河南省郑州市2020届高三第三次质量预测理科数学试题及答案解析

2020年高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π34．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣15．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．1710．设双曲线C：x 2a −y2b=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．5411．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω＞14，x∈R)，若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（）A．[12，54]B．[12，2]C．(14，54]D．(14，2]12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为 ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ ． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ．（请将所有正确结论的序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝（4c ﹣b ）cos A ． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若b ＝4，点M 在线段BC 上，且AB →+AC →=2AM →，|AM →|=√6，求△ABC 的面积．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价x i 和月销售量y i （i ＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据： 月销售单价x i （元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量y i （万件）1110865（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．19．如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为2，∠B 1BA =π3． （Ⅰ）证明：B 1C ⊥AC 1；（Ⅱ）若平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，M 为A 1C 1的中点，求B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝（a+2）x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2−2x3，若∀x1∈（0，1]，∃x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）3成立，求实数a的取值范围．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数1．2（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过坐标原点O的直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C上异于A，B的点P满足．直线AP的斜率为−32（ⅰ）求直线BP的斜率；（ⅱ）求△ABP面积的最大值．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（φ为参数），将曲线C1 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＜x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【分析】先解出A＝{x|﹣1＜x＜2}，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（z﹣1）i＝3+i，得z=3+i i+1=(3+i)(−i)−i2+1=2−3i，∴z=2+3i．则z的虚部为3．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π3【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得α的范围以及正切值，可得α的值．解：角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，α为第三象限角，则tanα=cos7π6sin7π6=cot7π6=cotπ6=√3，∴α＝π+π3=4π3，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1【分析】设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，运用等差数列的求和公式，以及等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简整理，解方程可得首项和公差，即可得到所求值．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由S5＝﹣5，可得5a1+12×5×4d＝﹣5，即a1+2d＝﹣1，①由a3，a4，a6成等比数列，可得a42＝a3a6，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+5d），化为a1d+d2＝0，由d≠0，可得a1＝﹣d，②由①②解得d＝﹣1，a1＝1，则a7＝1+（7﹣1）×（﹣1）＝﹣5．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．解：函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，就是方程x12=x﹣1，log12x＝x﹣1，(12)x=x﹣1方程的的解，在坐标系中画出函数y=x12，y=log12x，y=(12)x，与y＝x﹣1的图象，如图：可得b＜c＜a，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题．6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行【分析】采用举反例方式，逐一排除，从而可得到正确答案．解：由题可知，直线l和平面α要么相交，要么平行．当平面α与直线l平行时，在α内就不存在直线与直线l相交，则A错；当平面α与直线l相交时，在α内就不存在直线与直线l平行，则C错；当平面α与直线l相交时，过直线l的平面与平面α都会相交，则D错；不论直线l和平面α相交还是平行，都会在α内存在直线与直线l异面，则B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了点线面位置关系，考查了学生的直观想象能力，属于基础题．7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3【分析】根据（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），求得含x4的项的系数．解：∵（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），含x4的项的系数为3﹣6×3+12＝﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π【分析】直接利用三视图，判断几何体的构成，进一步利用几何体的表面积公式求出结果．解：根据几何体的三视图：该几何体是由底面半径为3，高为4的圆柱，挖去一个底面半径为3，高为4的倒圆锥构成的几何体．所以：S＝32•π+6π×4+12×6π×5＝48π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．17【分析】显然取法总数为C83，要取出的球的编号互不相同可先选编号数C43，再定颜色有C21C21C21，则有C43C21C21C21种取法，相比即可．解：从8个球中随机取出3个的取法有C83=56种；其中取出的球的编号互不相同的取法有C43C21C21C21=32种，则取出的球的编号互不相同的概率P=3256=47．故选：A．【点评】本题考查乘法原理，组合数公式与概率相结合，属于基础题．10．设双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．54【分析】设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理可得|PF1|＝4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式计算即可得到结果．解：设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，则|OM|＝a，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|＝|F1F2|＝2c，则NF2⊥PF1，|NP|＝|NF1|，由|NF2|＝2|OM|＝2a，则|NP|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即4b2＝（c+a）2＝4（c2﹣a2），整理得3c＝5a，则e=ca=53．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形的三线合一、中位线定理、勾股定理及双曲线的定义、离心率计算，属于中档题．11．已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω＞14，x ∈R)，若f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54]B ．[12，2]C ．(14，54]D ．(14，2]【分析】先利用辅助角公式，将函数f （x ）化简为f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，观察选项，可以找两个特殊值ω＝2和ω=13，进行试验排除．具体做法是，将ω＝2和ω=13分别代入函数f （x ），求出对称轴，给k 赋值，判断对称轴是否能在区间(π2，π)即可得解．解：f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，∵f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，∴T2=πω≥π−π2=π2，∴ω≤2，即14＜ω≤2，若ω＝2，则f(x)=√2sin(2x +π4)，令2x +π4=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π8+kπ2，k ∈Z ， 当k ＝1时，对称轴为x =5π8∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠2，排除选项B 和D ，若ω=13，则f(x)=√2sin(13x+π4)，令13x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=3π4+3kπ，k∈Z，当k＝0时，对称轴x=3π4∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠13，排除选项C．故选：A．【点评】本题考查辅助角公式和正弦函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力、分析能力和运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】先由对称性求出g（x），然后由已知可设f（x1）＝g（x2）＝a，则分别表示x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），代入后结合导数及极值存在的条件可求．解：由题意可得g(x)=e x2+1．设f（x1）＝g（x2）＝a，则x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），∴2x1﹣x2＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，令h（a）＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，则h′(a)=2e a−2−2a−1=2（e a−2−1a−1）在（1，+∞）上单调递增且h′（2）＝0，故当a＞2时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当1＜a＜2时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，故当a＝2时，h（a）取得极小值h（2）＝2﹣2k，由题意可知2﹣2k ＝﹣2， 故k ＝2． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数极值存在的条件，解题的关键是利用已知表示出极值的条件． 二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为2π3．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，由数量积的运算性质可得a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2，变形解可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，若a →•（b →−a →）＝﹣2，则a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2， 即2cos θ﹣1＝﹣2，解可得cos θ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3； 故答案：2π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题． 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ 8 ． 【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的项即可． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），n ＝1时，2a 1﹣S 1＝1．可得a 1＝1，n ＝2时，2a 2﹣S 2＝1，即2a 2﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 2＝2，n ＝3时，2a 3﹣S 3＝1，即2a 3﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 3＝4， n ＝4时，2a 4﹣S 4＝1，即2a 4﹣a 4﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 4＝8，故答案为：8．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，是基本知识的考查． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 √2 ．【分析】根据题意作图，结合抛物线性质可得|PA||PF|=1sin ∠PAM，则当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，即当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大，设P （a ，a 24），利用导数求得斜率求出a 的值即可解：由题意可得，焦点F （0，1），A （0，﹣1），准线方程为y ＝﹣1 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |， 则|PA||PF|=|PA||PM|=1sin ∠PAM，∠PAM 为锐角．故当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，故当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大可设切点P （a ，a 24），则PA 的斜率为k =14a 2−1a，而函数y =x 24的导数为y ′=x2，则有a2=14a 2−1a，解得a ＝±2，可得P （2，1）或（﹣2，1），则|PM |＝2，|PA |＝2√2， 即有sin ∠PAM =|PM||PA|=√22， 则|PA||PF|=√2，故答案为：√2【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．（请将所有正确结论的序号都填上）【分析】①取DC的中点N，连接NM、NB，可得MN∥A1D，NB∥DE，且MN、NB 和∠MNB均为定值，由平面与平面平行的判定可得面MNB∥面A1DE，则MB∥面A1DE；②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾；③由①可知MN，NB，∠MNB，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB，计算得线段BM的长是定值；④当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，得CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，由勾股定理求外接球的半径OE，．代入球的表面积公式可得外接球的表面积为13π3解：如图，∵AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，∠BAD＝60°，∴△ADE（A1DE）为等边三角形，则DE＝1．①取DC的中点N，连接NM、NB，则MN∥A1D，且MN=1=A1D=12；2NB∥DE，且NB＝DE＝1，∵MN⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，则MN∥平面A1DE，同理NB∥平面A1DE，又NM∩NB＝N，∴平面NMB∥平面A1DE，则MB∥平面A1DE，故①正确；②假设存在某个位置，使DE⊥A1C．∵DE＝1，可得CE=√3，∴CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，∵A1C∩CE＝C，∴DE⊥面A1CE，∵A1E⊂面A1CE，∴DE⊥A1E，与已知∠DA1E＝60°矛盾，故②错误；，NB＝1．③由①知，∠MNB＝∠A1DE＝60°，MN=12由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB=1+1−2×12×1×12=34，4，故③正确；∴BM的长为定值√32当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，∴CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，则外接球的半径OE=(3)2+(32)2=√1312，3∴外接球的表面积S＝4π×(√13)2=13π3，故④正确．12∴正确命题的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝（4c﹣b）cos A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）若b＝4，点M在线段BC上，且AB→+AC→=2AM→，|AM→|=√6，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝4sin C cos A，结合在△ABC中，sin C≠0，可求cos A的值．（Ⅱ）解法一：由AB→+AC→=2AM→，两边平方，利用余弦定理可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，由AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段，利用余弦定理中点，|AM→|=√6，可求CN=2√6，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（Ⅰ）因为a cos B＝（4c﹣b）cos A，由正弦定理得：sin A cos B＝（4sin C﹣sin B）cos A，即sin A cos B+sin B cos A＝4sin C cos A，可得sin C＝4sin C cos A，在△ABC中，sin C≠0，．所以cosA=14（Ⅱ）解法一：∵AB→+AC→=2AM→，两边平方得：AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2=4AM→2，，由b＝4，|AM→|=√6，cosA=14可得：c2+2c⋅4⋅1+16=4×6，解得c＝2或c＝﹣4（舍）．4，又sinA=√1−cos2A=√154所以△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，∵AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段中点，|AM→|=√6，∴CN=2√6，又∵b＝4，cosA=14，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14，∴CN2＝AC2+AN2﹣2AC•AN•cos∠CAN，即24=16+c2−2c⋅4⋅(−14)，解得：c＝2或c＝﹣4（舍），又sinA=√1−cos2A=√154，∴△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式以及平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价x i（元/件）99.51010.511月销售量y i （万件） 11 10 8 6 5（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．【分析】（Ⅰ）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）利用过后直线方程，求出当该产品月销售单价为7元/件时，求出预测数据，通过判断由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值说法超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，说明（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想．（Ⅲ）设销售利润为M ，则M ＝（x ﹣5）（﹣3.2x +40）（5＜x ≤11）M ＝﹣3.2x 2+56x ﹣200，求解x ＝8.75时，M 取最大值，得到结果．解：（Ⅰ）因为x =15(11+10.5+10+9.5+9)=10，y =15(5+6+8+10+11)=8． 所以b ̂=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2，所以a ̂=8−(−3.2)×10=40，所以y 关于x 的回归直线方程为：y ̂=−3.2x +40． （Ⅱ）当x ＝7时，y ̂=−3.2×7+40=17.6，则|17.6﹣18|＝0.4＜0.5，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M，则M＝（x﹣5）（﹣3.2x+40）（5＜x≤11）M＝﹣3.2x2+56x ﹣200，所以x＝8.75时，M取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=π3．（Ⅰ）证明：B1C⊥AC1；（Ⅱ）若平面ABB1A1⊥平面ABC，M为A1C1的中点，求B1C与平面AB1M所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．证明B1C⊥BC1．B1D⊥AB，CD⊥AB．得到AB⊥平面B1CD．推出AB⊥B1C．即可证明B1C⊥平面ABC1，得到B1C⊥AC1．（Ⅱ）说明DB，DB1，DC两两垂直，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DB1为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面AB1M的法向量，利用空间向量的数量积求解B1C与平面AB1M所成的角的正弦值即可．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．∵三棱柱的所有棱长均为2，∠B1BA=π3，∴△ABC 和△ABB 1是边长为2的等边三角形，且B 1C ⊥BC 1． ∴B 1D ⊥AB ，CD ⊥AB ．∵B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ，B 1D ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面B 1CD ． ∵B 1C ⊂平面B 1CD ，∴AB ⊥B 1C ．∵AB ，BC 1⊂平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．（Ⅱ）∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知B 1D ⊥AB ，∴B 1D ⊥平面ABC ．则DB ，DB 1，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，DB 1为z 轴， 建立空间直角坐标系．则D （0，0，0），A （﹣1，0，0），B 1(0，0，√3)，C(0，√3，0)，C 1(−1，√3，√3)，A 1(−2，0，√3)∵M 为A 1C 1的中点，∴M(−32，√32，√3)，∴B 1C →=(0，√3，−√3)，AB 1→=(1，0，√3)，AM →=(−12，√32，√3)，设平面AB 1M 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{AB 1→⋅n →=x +√3z =0AM →⋅n →=−12x +√32y +√3z =0，取z ＝1，得n →=(−√3，−3，1)． 设B 1C 与平面AB 1M 所成的角为α，则sinα=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=4√3√6⋅√13=2√2613．∴B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值为2√2613．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝（a +2）x 2+ax ﹣lnx （a ∈一、选择题）． （Ⅰ）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）设g （x ）＝x 2−23x 3，若∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝0时，求出f ′(x)=4x −1x，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ．求出g '（x ）＝2x ﹣2x 2，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解函数的最小值，同理求解f （x ）min ，利用转化不等式，构造函数，转化求解即可．解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝2x 2﹣lnx ，f ′(x)=4x −1x，则f （1）＝2，f '（1）＝3，故曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为3x ﹣y ﹣1＝0．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ． 由g(x)=x 2−23x 3得g '（x ）＝2x ﹣2x 2，由g '（x ）＝2x ﹣2x 2≥0得0≤x ≤1，所以在[0，1]上，g（x）是增函数，故g（x）min＝g（0）＝0．f（x）定义域为（0，+∞），而f′(x)=2(a+2)x+a−1x =2(a+2)x2+a−1xx=(2x_1)[(a+2)x−1]x．当a≤﹣2时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，1]上是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；当a＞﹣2时，由f'（x）＜0，得0＜x＜1a+2；由f'（x）＞0，得x＞1a+2，所以f（x）在(0，1a+2)单调递减，在(1a+2，+∞)单调递减．若1a+2＞1，即﹣2＜a＜﹣1时，f（x）在（0，1]是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；若0＜1a+2≤1，即a≥﹣1时，f（x）在x=1a+2处取得最小值，f(x)min=f(1a+2)=1+ ln(a+2)−1a+2，令h(a)=1+ln(a+2)−1a+2(a≥−1)，则h′(a)=1a+2+1(a+2)2=a+3(a+2)2＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，所以h（a）在[﹣1，+∞）是增函数且h（a）min＝h（﹣1）＝0，此时f(x)min=f(1a+2)≥0成立，满足条件．综上所述，a≥﹣1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值的求法，转化思想的应用，是难题．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数12．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为−32． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求△ABP 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点M （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和它到直线x ＝4的距离的比是常数12，列出方程化简求解即可．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，利用平方差法求解AP 的斜率，BP 的斜率即可．（ⅱ）说明S △ABP ＝2S △OAP ，设直线AP ：y =−32x +m ，代入曲线C ：x 24+y 23=1化简得：3x 2﹣3mx +m 2﹣3＝0，设A （x 1，y 1），P （x 2，y 2），利用韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离公式，转化求解三角形面积的表达式，然后求解最值即可． 解：（Ⅰ）由已知得√(x−1)2+y 2|x−4|=12，两边平方并化简得3x 2+4y 2＝12，即点M 的轨迹C 的方程为：x 24+y 23=1．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，①设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，②由①﹣②得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，∵k AP =y 1−y 2x 1−x 2−=−32，k BP =y 1+y2x 1+x 2，∴k BP =y 1+y2x 1+x 2=12．（ⅱ）∵A，B关于原点对称，∴S△ABP＝2S△OAP，设直线AP：y=−32x+m，代入曲线C：x24+y23=1化简得：3x2﹣3mx+m2﹣3＝0，设A（x1，y1），P（x2，y2），由△＞0得：m2＜12，x1+x2＝m，x1x2=m2−33，|AP|=√1+94|x1−x2|=√1+94√(x1+x2)2−4x1x2=√1+94√4−m 23，点O到直线AP的距离d=√1+94，∴S△ABP =2S△OAP=2×12×|AP|⋅d=|m|√4−m23=√4m2−m43，∴S△ABP =√−m43+4m2=√−13(m2−6)2+12，当m2＝6时，∴S△ABP取到最大值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法以及距离公式的应用，三角形面积的最值的求法，是中档题．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ（φ为参数），将曲线C1向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）由题意：{x =1+cosφy =sinφ⇒{x −1=cosφy =sinφ⇒(x −1)2+y 2=1．∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 因曲线C 1是圆心为（1，0），半径为1的圆， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． （Ⅱ）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），则|AB|=|ρ1−ρ2|=2|sinα−cosα|=2√2|sin(α−π4)|=√2． 所以sin(α−π4)=±12，因为2kπ＜α＜2kπ+π2，所以α−π4=2kπ±π6(k ∈Z)．所以α=2kπ+π12(k ∈Z)或α=2kπ+5π12(k ∈Z)．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |（a ＞0，b ＞0）． （Ⅰ）当a ＝b ＝1时，解不等式f （x ）＜x +2； （Ⅱ）若f （x ）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．【分析】（Ⅰ）由绝对值的定义分段脱绝对值求解．（Ⅱ）由绝对值不等式求函数f （x ）的值域可确定a +b ＝2，再配凑均值不等式的形式，两次用均值不等式即可证明．解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，不等式为|x﹣1|+|x+1|＜x+2，当x＜﹣1时，不等式化为−2x＜x+2⇒x＞−23，此时不等式无解；当﹣1≤x＜1时，不等式化为2＜x+2⇒x＞0，故0＜x＜1；当x≥1时，不等式化为2x＜x+2⇒x＜2，故1≤x＜2．综上可知，不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（Ⅱ）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，当且仅当x﹣a与x+b同号时，f（x）取得最小值|a+b|，∵f（x）的值域为[2，+∞），且a＞0，b＞0，故a+b＝2．故1a+1+1b+1+1ab=14(1a+1+1b+1)[(a+1)+(b+1)]+1ab=14(2+b+1a+1+a+1 b+1)+1ab≥14(2+2√b+1a+1⋅a+1b+1)+(2a+b)2=1+1=2（当且仅当a＝b＝1时取等号）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式，属于中低档题．。

河南省郑州一中2020届高三上学期第三次联考数 学（理科）说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．2．将第Ⅰ卷的答案代表字母和第II 卷的答案填在答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=P ，}4,2,1{=Q ，则=Q P C U Y )(( ) A ．}1{B ．}5,3{C ．}6,4,2,1{D ．}5,4,3,2,1{2．在复平面内，复数ii21+=z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．己知向量m =(a ,-1)，n =(2b -1,3) )0,0(>>b a ，若m ∥n ，则ba 12+的最小值为( ) A ．12B ．348+C ．15D ．3210+4．己知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥-080202y x y x ，)0(>>+=b a by ax z 的最大值为2，则直01=-+by ax过定点( )A ．(3,1)B ．(一1,3)C ．(1,3)D ．(-3,1) 5．如右图一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面 积小于6的面的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．己知a ，b ∈R ，则“ab =0”是函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要7．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有( ) A ．168种 B ．156种 C ．172种 D ．180种8．己知数列：Λ,12,1-k k ，1k (k ∈N *)，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新 的数列Λ,13,22,31,12,21,1:}{n a ，则98首次出现时为数列}{n a 的( )A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项9．在长方体1111D C B A ABCD -中，11==DD AD ，3=AB ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CC 1棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线D 1P 与平面EFG 平行，则P BB 1∆面积最小值为( )A ．43B ．1C ．23 D ．21 10．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2||,0)sin(2)(πϕωϕωx x f 的图象过点)1,0(-B ，且在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,18ππ上单调，又)(x f 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当⎪⎭⎫⎝⎛--∈32,1217,21ππx x ，且21x x =/时，)()(21x f x f =，则=+)(21x x f ( ) A ．3B ．2C ．lD ．-111．如图，设抛物线px y 22=的焦点为F ，过x 轴上一定点)0,2(D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ， 记△BCF 面积为1S ，△ACF 面积为2S ，若4121=S S ，则抛物线的 标准方程为( )A ．x y =2B ．x y 22=C ．x y 42= D ．x y 82=12．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=)0(9)0(1)(3x x x xx x f ，若关于x 的方程a x x f =+)2(2有6个不同的实数根，则常数以的取值范围是( ) A ．]8,2(B ．]9.2(C ．]9,8(D ．)9,8(第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设双曲线12222=-by a x 的左右顶点分别为 A ，B ，点p 是双曲线上，且异于A ，B 两点.O为坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率之积为97，则双曲线的离心率为 ． 14．己知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()4(-=+x f x f ，当]0,3[-∈x 时，x x f -=6)(，则=)2019(f .15．己知梯形ABCD ，AD AB ⊥，1==DC AD ，3=AB ，P 为三角形BCD 内一点(包括边界)，yAD AB x AP +=，则y x +的取值范围为 ． 16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，△ABC 的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成 的三角形称为△ABC 的欧拉三角形．如图，△A 1 B 1 C 1 是△ABC 的欧拉三角形（H 为△ABC 的垂心）．己知3=AC ，2=BC ，22tan =∠ACB ，若在△ABC内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分．17．数列}{n a 的前n 项和为n S ，己知11=a ，)3,2,1()32()12(1Λ=+=-+n S n a n n n(1)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n S n 是等比例数； (2)求数列}{n S 的前n 项和n T .18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AD AB ⊥，22===CD AD AB ，ADP ∆为等边三角形．(1)当PB 长为多少时，平面，⊥PAD 平面ABCD ？并说明理由； (2)若二面角B AD P --大小为150°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．19．己知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，椭圆的右焦点为)0,1(F ，长轴的左右端点分别是A 1，A 2，且121-=⋅FA FA (1)求椭圆C 的方程；(2)过焦点F 斜率为)0(=/k k 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？20．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数5304050452010(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设µ，ϭ(分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表)，求µ，ϭ的值（µ，ϭ的值四舍五入取整数），并计算P (51<X <93)(2)在(1)的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于µ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于µ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为32，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为31．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．(参考数据：6827.0)(≈+≤<-δμδμX P ；9545.0)22(≈+≤<-δμδμX P ；9973.0)33(≈+≤<-δμδμX P .)21．己知函数)0(21)(2>-=x ax e x f x，)(x f '是)(x f 的导函数． (1)当2=a 时，求证：1)(>x f ；(2)是否存在正整数a ，使得x x x f ln )(2≥'对一切x >0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，说明理由，（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点4（-2，1），以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴，为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：3sin 21θρρ+=(1)写出曲线C 的普通方程：(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求||||AN AM +的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数||)(a x x x f -=，R a ∈ (1)若1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；(2)若a >0，对x ∀，],(a y -∞∈，都有不等式||45)(a y y x f -++≤恒成立，求a 的取值范围．数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．34； 14．216；15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,1；16．647 三．解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (1)证明：因为n n n n S n n S S a 123211-+=-=++， 所以n n S n n S 12)12(21-+=+，所以122121-=++n S n S n n . 又11=a ，所以0111=/=S . ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n S n 是以1为首项，2为公比的等比数列. ……………………… 6分(2)由(1)知，1212-=-n nn S ，所以12)12(-⋅-=n n n S . 所以122)12(25231-⋅-++⨯+⨯+=n n n T Λ① 故 nn n T 2)12(252321232⋅-++⨯+⨯+⨯=Λ②①一②，得n n n n T 2)12()222(2112⋅--+++⨯+=--Λ 32)23(2)12(212221-⋅-=⋅----⨯+=n n nn n ，所以 32)32(+⋅-=nn n T . …………………………………12分18．解：(1)当22=PB 时，平面⊥PAD 平面ABCD ， ………………………………1分证明如下：在PAB ∆中，因为2==PA AB ，22=PB ，所以PB AB ⊥ ……2分 又AD AB ⊥，A PA AD =I ，所以⊥AB 平面P AD ， ………………………3分 又⊂AB 平面ABCD ，所以平面⊥PAD 平面ABCD ； …………………………4分(2)分别取线段AD ，BC 的中点O ，E ，连接PO ，OE ，因为ADP ∆为等边三角形，O 为AD 的中点，所以AD PO ⊥，O ，E 为AD ，BC 的中点，所以AB OE //，又AD AB ⊥，所以AD OE ⊥，故POE ∠为二面角B AD P --的平面角，所以︒=∠150POE ，………………………6分 如图，分别以OA ，OE 的方向以及垂直于平面ABCD 向上的方向作为x ，y ，z 轴的正 方向，建立空间直角坐标系xyz O -，因为3=OP ，︒=∠150POE ，所以)23,23,0(-P ，)0,0,1(A ，)0,2,1(B ，)0,1,1(-C .可得)0,2,0(=AB ，)23,27,1(-=PB ，)23,25,1(--=PC ，…………………8分设),,(z y x n =为平面PBC 的一个法向量，则有0=⋅n PB ，0=⋅n PC ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+0232502327z y x z y x ，令1=x 可得)34,2,1(--=n ，………………10分 设AB 与平面PBC 所成角为θ，则有532)34()2(124222=-+-+=所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为53532 …………………………12分19．解：(1)依题设)0,(1a A -，)0,(2a A ，)0,1(1--=a FA ，)0,1(2-=a FA . 由121-=⋅FA FA ，得：1)1)(1(-=---a a ，解得22=a ，又因为1=c ，所以112222=-=-=c a b .所以椭圆C 的方程为1222=+y x . ……………………………4分(2)圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形，依题意设直线l 方程为)1(-=x k y ，设),(11y x A ，),(22y x B ，弦AB 的中点为),(00y x M ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y ，得：0224)12(2222=-+-+k x k x k ，则1242221+=+k k x x ，12)1(22221+-=k k x x ， 所以122222210+=+=k k x x x ，12)1(200+-=-=k k x k y ， 则直线MD 的方程为)122(112222+--=++k k x k k ky ， 令0=y ，得1222+=k k x D ，则)0,12(22+k k D ，若四边形ADBE为菱形，则⎪⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0022y y y x x x D ED E，所以1232220+=-=k k x x x D E ，122220+-=-=k k y y y D E ， 若点E 在椭圆C 上，则1)122()123(4122222=+-++⋅k k k k ， 即2224)12(289+=+k k k ，整理得24=k ，解得42±=k ，所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．………………………12分20．解：(1)由己知频数表得：200506520040552003045200535)(⨯+⨯+⨯+⨯=X E65200109520020852004575=⨯+⨯+⨯+， 2.0)6555(15.0)6545(025.0)6535()(222⨯-+⨯-+⨯-=X D 225.0)6575(25.0)6565(22⨯-+⨯-+ 21005.0)6595(1.0)6585(22=⨯-+⨯-+由2251962<<σ，则1514<<σ，而2105.2105.142>=，所以14≈σ，则X 服从正态分布)14,65(N ，所以)2()9351(σμσμ+<<-=<<X P X P8186.026827.09545.02)()22(=+=+<<-++<<-=σμσμσμσμX P X P ……………………6分(2)显然，5.0)()(=≥=<μμX P X P ， 所以所有Y 的取值为15，30，45，60，313221)15(=⨯==Y P ，1873232213121)30(=⨯⨯+⨯==Y P ，92323121313221)45(=⨯⨯+⨯⨯==Y P ，181313121)60(=⨯⨯==Y P ，所以Y 的分布列为：……………………10分 所以30181609245187303115)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ， 需要的总金额为：200×30=6000．……………………12分21．解：(1)证明：当2=a 时，2)(x e x f x-=，则x e x f x2)(-'，令x e x f x f x 2)()(1-='=，则2)(1-='xe xf ，令0)(1='x f ，得21n x =，故)(x f '在21n x =时取得最小值，02ln 22)2(ln >-='f Θ，)(x f ∴在),0(+∞上为增函数， 1)0()(=>∴f x f ； ……………………4分(2)ax e x f x-=')(由nx x x f 1)(2≥'，得nx x ax e x 12≥-对一切0>x 恒成立，当1=x 时，可得e a ≤，所以若存在，则正整数a 的值只能取1，2．…………… 6分下面证明当2=a 时，不等式恒成立，设x xx e x g x ln 2)(2--=，323))(2(12)2(){g x x e x x x x e x x x x --=-+-=' 由( I )x x x e x >≥+>212，)0(0>>-∴x x e x， ∴20<<x 时，0)(<'x g ；当2>x 时，0)(>'x g即)(x g 在(0，2)上是减函数，在),2(+∞上是增函数，0)16ln 3(41)2ln 447.2(41)2ln 44(41)2()(22>->-->--=≥∴e g x g ， ∴2=a 时，不等式恒成立，所以a 的最大值是2．………………………12分22．解：(1)由θρρsin 23+=得3sin 22=+θρρ，将⎩⎨⎧=+=yy x θρρsin 222代入上式中，得曲线C 的普通方程为03222=-++y y x . ………………………4分 (2)将l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-=,sin 1,cos 2ααt y t x （t 为参数）代入曲线C 的普通方程，消去x ，y 得04)cos (sin 42=+-+t t αα. ①因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以016)cos (sin 162>--=∆αα，因为1cos sin 22=+αα， 所以0cos sin <αα，又πα<≤0，所以παπ<<2，设方程①的两根为t l ，t 2，则0)in (cos 421<-=+ααs t t ，0421>=t t ， 所以0,021<<t t ， 所以)4sin(24)cos (sin 4)(||||||||2121πααα-=-=+-=+=+t t t t AN AM 由παπ<<2得，4344ππαπ<-<，所以1)4sin(22≤-<πα，从而24)4sin(244≤-<πα，即||||AN AM +的取值范围是]24,4(. …………………………10分23．解：(1)1|1||1|)1()1(>+--=-+a a f f ，①若1-≤a 时，则111>++-a a ，即12>，即1-≤a 时恒成立；②若11<<-a 时，则1)1(1>+--a a ，解得21-<a ，所以211-<<-a ； ③若1≥a 时，则1)1(1>+-+-a a ，即12>-不成立，此时不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是)21,(--∞. ………………………5分(2) 由题意知，不等式对于),(,a y x -∞∈恒成立，等价于min max |)||45(|)(a y y x f -++≤， 当),(a x -∞∈时，4)2()(222a a x ax x x f +--=+-=， 所以4)2()(2max a a f x f ==， 又因为|45||)()45(||||45|+=--+≥-++a a y y a y y ，当且仅当0))(45(≤-+a y y 即a y ≤≤-45时，等号成立， 所以45|)||45(|min +=-++a a y y ，所以4542+≤a a ，解得51≤≤-a ， 结合a >0，所以a 的取值范围是]5,0(. …………………………10分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ﹣2≤0}，B ＝{x |log 2x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ≤2}B ．{x |x ≤0或x ＞2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |x ＜2或x ≥4}【解答】解：∵A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |0＜x ＜4}； ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}． 故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足（1+√3i ）z ＝1+i ，则其共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为复数z 满足（1+√3i ）z ＝1+i ， 所以：z =1+3i =√3i)(1+3i)(1−3i)=1+√3+(1−√3)i4； ∴其共轭复数z =1+√34−1−√34i =1+√34+√3−14i ； 对应的点（1+√34，√3−14）在第一象限； 故选：A ．3．（5分）函数f （x ）＝2sin x +sin|x |+|sin x |在[﹣2π，2π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，f （x ）＝2sin x +sin|x |+|sin x |，当﹣2π≤x ≤﹣π时，sin x ≥0，则|sin x |＝sin x ，又由sin|x |＝sin （﹣x ）＝﹣sin x ，则此时f （x ）＝2sin x ﹣sin x +sin x ＝2sin x ，当﹣π＜x ＜0时，sin x ＜0，则|sin x |＝﹣sin x ，又由sin|x |＝sin （﹣x ）＝﹣sin x ，则此时f （x ）＝2sin x ﹣sin x ﹣sin x ＝0，当0≤x ≤π时，sin x ≥0，则|sin x |＝sin x ，又由sin|x |＝sin x ，则此时f （x ）＝2sin x +sin x +sin x ＝4sin x ，当π＜x ≤2π时，sin x ≤0，则|sin x |＝﹣sin x ，又由sin|x |＝sin x ，则此时f （x ）＝2sin x +sin x ﹣sin x ＝2sin x ，故f （x ）={2sinx ，−2π≤x ≤−π0，−π＜x ＜04sinx ，0≤x ≤π2sinx ，π＜x ≤2π；故选：C ．4．（5分）两个非零向量a →，b →满足|a →+b →|＝|a →−b →|＝2|a →|，则向量b →与a →−b →夹角为（ ） A ．56πB ．π6C ．23πD ．π3【解答】解：∵两个非零向量a →，b →满足|a →+b →|＝|a →−b →|＝2|a →|，如图，设 OA →=a →，OB →=b →，则 OC →=a →+b →，BA →=a →−b →， 则四边形OACB 为矩形 BA ＝2OA ，OB =√3OA ． 设向量b →与a →−b →夹角为θ，则∠OBA ＝π﹣θ， ∴cos （π﹣θ ）=OBBA =√32，∴π﹣θ=π6，θ=5π6， 故选：A ．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输入n ＝5，m ＝3，那么输出的p 值为（ ）A ．360B ．60C ．36D ．12【解答】解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p 的值， 可得程序框图实质是计算排列数A n m 的值， 当n ＝5，m ＝3时，可得：A 53=60． 故选：B ．6．（5分）已知a =(12)12，b =(13)13，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【解答】解：∵a 6=(12)3=18，b 6=(13)2=19， ∴a 6＞b 6，a ，b ＞0． ∴1＞a ＞b ， c ＝log 23＞1． ∴b ＜a ＜c ． 故选：C ．7．（5分）某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ） A ．25B ．12C ．34D ．56【解答】解：群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，设甲抢到的金额为x 、乙抢到的金额为y ，则（x ，y ）的基本事件共有A 52=20种， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的基本事件为（2.49，2.19），（2.49，3.37），（1.32，3.37），（2.19，3.37），（0.63，3.37），（2.19，2.49），（3.37，2.49），（3.37，1.32），（3.37，2.19），（3.37，0.63）共10种， 即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是1020=12，故选：B ．8．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为（ ） A ．丙酉年B ．戊申年C ．己申年D ．己亥年【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 从1949年到2029年经过70年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则70÷10＝7，则2019的天干为己， 70÷12＝5余10，则2019的地支为亥， 故选：D ．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．√6πB ．8√6πC ．32√3πD ．64√6π【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体A ﹣BCD ． 所以几何体的外接球的半径设为r ， 则：（2r ）2＝42+22+22，解得r =√6， 所以V =43×π×(√6)3=8√6π， 故选：B ．10．（5分）若将函数f （x ）＝cos （2x +φ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解答】解：将函数f （x ）＝cos （2x +φ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）＝cos （2x −π3+φ）的图象，∵g （x ）的图象关于原点对称，∴−π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ． 令k ＝﹣1，可得|φ|的最小值为π6，故选：A ． 11．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作直线y =−bax 的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若FN →=2FM →，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．√5C ．2D ．√3【解答】解：如右图所示，设双曲线的半焦距为c ，左焦点为F 1，连接NF 1， ∵FN →=2FM →，∴点M 为线段NF 的中点，∴OM ∥F 1N ，且|OM |=12|F 1N |， 又过F （c ，0）作直线y =−ba x 的垂线，垂足为M ，∴MF ⊥OM ， FN ⊥NF 1，又由点线距离公式可得：|MF |=bc√a 2+b=b ，又|OF |＝c ，∴|OM |=√c 2−b 2=a ，|NF 1|＝2a ．又点N 在双曲线的左支上， 由双曲线的定义得：|NF |＝|NF 1|+2a ＝4a ． 在直角三角形FNF 1中：|FF 1|2＝4c 2＝|NF |2+|NF 1|2=4a 2+16a 2＝20a 2故双曲线的离心率e =ca =√5． 故选：B ．12．（5分）已知函数y ＝f （x ）在R 上可导且f （0）＝1，其导函数f '（x ）满足f′(x)−f(x)x−1＞0，对于函数g(x)=f(x)e x ，下列结论错误的是（ ） A ．函数g （x ）在（1，+∞）上为单调递增函数B ．x ＝1是函数g （x ）的极小值点C ．函数g （x ）至多有两个零点D ．x ≤0时，不等式f （x ）≤e x 恒成立 【解答】解：g （x ）=f(x)e x ， 则g ′（x ）=f′(x)−f(x)e x， x ＞1时，f ′（x ）﹣f （x ）＞0，故y ＝g （x ）在（1，+∞）递增，A 正确； x ＜1时，f ′（x ）﹣f （x ）＜0， 故y ＝g （x ）在（﹣∞，1）递减，故x ＝1是函数y ＝g （x ）的极小值点，故B 正确； 若g （1）＜0，则y ＝g （x ）有2个零点， 若g （1）＝0，则函数y ＝g （x ）有1个零点，若g （1）＞0，则函数y ＝g （x ）没有零点，故C 正确；由y ＝g （x ）在（﹣∞，1）递减，则y ＝g （x ）在（﹣∞，0）递减， 由g （0）=f(0)e 0=1，得x ≤0时，g （x ）≥g （0）， 故f(x)e ≥1，故f （x ）≥e x ，故D 错误；故选：D ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m +n ＝ 11 ．【解答】解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20， 即x 甲=15（17+18+20+m +20+22）＝20， 解得m ＝3；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即x 乙=15（10+n +19+20+21+22）＝20， 解得n ＝8． 故m +n ＝11； 故答案为：11．14．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x +2y ≥0x ≤1，则z ＝3x +y 的最大值为 8 ．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由z ＝3x +y 得：y ＝﹣3x +z ， 将直线y ＝﹣3x 向上平移，可知当直线经过点A （1，5）时，y ＝﹣3x +z 的截距取得最大值，z 的最大值，z max ＝3×1+5＝8， 故答案为：8．15．（5分）点A （3，2）是圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9内一点，则过点A 的最短弦长为 2√7 ．【解答】解：根据题意，设圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9的圆心为C ，则C 的坐标为（2，1），半径r ＝3， 设过点A 的直线为l ，分析可得：当CA 与l 垂直时，圆心到直线l 的距离最大，此时过点A 的弦最短， 此时圆心到直线的距离d ＝|CA |=√2， 弦长为：2×√r 2−d 2=2√7， 故答案为：2√7．16．（5分）已知等比数列{a n }的首项为32，公比为−12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤3S n −1S n≤B 恒成立，则B ﹣A 的最小值为3512．【解答】解：S n =32[1−(−12)n ]1−(−12)=1−(−12)n ．n ＝2k ﹣1（k ∈N *），f （n ）＝3S n −1S n =3（1+12n ）−11+12n单调递减，f （1）=236，n →+∞，f （n ）→3﹣1＝2． 可得：2＜3S n −1S n≤256．n ＝2k （k ∈N *），f （n ）＝3S n −1S n=3（1−12n ）−11−12n单调递增，f （2）=1112，n →+∞，f （n ）→3﹣1＝2． 可得：1112≤3S n −1S n＜2． ∴则B ﹣A 的最小值=236−1112=3512． 故答案为：3512．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设2（sin B ﹣sin C ）2+cos （B ﹣C ）＝2sin 2A ﹣cos A ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）求b+c a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵2（sin B ﹣sin C ）2+cos （B ﹣C ）＝2sin A 2+cos （B +C ）， ∴2（sin B ﹣sin C ）2＝2sin A 2+cos （B +C ）﹣cos （B ﹣C ）， ∴2（sin B ﹣sin C ）2＝2sin A 2﹣2sin B sin C ， ∵由正弦定理可得：（b ﹣c ）2＝a 2﹣bc ， ∴b 2+c 2﹣a 2＝bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =12．∴A =π3． （Ⅱ）∵b+c a=sinB+sinC sinA=sinB+sin(2π3−B)√32=2√33(sinB +√32cosB +12sinB)=2√33(32sinB +√32cosB)=2(√32sinB +12cosB)=2sin(B +π6)， 又∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜(B +π6)＜5π6．∴1＜2sin(B +π6)≤2， ∴b+c a∈(1，2]．18．（12分）依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》（以下简称《办法》），自2019年1月1日起施行，该《办法》指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除．简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”＝“税前收入”﹣“险金”﹣“基本减除费用（统一为3500元）”﹣“依法扣除的其他扣除费用”；自2019年1月1日起，“应纳税所得额”＝“税前收人”﹣“险金”﹣“基本减除费用（统一为5000元）”﹣“专项附加扣除费用”﹣“依法扣除的其他扣除费用． 调整前后个人所得税税率表如表： 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后）级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1不超过1500元的部分31 不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分102 超过3000元至12000元的部分 103超过4500元至9000元的部分203超过12000至25000元的部分 20 …………………… ………… 某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表：收入（元）[3000，5000）[5000，7000）[7000，9000）[9000，11000）[11000，13000）[13000，15000）人数102025201510（Ⅰ）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少？（Ⅱ）若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少？（Ⅲ）先从收入在[9000，11000）及[11000，13000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率．【解答】解：（Ⅰ）小李公司员工该月扣除险金后的平均收入：X=1100（4000×10+6000×20+8000×25+10000×20+12000×15+14000×10）＝8800（元）．（Ⅱ）2018年10月1日之前小李的个人所得税：S1＝1500×3%+3000×10%+（10000﹣3500﹣4500）×20%＝745（元），2019年1月1日起小李的个人所得税：S2＝3000×3%+（10000﹣5000﹣1500﹣3000）×10%＝140（元），2019年1月1日起小李个人所得税少交745﹣140＝605（元）．（Ⅲ）由频率分布表可知从[9000，11000）及[11000，13000）的人群中按分层抽样抽取7人，其中[11000，13000）中占3人，记为A，B，C；[9000，11000）中占4人，记为1，2，3，4，从7人中选2人共有21种选法如下：AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34，其中不在同一收入的人群有A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4共12种，所以两个宣讲员不全是同一收入人群的概率为P=1221=47．19．（12分）如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．（Ⅰ）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；（Ⅱ）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得BG ∥平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G ﹣ABE 与三棱锥G ﹣ADF 的体积之比．【解答】解：（1）证明：∵ABCD为矩形，∴BC ⊥AB ，又∵平面ABCD ⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AEBF ＝AB ， ∴BC ⊥平面AEBF ，又∵AF ⊂平面AEBF ，∴BC ⊥AF ．∵∠AFB ＝90°，即AF ⊥BF ，且BC 、BF ⊂平面BCF ，BC ∩BF ＝B ， ∴AF ⊥平面BCF ．又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面BCF ．（2）解：∵BC ∥AD ，AD ⊂平面ADF ，∴BC ∥平面ADF ． ∵△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形，且∠BAE ＝∠AFB ＝90°， ∴∠F AB ＝∠ABE ＝45°，∴AF ∥BE ，又AF ⊂平面ADF ，∴BE ∥平面ADF ， ∵BC ∩BE ＝B ，∴平面BCE ∥平面ADF ．延长EB 到点H ，使得BH ＝AF ，又BC ∥=AD ，连CH 、HF ，由题意能证明ABHF 是平行四边形，∴HF ∥=AB ∥=CD ，∴HFDC 是平行四边形，∴CH ∥DF ．过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，即BG ∥CH ∥DF ，（DF ⊂平面CDF ） ∴BG ∥平面CDF ，即此点G 为所求的G 点．又BE =√2AB =2AF ＝2BH ，∴EG =23EC ，又S △ABE ＝2S △AEF ， V G ﹣ABE =23V C−ABE =43V C−ABE =43V D−ABF =43V B−ADF =43V G−ADF ， 故V G−ABE V G−ADF=43．20．（12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l ：y ＝2x ﹣2，直线l 与E 的交点为A ，B ．同时|AF |+|BF |＝8，直线m ∥l ．直线m 与E 的交点为C 、D ，与y 轴交于点P ．（I ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）若CP →=4DP →，求|CD |的长．【解答】解（I ）联立方程{y 2=2px y =2x −2得：2x 2﹣（4+p ）x +2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由韦达定理得：x 1+x 2=4+p2，由抛物线定义可得：|BF|+|AF|=x 1+x 2+p =4+p2+p =8，∴p ＝4． 则抛物线E 的方程为：y 2＝8x ； （Ⅱ）设直线m ：y ＝2x +t ，联立方程{y =2x +t y 2=8x 得：4x 2+（4t ﹣8）x +t 2＝0，由△＝（4t ﹣8）2﹣16t 2＞0得：t ＜1， 设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， ∵CP →=4DP →可知x 3＝4x 4，x 3x 4=4，又∵x 3+x 4＝2﹣t ，x 3x 4=t 24，∴x 3x 4+x 4x 3=x 32+x 42x 3x 4=(x 3+x 4)2x 3x 4−2=(2−t)2t 24−2=4(2−t)2t 2−2=4+14，解之得：t =89或﹣8，∴|CD|=√22+1√(x 3+x 4)2−4x 3x 4=2√5×√1−t ， 当t =89时，|CD|=23√5；当t ＝﹣8时，|CD|=6√5． 21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣a √x ． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）存在正实数k使得函数g（x）＝kx﹣1+f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1x−a2√x=2−a√xx（x＞0），…………………………（1分）①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；…………………………（2分）②当a＞0时，f′（x）＝0得：x=42．当x∈(0，4a2)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈(4a2，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，…………………………（3分）综上，a≤0时，f（x）的增区间为（0，+∞）．a＞0时，f（x）的增区间为(0，4a2)，减区间为(4a2，+∞)．…………………………（4分）（Ⅱ）由题易知g(x)=kx+lnx−a√x−1，即kx+lnx−a√x−1=0有三个解，a=k√x lnx√x1√x，即a=k√x+2ln√x√x1√x仅有三解，设ℎ(x)=kx+2lnxx−1x，h′（x）=kx2−2lnx+3x2=0，可得kx2﹣2lnx+3＝0，即k=lnx2−3x2．…………………………（6分）设M(t)=lnt−3t，则M′（t）=4−lntt2=0，得t＝e4．t∈（0，e4）时，M′（t）＞0，M（t）单调递增，…………………………（5分）t∈（e4，+∞）时，M′（t）＜0，M（t）单调递减（同时注意x→+∞时，M（t）＞0）M(t)≤M(e4)=1e4，当k≥1e4时，ℎ(x)≥0恒成立，此时a∈R均符合条件；当0＜k＜1e4时，k=lnt−3t由两个根不妨设为t1，t2且0＜t1＜e4＜t2．…………………………（7分）k=2lnx−3x2有两根，不妨设为x1，x2则x1=√t1，x2=√t2，则0＜x1＜e2＜x2；容易分析出h（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递增，（x1，x2）单调递减，则当0＜k＜1e4时a∈（h（x2）min，h（x1）max）．…………………………（8分）这里需要求h （x 1）和h （x 2）的取值范围．由上面分析可得kx 12−2lnx 1+3=0，则kx 1=2lnx1x 1−3x 1．ℎ(x 1)=kx 1+2lnx 1x 1−1x 1=2lnx 1x 1−3x 1+2lnx 1x 1−1x 1=4lnx 1−4x 1，0＜x 1＜e 2． 设N(x)=4lnx−4x ，0＜x ＜e 2，N ′（x ）=4(2−lnx)x2；易知N （x ）在0＜x ＜e 2上单调递增，N(x)＜N(e 2)=4e 2，则ℎ(x 1)＜4e 2．∴a ≥4e 2．…………………………（10分） 同理ℎ(x 2)=4lnx 2−4x 2，x 2＞e 2．…………………………（11分） 由上面分析N(x)=4lnx−4x在（e 2，+∞）单调递减，且x →+∞时，N （x ）→0， ∴h （x 2）＞0．∴a ＞0． 综上：a ∈(0，42)．…………………………（12分） （二）选考题：共10分。

河南省郑州市2020届高中毕业年级第三次质量预测数 学（理科）注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1． 已知全集R,U =集合2{|20},{|2}A x x B x log x =-≤=<则A B =IA ．｝｛2|≤x xB ．｝｛1|<x xC ．｝｛10|<<x xD ．｝｛20|≤<x x2． 已知复数z 满足(13)1i z i +=+则其共轭复数z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()2sin sin |||sin |f x x x x ππ=++在[-2,2]的图象大致为4． 两个非零向量a,b 满足||2||||a b a b a =-=+,则向量b 与a-b 夹角为 A ．56πB ．π6C ．2π3D ．π35． 执行如图所示的程序框图,输入5,3,n m ==那么输出的p 值为A ．360B ．60C ．36D ．126．已知112312111,,log ,233a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则a ,b ,c 的大小关系是 A ．c b a << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 7． 某个微信群某次进行的抢红包活动中,群主所发红包的总金额为10元,被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元,共5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是A ．25B ．12C ．34D ．568． 天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支,十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,以此类推,排列到“癸酉”后,天于回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立70年时为 A ．丙酉年 B ．戊申年 C ．己申年 D ．己亥年 9． 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的体积为A 6πB ．86πC ．332πD ．664π10．若将函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象向右平移π6个单位长度,得到函数()g x 的图象,且()g x 的图象关于原 点对称,则|φ|的最小值为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π611．已知双曲线2222)1(0,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ,过F 作直线by x a =-的垂线,垂足为M ,且交双曲线的左支于N 点,若2FN FM =u u u r u u u u r则该双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．5 D ．712．已知函数()R y f x =在上可导且()01,f =其导函数)('xf 满足()()''()01f x f x f x x -=>-,对于函数()()x f x g x e=,下列结论错误的是A ．函数()1,g x +∞在（）上为单调递增函数B ．x =1是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 至多有两个零点D ．0≤x 时,不等式()xf x e ≤恒成立二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示, 已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20,则m +n = ▲ .14．已知x , y 满足约束条件40,201x y x y x ⎧⎪⎨⎪-+≥+≥⎩≤，，则3z x y =+的最大值为 ▲ .15．已知点()3,2A 是圆()()22219x y -+-=内一点,则过点A 的最短弦长为 ▲ .16．已知等比数列｝｛n a 的首项为32,公比为1,2-前n 项和为n S ,且对任意的n ∈N *,都有31n nB A S S -≤…恒成立,则B A -的最小值为 ▲ . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721-题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分 17．(本小题满分12分)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为()22,,2sin sin )cos 2sin cos a b c B C B C A A -+-=-设（(Ⅰ)求A;(Ⅱ)求b ＋c a的取值范围.18．(本小题满12分)依法纳税是公民应尽的义务,随着经济的发展,个人收入的提高,自2018年10月1日起,个人所得税起征点和税率进行了调整,调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》(以下简称《办法》),自2019年1月1日起施行,该《办法》指出,个人所得税专项附加扣除,是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除。

2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U R =，集合{|20}A x x =-„，2{|log 2}B x x =<，则(A B =I )A ．{|2}x x „B ．{|0x x „或2}x >C ．{|02}x x <„D ．{|2x x <或4}x …2．（5分）已知复数z 满足(13)1i z i +=+，则其共轭复数z 在复平面内对应的点在() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．（5分）函数()2sin sin |||sin |f x x x x =++在[2π-，2]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）两个非零向量a r ，b r 满足||||2||a b a b a +=-=r r r r r ，则向量b r 与a b -r r 夹角为( )A ．56πB ．6πC ．23πD ．3π 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输入5n =，3m =，那么输出的p 值为( )A ．360B ．60C ．36D ．126．（5分）已知113212111(),(),log 233a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b << 7．（5分）某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．25B ．12C ．34D ．568．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ⋯，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为( )A ．丙酉年B ．戊申年C ．己申年D ．己亥年9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为( )A 6πB ．86πC ．323πD ．646π10．（5分）若将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象关于原点对称，则||ϕ的最小值为( )A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 11．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =u u u r u u u u r ，则双曲线的离心率为( )A ．3B 5C ．2D 312．（5分）已知函数()y f x =在R 上可导且(0)1f =，其导函数()f x '满足()()01f x f x x '->-，对于函数()()xf xg x e =，下列结论错误的是( ) A ．函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数B ．1x =是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 至多有两个零点D ．0x „时，不等式()x f x e „恒成立。

2020年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集R,U =集合2{|20},{|2}A x x B x log x =-≤=<则A B =I.{|2}.{|1}.{|01}.{|02}A x x B x x C x x D x x ≤<<<<≤2.已知复数z 满足(1)1z i +=+则其共轭复数z 在复平面内对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数()2sin sin |||sin |f x x x x ππ=++在[-2,2]的图象大致为4.两个非零向量a,b 满足||2+=-=a b a b a |,则向量b 与a-b 夹角为 A.56π B. π6 C. 2π3 D. π35.执行如图所示的程序框图,输入5,3,n m ==那么输出的p 值为A.360B.60C.36D.126已知112312111,,log ,233a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则a,b,c 的大小关系是....A a b c B a c b C b a c D c a b <<<<<<<<7.某个微信群某次进行的抢红包活动中,群主所发红包的总金额为10元,被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元,共5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是 A.25 B.12 C.34 D.568.天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支,十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,以此类推,排列到“癸酉”后,天于回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立70年时为 A.丙酉年 B.戊申年C.己申年D.己亥年9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的体积为B.CπD ;10.若将函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象向右平移π6个单位长度,得到函数()g x 的图象,且()g x 的图象关于原点对称,则|φ|的最小值为 A. π6 B.π3 C.2π3 D.5π611.已知双曲线2222)1(0,0x y a b a b -=>>的右焦点为F,过F 作直线by x a=-的垂线,垂足为M,且交双曲线的左支于N 点,若2FN FM =u u u r u u u u r则该双曲线的离心率为?.2B C12.已知函数()R y f x =在上可导且()01,f =其导函数()()''()01f x f x f x x -=>-,对于函数()()xf xg x e=,下列结论错误的是A.函数()1,g x +∞在（）上为单调递增函数B.x=1是函数()g x 的极小值点C.函数()g x 至多有两个零点.0D x ≤时,不等式()x f x e ≤恒成立二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示,已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20,则m+n= ▲14.已知x,y 满足约束条件40,201x y x y x ⎧⎪⎨⎪-+≥+≥⎩≤，，则3z x y =+的最大值为 ▲15.已知点()3,2A 是圆()()22219x y -+-=内一点,则过点A 的最短弦长为▲16.已知等比数列{a n }的首项为32,公比为1,2-前n 项和为S n ,且对任意的n ∈N *,都有31n nB A S S -≤…恒成立,则B A -的最小值为 ▲ 三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721-题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分 17.(本小题满分12分)ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为()22,,2sin sin )cos 2sin cos a b c B C B C A A -+-=-设（ (Ⅰ)求A(Ⅰ)求b ＋ca 的取值范围 18.(本小题满12分)依法纳税是公民应尽的义务,随着经济的发展,个人收入的提高,自2018年10月1日起,个人所得税起征点和税率进行了调整,调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》(以下简称《办法》),自2019年1月1日起施行,该《办法》指出,个人所得税专项附加扣除,是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除。