2021学年高一数学人教2019必修二新教材培优8.5.3 平面与平面平行(原卷版)

8.5.3平面与平面平行学习目标 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.知识点一平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β图形语言思考应用面面平行判定定理应具备哪些条件？答案①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.知识点二两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言思考(1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？(2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？答案(1)不是.(2)是的.1.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.(√)2.两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.(×)3.夹在两平行平面间的平行线段相等.(√)4.若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.(×)一、平面与平面平行的判定定理的应用例1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EF A1，∴平面EF A1∥平面BCHG.反思感悟两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.跟踪训练1如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面P AB∥平面EFG.证明∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，又∵EG⊄平面P AB，PB⊂平面P AB，∴EG∥平面P AB，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面P AB.二、平面与平面平行的性质定理的应用例2如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.反思感悟利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上. (4)由定理得出结论.跟踪训练2 如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长.解 ∵α∥β，平面PCD ∩α＝AB ，平面PCD ∩β＝CD ， ∴AB ∥CD ，可得P A AC ＝PBBD .∵P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8， ∴69＝8－BD BD ，解得BD ＝245.几何中的计算问题典例 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a ，b 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AC ＝15 cm ，DE ＝5 cm ，AB ∶BC ＝1∶3，求AB ，BC ，EF 的长.解 如图所示.连接AF ，交β于点G ，连接BG ，EG ， 则点A ，B ，C ，F ，G 共面.∵β∥γ，平面ACF ∩β＝BG ，平面ACF ∩γ＝CF ， ∴BG ∥CF ，∴△ABG ∽△ACF ，∴AB BC ＝AG GF ，同理，有AD ∥GE ，AG GF ＝DE EF ，∴AB BC ＝DEEF.又AB BC ＝13， ∴AB ＝14AC ＝154(cm)，BC ＝34AC ＝454(cm).∴EF ＝3DE ＝3×5＝15(cm).[素养提升] 利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养.1.在正方体中，相互平行的面不会是( ) A.前后相对侧面 B.上下相对底面 C.左右相对侧面 D.相邻的侧面答案 D解析 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行. 2.下列命题中正确的是( )A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 答案 B解析 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行.3.已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，平面α∩平面ABCD ＝EF ，平面α∩平面A ′B ′C ′D ′＝E ′F ′，则EF 与E ′F ′的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 答案 A解析 由面面平行的性质定理易得.4.若平面α∥平面β，直线a ⊂α，点M ∈β，过点M 的所有直线中( ) A.不一定存在与a 平行的直线 B.只有两条与a 平行的直线 C.存在无数条与a 平行的直线 D.有且只有一条与a 平行的直线 答案 D解析 由于α∥β，a ⊂α，M ∈β，过M 有且只有一条直线与a 平行，故D 项正确.5.已知α，β是两个不同的平面，下列条件中可以判断平面α与β平行的是()(1)α内存在不共线的三点到β的距离相等；(2)l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；(3)l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(3)D.(1)(2)(3)答案 C解析平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可能相交，故(1)不正确；当l与m平行时，不能推出α∥β，故(2)不确定；l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定定理，可得α∥β，故(3)正确.1.知识清单：(1)平面与平面平行的判定定理.(2)平面与平面平行的性质定理.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.1.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D.平面α与平面β不相交答案 D解析选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.2.下列四个说法中正确的是()A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥βC.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β答案 C解析 由面面平行的判定定理知C 正确.3.如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能答案 B解析 因为平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，平面A 1B 1ED ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，所以A 1B 1∥DE .又因为A 1B 1∥AB ，所以DE ∥AB . 4.平面α∥平面β，直线l ∥α，则( ) A.l ∥β B.l ⊂β C.l ∥β或l ⊂β D.l ，β相交 答案 C5.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在A 1B 1上，且B 1E ＝1，平面α∥平面BC 1E ，若平面α∩平面AA 1B 1B ＝A 1F ，则AF 的长为( )A.1B.1.5C.2D.3 答案 A6.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a ，在β内总存在直线b ∥a ，则α与β的位置关系是________.(填“平行”或“相交”) 答案 平行解析 若α∩β＝l ，则在平面α内，与l 相交的直线a ，设a ∩l ＝A ，对于β内的任意直线b ，若b 过点A ，则a 与b 相交，若b 不过点A ，则a 与b 异面，即β内不存在直线b ∥a ，矛盾.故α∥β.7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过BB 1的中点E 作一个与平面ACB 1平行的平面交AB 于M ，交BC 于N ，则MNAC＝________.答案 12解析 ∵平面MNE ∥平面ACB 1，由面面平行的性质定理可得EN ∥B 1C ，EM ∥B 1A ， 又∵E 为BB 1的中点，∴M ，N 分别为BA ，BC 的中点， ∴MN ＝12AC ，即MN AC ＝12.8.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线.若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且α∥γ，则a 与b 的位置关系是________. 答案 a ∥b解析 由平面与平面平行的性质定理可判定a ∥b .9.如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，E ，F ，H 分别为AB ，CD ，PD 的中点，求证：平面AFH ∥平面PCE .证明 因为F 为CD 的中点，H 为PD 的中点， 所以FH ∥PC ，又FH ⊄平面PEC ，PC ⊂平面PEC ， 所以FH ∥平面PCE . 又AE ∥CF 且AE ＝CF ，所以四边形AECF 为平行四边形， 所以AF ∥CE ，又AF ⊄平面PCE ，CE ⊂平面PCE ， 所以AF ∥平面PCE .又FH ⊂平面AFH ，AF ⊂平面AFH ，FH ∩AF ＝F ， 所以平面AFH ∥平面PCE .10.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，平面A 1DCE 与B 1B 交于点E .求证：EC ∥A 1D .证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.11.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对答案 C解析根据图①和图②可知α与β平行或相交.12.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是()A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面积相等的不全等三角形D.以上结论都不对答案 B解析由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β，由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.13.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个答案 B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.14.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中所有真命题的序号为________.答案③解析①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M在线段FH上解析连接HN，FH，FN(图略).∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN ，HF ⊂平面FHN ，DB ，DD 1⊂平面B 1BDD 1，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1.∵点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，∴M ∈FH .16.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置.解 若MB ∥平面AEF ，过F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于点N ，连接MN ，NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN .又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形，所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1.而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1， 故MN 是△ACE 的中位线.所以当M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。

8.5.3 平面与平面平行(教师独具内容)课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理及其应用．教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．核心素养：通过发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.( )2．做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ( )A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是____.(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；②若α∥β，a∥α，a⊄β，则a∥β；③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是____.(4)已知平面α，β和直线l，且α∥β，l∥α，则直线l与平面β的位置关系是____.题型一平面与平面平行判定定理的理解例1 下列命题中正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④[跟踪训练1] 设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D 1A1的中点．求证：(1)E，F，D，B四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[跟踪训练2] 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[跟踪训练3] 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E ＝EF＝FC.[跟踪训练4] 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )A．m∥l，l∥α⇒m∥αB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面3. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC于点E，F，则四边形D1EBF的形状可能是( )1A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形4. 如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确的结论是____.5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.一、选择题1．平面α与平面β平行的条件可以是( ) A ．α内的一条直线与β平行 B ．α内的两条直线与β平行 C ．α内的无数条直线与β平行 D ．α内的两条相交直线分别与β平行2．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：①⎩⎨⎧ c ∥α，c ∥β⇒α∥β；②⎩⎨⎧α∥γ，β∥γ⇒α∥β；③⎩⎨⎧c ∥α，a ∥c⇒a ∥α；④⎩⎨⎧a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．②D ．③④3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有( ) A ．2对 B ．3对 C ．4对D ．5对4. 如图，平面α∥平面β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝( )A．32B．2C．52D．35. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则( )A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面ABC1D1C．平面ABCD∥平面A1B1C1D1D．平面EFG∥平面A1BC1二、填空题6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是____.7. 如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是____.8．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为____.三、解答题9. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．10. 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′A′A＝23，求S△A′B′C′S△ABC的值．1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 为CC1上的点，要使平面D1BQ∥平面PAO，则点Q( )A．与C重合B．与C1重合C．为CC1的三等分点D．为CC1的中点2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A． 2 B．9 8C． 3 D．6 23. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝____，ED与AF相交于点H，则GH＝____.4. 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.8.5.3 平面与平面平行(教师独具内容)课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理及其应用．教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．核心素养：通过发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.( )答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ( )A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是____.(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；②若α∥β，a∥α，a⊄β，则a∥β；③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是____.(4)已知平面α，β和直线l，且α∥β，l∥α，则直线l与平面β的位置关系是____.答案(1)C (2)相交或平行(3)②③④(4)l∥β或l⊂β题型一平面与平面平行判定定理的理解例1 下列命题中正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④[解析]对于①，一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故①错误；对于②，一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行．如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错误；对于③，一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义，故③正确；对于④，一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理，故④正确．故选D.[答案] D应用平面与平面平行判定定理的注意事项(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面．(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法．[跟踪训练1] 设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个答案 A解析①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，④正确.题型二平面与平面平行的判定例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D 1A1的中点．求证：(1)E，F，D，B四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[证明](1)如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，D，B四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，又A1D1∥AD，A1D1＝AD，∴MF∥AD，MF＝AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．[跟踪训练2] 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[解]如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[跟踪训练3] 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.证明若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.∵α∥β，∴AC∥BD.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC.∵α∥β，∴ED∥AC.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥ED，又PN⊄α，ED⊂α，∴PN∥α，同理可证MP∥BE，MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α，又MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α，又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E ＝EF＝FC.[解](1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD 的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，所以F是CE的中点，即CF＝EF，所以A1E＝EF＝FC.三种平行关系的相互转化线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化．相互间的转化关系如图．因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．[跟踪训练4] 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G.∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G，且平面A1C1G∩BC＝H，∴平面A1C1G∩平面ABC＝GH.又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( ) A．m∥l，l∥α⇒m∥αB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β答案 D解析A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，平面α内的两条相交直线l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理可知α∥β.故选D.2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面答案 D解析如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点变成A′B′的中点C′，当AA′∥BB′时，易得CC′∥α，当AA′与BB′异面时，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，则CE∥AA′，∴CE∥α.∵C′E∥BB′，∴C′E∥β.又α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．3. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC于点E，F，则四边形D1EBF的形状可能是( )1A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形答案ABC解析若点E与点A1重合，则点F与点C重合，此时四边形D1EBF是矩形；若点E在AA1的中点处，则点F也在CC1的中点处，此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形；其他情况下为普通的平行四边形．故选ABC.4. 如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确的结论是____.答案①②③④解析还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四棱锥P－ABCD，逐一考查所给的命题：①易知EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，且EF∩FG＝F，则平面EFGH∥平面ABCD，①正确．②设AC，BD的交点为点O，连接OG，由三角形中位线的性质可知OG∥PA，结合线面平行的判定定理可得PA∥平面BDG，②正确．③由三角形中位线的性质可知EF∥DA，又DA∥BC，故EF∥BC，结合线面平行的判定定理可得EF∥平面PBC，③正确．④由三角形中位线的性质可知，FH∥BD，结合线面平行的判定定理可知，FH∥平面BDG，④正确．⑤由③可知EF∥BC，由于直线BC与平面BDG相交，故EF∥平面BDG不成立，⑤错误．5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.证明如图所示，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EG綊A1B1.又A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1.∴四边形EGC1D1为平行四边形．∴D1E綊GC1.又BG綊C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1.∴BF∥D1E.∵BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，BD⊄平面B1D1E，B1D1⊂平面B1D1E，∴BD∥平面B1D1E.又BD∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1E.一、选择题1．平面α与平面β平行的条件可以是( )A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D ．α内的两条相交直线分别与β平行 答案 D解析 若两个平面α，β相交，设交线是l ，则有α内的直线m 与l 平行，得到m 与平面β平行，从而可得A 是不正确的；而B 中两条直线可能是平行于交线l 的直线，也不能判定α与β平行；C 中的无数条直线也可能是一组平行于交线l 的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D 项是正确的．2．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：①⎩⎨⎧ c ∥α，c ∥β⇒α∥β；②⎩⎨⎧α∥γ，β∥γ⇒α∥β；③⎩⎨⎧c ∥α，a ∥c⇒a ∥α；④⎩⎨⎧a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．② D ．③④答案 C解析 命题②正确．①中α与β还可能相交，③④中a 还可能在α内，所以命题①③④错误．3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有( ) A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 答案 C解析 六棱柱的表面中一共有8个面，若互相平行的面最多，则底面六边形对边平行，则六棱柱的表面中相对的侧面相互平行的有3对，加上两底面互相平行，共4对．4. 如图，平面α∥平面β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝( )A．32B．2C．52D．3答案 C解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则PCPA＝CDAB，∴AB＝PA×CDPC＝5×12＝52.5. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则( )A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面ABC1D1C．平面ABCD∥平面A1B1C1D1D．平面EFG∥平面A1BC1答案ACD解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面ABC1D1相交，∴EF与平面ABC1D1相交，故B错误；由正方体的性质可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，故C正确；∵FG∥BC1，EF∥A1C1，BC1⊂平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，FG⊄平面A1BC1，EF⊄平面A 1BC1，∴FG∥平面A1BC1，EF∥平面A1BC1.又FG∩EF＝F，∴平面EFG∥平面A1BC1，故D正确．二、填空题6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是____.答案相交或平行解析b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．7. 如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是____.答案①②③④解析以面ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个判断都是正确的．8．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为____.答案43 9解析AA′，BB′相交于点O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，且OAOA′＝ABA′B′＝32，同理可得OAOA′＝ACA′C′＝32，OAOA′＝BCB′C′＝32，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为3，所以△A′B′C′的面积为43 9.三、解答题9. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点．证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CF∥平面ADD1A1，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.10. 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′A′A＝23，求S△A′B′C′S△ABC的值．解∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB.∴△A′B′C′∽△ABC.又PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5.∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 为CC1上的点，要使平面D1BQ∥平面PAO，则点Q( )A．与C重合B．与C1重合C．为CC1的三等分点D．为CC1的中点答案 D解析当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：因为Q为CC1的中点，P是DD1的中点，所以QB∥PA，又QB⊄平面PAO，所以QB∥平面PAO.连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1B∥PO.因为D1B⊄平面PAO，所以D 1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A． 2 B．9 8C． 3 D．6 2答案 B解析取C1D1，B1C1的中点为P，Q，连接DP，BQ，B1D1，NP，PQ.易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，∴四边形ANPD为平行四边形，∴AN∥DP，又BD和DP 为平面DBQP的两条相交直线，MN，AN为平面AMN的两条相交直线，∴平面DBQP∥平面AMN，即平面DBQP的面积即为所求．∵PQ∥DB，PQ＝12BD＝22，∴四边形DBQP 为梯形，高为h ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，∴S ＝12(PQ ＋BD )·h ＝98，故选B.3. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，PA ＝PB ＝AB ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，平面AGF ∥平面PEC ，PD ∩平面AGF ＝G ，且PG ＝λGD ，则λ＝____，ED 与AF 相交于点H ，则GH ＝____.答案 132解析 因为ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥CD ，且AB ＝CD .又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以AE ＝FD ， 又∠EAH ＝∠DFH ，∠AEH ＝∠FDH ， 所以△AEH ≌△FDH ，所以EH ＝DH .因为平面AGF ∥平面PEC ，平面PED ∩平面AGF ＝GH ，平面PED ∩平面PEC ＝PE ， 所以GH ∥PE ，则G 是PD 的中点，即PG ＝GD ，故λ＝1. 因为PA ＝AB ＝PB ＝2，所以PE ＝3，GH ＝12PE ＝32.4. 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别是棱AB ，PC 的中点，平面CMN 与平面PAD 交于PE .求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.证明(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.因为N，Q分别是PC，DC的中点，所以NQ∥PD.因为NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以NQ∥平面PAD.因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以MQ∥AD.又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以MQ∥平面PAD.因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.(2)因为平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，所以MN∥PE.5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.解(1)当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.理由如下：如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD ∥D1C1，且AD＝D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形．所以AD1∥DC1.又因为DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以DC1∥平面AB1D1.又因为BC1∥平面AB1D1，BC1⊂平面BC1D，DC1⊂平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，所以平面BC1D∥平面AB1D1.。

8.5.3平面与平面平行课后篇巩固提升基础巩固1.下列命题:①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.0①②③正确,故选C.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是() A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,则BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是()A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1, ∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有()A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH 与平面ABCD相交,选项C错误;因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.5.在如图的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?.(填“是”或“否”)AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1,因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1.同理可证:BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以平面ABC∥平面A1B1C1.6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是.,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确. 7.如图,P 是△ABC 所在平面外一点,平面α∥平面ABC ,α分别交线段PA ,PB ,PC 于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A 'B 'C 'S△ABC= .α∥平面ABC ,得AB ∥A'B',BC ∥B'C',AC ∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC ∽△A'B'C',△PAB ∽△PA'B',S△A 'B 'C 'S△ABC=(A 'B 'AB )2=(PA 'PA )2=425.8.已知四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,点M ,N ,Q 分别在PA ,BD ,PD 上,且PM ∶MA=BN ∶ND=PQ ∶QD.求证:平面MNQ ∥平面PBC.△PAD 中,∵PM ∶MA=PQ ∶QD ,∴MQ ∥AD.同理NQ ∥BP.而BP ⊂平面PBC ,NQ ⊄平面PBC ,∴NQ ∥平面PBC.∵四边形ABCD 为平行四边形,∴BC ∥AD , ∴MQ ∥BC ,而BC ⊂平面PBC ,MQ ⊄平面PBC ,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.10.如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.求证:平面BCE∥平面ADF.四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,又BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,∴∠BAF=∠ABE=45°,∴AF∥BE,又BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,∴BE∥平面ADF.又BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,∴平面BCE∥平面ADF.能力提升1.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为()A.2√2B.2√3C.2√6D.4,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又在正方体中,可得A1E=CE=CF=FA1=√5,所以四边形A1ECF为菱形.又A1C=2√3,EF=2√2,故截面面积为2√6.2.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题中,正确的有()A.BM∥平面DE∥平面AFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF①所示的正方体.图①图②在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴AB正确;图③如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以CD正确.AP,D为AP的中点,E,F,G分别为3.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB,∴AP∥平面EFG.4.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.B1C1.取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=12B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB 因为BE∥B1C1,且BE=12∥GE.因为OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,所以B1D1∥平面BDF.因为HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,所以HD1∥平面BDF.又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.。