推荐-高一年段数学培优教材(4) 精品

轻巧过关一本通高一数学
【最新版】
目录
1.介绍《轻巧过关一本通高一数学》
2.书籍的特点和亮点
3.作者背景和出版社介绍
4.推荐理由和适用对象
5.结论
正文
《轻巧过关一本通高一数学》是一本针对高中一年级数学课程的辅导书籍。

本书旨在帮助学生更好地理解和掌握高中数学知识，提高学生的数学素养和解题能力。

本书的特点在于它的全面性和系统性。

它覆盖了高一数学的全部课程内容，包括代数、几何、三角函数等各个方面。

每个章节都有详细的讲解和例题分析，同时还附有丰富的练习题，让学生在学习过程中能够及时巩固所学知识。

此外，本书的编写风格简洁明了，易于理解，既适合学生自学，也适合教师作为教学参考书。

本书的作者都是有多年高中数学教学经验的优秀教师，他们深谙学生的学习需求和困惑，因此在编写过程中特别注重知识的深入浅出和解题方法的实用性。

本书由知名教育出版社出版，质量有保障。

我们推荐这本书的理由主要有以下几点：首先，它内容全面，能够满足学生高中阶段的数学学习需求；其次，它的编写风格简洁明了，易于理解，适合学生自学；最后，它附有丰富的练习题，可以帮助学生及时巩固所学知识，提高解题能力。

第1页共1页。

高一年段数学培优教材第一讲 二次函数一、基础知识：1． 二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- 2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。

（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。

（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数。

延伸：若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。

（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2b f m f n f a -中选取；当[,],[,]2bx m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。

常依对称轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。

3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。

二、综合应用：例1：已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。

例2：设2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）当x R ∈时，(4)(2)()f x f x f x x -=-≥且，（2）当21(0,2),()2x x f x +⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭时， （3）()f x 在R 上的最小值为0。

补高一数学知识点的书在高中阶段学习数学，是一项需要系统化积累的任务。

而对于许多高一学生来说，他们可能会发现自己在某些数学知识点方面存在一些薄弱之处。

因此，为了帮助这些学生提高他们的数学水平，我推荐以下几本适合补高一数学知识点的书籍。

这些书籍内容准确、清晰，以全面的方式介绍了高一阶段的数学知识。

1. 《高中数学基本知识点详解》这本教材是一本补充教材，主要针对高一学生，重点涵盖了高中数学的基本知识点。

书中以问题和解决方案的形式，详细阐述了每个知识点的概念、公式和解题方法。

它不仅提供了丰富的例题和习题，还包含了解题技巧和应用题的训练。

这本书能够帮助学生系统地复习和掌握高一数学知识点。

2. 《高中数学思维的培养与提高》这本书的主要目的是培养学生的数学思维能力，并提供一些建立在高一数学基础之上的数学思维训练。

它包含了各种各样的数学问题和解决方法，旨在通过解决这些问题，培养学生的逻辑推理、问题分析和创新思维。

这本书不仅适合补高一数学知识点，还有助于培养学生的数学思维能力，提高解决问题的能力。

3. 《高中必修一数学知识点精讲精练》这本书是根据高中数学课程标准编写的，针对高一必修一内容编写而成。

它从高一数学知识的基础开始，详细解释了每个知识点的定义和性质，并给出了一些典型例题和习题，以帮助学生理解和掌握知识。

此外，书中还包含了一些拓展内容和思考题，有助于学生进一步提高对数学的理解和思考能力。

4. 《高中数学习题集》这本习题集是通过整理归纳高中数学相关题目而编写的，其主要目的是帮助学生进行高效的练习和巩固知识点。

习题集中包含了大量的选择题、填空题和解答题，以及一些实际问题的应用题。

这样的练习有助于学生熟悉题型，提高解题速度和准确性。

同时，习题集还附有详细的解答和解题思路，方便学生自我检查和纠正错误。

通过使用以上几本书籍，高一学生可以有效补全他们在数学知识点方面的不足。

这些书籍提供了系统的知识点详解、思维训练和大量的练习题，可以满足学生的不同需求。

!　００１　" #!$%第１课时　集合的概念与表示（１）　／１２３第２课时　集合的概念与表示（２）　／１２３第３课时　子集、全集、补集　／１２３第４课时　交集、并集　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升　／１２３" #!&'()'*第１课时　命题、定理、定义　／１２３第２课时　充分条件、必要条件、充要条件（１）　／１２３第３课时　充分条件、必要条件、充要条件（２）　／１２３第４课时　全称量词命题与存在量词命题　／１２３第５课时　全称量词命题与存在量词命题的否定　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升　／１２３综合测试　第１，２章集合与常用逻辑用语（见测试卷）" #!+,-第１课时　不等式的基本性质　／１２３第２课时　基本不等式的证明（１）　／１２３第３课时　基本不等式的证明（２）　／１２３第４课时　基本不等式的应用（１）　／１２３第５课时　基本不等式的应用（２）　／１２３第６课时　基本不等式的应用（３）　／１２３第７课时　从函数观点看一元二次方程　／１２３第８课时　从函数观点看一元二次不等式（１）　／１２３第９课时　从函数观点看一元二次不等式（２）　／１２３第１０课时　从函数观点看一元二次不等式（３）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（１）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（２）　／１２３综合测试　第３章不等式（见测试卷）" #!./01/第１课时　指数（１）　／１２３第２课时　指数（２）　／１２３第３课时　对数（１）　／１２３第４课时　对数（２）　／１２３第５课时　对数（３）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（１）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（２）　／１２３综合测试　第４章指数与对数（见测试卷）" #!2/34056第１课时　函数的概念和图象（１）　／１２３第２课时　函数的概念和图象（２）　／１２３第３课时　函数的概念和图象（３）　／１２３第４课时　函数的表示方法（１）　／１２３第５课时　函数的表示方法（２）　／１２３综合小练　函数的概念、图象及表示方法　／１２３第６课时　函数的单调性（１）　／１２３第７课时　函数的单调性（２）　／１２３第８课时　函数的奇偶性（１）　／１２３第９课时　函数的奇偶性（２）　／１２３综合小练　函数的单调性、奇偶性　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（１）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（２）　／１２３综合测试　第５章函数概念与性质（见测试卷）阶段测试　第１～５章（见测试卷）" #!72/8./2/81/2/第１课时　幂函数（１）　／１２３第２课时　幂函数（２）　／１２３第３课时　指数函数（１）　／１２３第４课时　指数函数（２）　／１２３第５课时　指数函数（３）　／１２３第６课时　指数函数（４）　／１２３综合小练　指数函数　／１２３第７课时　对数函数（１）　／１２３第８课时　对数函数（２）　／１２３第９课时　对数函数（３）　／１２３综合小练　对数函数　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（１）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（２）　／１２３综合测试　第６章幂函数、指数函数、对数函数（见测试卷）" #!9:2/第１课时　任意角　／１２３第２课时　弧度制　／１２３第３课时　任意角的三角函数（１）　／１２３第４课时　任意角的三角函数（２）　／１２３第５课时　同角三角函数关系（１）　／１２３第６课时　同角三角函数关系（２）　／１２３第７课时　三角函数的诱导公式（１）　／１２３第８课时　三角函数的诱导公式（２）　／１２３综合小练　三角函数概念　／１２３第９课时　三角函数的周期性　／１２３第１０课时　三角函数的图象与性质（１）　／１２３第１１课时　三角函数的图象与性质（２）　／１２３第１２课时　三角函数的图象与性质（３）　／１２３第１３课时　三角函数的图象与性质（４）　／１２３第１４课时　函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）（１）　／１２３第１５课时　函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）（２）　／１２３综合小练　三角函数的图象和性质　／１２３第１６课时　三角函数的应用　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（１）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（２）　／１２３综合测试　第７章三角函数（见测试卷）" #!2/;'第１课时　函数的零点（１）　／１２３第２课时　函数的零点（２）　／１２３第３课时　用二分法求方程的近似解　／１２３第４课时　几个函数模型的比较　／１２３第５课时　函数的实际应用（１）　／１２３第６课时　函数的实际应用（２）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（１）　／１２３章末复习　考点聚焦＆素养提升（２）　／１２３综合测试　第８章函数应用（见测试卷）阶段测试　第６～８章（见测试卷）阶段测试　第１～８章（见测试卷）００２ !!　００１　" <=!$%>?@ABCDE F１．下面给出的四类对象中构成集合的是（ ） Ａ．某班个子较高的同学Ｂ．中国长寿的人Ｃ．圆周率π的近似值Ｄ．倒数等于它本身的数２．（多选）下列判断中不正确的是（ ）Ａ．π∈犙Ｂ．－５∈犣Ｃ．１３∈犙Ｄ．－槡３ 犚３．（多选）下列结论中错误的是（ ）Ａ．｛１，２，３，１｝是由４个元素组成的集合Ｂ．集合｛１｝表示仅由一个“１”组成的集合Ｃ．犖中最小的数是１Ｄ．若－犪 犖，则犪∈犖４．由实数－狓，｜狓｜，狓槡２，狓组成的集合中含有元素的个数最多的是（ ）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４５．已知集合犃中含有２，４，６这三个元素，若犪∈犃，且６－犪∈犃，则犪的值为（ ）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．２或４６．若１∈｛狓｜狓２＋犪狓＋犫＋１＝０｝，２∈｛狓｜狓２＋犪狓－犫＝０｝，则犪＝ ，犫＝ ．７．集合犃中的元素由犪＋犫槡２（犪∈犣，犫∈犣）组成，判断下列元素与集合犃的关系：（１）０； （２）１槡２－１； （３）１槡３－槡２８．已知狓，狔都是非零实数，狕＝狓｜狓｜＋狔｜狔｜＋狓狔｜狓狔｜可能的取值组成集合犃，则下列判断中正确的是（ ）Ａ．３∈犃，－１ 犃Ｂ．３∈犃，－１∈犃Ｃ．３ 犃，－１∈犃Ｄ．３ 犃，－１ 犃９．集合｛狓－１，狓２－１，２｝中的狓不能取的值构成的集合是（ ）Ａ．｛１，３，槡３｝Ｂ．｛０，１，槡３，－槡３｝Ｃ．｛０，１，３，槡３｝Ｄ．｛０，１，３，槡３，－槡３｝１０．集合犃＝｛狓｜犪狓＋１＝０｝中元素的个数为 ．１１．若－３∈｛２狓－５，狓２－４狓，１２｝，则狓的值为 ．１２．把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合犕，试证明集合犕中的任意两个元素的乘积仍属于犕．１３．设犛是满足下列两个条件的实数所构成的集合：①１∈犛；②若犪∈犛，则１１－犪∈犛．请解答下列问题：（１）若２∈犛，则犛中必有另外两个数，求出这两个数；（２）自己设计一个数属于犛，然后求出犛中另外两个数；（３）从上面的解答过程中，你能得到什么结论？并大胆证明你发现的结论． 注：标 的题目供选做，下同．００２ " <=!$%>?@ABCDE F１．下列集合的表示方法正确的是（ ）Ａ．第二、四象限内的点集可表示为｛（狓，狔）｜狓狔≤０，狓∈犚，狔∈犚｝Ｂ．不等式狓－１＜４的解集为｛狓＜５｝Ｃ．｛全体整数｝Ｄ．实数集可表示为犚２．（多选）下列说法中正确的是（ ）Ａ．｛１，２｝｛２，１｝是两个不同的集合Ｂ．集合｛（０，２）｝有两个元素｛｝是有限集Ｄ．｛狓∈犙｜狓２＋狓＋２＝０｝是空集Ｃ．狓∈犣６狓∈犣３．下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）Ａ．｛１｝Ｂ．｛狔∈犚｜（狔－１）２＝０｝Ｃ．｛狓＝１｝Ｄ．｛狓｜狓－１＝０｝４．（多选）下面各组集合中表示同一个集合的是（ ）Ａ．犘＝｛２，５｝，犙＝｛５，２｝Ｂ．犘＝｛（２，５）｝，犙＝｛（５，２）｝Ｃ．犘＝｛狓｜狓＝２犿＋１，犿∈犣｝，犙＝｛狓｜狓＝２犿－１，犿∈犣｝Ｄ．犘＝｛狓｜狓＝６犿，犿∈犣｝，犙＝｛狓｜狓＝２犿且狓＝３狀，犿∈犣，狀∈犣｝５．（１）所有偶数组成的集合用描述法表示为 ；（２）平面直角坐标系内属于第三象限的点的集合用描述法表示为 ；（３）与３的倍数相差２的所有整数组成的集合用描述法表示为 ．６．用列举法表示下列集合：（１）｛（狓，狔）｜狓∈｛０，１｝，狔∈｛１，２｝｝＝ ；（２）｛狓｜狓是数字和为５的两位数｝＝ ；（３）｛（狓，狔）｜２狓＋５狔＝２０，狓∈犖，狔∈犖｝＝ ．７．已知集合犃＝｛－１，３｝，犅＝｛狓｜狓２＋犪狓＋犫＝０｝，且犃＝犅，则犪犫＝ ．８．已知集合犃＝｛（狓，狔）｜狓２＋狔２≤３，狓∈犣，狔∈犣｝，则集合犃中元素的个数为（ ）Ａ．９Ｂ．８Ｃ．５Ｄ．４９．定义集合运算：犃 犅＝｛狕｜狕＝狓狔（狓＋狔），狓∈犃，狔∈犅｝．若集合犃＝｛０，１｝，犅＝｛２，３｝，则集合犃 犅中所有元素之和为（ ）Ａ．６Ｂ．１２Ｃ．１８Ｄ．３６｛｝，则集合犃＝ ．（用列举法表示）１０．已知集合犃＝犪６３－犪∈犖，犪∈犣　００３　!。

考前必看北京一中新初一数学分班辅导资料推荐北京一中是北京市内有名的中学，新初一学生的数学分班是非常关键的一个环节。

在备考期间，合适的辅导资料可以帮助学生更好地掌握基本知识和应试技巧，从而在考试中取得好成绩。

本文将介绍一些经典的数学分班辅导资料，希望对考生们的备考有所帮助。

1.《小学奥数365道》这本小学奥数题集可以为小学生提供全面的奥数练习，包括数学基本运算、几何图形、计算题、数理逻辑、数学证明等等。

这些题目难度较高，但是可以帮助学生在奥数方面拓展思路，培养耐心和持之以恒的精神。

另外，这本题集还有详细的答案解析和教学视频，可以帮助学生更好地理解解题过程。

2.《初中数学思维训练100题》这本题集面向初中学生，包含100个常见数学问题。

它按照理论难度和实际应用难度将问题分为一到五级，从而帮助学生逐步提升数学思维水平。

每个问题都有详细的解答和思路讲解，帮助学生全面理解数学知识和解题方法。

3.《中学数学分班全攻略》这本书是一本综合性的数学教材，内容涵盖初一到高中各个年级的数学课程。

它介绍了数学基本概念、证明方法、解析几何、函数、导数等等，旨在帮助学生达成学科知识的全面掌握。

这本书还有详细的习题和题解，可以帮助学生在实际练习中不断提升数学能力。

4.《数学学习方法全攻略》这本书介绍了一些实用的数学学习方法，例如如何做好笔记、如何应对数学考试、如何使用辅导资料等等。

对于初一的学生而言，这些技巧和方法十分重要，可以帮助他们更好地学习、复习和应试。

这本书还提供了一些成功学的理论和案例分析，帮助学生提升自信心和学习动力。

5.《别再被错题卡住了》这本书侧重于讲解解题思路和方法，可以帮助不少初中学生解决思路不清楚、题目死记硬背的问题。

书中列举了常用解题方法和技巧，并且还提供了许多例题以及解题思路分析。

这本书不仅可以帮助学生解决作业问题，也可以帮助他们在考试中更快、更准确地解答相应题目。

综上所述，这些数学分班辅导资料是备战北京一中新初一数学分班考试的不错选择。

【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形知识切片满分晋级第1讲 我会解三角形你会么？三角函数3级 三角函数的图象性质及简单应用三角函数4级 我会解三角形你会么三角函数5级 三角函数公式强化中，除了告诉我们直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求出来，必须要知道至少2个要素，当然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知道几个量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三角形全等的证明（SSS SAS ASA AAS，，，），只要给出上述条件我们就能把三角形确定，也就是全等. 那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理.在ABC△中的三个内角A，B，C的对边分别用a b c，，表示：1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即sin sin sina b cA B C==．【教师备案】2sin sin sina b cRA B C===，其中R为ABC△的外接圆的半径．建议老师用三角形的外接圆给学生证明，因为板块1.4中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以不如这时给学生讲了.利用三角形中的线段关系证明正弦定理：①在R t ABC△中（如图），有sin sina bA Bc c==，，因此sin sina bcA B==，又因为sin1C=，所以sin sin sina b cA B C==②在锐角ABC△中（如图），作CD AB⊥于点D，有sinCDAb=，即sinCD b A=；sinCDBa=，即sinCD a B=，因此sin sinb A a B=，即sin sina bA B=，同理可证sin sina cA C=，因此sin sin sina b cA B C==1.1正弦定理与其在解三角形中的应用知识点睛cb aDCBAC BAcba③在钝角ABC △中（如图），作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则sin CDA b=，即sin CD b A =；()sin 180sin CDB B a=-=，即sin CD a B =，因此 sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a cA C=，因此sin sin sin a b cA B C== 利用平面几何知识证明正弦定理：如图所示，设O 为ABC △的外接圆的圆心，连BO 并延长交O 于A '，连A C '，则A A '= 或πA A '=-，∴sin sin 2BC a A A A B R '==='，即2sin aR A=，同理可证2sin sin b c R B C ==，故有2sin sin sin a b cR A B C=== 当ABC △是钝角三角形时，类似地得出上述结论. 利用向量知识证明正弦定理：①当ABC △是锐角三角形时，过A 点作单位向量i 垂直于AB ， 如图，∵AC AB BC =+,∴()i AC i AB BC i AB i BC i BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅，∴()()cos 90cos 90b A a B -=-，得sin sin b A a B =，得sin sin a bA B= ②当ABC △为钝角三角形时，类似地得出上述结论2．利用正弦定理解三角形⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；【教师备案】有了正弦定理之后，我们可以简单的看出，任意的两个角与一边相当于AAS 和ASA 的条件，可以确定所有的角，然后可以确定所有的边，因此，三角形也随之确定.②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．【教师备案】1.已知三角形的两边和一边的对角，由正弦定理可以求得另一边的对角的正弦值，但是解三角形时，因为在(0,π)内，互补的角的正弦值相等，所以求得另一边所对的角的正弦值之后，可能对应有一个角或两个角，因此无法确定三角形的形状，这就是为什么SSA 无法证明三角形全等的原因.2.利用正弦定理证明三角形中“大边对大角”的结论：①当ABC △为锐角三角形时，若a b >，则sin sin A B >，又π02A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，正弦函数在此区间内单调递增，故A B >；i CA cba DCBAOA 'CA②当ABC△为钝角三角形时，若A为钝角，则由πA B+<得，πB A<-，又ππ02A B⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，，故由正弦函数的单调性知：()sin sinπsinB A A<-=，从而由正弦定理知：b a<．对直角三角形，此结论显然成立，故综上知，在任意三角形中，均有大边对大角．3.此时，到底取一个角还是取两个角，关键保持一个原则“大边对大角”.具体讨论如下：已知,a b和角A，若B为钝角或直角，则C至多有一个解；若B为锐角，得分情况讨论，如图：无解的情况例如：3460b c B===︒，，，求C．由sin sinb cB C=sin4sin6023sin133c BCb︒⇒===>，∴C无解，从而满足此条件的三角形不存在．这就是sinc B b>的情况．【教师备案】在讲利用正弦定理解三角形时，对于边角互化和利用边角互化判断三角形形状的题型建议放到同步去讲，本板块只讲利用正弦定理解两种类型三角形，在讲完“已知两角和任一边解三角形”后就可以让学生做例1；在讲“已知两边和其中一边的对角解三角形”时一定要注意三角形的多解问题，具体的多解见考点2的【教师备案】，讲完多解问题后就可以让学生做例2的铺垫以及例2.考点1：已知两角和任一边解三角形【例1】已知两角和任一边解三角形⑴已知ABC△中，a b c，，分别是A B C、、的对边，3c=，60A=︒，45C=︒，则a=_______.⑵在ABC△中，30B=︒，45C=︒，1c=，则b=_______；三角形的外接圆半径R=_______.⑶在ABC△中，已知8a=，60B=，75C=，则b=_______.经典精讲b sin A<a<b , 两解a>b , 一解a<b sin A , 无解ba=b sin A , 一解CB【解析】⑴32⑵2；2已知30B =，45C =，1c =，由正弦定理得：2sin sin b cR B C==， 所以sin 1sin 302sin sin 45c B b C ⋅===，122sin sin 452c R C ====,2R =⑶46由60B =，75C =，知45A =，再由正弦定理有846sin 45sin 60bb =⇒=考点2：已知两边和其中一边的对角解三角形【铺垫】根据下列条件解三角形：①6031A a b ===，，；②3012A a b ===，，；③30610A a c ===，，； ④150105A a c ===，，，其中有唯一解的个数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】C ①3sin 3b A =<，又31>∵，∴有唯一解；②sin 2sin301b A ==，∴有唯一解；③sin 10sin305610c A ==<<，∴有两解；④有唯一解.【例2】 已知两边和一边对角解三角形⑴在ABC △中，已知4522A a b ===，，B =_______.⑵已知ABC △中，a b c ，，分别是A B C 、、的对边，22345a b A ===︒， 则B =_______.⑶已知ABC △，三个内角A B C ，，的对边分别记为a b c ，，，若245c x b B ===︒，，，且这个 x 的取值范围． ⑷（目标班专用）（2010山东卷理数）在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若2a =，2b =，sin cos 2B B +A 的大小为 ．【解析】⑴30 根据正弦定理得：sin sin a b A B =，∴sin 2sin 451sin 2b A B a ⋅===，b a <∵，B A <∴， B ∴为锐角，即30B =⑵60或120由正弦定理得，sin 23sin 453sin 22b A B a ===，∵sin b A a b <<，∴这个三角形有两组解，即60B =或120. ⑶ 由正弦定理可得：sin sin c b C B =，解得：2sin x C =，由于三角形有两解，又45B =︒， 则45135C <<︒且90C ≠2sin 1C <<221x<<，解得222x <<【点评】本题的⑶也可用以下方法解，当sinc B b c<<，即sin2x B x<<时，对应两个C的值，方程有两组解，解得222x<<．⑷π6由sin cos 2B B+=平方得12sin cos2B B+=，即sin21B=，因为0πB<<，所以π4B=．又因为22a b==，，所以在ABC△中，由正弦定理得：22sin B=，解得1sin2A=．又a b<∵，所以A B<，所以π6A=．【点评】易错点：忽略a b<A B⇒<的隐藏条件．多解．【教师备案】在正弦定理中，我们还有两种类型的全等没有讨论，SAS和SSS型，正弦定理处理的是对边对角的情形，仅仅用正弦定理是很难把三角形求解出来的，因此，我们需要一个新的工具，能够把边的条件化成角，就是下面所介绍的余弦定理.1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos,2cos,2cos.c a b ab Cb ac ac Ba b c bc A⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-它的变形为：222222222cos,2cos,2cos.2a b cCaba c bBacb c aAbc⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩<教师备案> 余弦定理的推导可以由三角形的向量运算直接得到，比如：2222()()2a BC BA AC BA AC BA BA AC AC==+⋅+=+⋅+()22222cosπ2cosc bc A b c bc A b=+-+=-+．也可以通过坐标法及两点距离公式得到．建立合适的坐标系，如图，得()()()cos sin000A b C b CB a C，，，，，，从而有22(cos)(sin)AB c b C a b C==-+，1.2余弦定理及其在解三角形中的应用知识点睛bxyBCA(b cosC , b sinC)整理得：2222cos c a b ab C =+-. 也可以通过三角形中的线段关系证明：在ABC △中，已知边a b ，及C ∠（为了方便起见，假设C ∠为最大的角），求边c 的长证明：当90C ∠=时，那么222c a b =+当90C ∠≠时，如图，无论C ∠为锐角还是为钝角，都过A 点做边BC 的高，交BC （或延长线）于点D ，这时高AD 把ABC △分成两个直角三角形ADB 和ADC ， 则sin AD b C =，cos BD a b C =-，在Rt ADB △中，运用勾股定理，得 ()222222sin cos c AD BD b C a b C =+=+-222cos a b ab C =+-2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： ①已知两边和任意一个内角解三角形； ②已知三角形的三边解三角形．【教师备案】老师在讲完余弦定理后，可以就SSS 和SAS 型的全等证明做个简单讲解，这样子整个讲义的主线就串在一起.然后，可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接套公式的，做完【铺垫】就可以做例3，例3是灵活的运用余弦定理解三角形，在解题过程中需要转化的；学生在能够灵活运用余弦定理后，就可以讲考点4，用余弦定理判断三角形形状，在三角形中，因为每个角都在()0π，内，所以一个角的正弦不能判断这个角是锐角还是钝角，但是余弦就能很快的判定是锐角还是钝角，在三角形中，当cos 0α>时，α为锐角；当cos 0α<时，α为钝角；当cos 0α=时，α为直角；考点4的【铺垫】是直接根据三角形的三条边判断三角形形状的，老师可以让学生先体会一下怎么样用余弦判定三角形形状，例4是已知三角形形状，求边的取值范围的，在解题过程中要注意用余弦定理和构成三角形的条件.考点3：用余弦定理解三角形【铺垫】⑴在ABC △中，5a =，8b =，60C =︒，则c =_______．⑵在ABC △中，222a b c bc =++，则A 等于（ ）．A ． 60B ． 45C ．120 D ． 30 【解析】⑴ 7 由余弦定理2222cos 25644049c a b ab C =+-=+-=，∴7c =． ⑵C∵2222222()1cos 222b c a b c b c bc A bc bc +-+-++===-经典精讲abcABCDD cbCBA∵0180A <<，∴120A =．【例3】 余弦定理解三角形⑴在ABC △中，5a =，8b =，7c =，则sin C =_______．⑵在ABC △中，已知3sin 5A =，sin cos 0A A +<，35a =，5b =，则c =______.⑶在ABC △中，若1378cos 14a b C ===，，，则最大角的余弦是( )． A ．15- B ．16- C ．17- D ．18-【解析】⑴3 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴1cos 2C =，3sin C =． ⑵∵sin cos 0A A +<，且3sin 5A =，24cos 1sin 5A A =--=-∴，又∵35a =，5b =，2222cos a b c bc A =+-，∴()2224355255c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，即28200c c +-=，解得2c =或10c =-（舍），∴2c = ⑶ C由2222cos c a b ab C =+-，∴3c =，则b a c >>，∴最大角为B ，∴2221cos 27a c b B ac +-==-考点4：用余弦定理判断三角形形状【教师备案】最大角定三角形的形状，由余弦定理易得，较小两边的平方和与最大边的平方的差可以定最大角是锐角、直角或钝角．注意:三角形三边关系应满足的为:较小两边的和大于 第三边．【铺垫】在ABC △中，已知5a =，6b =，7c =，则此三角形是一个 三角形． 【解析】锐角三角形 c b a >>∵,∴角C 为最大角，2221cos 025a b c C ab +-==>∴，∴角C 为锐角，∴三角形为锐角三角形【例4】判断三角形形状⑴ 若以34x ，，为三边组成一个直角三角形，则x 的值为 ． ⑵ 若以34x ，，为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为 ． ⑶ 若以34x ，，为三边组成一个钝角三角形，则x 的取值范围为 ． 【追问】我们还可以考虑，当我们知道三角形两边的情况下，求某一个角的取值范围，例如下面这个问题：已知ABC △中，12AB BC ==，，则C ∠的取值范围是________________⑷ （目标班专用）已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.【解析】 ⑴ 5722234x +=或22234x +=．⑵)75依题意有:22217434x x x ⎧<<⎪>⎨⎪+>⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+>⎩≤75x <．⑶ (()1757，∪， 解法一：依题意有:22217434x x x ⎧<<⎪>⎨⎪+<⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+<⎩≤解得57x <<或17x <<．解法二：本题也可以由函数的图象来解决，如图，设圆的半径3OA =，4OB =，圆上任取一点与O B ，两点构成三角形，从图形上看出，当圆上的点在点D 和点E 上时，构成直角三角形；当点 在DE 上时，构成锐角三角形；当点在AD 和EG 上时，构成 钝角三角形.由此可以很快得出答案. 【追问】π06⎛⎤ ⎥⎝⎦，⑷设三角形三边的长为：()12n n n n *++∈N ，，最大角为α，∴222(1)(2)cos 2(1)n n n n n α++-+=+，∵α是钝角，∴cos 0α<，∴222(1)(2)02(1)n n n n n ++-+<+，2(1)0n n +>∵，∴222(1)(2)0n n n ++-+<∴2230n n --<，∴13n n *-<<∈N ，∵，1n =∴或2. 当1n =时，123，，不能构成三角形的三边，故舍去. 当2n =时，234，，即为所求三边的长.【拓展】⑴钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，其最大角不超过120，求a 的取值范围. ⑵在ABC △中，若三条边是三条连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求ABC △的三条边长.【解析】⑴∵钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，∴显然有210a a a +>+>>，设钝角三角形 的最大的（内）角为α，依题意，得90120α<≤， 由()()()()()()22212313cos 21212a a a a a a a a a a a α++-+-+-===++，可得13022a a--<≤， GFEDCBAO解得332a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，⑵设最小内角为θ，三边长为11n n n-+，，，根据正弦定理得：11sin sin2n nθθ-+=，112cosnnθ+-=∴，()1cos21nnθ+=-∴，根据余弦定理得：()()()22211cos21n n nn nθ++--=+，()()()()2221112121n n nnn n n++--+=-+∴，解得5n=，从而得ABC△的三条边分别为456，，1.正弦定理灵活应用：①2sina R A=，2sinb R B=，2sinc R C=(其中R为ABC△的外接圆的半径)；②sin2aAR=，sin2bBR=，sin2cCR=；③::sin:sin:sina b c A B C=．2.正余弦定理的综合应用已知条件应用定理一般解法一边和两角（如a B C，，）正弦定理由πA B C++=，求角A；由正弦定理求出b与c．两边和夹角（如a b C，，）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角(此角一定是锐角)；再由πA B C++=，求剩下的角.三边（a b c，，）余弦定理正弦定理由余弦定理求出最大角，然后正弦计算剩余两角．两边和其中一边的对角（如a b A，，）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由πA B C++=，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c．正弦定理可以得到三角形的边与角之间的关系，可以把角全部换成边，也可以把边全部换成角，【铺垫】就是根据正弦定理把边用角表示，例5是先要根据正弦定理把边角化掉再根据余弦定理解三角形，此类题型不属于边角互化题型，是正弦定理的灵活运用，边角互化的题型是比如“2sina b A=”类型的，对于这类题我们放到同步去讲；在讲完正余弦定理的灵活运用后就可以让学生体会一下正余弦定理在平面几何中的应用，因为在同步的时候不会讲此类题型，所以在预习的时候可以给学生介绍一下，具体见例6和目标班学案2，而对于三角形中()sin sinA B C+=的应用建议放到同步去讲.1.3正余弦定理在解三角形中的灵活应用经典精讲知识点睛【铺垫】在ABC △中，若::1:2:3A B C =，则::a b c =______.【解析】 由已知得306090A B C ===，，，::sin :sin :sin1:3:2a b c A B C ==∴【例5】 正余弦定理的综合运用⑴在ABC △中，若sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．23⑵在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则角C 为（ ）A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定【追问】在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（ ） A .直角三角形 B .等边三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形⑶（2010天津理7）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 【解析】⑴A 根据正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=，sin :sin :sin ::3:2:4A B C a b c ==∴，2223241cos 2324C +-==-⨯⨯∴⑵B222sin sin sin A B C +<∵，∴根据正弦定理得222a b c +<，222cos 02a b c C ab+-=<∴，∴角C 为钝角【追问】B ⑶A由sin 23sin C B =，根据正弦定理，得23c b =.所以22236a b bc b -==，即227a b =. 由余弦定理得2223cos 2b c a A bc +-==.所以30A =︒.【例6】 正余弦定理在平面几何中的应用⑴ 在平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，6AC =，求BD⑵ 在ABC △中，已知4AB =，7AC =，BC 边上的中线7AD =，那么BC = ．⑶ （目标班专用）在ABC △中，已知46AB =6cos ABC ∠=，AC 边上的中线5BD ，求sin A 的值【解析】 ⑴如图，在ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即222635235cos B =+-⋅⋅ ①在ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅， 即22235235cos BD A =+-⋅⋅ ②①+②得：()22226235BD +=+，即42BD =DCBA【点评】由本题可以得出平行四边形定理：平行四边形的对角线平方之和等于四条边长平方之和⑵解法一：如图：设BD x=，则2BC x=，DC x=，∵πADB ADC∠=-∠,cos cosADB ADC∠=-∠∴，由余弦定理，得222222774722772222x xx x⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅⋅⋅⋅，解得92x=，9BC=∴解法二：由平行四边形定理得：()2222247781BC=+-=，9BC=∴⑶如图：设E为BC的中点，连接DE，则DE AB∥，且1262DE AB==，设BE x=，在BDE△中利用余弦定理可得：2222cosBD BE ED BE ED BED=+-⋅∠，()()6cos cosπcosπcosBED DEC ABC ABC∠=-∠=-∠=-∠=-∵28266523x x=++⨯⨯∴，解得1x=或73x=-（舍），故2BC=，从而222282cos3AC AB BC AB BC ABC=+-⋅∠=，即221AC=,又30sin ABC∠=∵，故22123sin30A=，70sin A=∴【教师备案】因为三角形的面积和正余弦定理关系不是特别紧密，而且到本讲结束，三角形的面积公式已经全部讲完，所以把三角形的面积单独做一个板块，老师可以把所有的三角形面积公式给学生讲一下.1.4三角形的面积知识点睛DA72x745463DCA面积公式：()11111sin sin sin 222224a abcS ah a b c r ab C bc A ac B R ==++====．其中r 为ABC △内切圆半径，R 为外接圆半径.【教师备案】在求三角形的面积时，学生印象最深的就是12a ah ，那这个时候老师就可以根据12a ah 推导其它公式，并且老师可以在这里把三角形的面积公式全部给学生整理一下，但是本讲重点是介绍1sin 2S ab C =类型的三角形面积公式，如果学生的程度很好，老师可以介绍一下“海伦公式”和圆内接四边形面积公式.【选讲】海伦公式：()()()S p p a p b p c =---2a b cp ++=. 【推导】 ()2222222111sin 1cos 12224a b c S ab C C ab a b+-==--()()()2222222222221142244a b a b c ab a b c ab a b c -+-++---+()()()()()()22221144a b c c a b a b c a b c a c b b c a ⎡⎤⎡⎤+---+++-+-+-⎣⎦⎣⎦令()12p a b c =++，则()()()S p p a p b p c =---圆内接四边形面积：()()()()S p a p b p c p d ----2a b c dp +++=. 【推导】由()22222cos 2cos πa b ab c d cd θθ+-=+--，可得2222cos 22a b c d ab cd θ+--=+()()222222222sin 1cos ab cd a b c d θθ+-+---()()()()b c d a a c d b a b d c a b c d ++-++-++-++- (){}()11sin sin πsin 22S ab cd ab cd θθθ=+-=+ ()()()()()()()()142222b c d a a c d b a b d c a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d p a p b p c p d ++-++-++-++-++++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----【教师备案】老师在讲完三角形的面积后就可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接利用公式求三角形面积的，例7不能够直接利用公式求三角形面积，需要先看在面积公式中缺少哪些变量，然后再根据题中的已知条件利用正余弦定理求出所需要的变量，最后再利用面积公式就CB A b aDC BAπ-θθd cba可以了.第三题放了一道关于圆内接四边形面积的题目，供老师选择使用；例8是已知三角形面积解三角形，在解题过程中会用到正余弦定理，对于求面积的最大值的问题建议放到同步，因为在求最大值的问题时大多数要用到均值定理，学生这时候还没学，所以建议以后再讲.【铺垫】在ABC△中，若5AB=，7BC=,33sin14B=，求ABC△的面积.【解析】∵5AB=，7BC=,33sin14B=，1133153sin5722144ABCS AB BC B=⋅⋅=⨯⨯⨯=△∴【例7】求面积⑴已知ABC△，三个内角,,A B C的对边分别记为a b c，，，43460b c B===︒，，，求ABCS△．⑵已知ABC△，三个内角,,A B C的对边分别记为a b c，，，若234a b c===，，，求ABCS△．⑶（目标班专用）已知：四边形ABCD内接于圆O，四边长依次为2,7,6,9，求圆直径. 【解析】⑴分析:三角形的已知条件为常见的SSA型．根据条件有两种思路求三角形的面积:11sin sin22ABCS bc A ac B∆=⋅=⋅．所以欲求三角形面积需要先求A或先求a．方法一:由正弦定理知sin sinb cB C=，sin1sin243c BCb︒===，因为C是三角形的一个内角，故30C︒=或150︒，又60B︒=，故30C︒=．180603090A︒︒︒︒=--=，从而1832ABCS bc∆==．方法二:由余弦定理得222cos2a c bBac+-=，即24320a a--=．()()480a a+-=．因为0a>，所以8a=．1sin832ABCS ac B∆=⋅=．⑵要求面积，先求一个角，已知三边，可以用余弦定理求一角：222416911cos21616a c bBac+-+-===，∴2315sin1cosB B=-=，经典精讲∴113153sin 241522164ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=．⑶ 85.【铺垫】已知ABC △的三边长分别为a b c ，，，且面积()22214ABC S b c a =+-△，则A 等于（ ） A ．45 B ．30 C ．120 D ．15【解析】 A()2221112cos cos 442ABC S b c a bc A bc A =+-=⨯=△，又1sin 2ABC S bc A =△∵，sin cos A A =∴，45A =∴【例8】 已知三角形面积解三角形ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，22sin 3cos C C =，7c =，又ABC △的面积为332， 求⑴角C 的大小；⑵a b +的值【解析】⑴由已知得()221cos 3cos C C -=，1cos 2C =∴或cos 2C =-（舍）， ∴在ABC △中，60C =⑵133sin 22ABC S ab C ==△∵，133sin 6022ab =∴，6ab =∴，又2222cos c a b ab C =+-∵，()22272cos a b ab C =+-∴，227a b ab +-=∴，2213a b +=∴， 222255a b a b ab +=++==∴【演练1】 （2010北京卷文理10）在ABC △中，若2π133b c C ==∠=，，，则________a = 【解析】1 方法一: 由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得， 220a a +-=．∵0a >，∴1a =．方法二: 由正弦定理sin sin b c B C =得，1sin 2B =，π6B =或5π6，又因为b c <，即B C <， 所以π6B =，∴2ππππ366A =--=．∴1a b ==．实战演练【演练2】 在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若()222tan 3a c b B ac +-，则角B 的值为（ ）．A ． π6B ． π3C ．π6或5π6D ． π3或2π3【解析】D 由余弦定理2222cos a c b ac B +-=及()222tan 3a c b B ac +-得， 3sin B =． 所以π3B =或2π3．【演练3】 在ABC △中，已知222sin sin sin 3sin sin B C A A C --，则角B 的大小为（ ）A ．150︒B ．30︒C ．120︒D ．60︒ 【解析】A 由222sin sin sin 3sin sinBC A A C --=及正弦定理可得2223b c a ac --=即得2223cos 2a c b B ac +-==，∴150B =︒．【演练4】 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，1tan 2A =，310cos B = 若ABC △最长的边为1，则最短边的长为（ ）．A 25B 35C 45D 5 【解析】D 由310cos B =B 为锐角，∴1tan 3B =，故()()tan tan πtan C A B A B =--=-+tan tan 11tan tan A BA B+=-=--⋅①， 由①知135C ∠=︒，故c 边最长，即1c =，又tan tan A B >，故b 边最短，∵10sin B =，2sin C =sin sin b c B C =， ∴sin 5sin c B b C =5．【演练5】（2011西城一模文15） 设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． ⑴ 当30A =︒时，求a 的值；⑵ 当ABC △的面积为3时，求a c +的值．【解析】 ⑴ 因为4cos 5B =，所以3sin 5B =，由正弦定理sin sin a b A B =，可得10sin303a =︒，所以53a =．⑵ 因为ABC △的面积1sin 2S ac B =，3sin 5B =，所以3310ac =，10ac =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222284165a c ac a c =+-=+-，即2220a c +=．所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=，所以，210a c +=．1.正弦定理公式 ；余弦定理公式22a b +- = .2.三角形面积公式S = .盲人数学家——欧拉1783年9月18日，法国人蒙高尔费兄弟举行了第二次热气球升空试验。

高一年段数学培优教材第五讲 平面向量知识要点：1．零向量、单位向量、相反向量、共线向量（即平行向量）、相等向量等概念。

2．若()()2211,,,y x b y x a ==→→，则λ=(11,y x λλ);θcos ||||→→→→⋅=⋅b a b a =2121y y x x +;→→→→=⇔≠b a b a λ)0(//01221=-⇔y x y x (λ>0→→b a 与同向;λ<0反向)非零向量0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 02121=+⇔y y x x22)()(||A B A B y y x x AB -+-==,2211y x a +==cos ><,222221212121y x y x y y x x +⋅++,在3．||||(OB OA +=λ则P 在∠AOB 平分线上;4．→1e 和→2e 是平面一组基底（不共线）,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一) 5.定比分点的向量表示：→→=BC AB λ，则有→→→+++=OC OA OB λλλ111，（A 、B 、C 三点共线）6.O 为△ABC 的重心，则0=++→→→OC OB OA7.已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ,其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影.典型例题：例1：（1）．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（2）．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．00a b = B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=例2：（1）．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ ）A ．030 B ．060 C ．075 D ．045B C（2）．设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有 （ ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b（3）.设OA =（2，5），=（3，1），OC =（6，3），在OC 上是否存在点M ，使 MB MA ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.例3：（1）．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心 （2）．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB AC|AB ||AC |+)，),[∞+∈λ0，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心例4：（1）．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ． （2）.已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0例5：已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈(23,2ππ)。