九年级数学湘教版下册课件：1.5 第1课时 抛物线型二次函数

一般式法求二次函数的表达式
探究归纳 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个
待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分，要求这个二次函数的表达式.
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
A．8
B．14
C．8或14
D．-8 或 -14
7. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c ＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是 x＝－3，∴ b ＝－3，
数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8) 代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8，解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1 或 y = -x2 - 4x -3.
再把点( 0，-3)代入上式得 所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3， 解得 a = -1， 所以所求的二次函数的表达式是 y = -( x + 3)( x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3.
归纳总结 交点法求二次函数解析式的方法 这种已知抛物线 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是：

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【例2】若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 a ≠ -2 ________. 【解析】本题考查了二次函数的一般形式，y=ax2+bx+c(a，b，c 为 常数，a ≠ 0).所以若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，只要a+2≠0即可， 即a ≠ -2.故答案是 a≠价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？
Page
5
笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的（1-x）倍， 于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下关系： y=6000(1-x)2，0＜x＜1， 即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S=x2 二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
S=π r 2
一次函数
二次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数； （4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
1 S xy 2 2S y x
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反比例函数
我思
我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
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练习
1、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
1 ( 2) y 2 x
(3) y 3x 1
(4) y x 2x 1
2
答案：（1）（4）
2
(5) y ( x 5) x
2
2
(6) y 3x 2 x
3
(8) y x x

8 6 4 2 -4 -2
24
函数
y
1 x2, y 2
2x2
的图象与函数
y=x2的图象相
比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口方向：向上
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8
6
y 2x2
简称：左降，右升 极值：x=0时,y最小=0 不同点：开口大小不同
点，
、
(4)当a<0时，抛物线开口向 ，顶点是最 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， a值越大，开口越 .
点，
探究 一、在同一坐标系中画二次函数的图象：
(1) y x2
(2) y x2 1
(3) y x2 1
归纳
用平移观点看函数：
抛物线 y ax2 c 可以看作是由
交于点A，与y轴相交于点B。若△ABO的面积 为8，求平移后的抛物线的解析式。
小结
二次函数 y a(x h)2 的图象及性质：
(1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
第4课时
复习
1、抛物线 y 1 x2 1可以看作是由 2
巩固
5、已知一次函数 y ax c 的图象如图
所示，则二次函数 y ax2 c 的图象大
致是如下图的 ( )
y
y
y
y ax c
o
x
A
C
o
x
o
x
y
y
B
o
D x

1 20 2 y (8 4) 4 3, 9 9
y
B
C
A
所以此球不能投中.
20 米 9
4米
3米 x
O
4米
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? （1）跳得高一点儿；
（2）向前平移一点儿.
y
4米
20 米 9
3米
4米 O 8米 x
（1）跳得高一点儿； y
6 （4，4） 4
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
探究点二 利用二次函数解决运动中抛物线问题
例2 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地
20 面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水 9
平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛 物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？ y
20 0, 9
（8，3）
2
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
6
y
（2）向前平移一点儿.
4
20 0, 9
（4，4） （７，３） （8，3）
●
2
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
随堂训练
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h= -4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间， 则球在 4 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米） 关于水平距离x(米）的函数解析式为

对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取

的图象是( A )
2．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示的三处 各留 1 m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27 m，则能建成
的饲养室面积最大为( A )
A．75 m2
B．725 m2
C．48 m2
D．2225 m2
3.如图是王阿姨晚饭后步行的路程 s(单位：m)与时间 t(单位：min)的函数图象，其
基础达标练
(打“√”或“×”)
1．利用二次函数研究实际问题时，自变量的取值范围都必须是正数．( × ) 2．实际问题中，二次函数的最大值也只能是顶点表示的函数值．( × ) 3．在用二次函数解决实际问题时不需要知道 x 的取值范围．( × ) 4．抛物线形实际问题一般用待定系数法求出其表达式．( √ )
(2)设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2， 则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x， 即y＝－8x2＋160x，y＝－8(x－10)2＋800， ∵－8＜0，∴y有最大值，∴当x＝10时，y最大＝800； 答：折成的无盖盒子的侧面积的最大值是800 cm2.
7．(素养提升题)(2021·桂林期末)如图，足球场上守门员在O处踢出一高球，球从 离地面1 m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6 m的B处发现球在自己头的 正上方达到最高点M，距地面有4 m高，球落地后又一次弹起，第二个落点为D， 据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度 减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
中曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是( C )
A．25 min～50 min，王阿姨步行的路程为 800 m B．线段 CD 的函数表达式为 s＝32t＋400(25≤t≤50) C．5 min～20 min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段 AB 的函数表达式为 s＝－3(t－20)2＋1 200(5≤t≤20)

函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
第9页，共12页。
例：
一块矩形木板，长为120CM、宽为80CM，在木板4个角上 各截去边长为X（cm)的正方形，求余下面积S(cm)与X之
间的函数表达式。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2
ax +bx+c=0(a
≠0)
2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
第1页，共12页。
1.1 二次函数的基本概念
第2页，共12页。
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一 个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与 围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形植物
(7) y＝ x2 5x 6 (否) (8)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
(否)
(否)
(9) y=3(x－1)²-3
(是)
(10)y=(x+3)²－x²
第6页，共12页。
(否)
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且
a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 ，可2以没有一次项和 常数项，但 不能没有二次项.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx

利用二次函数的 图象和性质求解
实际问 题的解
练一练 1.如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高100m，主塔之间的距离为900m，试建立适 当的直角坐标系，①求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
以桥面所在直线为x轴，桥面的垂直平分线为y轴，建立直
角坐标系.设抛物线解析式为 y ax 2
y 1 3502 60.49m 2025
量x的取值范围是：-450≤x≤450.
当x=450－50=400 y 1 4002 79.01m
2025
知识点❷
例2、某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手
时距地面
20 9
米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时
解：如图，建立直角坐标系.
则点C的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
y
B(0,3.5)
以点A表示运动员投篮球的出手处.A点坐标为（-2.5，m）
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k
即y=ax2+k.而点B、C在这条抛物线上，所以有
A，
2.25a+k=3.05，
已知主塔高100m，主塔间距离900m，因此A（450，100）
在抛物线上，由此得出
②求距离桥两端主
y
A（450，100）
100 a 4502 1
解得 a 2025
塔分别为100m,50m处
垂直钢索的长.
o
∴函数表达式为 y 1 x2 当x=450－100=350
x
2025
由于主塔间距离为900m,因此自变
3.5m

E有对称轴l （与y轴重合）
E开口向上
象
图形F也是抛物线 点O '（1，0）是F的顶点 直线l'（过点O '与y轴平行）
是F的对称轴 F也开口向上
讲授新课
问题1 抛物线F 是哪个函数的图象呢？
在抛物线 y 1 x2 上任取一点 P(a, 1 a 2 ) ，它在向右
2
2
平移1个单位后，P的像点Q的坐标是什么？
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
总结：
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
注意符号不要 弄错了！
∴在对称轴左侧,即当x<-2时,y随x的增大而减小,
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
∵-5<-3,∴y1>y2.
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
今后在画 y a( x h)2 的图象时，你知道怎 么画吗？
( D)
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
图4－1
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
2．二次函数y＝－(x－1)2的图象的顶点坐标是( B )
A．(1，－1)
B．(1，0)
C．(0，－1)
D．(－1，0)
3．已知二次函数y＝－(x＋2)2，下列说法正确的是( A )