【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题19 数列的求和(学生版+解析版)

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

高中数学数列求和练习题及参考答案2023数列求和是高中数学中的重要知识点，也是学生们经常需要练习和巩固的内容。

掌握数列求和的方法和技巧，对于解决各种数学问题具有重要的作用。

本文将为大家提供一些高中数学数列求和的练习题，并给出参考答案。

一、简单求和练习1. 求等差数列1，4，7，10，...的前20项和。

解析：这是一个等差数列，我们知道等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，我们可以求得前20项和为：S20 = (20/2)(1 + 1 + 19 * 3) = 20 * 10 = 200所以，等差数列1，4，7，10，...的前20项和为200。

2. 求等比数列3，6，12，24，...的前10项和。

解析：这是一个等比数列，我们知道等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以求得前10项和为：S10 = 3 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 3 * (1 - 1024) / (-1) = 3 * (1023) = 3069所以，等比数列3，6，12，24，...的前10项和为3069。

二、综合应用题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，且和为139，求该等差数列的项数。

解析：设等差数列的项数为n，根据等差数列的求和公式Sn =(n/2)(a1 + an)，将已知条件代入，得到：139 = (n/2)(3 + a1 + (n - 1)2)化简得：139 = (n/2)(2n + 4)278 = n(2n + 4)2n^2 + 4n - 278 = 0解这个一元二次方程，得到n ≈ 11所以，该等差数列的项数为11。

2. 已知等差数列的首项为5，公差为3，前n项和为Sn = 105 - 2n，求该等差数列的项数n。

第四章数列习题课——数列求和课后篇巩固提升基础达标练1.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n=1n(n+2),则S5等于()A.67B.5021C.2521D.2542a n=1n(n+2)=12(1n-1n+2),所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=12(1-13+12−14+13−15+14−16+15−17)=2542.2.已知数列{a n}的通项公式a n=n+√n+1,若该数列的前k项之和等于9,则k等于()A.99B.98C.97D.96a n=√n+√n+1=√n+1−√n,所以其前n项和S n=(√2-1)+(√3−√2)+…+(√n+1−√n)=√n+1-1.令√n+1-1=9,解得k=99.3.(多选)(2020山东高三)将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图:该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有()a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……a n1a n2a n3……a nnA.m=3B.a67=17×37C.a ij=(3i-1)×3j-1D.S=14n(3n+1)(3n-1)a 11=2,a 13=a 61+1,∴2m 2=2+5m+1,解得m=3或m=-12(舍去),∴a ij =n n 1·3j-1=[2+(i-1)×3]·3j-1=(3i-1)·3j-1, ∴a 67=17×36,∴S=(a 11+a 12+a 13+…+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+…+a 2n )+…+(a n 1+a n 2+a n 3+…+a nn ) =n 11(1-3n )1-3+n 21(1-3n )1-3+…+n n 1(1-3)n1-3=12(3n -1)·(2+3n -1)n2=14n (3n+1)(3n -1).故选ACD .4.已知{a n }为等比数列,{b n }为等差数列,且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则数列{c n }的前10项和为( ) A.978 B.557 C.467D.979a 1=1,设数列{a n }的公比为q ,数列{b n }的公差为d ,则{n +n =1,n 2+2n =2,∴q 2-2q=0. ∵q ≠0,∴q=2,d=-1. ∴a n =2n-1,b n =(n-1)(-1)=1-n , ∴c n =2n-1+1-n.设数列{c n }的前n 项和为S n ,则S 10=20+0+21-1+…+29-9=(20+21+…+29)-(1+2+…+9)=1-2101-2−9(9+1)2=1023-45=978.5.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=1+cos 2n π2a n +sin 2n π2,则该数列的前18项和为( )A.2 101B.2 012C.1 012D.1 067a 3=a 1+1,a 5=a 3+1=a 1+2,所以奇数项组成以公差为1,首项为1的等差数列,共有9项,因此S 奇=9(1+9)2=45.偶数项a 4=2a 2,a 6=2a 4=22a 2,因此偶数项组成以2为首项,2为公比的等比数列,共有9项,所以S 偶=2(1-29)1-2=-2+210=1022.故数列{a n }的前18项和为1022+45=1067.6.已知数列{a n }的通项公式a n =2n-12n ,则其前n 项和为 .{a n }的前n 项和S n =(2×1-12)+(2×2-122)+…+(2n -12n )=2(1+2+…+n )-(12+122+…+12n)=2·n (n +1)2−12[1-(12)n]1-12=n 2+n+(12)n-1.2+n+(12)n-17.求和12-22+32-42+…+992-1002= .2-22+32-42+…+992-1002=(12-22)+(32-42)+…+(992-1002)=(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+…+(99-100)×(99+100) =-(1+2+3+4+…+99+100) =-5050.5 050 8.数列112+3,122+6,132+9,142+12,…的前n 项和等于 .解析∵a n =1n 2+3n=131n −1n +3,∴S n =13(1-14)+(12-15)+(13-16)+…+(1n -1-1n +2)+(1n -1n +3) =13(1+12+13-1n +1-1n +2-1n +3) =1118−3n 2+12n +113(n +1)(n +2)(n +3).3n 2+12n +113(n +1)(n +2)(n +3)9.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{1n2n -1n 2n +1}的前n 项和T n .设{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n -1)2d.由已知可得{3n 1+3n =0,5n 1+10n =-5,解得{n 1=1,n =-1.故{a n }的通项公式为a n =2-n. (2)由(1)知1n2n -1n 2n +1=1(3-2n )(1-2n )=1(2n -3)(2n -1)=12(12n -3-12n -1),从而数列{1n 2n -1n 2n +1}的前n 项和为T n =12(1-1-11+11-13+…+12n -3-12n -1) =n1-2n .10.已知等差数列{a n }的公差为2,且a 1,a 1+a 2,2(a 1+a 4)成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{n n 2n -1}的前n 项和为S n ,求证:S n <6.{a n }为等差数列,∴a 2=a 1+d=a 1+2,a 4=a 1+3d=a 1+6. ∵a 1,a 1+a 2,2(a 1+a 4)成等比数列, ∴(a 1+a 2)2=2a 1(a 1+a 4),即(2a 1+2)2=2a 1(2a 1+6),解得a 1=1,∴a n =1+2×(n-1)=2n-1.(1),知n n2n =2n -12n .∴S n =12+32+52+…+2n -12n ,①12S n =12+32+52+…+2n -12n,②①-②,得12S n =1+2(121+122+123+…+12n -1)−2n -12n=1+2×12(1-12n -1)1-12−2n -12n=1+2-12n -2−2n -12n=3-(42n +2n -12n)=3-2n +32n,∴S n =6-2n +32n -1.∵n ∈N *,2n +32n -1>0,∴S n =6-2n +32n -1<6.能力提升练1.已知数列{a n }的通项公式a n =(-1)n-1n 2,则其前n 项和为( )A.(-1)n-1n (n +1)2B.(-1)n n (n +1)2C.n (n +1)2D.-n (n +1)2S n =12-22+32-42+…+(-1)n-1n 2.当n 为偶数时,S n =12-22+32-42+…-n 2=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n 2]=-[1+2+3+4+…+(n-1)+n ]=-n (n +1)2.当n 为奇数时,S n =12-22+32-42+…-(n -1)2+n 2=S n-1+n 2=-n (n -1)2+n 2=n (n +1)2.∴S n =(-1)n-1n (n +1)2.故选A .2.已知数列{a n }为12,13+23,14+24+34,15+25+35+45,…,则数列{b n }={1n n n n +1}的前n 项和S n 为 ( )A.4(1-1n +1) B.4(12-1n +1) C.1-1n +1 D.12−1n +1a n =1+2+3+…+nn +1=n (n +1)2n +1=n2,∴b n =1nn n n +1=4n (n +1)=4(1n -1n +1).∴S n =41-12+12−13+13−14+…+1n −1n +1=4(1-1n +1).3.(多选)(2019辽宁实验中学高二期中)已知数列{a n }为等差数列,a 1=1,且a 2,a 4,a 8是一个等比数列中的相邻三项,记b n =a n n n n (q ≠0,且q ≠1),则{b n }的前n 项和可以是( ) A.n B.nq C.n +nn n +1-nn n -n n(1-n )2D.n +nn n +2-nn n +1-n n +1(1-n )2{a n }的公差为d ,又a 1=1,且a 2,a 4,a 8是一个等比数列中的相邻三项,∴n 42=a 2·a 8,即(a 1+3d )2=(a 1+d )(a 1+7d ),化简得d (d-1)=0,所以d=0或d=1,故a n =1或a n =n ,所以b n =q 或b n =n ·q n. 设{b n }的前n 项和为S n , (1)当b n =q 时,S n =nq ; (2)当b n =n ·q n时,S n =1×q+2×q 2+3×q 3+…+n ×q n , ① qS n =1×q 2+2×q 3+3×q 4+…+n ×q n+1, ②①-②,得(1-q )S n =q+q 2+q 3+…+q n -n ×q n+1=n (1-n n )1-n-n ×q n+1,所以S n =n (1-n n )(1-n )2−n ×n n +11-n=n +nn n +2-nn n +1-n n +1(1-n )2.故选BD .4.数列11,103,1 005,10 007,…的前n 项和S n = .a n =10n+(2n-1),所以S n =(10+1)+(102+3)+...+(10n +2n-1)=(10+102+ (10))+[1+3+…+(2n-1)]=10(1-10n )1-10+n (1+2n -1)2=109(10n -1)+n 2.n-1)+n 25.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n 项和等于 .a n =1+2+22+…+2n-1,因为a n =1+2+22+…2n-1=1-2n1-2=2n -1,所以该数列的前n 项和S n =(21-1)+(22-1)+…+(2n -1)=(2+22+ (2))-n=2(1-2n )1-2-n=2n+1-n-2.n+1-n-26.已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2-2n ,而b n =3n n n n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,则使得T n <n20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 等于 .S n =3n 2-2n ,得a n =6n-5.∵b n =3nn n n +1=3(6n -5)(6n +1)=12(16n -5-16n +1),∴T n =12[(1-17)+(17-113)+…+16n -5−16n +1x =12(1-16n +1).∵12(1-16n +1)<12,∴要使12(1-16n +1)<n20对n ∈N *成立,需有n20≥12,即m ≥10,故符合条件的最小正整数为10.7.已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =12(n n 2+n ). (1)求a 1及数列{a n }的通项公式;(2)设c n ={1n n +12-1,n 为奇数,3×2n n -1+1,n 为偶数,求数列{c n }的前20项和T 20.当n=1时,a 1=S 1=12(n 12+1),解得a 1=1.当n ≥2时,S n-1=12(n n -12+n-1),a n =S n -S n-1=12(n n 2−n n -12+1),解得a n -a n-1=1或a n +a n-1=1(n ≥2). 因为{a n }为递增数列,所以a n -a n-1=1,{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,所以a n =n. (2)由题意,知c n ={1(n +1)2-1,n 为奇数,3×2n -1+1,n 为偶数,所以T 20=(122-1+142-1+…+1202-1)+3×(21+23+…+219)+10=11×3+13×5+…+119×21+3×2×(1-410)1-4+10=12×(11-13+13-15+…+119-121)+2×(410-1)+10=1021+221+8=221+17821.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S 1=1,S 2=2,当n ≥2时,S n+1-S n-1=2n. (1)求证:a n+2-a n =2n(n ∈N *); (2)求数列{a n }的通项公式; (3)设T n =a 1+12a 2+12a 3+…+12n a n,求T n .n ≥2时,因为a n+1+a n =2n,a n+2+a n+1=2n+1,所以a n+2-a n =2n.又因为a 1=1,a 2=1,a 3=3,所以a 3-a 1=2,所以a n+2-a n =2n (n ∈N *).n 为奇数时,a n -a 1=(a n -a n-2)+(a n-2-a n-4)+…+(a 5-a 3)+(a 3-a 1)=2n-2+2n-4+…+23+2=2(1-4n -12)1-4=23(2n-1-1),所以a n =2n3+13.同理,当n 为偶数时,a n =2n3−13.故数列{a n }的通项公式是a n ={2n3+13,n 是奇数,2n 3-13,n 是偶数.T n =a 1+12a 2+122a 3+…+12n -1a n,①12T n =12a 1+122a 2+…+12n -1a n-1+12n a n,②①+②得32T n =n+12n a n .所以当n 为奇数时,T n =23n+2n +19×2n -1;当n 为偶数时,T n =23n+2n -19×2n -1.故T n ={23n +2n +19×2n -1,n 为奇数,23n +2n -19×2n -1,n 为偶数.素养培优练近几年,我国在电动汽车领域有了长足的发展,电动汽车的核心技术是动力总成,而动力总成的核心技术是电机和控制器,我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大,最大是多少万元? (2)引进该生产线几年后平均盈利最多,最多是多少万元?设引进设备n 年后总盈利为f (n )万元,设除去设备引进费用,第n 年的成本为a n ,构成一等差数列,前n 年成本之和为24n+n (n -1)2×8万元,故f (n )=100n-[24n+4n (n-1)+196]=-4n 2+80n-196=-4(n-10)2+204,n ∈N *,所以当n=10时,f (n )max =204万元.答:引进生产线10年后总盈利最大为204万元. (2)设n 年后平均盈利为g (n )万元, 则g (n )=n (n )n =-4n-196n+80,n ∈N *. 因为g (n )=-4(n +49n )+80,当n ∈N *,n+49n ≥2√n ·49n =14,当且仅当n=49n⇒n=7∈N *时取得等号,故n=7时,g (n )max =g (7)=24万元.答:引进生产线7年后平均盈利最多为24万元.。

第四章数列习题课——数列求和课后篇巩固提升基础达标练1.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n=1n(n+2),则S5等于()A.67B.5021C.2521D.2542a n=1n(n+2)=12(1n-1n+2),所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=12(1-13+12−14+13−15+14−16+15−17)=2542.2.已知数列{a n}的通项公式a n=√n+√n+1,若该数列的前k项之和等于9,则k等于()A.99B.98C.97D.96a n=√n+√n+1=√n+1−√n,所以其前n项和S n=(√2-1)+(√3−√2)+…+(√n+1−√n)=√n+1-1.令√n+1-1=9,解得k=99.3.(多选)(2020山东高三)将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图:该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有()a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……a n1a n2a n3……a nnA.m=3B.a67=17×37C.a ij=(3i-1)×3j-1D.S=14n(3n+1)(3n-1)a 11=2,a 13=a 61+1,∴2m 2=2+5m+1,解得m=3或m=-12(舍去),∴a ij =n n 1·3j-1=[2+(i-1)×3]·3j-1=(3i-1)·3j-1, ∴a 67=17×36,∴S=(a 11+a 12+a 13+…+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+…+a 2n )+…+(a n 1+a n 2+a n 3+…+a nn ) =n 11(1-3n )1-3+n 21(1-3n )1-3+…+n n 1(1-3)n1-3=12(3n -1)·(2+3n -1)n2=14n (3n+1)(3n -1).故选ACD .4.已知{a n }为等比数列,{b n }为等差数列,且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则数列{c n }的前10项和为( ) A.978 B.557 C.467D.979a 1=1,设数列{a n }的公比为q ,数列{b n }的公差为d ,则{n +n =1,n 2+2n =2,∴q 2-2q=0. ∵q ≠0,∴q=2,d=-1. ∴a n =2n-1,b n =(n-1)(-1)=1-n , ∴c n =2n-1+1-n.设数列{c n }的前n 项和为S n ,则S 10=20+0+21-1+…+29-9=(20+21+…+29)-(1+2+…+9)=1-2101-2−9(9+1)2=1023-45=978.5.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=1+cos 2n π2a n +sin 2n π2,则该数列的前18项和为( )A.2 101B.2 012C.1 012D.1 067a3=a1+1,a5=a3+1=a1+2,所以奇数项组成以公差为1,首项为1的等差数列,共有9项,因此S奇=9(1+9)2=45.偶数项a4=2a2,a6=2a4=22a2,因此偶数项组成以2为首项,2为公比的等比数列,共有9项,所以S偶=2(1-29)1-2=-2+210=1022.故数列{a n}的前18项和为1022+45=1067.6.已知数列{a n}的通项公式a n=2n-12n,则其前n项和为.{a n}的前n项和S n=(2×1-12)+(2×2-122)+…+(2n-12n)=2(1+2+…+n)-(12+122+…+1 2n )=2·n(n+1)2−12[1-(12)n]1-2=n2+n+(12)n-1.2+n+(12)n-17.求和12-22+32-42+…+992-1002=.2-22+32-42+…+992-1002=(12-22)+(32-42)+…+(992-1002)=(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+…+(99-100)×(99+100) =-(1+2+3+4+…+99+100)=-5050.5 0508.数列112+3,122+6,132+9,142+12,…的前n项和等于.解析∵a n=1n2+3n =131n−1n+3,∴S n=13(1-14)+(12-15)+(13-16)+…+(1n-1-1n+2)+(1n-1n+3)=1 3(1+12+13-1n+1-1n+2-1n+3)=11 18−3n2+12n+113(n+1)(n+2)(n+3).3n2+12n+113(n+1)(n+2)(n+3)9.已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{1n2n-1n2n+1}的前n项和T n.设{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n -1)2d.由已知可得{3n 1+3n =0,5n 1+10n =-5,解得{n 1=1,n =-1.故{a n }的通项公式为a n =2-n. (2)由(1)知1n 2n -1n 2n +1=1(3-2n )(1-2n )=1(2n -3)(2n -1)=12(12n -3-12n -1),从而数列{1n2n -1n 2n +1}的前n 项和为T n =12(1-1-11+11-13+…+12n -3-12n -1) =n1-2n .10.已知等差数列{a n }的公差为2,且a 1,a 1+a 2,2(a 1+a 4)成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{n n 2n -1}的前n 项和为S n ,求证:S n <6.{a n }为等差数列,∴a 2=a 1+d=a 1+2,a 4=a 1+3d=a 1+6. ∵a 1,a 1+a 2,2(a 1+a 4)成等比数列, ∴(a 1+a 2)2=2a 1(a 1+a 4),即(2a 1+2)2=2a 1(2a 1+6),解得a 1=1,∴a n =1+2×(n-1)=2n-1.(1),知n n2n -1=2n -12n -1.∴S n =120+321+522+…+2n -12n -1,①12S n =121+322+523+…+2n -12n,②①-②,得12S n =1+2(121+122+123+…+12n -1)−2n -12n=1+2×12(1-12n -1)1-12−2n -12n=1+2-12n -2−2n -12n=3-(42n +2n -12n)=3-2n +32n,∴S n =6-2n +32n -1.∵n ∈N *,2n +32n -1>0,∴S n =6-2n +32n -1<6.能力提升练1.已知数列{a n }的通项公式a n =(-1)n-1n 2,则其前n 项和为( )A.(-1)n-1n (n +1)2B.(-1)n n (n +1)2C.n (n +1)2D.-n (n +1)2S n =12-22+32-42+…+(-1)n-1n 2.当n 为偶数时,S n =12-22+32-42+…-n 2=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n 2]=-[1+2+3+4+…+(n-1)+n ]=-n (n +1)2.当n 为奇数时,S n =12-22+32-42+…-(n -1)2+n 2=S n-1+n 2=-n (n -1)2+n 2=n (n +1)2.∴S n =(-1)n-1n (n +1)2.故选A .2.已知数列{a n }为12,13+23,14+24+34,15+25+35+45,…,则数列{b n }={1n n n n +1}的前n 项和S n 为 ( )A.4(1-1n +1) B.4(12-1n +1) C.1-1n +1 D.12−1n +1a n =1+2+3+…+nn +1=n (n +1)2n +1=n2,∴b n =1nn n n +1=4n (n +1)=4(1n -1n +1).∴S n =41-12+12−13+13−14+…+1n −1n +1=4(1-1n +1).3.(多选)(2019辽宁实验中学高二期中)已知数列{a n }为等差数列,a 1=1,且a 2,a 4,a 8是一个等比数列中的相邻三项,记b n =a n n n n (q ≠0,且q ≠1),则{b n }的前n 项和可以是( ) A.n B.nqC.n +nn n +1-nn n -n n(1-n )2D.n +nn n +2-nn n +1-n n +1(1-n )2{a n }的公差为d ,又a 1=1,且a 2,a 4,a 8是一个等比数列中的相邻三项,∴n 42=a 2·a 8,即(a 1+3d )2=(a 1+d )(a 1+7d ),化简得d (d-1)=0,所以d=0或d=1, 故a n =1或a n =n ,所以b n =q 或b n =n ·q n. 设{b n }的前n 项和为S n , (1)当b n =q 时,S n =nq ; (2)当b n =n ·q n时,S n =1×q+2×q 2+3×q 3+…+n ×q n , ① qS n =1×q 2+2×q 3+3×q 4+…+n ×q n+1, ②①-②,得(1-q )S n =q+q 2+q 3+…+q n-n ×qn+1=n (1-n n )1-n -n ×q n+1,所以S n =n (1-n n )(1-n )2−n ×n n +11-n=n +nn n +2-nn n +1-n n +1(1-n )2.故选BD .4.数列11,103,1 005,10 007,…的前n 项和S n = .a n =10n+(2n-1),所以S n =(10+1)+(102+3)+...+(10n +2n-1)=(10+102+ (10))+[1+3+…+(2n-1)]=10(1-10n )1-10+n (1+2n -1)2=109(10n -1)+n 2.n-1)+n 25.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n 项和等于 .a n =1+2+22+…+2n-1,因为a n =1+2+22+…2n-1=1-2n1-2=2n -1,所以该数列的前n 项和S n =(21-1)+(22-1)+…+(2n -1)=(2+22+ (2))-n=2(1-2n )1-2-n=2n+1-n-2.n+1-n-26.已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2-2n ,而b n =3n n n n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,则使得T n <n20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 等于 .S n =3n 2-2n ,得a n =6n-5.∵b n =3n n n n +1=3(6n -5)(6n +1)=12(16n -5-16n +1), ∴T n =12[(1-17)+(17-113)+…+16n -5−16n +1x =12(1-16n +1).∵12(1-16n +1)<12,∴要使12(1-16n +1)<n20对n ∈N *成立,需有n20≥12,即m ≥10,故符合条件的最小正整数为10.7.已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =12(n n 2+n ). (1)求a 1及数列{a n }的通项公式;(2)设c n ={1n n +12-1,n 为奇数,3×2n n -1+1,n 为偶数,求数列{c n }的前20项和T 20.当n=1时,a 1=S 1=12(n 12+1),解得a 1=1.当n ≥2时,S n-1=12(n n -12+n-1),a n =S n -S n-1=12(n n 2−n n -12+1),解得a n -a n-1=1或a n +a n-1=1(n ≥2). 因为{a n }为递增数列,所以a n -a n-1=1,{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,所以a n =n. (2)由题意,知c n ={1(n +1)2-1,n 为奇数,3×2n -1+1,n 为偶数,所以T 20=(122-1+142-1+…+1202-1)+3×(21+23+…+219)+10=11×3+13×5+…+119×21+3×2×(1-410)1-4+10=12×(11-13+13-15+…+119-121)+2×(410-1)+10=1021+221+8=221+17821.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S 1=1,S 2=2,当n ≥2时,S n+1-S n-1=2n. (1)求证:a n+2-a n =2n(n ∈N *); (2)求数列{a n }的通项公式; (3)设T n =a 1+12a 2+122a 3+…+12n -1a n,求T n .n ≥2时,因为a n+1+a n =2n,a n+2+a n+1=2n+1,所以a n+2-a n =2n.又因为a 1=1,a 2=1,a 3=3,所以a 3-a 1=2,所以a n+2-a n =2n (n ∈N *).n 为奇数时,a n -a 1=(a n -a n-2)+(a n-2-a n-4)+…+(a 5-a 3)+(a 3-a 1)=2n-2+2n-4+…+23+2=2(1-4n -12)1-4=23(2n-1-1),所以a n =2n3+13.同理,当n 为偶数时,a n =2n3−13.故数列{a n }的通项公式是a n ={2n3+13,n 是奇数,2n3-13,n 是偶数.T n =a 1+12a 2+122a 3+…+12n -1a n,①12T n =12a 1+122a 2+…+12n -1a n-1+12n a n ,②①+②得32T n =n+12n a n .所以当n 为奇数时,T n =23n+2n +19×2n -1;当n 为偶数时,T n =23n+2n -19×2n -1.故T n ={23n +2n +19×2n -1,n 为奇数,23n +2n -19×2n -1,n 为偶数.素养培优练近几年,我国在电动汽车领域有了长足的发展,电动汽车的核心技术是动力总成,而动力总成的核心技术是电机和控制器,我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大,最大是多少万元? (2)引进该生产线几年后平均盈利最多,最多是多少万元?设引进设备n 年后总盈利为f (n )万元,设除去设备引进费用,第n 年的成本为a n ,构成一等差数列,前n 年成本之和为24n+n (n -1)2×8万元,故f (n )=100n-[24n+4n (n-1)+196]=-4n 2+80n-196=-4(n-10)2+204,n ∈N *,所以当n=10时,f (n )max =204万元.答:引进生产线10年后总盈利最大为204万元. (2)设n 年后平均盈利为g (n )万元, 则g (n )=n (n )n =-4n-196n+80,n ∈N *. 因为g (n )=-4(n +49n )+80,当n ∈N *,n+49n ≥2√n ·49n =14,当且仅当n=49n ⇒n=7∈N *时取得等号,故n=7时,g (n )max =g (7)=24万元.答:引进生产线7年后平均盈利最多为24万元.。

专题19 数列的求和一、单选题1．（2019·商丘市第一高级中学高二期中（理））数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则9S =（ ）A ．1B ．110C ．910D ．130【答案】C 【解析】()11111n a n n n n ==-++,91111119 (122391010)S -+-++-==. 故选：C2．（2018·甘肃省武威十八中高二课时练习）化简()()2111222222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+⨯+的结果是（ ）A ．1222n n ++--B ．122n n +-+C ．22n n --D ．122n n +--【答案】D 【解析】∵S n =n+（n ﹣1）×2+（n ﹣2）×22+…+2×2n ﹣2+2n ﹣1 ① 2S n =n×2+（n ﹣1）×22+（n ﹣2）×23+…+2×2n ﹣1+2n ② ∴①﹣②式得；﹣S n =n ﹣（2+22+23+…+2n ）=n+2﹣2n+1∴S n =n+（n ﹣1）×2+（n ﹣2）×22+…+2×2n ﹣2+2n ﹣1n+2﹣2n+1=2n+1﹣n ﹣2 故答案为：D3．（2020·江西省江西师大附中高三月考（理））数列111111,3,5,7,,(21),248162n n -+的前n 项和n S 的值等于（ ） A ．2112nn +- B ．21212n n n -+-C ．21112n n -+- D ．2112nn n -+-【答案】A 【解析】11(1321)(21)24n n n S =+++-++++11(1)(121)221212n n n -+-⋅=+- 2112n n =+-,故选：A4．（2019·福建省莆田一中高三期中（文））等差数列{}n a 中，49a =，715a =，则数列{}(1)nn a -的前20项和等于（ ） A ．-10 B ．-20C ．10D ．20【答案】D 【解析】7431596a a d -==-=，解得2,d = 13a =，所以20123419201...1020ni aa a a a a a d ==-+-+--+==∑，故选D ．5．（2020·珠海市第二中学高一开学考试）已知数列{}n a 且满足：142n na a +=-，且14a =，则n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020=S （ ） A ．2019 B ．2021C ．2022D ．2023【答案】D 【解析】 由142n na a +=-，14a =， 所以21422a a ==--，32412a a ==-，43442a a ==-， 所以数列{}n a 是以3为周期的数列，31233S a a a =++=， 所以202031=673S 673342023S a +=⨯+=. 故选：D6．（2018·厦门市华侨中学高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A ．3(1)2n n -++⨯ B ．3(1)2n n ++⨯ C ．1(1)2n n ++⨯ D ．1(1)2n n +-⨯【答案】D 【解析】当1q = 时，不成立，当1q ≠ 时，()()3161171{1631a q q a q q-=--=- ，两式相除得3631171163q q q -==-+ ，解得：2q ，11a = 即1112n n n a a q --== ，12n n n a n -⋅=⋅ ， 2112232......2n n s n -=+⋅+⋅++⋅ ，2n s = ()211222......122n n n n -⋅+⋅++-⋅+⋅ ，两式相减得到：21122......22n n n s n --=++++-⋅()12212112n n n n n -=-⋅=-⋅-- ，所以()112n n s n =+-⋅ ，故选D. 7．（2019·福建省厦门第六中学高二期中（理））已知数列满足，则数列的最小值是A ．25B ．26C ．27D ．28 【答案】B 【解析】 因为数列中，，所以，，，，上式相加，可得，所以，所以，当且仅当，即时，等式相等，故选B ．8．（2020·江苏省高二期中）设函数()221xf x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．9B ．11C ．92D ．112【答案】B 【解析】()221xf x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221x x x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++， 则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B. 二、多选题9．（2020·海南省高三其他）已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=【答案】BD 【解析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的 等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以 231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD10．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】AB 【解析】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n nb -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+ (2)）﹣n ()21212n n -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB11．（2020·山东省高二期末）已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ）A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 【答案】ABD 【解析】 因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，{}n a 为递减数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.故选：ABD12．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【答案】AB 【解析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确;1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误. 故选:AB. 三、填空题13．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS==∑_____. 【答案】21nn + 【解析】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k kk n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 14．（2020·全国高三月考（文））已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +--15．（2020·安徽省高三一模（理））已知数列{}n a 中，11a =，()*12n n n a a n N +=∈，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2n S =____________. 【答案】323n ⋅- 【解析】因为11a =，122a a =，所以22a =.又11221222n n n n n n n n a a a a a a +++++===， 所以数列{}n a 的奇数项是以1a 为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以2a 为首项，2为公比的等比数列.故()()21122123231212nn n n S⨯-⨯-=+=⋅---.故答案为：323n ⋅-.16．（2020·山东省临沂第一中学高二期中）已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，设{}n a 的前n 项和为n S ，则6a =__________，2017S =__________． 【答案】1- 1010 【解析】由12a =，111n n a a +=-，有211112a a =-= 34231111,12a a a a =-=-=-=，………… 则数列{}n a 是以3为周期的数列.又12332a a a ++=，201736721=⨯+ 所以631a a ==-，20171367210102S a =⨯+=故答案为：(1). 1- (2). 1010四、解答题17．（2019·全国高一课时练习）设函数()993xx f x =+，计算124022402340234023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】2011 【解析】解：由已知1199()(1)9393x x x x f x f x --+-=+++99931939399339x x x x x x=+=+=++⋅++， ()(1)1f x f x ∴+-=，设124022402340234023S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 402240211402340234023S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1402224021402212402340234023402340234023S f f f f f f ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭24022S ∴=， 2011S ∴=， 即1240222011402340234023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．（2020·福建省高三其他（文））已知数列{}n a 为递减的等差数列，1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）8n a n =-；（2）n S 2115222n n n +-=+-．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根，且数列{}n a 为递减的等差数列，所以1672a a =⎧⎨=⎩，所以612716161a a d --===---， 所以1(1)7(1)8n a a n d n n =+-=--=-， 即数列{}n a 的通项公式为8n a n =-．（2）由（1）得8n a n =-，所以82nn b n =--，所以数列{}n b 的前n 项和()2[76(8)]222n n S n =+++--+++(78)2(12212)n n n +-⨯-=-- 2115222n n n +-=+-．19．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,33162a S =⨯=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12111nS S S +++. 【答案】（1）2n a n =.（2）1nn + 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,则有：3223124S a a ==⇒=,32642d a a =-=-=,12422a a d =-=-=,所以数列{}n a 的通项公式为：22(1)2n a n n =+-=. （2）由（1）可知：(22)(1)2n n n S n n +==+, ∴1111(1)1n S n n n n ==-++, ∴1211111111111223111n nS S S n n n n +++=-+-++-=-=+++20．（2020·合肥市第十一中学高一期中）数列{}n b 满足：1122,n n n n n b b b a a ++=+=-，且1224a a ＝，＝. （1）证明数列{2}n b +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）122n n a n +=-【解析】（1）由122n n b b +=+，得122(2)n n b b +++＝1222n n b b ++∴=+，又121224b a a +=-+= ∴数列{2}n b +是首项为4，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，111242222n n n n n b b -+++∴⋅∴＝＝，＝-， 由1122n n n n a a b ++-==-，1122(2)n n n n a a b n --∴-==-，11222(2)n n n a a n ----=->，…，22122a a -=-，()2322222(1)n n a n ∴-=+++--，()()231221222222222221n n n n a n n n +-∴=++++-+=-+=--.21．（2020·合肥市第十一中学高一期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设,2nn n a a b =求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）11222n n n n T -=--． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，∵356,15S S ==∴11133(31)62{155(51)152a d a d +⨯⨯-=+⨯⨯-=即112{23a d a d +=+=，解得111a d =⎧⎨=⎩ ∴{}n a 的通项公式为1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）得22n n n a n a n b == ∴231123122222n n n n n T --=+++++① ①式两边同乘以12，得234111231222222n n n n n T +-=+++++② ①-②得23111111222222n n n n T +=++++- 111111*********n nn n n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=---∴11222n n nn T -=-- 22．（2011·安徽省高三一模（文））设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；【答案】解：（1），；（2）是等差数列.【解析】（1）∵，且f （x ）是奇函数∴∴，故因为，所以．令，得，即．（2）令又两式相加．所以，故，又．故数列{a n}是等差数列．。

第四章数列习题课-—数列求和课后篇巩固提升基础达标练1。

已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n=1n(n+2),则S5等于（）A.67B.5021C。

2521D。

2542解析因为a n=1n(n+2)=12(1n-1n+2),所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=12(1-13+12−14+13−15+14−16+15−17)=2542.答案D2.已知数列{a n｝的通项公式a n=√n+√n+1,若该数列的前k项之和等于9，则k等于()A。

99 B.98C。

97 D.96解析因为a n=√n+√n+1=√n+1−√n，所以其前n项和S n=(√2-1）+（√3−√2）+…+（√n+1−√n）=√n+1-1.令√k+1-1=9,解得k=99。

答案A3。

(多选）(2020山东高三）将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图:该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m〉0）。

已知a11=2，a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（)a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……a n1a n2a n3……a nnA。

m=3B。

a67=17×37C.a ij=(3i—1）×3j-1n(3n+1)(3n—1）D。

S=14a11=2，a13=a61+1，（舍去），解得m=3或m=-12∴a ij=a·3j-1=［2+（i—1）×3]·3j—1=(3i-1)·3j—1，i1∴a67=17×36，∴S=（a11+a12+a13+…+a1n）+(a21+a22+a23+…+a2n）+…+（a n1+a n2+a n3+…+a nn)=a11(1-3n)+a21(1-3n)+…+a n1(1-3)n=12（3n-1）·(2+3n -1)n 2=14n （3n+1）（3n —1)。

2021年高中数学 数列求和练习 新人教A 版必修5一、公式法:例1．⑴已知为等比数列的前项和，公比，则 ；⑵等差数列中，公差，且，则 .（3）等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）前100项之和S 100. （2）通项公式a n .例3．公差不为零的等差数列中的部分项组成的数列，… 组成等比数列，其中,(1)求数列的通项公式； （2）求数列的前n 项和．三、裂项相消例4． 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，(n ≥2)．练习．数列 ,)1(4321,,4321,321,21++++++++k 的前项和 ． 数列的常见拆项有：四、奇偶并项例5．求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．五、错位相减法求和例6 在数列中,,（1)求数列的通项公式； （2）求数列的前n 项和“常见数列求和”课外作业姓名：1.数列中，，则数列的前项的绝对值之和为A. B. C. D.2．设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则数列a 3，a 6，a 9，…，a 3n ，…的前n 项和为A.a 11－q 2n 1－qB.a 11－q 3n 1－q 3C.a 131－q 3n 1－q 3D.a 31－q 3n1－q3 3．在数列中，，则项数n 为A ．9B ．10C ．99D ．1004．数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n所确定的数列{b n }的前n 项之和是 A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 5．已知数列{a n }为等比数列，前三项为a ，12a ＋12，13a ＋13，则T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于 A ．9⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n B ．81⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n C ．81⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n D.815⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫49n 6． 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若，且A ，B ，C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝A 100B 101C 200D 2017．已知数列{}的通项公式是项和为 ．8．已知数列{a n }，a 1=2，a n +1=a n -4(n =1，2，3，…)，则a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 50=__ _．9．已知等比数列的各项都为正数，且当时，，则数列，，，，，，的前项和等于．12．数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2－2a n+1+a n=0（n∈N*）.（1）求数列{a n}的通项公式. （2）设b n=（n∈N*），S n=b1+b2+…+b n．13．已知数列的前项和为.（Ⅰ）求数列的通项公式及的最大值；（Ⅱ）令,求的前项和．aZ21031 5227 刧0940592 9E90 麐# 25049 61D9 懙24072 5E08 师34872 8838 蠸 s-。