案：515．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721016.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→(λ>1)， 则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→＝λOA ―→＋(1－λ) OB ―→. 又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→(μ>1)， 则OC ―→＝－λμOA ―→－1－λμOB ―→(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)． 答案：(－1,0)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ. 解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α ＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α )(sin α＋cos α )＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2 α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2 ＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：21．(本小题满分12分)已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB |＝105. (1)求cos(α－β)的值；(2)若cos α＝35，求cos β的值．解：(1)由|AB |＝105，得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝105， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝25，∴cos(α－β)＝45.(2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角，∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cos β＝2425.22．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值． 解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0，∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z.∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.(2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．(3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6【解析】 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 【答案】 B2．如果一扇形的弧长为2π cm ，半径等于2 cm ，则扇形所对圆心角为( ) A ．2π B ．π C ．π2D ．3π2【解析】 θ＝l r ＝2π2＝π.【答案】 B3．设α是第二象限的角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x5，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43【解析】 ∵点P (x,4)在角α终边上，则有 cos α＝x 16＋x 2＝x5. 又x ≠0，∴16＋x 2＝5，∴x ＝3或－3. 又α是第二象限角，∴x ＝－3，∴tan α＝y x ＝4－3＝－43.【答案】 D4．已知1－tan α1＋tan α＝2＋3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．2＋ 3 B ．1 C ．2－ 3D ． 3【解析】 ∵1－tan α1＋tan α＝2＋3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12＋3＝2－ 3. 【答案】 C5．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2【解析】 由题意易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.【答案】 D6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．2mB ．±2mC ．3mD ．±3m【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝3m . 【答案】 C7．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )【导学号：00680081】 A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【解析】 由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 【答案】 A8．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4【解析】 将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．【答案】 A9．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A ．22B ．33C ． 2D ． 3【解析】 因为sin 2α＋cos 2α＝14，所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α＝14.又0<α<π2，所以cos α＝12，则有α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.【答案】 D10．已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A ．74π B ．π4C ．3π4D ．－7π4【解析】 ∵A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，∴cos A ＝－255，cos B ＝－31010，tan A ＝－12，tan B ＝－13.∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π. ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－12－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.∴A ＋B ＝74π.【答案】 A11．曲线y ＝A sin ωx ＋a (A >0，ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2πω上截直线y ＝2及y ＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A ．a ＝12，A >32B ．a ＝12，A ≤32C ．a ＝1，A ≥1D ．a ＝1，A ≤1【解析】 由题意可知：a ＝2－12＝12， A ＝y max －y min 2>2－－2＝32，故选A ． 【答案】 A12．在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos 2B －2cos B ，若f (B )＝2，则角B 为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】 由已知f (B )＝4cos B ×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B 2＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B (1＋sinB )＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos 2B ＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3.∵f (B )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝2，π3<2B ＋π3<73π，∴2B ＋π3＝π2，∴B ＝π12. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.【解析】 由题意知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－π4＝2π，∴ω＝2πT＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵0<φ<π，∴π4<π4＋φ<54π.又x ＝π4是f (x )＝sin(x ＋φ)图象的对称轴，∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝π4＋k π，∵0<φ<π，∴φ＝π4.【答案】π414．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－1)，若向量a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为________．【解析】 当a∥b 时，有1×(－1)－2x ＝0，即x ＝－12，此时b ＝－12a ，即a 与b 反向，若向量a 与b 夹角为钝角，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a·b <0，x ≠－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x ≠－12，∴x <2且x ≠－12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 15．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是________． 【解析】 法一：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x＝2sin π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴T ＝2π2＝π.法二：y ＝sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＋sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴其最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π16．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．【解析】 取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712B A →＋BC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23 ＝2918. 【答案】2918三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中，i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m 的值，使(1)A ，B ，C 三点共线； (2)AB →⊥BC →.【解】 (1)利用AB →＝λBC →可得i －2j ＝λ(i ＋m j )，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，得m ＝－2.(2)由AB →⊥BC →得AB →·BC →＝0，∴(i －2j )·(i ＋m j )＝i 2＋m i ·j －2i ·j －2m j 2＝0， ∴1－2m ＝0，解得m ＝12.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2，k ∈Z .故f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35.故f (α)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4cos α＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2α－22cos 2αcos α＝1－sin 2α＋cos 2αcos α＝2cos 2α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x 2·cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．【解】 (1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【解】 (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.21．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A＋C )＝－45，求cos 2A 的值. 【导学号：70512046】【解】 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝35，∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35，∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝725， ∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625.22．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．【解】 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.。