【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题18 等比数列(学生版+解析版)

高一上册数学课本人教版新课标a高一上册数学课本人教版新课标A版是针对高一学生设计的教材，它遵循新课程标准，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。

这本教材涵盖了高中数学的基础知识和核心概念，为学生提供了丰富的学习资源和练习题目。

在这本教材中，学生将学习到包括但不限于以下内容：1. 集合与简易逻辑：这部分内容帮助学生理解集合的概念，包括集合的表示、运算以及逻辑运算符的使用。

2. 函数：函数是高中数学的核心概念之一，学生将学习到函数的定义、性质、图像以及函数的单调性、奇偶性等。

3. 指数与对数：这部分内容涉及指数函数、对数函数的性质和图像，以及它们在实际问题中的应用。

4. 三角函数：学生将学习到正弦、余弦和正切函数的定义、性质和图像，以及它们在解决实际问题中的重要性。

5. 解析几何：解析几何部分包括直线、圆的方程和性质，以及它们在坐标系中的表示方法。

6. 数列：数列是数学中的一个重要概念，学生将学习到数列的定义、通项公式以及数列的求和问题。

7. 概率与统计：这部分内容涉及概率的基本概念、统计数据的收集和分析，以及如何使用统计方法来解决实际问题。

教材中的每一章节都配有适量的例题和习题，旨在帮助学生巩固所学知识，并提高解题能力。

此外，教材还提供了一些探究性问题和实践活动，鼓励学生进行自主学习和深入思考。

为了适应不同学生的学习需求，这本教材还提供了一些辅助学习材料，如教学视频、在线练习和互动讨论平台，以促进学生的全面发展。

总之，高一上册数学课本人教版新课标A版是一本全面、系统的教材，它不仅为学生提供了数学知识的学习，还注重培养学生的数学思维和实践能力，为学生未来的学习和生活打下坚实的基础。

习题课(一) 等差数列、等比数列的综合一、选择题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝( )A．2n－1B．n－1C.n－1D．解析：选B　因为a n＋1＝S n＋1－S n，所以由S n＝2a n＋1，得S n＝2(S n＋1－S n)，整理得3S n＝2S n＋1，所以＝，所以数列{S n}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故S n ＝n－1.2．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和等于( )A．130 B．120 C．55 D．50解析：选C　在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，即＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以a n＝2×2n－1＝2n.所以b n＝log22n＝n.则数列{b n}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.3．[多选]已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5＜a k＜9，则k可以是( )A．9 B．8 C．7 D．6解析：选AB　∵S n＝n2－9n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－10.又a1＝S1＝－8，符合上式．∴a n＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜9，解得7.5＜k＜9.5，∴k＝8或9.故选A、B.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值为( )A．13 B．－76 C．46 D．76解析：选B　∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S22＝(－4)×11＝－44，S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.5．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，则a5－a3＝( ) A．6 B．8 C．10 D．12解析：选D　∵{a n}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D.6．已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a3－2a＋3a7＝0，数列{b n}是等比数列，且b6＝a6，则b1b7b10等于( )A．1 B．2 C．4 D．8解析：选D　根据等差数列的性质，得a3＋a7＝2a5，a5＋a7＝2a6.又a3－2a＋3a7＝0，所以2a5＋2a7－2a＝0，即2a6＝a，解得a6＝2或a6＝0(舍去)，所以b6＝a6＝2，则b1b7b10＝b2b6b10＝b＝8.二、填空题7．对于项数为m(m≥3)的有穷数列{a n}，若存在项数为m＋1的等比数列{b n}，使得b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m，则称数列{b n}为{a n}的“等比分割数列”．已知数列7,14,38,60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)解析：取一个首项为6，公比为2的数列即满足b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m.答案：6,12,24,48,968．已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1·b n＝0.若b n＝3n－1，则数列{a n}的前n项和S n＝________.解析：因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0，所以－＝2，所以数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1.由b n＝3n－1，得a n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1,3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，两式相减得－2S n＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n，所以S n＝(n－1)3n＋1.答案：(n－1)3n＋1三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝3S n＋1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)由a n＝3S n＋1，得a n＋1＝3S n＋1＋1，两式相减，得a n＋1－a n＝3(S n＋1－S n)＝3a n＋1，即＝－.又a1＝3S1＋1＝3a1＋1，得a1＝－，所以a2＝－×＝.(2)由(1)知，数列{a n}是首项为－，公比为－的等比数列，所以a n＝×n－1＝n.10．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝a，a≠0，前n项和为S n，且，，成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列的前n项和为A n，若A2 021＝，求实数a的值．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由2＝·，即a＝a1·a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，所以a n＝a＋(n－1)a＝na.(2)因为S n＝＝，所以＝，所以A n＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝.又A2 019＝＝，所以a＝2.11．(2021·全国乙卷)设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式．(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<.解：(1)设等比数列{a n}的公比为q.∵a1,3a2,9a3成等差数列，∴6a2＝a1＋9a3，即6q＝1＋9q2，解得q＝.∴a n＝n－1，∴b n＝＝n n.(2)证明：由(1)得，S n＝＝＝＝－×n－1.T n＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n n， ①则T n＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n＋1.　②①－②，得T n＝1＋2＋3＋…＋n－n n＋1＝－n n＋1＝－×n，∴T n＝－×n.∵＝－×n－1＝－×n，且3＋2n>3，∴当n为正整数时，T n<.。

人教a版高中数学新课标教材分析人教A版高中数学新课标教材是依据中国教育部最新颁布的高中数学课程标准编写的，旨在适应新时代教育的要求，培养学生的数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等。

该教材涵盖了高中数学的多个重要领域，包括但不限于代数、几何、概率统计、函数等。

1. 代数部分：重点介绍了多项式、方程与不等式、数列、复数等内容。

在多项式部分，教材通过实例引导学生理解多项式的性质和运算规则；在方程与不等式部分，强调了方程的解法和不等式的证明技巧；数列部分则让学生掌握数列的基本概念和求和方法；复数部分则介绍了复数的基本概念和运算法则。

2. 几何部分：包括平面几何和立体几何。

平面几何部分，教材通过图形的构造和性质，帮助学生建立空间观念；立体几何部分，则通过立体图形的观察和分析，培养学生的空间想象能力和几何证明能力。

3. 概率统计部分：介绍了概率的基本概念、随机事件、概率的计算方法以及统计的基本概念和方法。

这一部分内容旨在培养学生的数据分析能力和解决实际问题的能力。

4. 函数部分：是高中数学的核心内容之一，包括函数的概念、性质、图像以及函数的应用。

教材通过函数的图像和性质，帮助学生理解函数的基本概念，并通过实际问题的应用，培养学生的数学建模能力。

5. 数学思想方法：教材在各个章节中都融入了数学思想方法的介绍，如归纳法、演绎法、反证法等，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的方法论。

6. 实践活动：教材设计了丰富的实践活动，如数学建模、数学实验等，鼓励学生将数学知识应用于实际问题的解决中，提高学生的实践能力和创新能力。

7. 信息技术的应用：在教材中，还特别强调了信息技术在数学学习中的应用，如使用计算机软件进行数据分析、图形绘制等，以适应信息化时代对数学教育的要求。

人教A版高中数学新课标教材通过系统的内容安排和丰富的教学资源，旨在帮助学生构建扎实的数学基础，发展数学思维，提高解决实际问题的能力。

人教A版新课标高中数学人教A版新课标高中数学是依据中国教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的教材，旨在培养学生的数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六个方面。

该教材分为必修和选修两部分，必修部分是所有学生必须学习的，而选修部分则根据学生的兴趣和未来发展方向进行选择。

必修部分包括以下内容：1. 集合与函数：介绍集合的概念、运算以及函数的定义、性质和图像，为后续学习打下基础。

2. 几何：包括平面几何和立体几何，重点培养学生的空间想象能力和几何直观。

3. 代数：涵盖多项式、方程和不等式等内容，强调代数运算和解法的掌握。

4. 概率与统计：介绍概率的基本概念、统计数据的收集与处理，以及概率统计在实际生活中的应用。

5. 数列与极限：探讨数列的性质、极限的概念以及无穷级数等，为高等数学的学习奠定基础。

选修部分则包括：1. 微积分初步：介绍导数、微分、积分等微积分的基本概念和运算，为学生提供更深入的数学工具。

2. 线性代数初步：包括矩阵、向量空间和线性变换等内容，培养学生的抽象思维能力。

3. 概率论与数理统计：在必修概率与统计的基础上，进一步探讨概率分布、期望值、方差等概念。

4. 离散数学：涉及图论、组合数学、逻辑与集合等，培养学生解决复杂问题的能力。

5. 几何与拓扑：探讨欧几里得几何、非欧几里得几何以及拓扑学的基础概念。

新课标强调数学知识的实际应用，鼓励学生通过实践活动和探究学习来理解和掌握数学知识。

同时，教材中融入了大量的信息技术工具，如计算机软件和在线资源，以辅助学生更好地学习数学。

通过这些内容的学习，学生不仅能够掌握数学知识，还能培养解决问题的能力和创新思维。

1 等比数列的概念
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q ≠0）．
定义还可以叙述为：在数列{a n }中，若
1n n a a +＝q （q 为常数且q ≠0），则{a n }是等比数列． 2．对等比数列定义的理解
（1）由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．
（2）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．
（3）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列．当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列．
（4）若一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n （n ＞3，n ∈N*）项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列．
（5）等比数列的定义可作为判定或证明等比数列的依据，即判断
1n n a a +或1n n a a -（n ≥2）是否为非零常数q ．。

专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=， 又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩； （2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ， 综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或 【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。

人教版高中数学A版目录高中数学是一门重要的基础学科，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决实际问题的能力都具有至关重要的作用。

人教版高中数学A 版教材的目录设计科学合理，涵盖了丰富的知识内容。

必修第一册第一章集合与常用逻辑用语这一章主要介绍了集合的概念、表示方法、集合间的基本关系和基本运算。

常用逻辑用语部分则包括命题、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词等内容。

第二章一元二次函数、方程和不等式学习一元二次函数的图象与性质，一元二次方程的解法以及一元二次不等式的解法，并探讨它们之间的关系。

第三章函数的概念与性质深入理解函数的概念，研究函数的单调性、奇偶性等性质，为后续学习函数的应用打下基础。

第四章指数函数与对数函数介绍指数函数和对数函数的定义、图象和性质，以及它们之间的相互关系。

第五章三角函数包括任意角和弧度制、三角函数的定义、诱导公式、图象与性质，以及三角恒等变换等内容。

必修第二册第六章平面向量及其应用学习平面向量的概念、线性运算、数量积，以及平面向量在几何、物理等方面的应用。

第七章复数了解复数的概念、复数的四则运算，以及复数的几何意义。

第八章立体几何初步认识空间几何体，研究柱、锥、台、球的结构特征，以及空间点、直线、平面之间的位置关系。

第九章统计学习数据的收集、整理、分析，包括随机抽样、用样本估计总体等。

第十章概率初步了解随机事件的概率，古典概型和随机数等知识。

选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何利用空间向量解决立体几何中的位置关系、夹角和距离等问题。

第二章直线和圆的方程学习直线的方程、圆的方程，以及它们之间的位置关系。

第三章圆锥曲线的方程探究椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质。

选择性必修第二册第四章数列包括数列的概念、等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式。

第五章一元函数的导数及其应用导数的概念、导数的运算，以及利用导数研究函数的单调性、极值和最值等。

选择性必修第三册第六章计数原理学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等。

课时同步练4.3.1 等比数列（1）一、单选题1．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ¹，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =.故选C.2．在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ）A ．192B ．202C ．92D ．102【答案】D【解析】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q ì+=í=î，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ==，故()91829101912222a a q q ==´=´=，故选D.3．下列说法正确的是（）A ．等差数列不可能是等比数列B ．常数列必定既是等差数列又是等比数列C ．若一个数列既是等比数列又是等差数列，则这个的数列必是常数列D ．如果一个数列的前n 项和是关于n 的二次函数，那么这个数列必定是等差数列【答案】C【解析】公差为0，首项不为0的等差数列，也是等比数列，故AB 错误；C 正确；等差数列的前n 项和为211(1)222-æö=+=+-ç÷èøn n n d d S na d n a n ，常数项为0，故D 错误；故选C4．在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ¹.若12345m a a a a a a =，则m =（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】由等比数列的性质可知，故选C.5．设{}n a 是等比数列，下列说法一定正确的是（）A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．369,,a a a 成等比数列【答案】D【解析】A 项中()222831191319,,a a q a a a q a a a =××=×¹×，故A 项说法错误；B 项中()()2222631261a a qa a a q =×¹×=×，故B 项说法错误； C 项中()()2232841281a a q a a a q =×¹×=×，故C 项说法错误；故D 项中()()22521061391a a q a a a q =×=×=×，故D 项说法正确，故选D.6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为（）A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000【答案】C【解析】由对数的计算可得：6381310a a a =，由等比数列性质：21153138a a a a a ==，所以：8100a =，2115810000a a a ==.故选C.7．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为（）A ．13B ．3C ．±13D ．±3【答案】B【解析】设等差数列公差为d ，首项为1a ，则21a a d =+，312a a d =+，615a a d =+，由等比中项公式：()()()211125a d a d a d +=++，化简可得：12d a =-.所以：21a a =-，313a a =-，作比可得公比为：3.故选B.8．在等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则23456789a a a a a a a a =（）A ．81B ．CD ．243【答案】A【解析】因为等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则4423456789110()381a a a a a a a a a a ===，故选A9．在等比数列{}n a 中，56a a m +=，1516a a n +=，则2526a a +的值为（ ）A ．n mB ．22n m C ．2n mD ．2n m 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则565(1)a a m a q +==+，151615(1)a a n a q +==+，21010152********(1)(1)a n n a a a q a q q nq n n a m m+=+=+==×=×=.故选C10．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音1c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是（ ）A ．dB ．fC ．eD ．#d【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由1112440(2)n --=´，解得7n =，频率为的音名是(#)d ，故选D.11．在等差数列{}n a 中，171,4a a ==，数列{}n b 是等比数列.若23321,b a b a ==，则满足不等式801nb a <的最小正整数n 是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设等差数列的公差为d ，因为171,4a a ==，所以7163-==d a a ，即12d =，所以111(1)22n n a n +=+-´=，所以233212,23====b a b a ，设等比数列的公比为q ，则3213==b q b ，所以222123--æö==´ç÷èøn n n q b b ，由801n b a <得2122381-æö´<ç÷èøn ，解得24->n ，所以6n >.故选C12．等比数列的首项12004a =，公比12q =-，设n P 表示数列{}n a 前n 项的积，则n P 中最大的是（ ）A ．13P B ．12P C ．11P D ．10P 【答案】B【解析】由等比数列的首项12004a =，公比12q =-，可得11112004(2n n n a a q --==×-，当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，当2n ³时，11231231112004(2n n nn n n a a a a a a a a P a P ---===×-L L ，当11n £时，11nn P P ->，此时n P 单调递增；当12n ³时，11nn P P -<，此时n P 单调递减；当9n =时，可得993612004()02P =×>；当10n =时，可得10104512004(02P =×-<.当11n =时，可得11115512004()02P =×->；当12n =时，可得12126612004()2P =×-，又由1266312303303030936912004()11122004((1024)()2()112222004()2P P ×==×->×-=×=×，所以129P P >所以当12n =时，可得n P 中最大的是126612004(2×.故选B.二、填空题13．已知等比数列1221,,,,,2n x x x ×××，则12n x x =______.【答案】2【解析】由于数列是等比数列，故12122n x x =´=.故填214．若,22,33,y y y ++L 组成等比数列，则该数列的第4项的值是________．【答案】272-【解析】由,22,33,y y y ++L 组成等比数列，可得2(22)(33)y y y +=+，解得4y =-或者1y =-，当1y =-时，等比数列前三项是1,0,0-，舍去；当4y =-时，等比数列前三项是4,6,9---，可得该数列的第4项的值为272-，故填272-.15．已知a ，b ，c ，d 是以2为公比的等比数列，则22a bc d+=+______.【答案】14【解析】由题可知，23,,b aq c aq d aq ===，=2q ，则23224122164a b a aq a c d aq aq a ++===++故填1416．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且465768236a a a a a a ++=，则57a a +等于______.【答案】6【解析】{}n a 是等比数列，所以24656872,a a a a a a ==，所以4657682a a a a a a ++2572572a a a a =++()25736a a +==，所以576a a +=±，而0n a >，所以576a a +=，故填6.17．数列{}n a 是等比数列，且3816a a =，则1210a a a +++=L ______.【答案】40【解析】数列{}n a 是等比数列，且3816a a =，则1102934785616a a a a a a a a a a =====，由对数运算及等比数列的性质化简可知1210a a a +++L ()12103a a a a =××L 5=()5422log 240==，故填40.18．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为．【答案】64【解析】设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n nn a a a a qL L --++++-==´=，于是当3n =或4时，12n a a a L 取得最大值6264=.故填64三、解答题19．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，求91078a a a a ++的值．【解析】因为1321,,22a a a 成等差数列，所以3121222a a a æö´=+ç÷èø，即3122a a a =+．设数列{}n a 的公比为q ，则21112a q a a q =+，即212q q =+．解得1q =1q =-892910116778113a a a q a q q a a a q a q++\===+++20．在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q ==ìíî，解得113a q ìíî==，因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==.21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==´=，所以12n n a n -=×．22．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列(*)n N Î，24a =，且21+a 是1a 与3a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111=++++LL n nT S S S S ，证明：1n T ³．【解析】（1）设数列{}n a 公比为q (1)q >，1244a a q Þ×==，①因为21a +是1a 与3a 的等差中项，所以有221312(1)(1)10a a a a q +=+Þ+=②，由①②组成方程组为：1214(1)10a q a q ×=ìí+=î，因为1>q ，所以方程组的解为：122a q =ìí=î，所以数列{}n a 的通项公式为：2nn a =；（2）22log 2log n n n n nb a b b n ==Þ=Þ，(1)2n n n S +=，1231111n n T S S S S =++++LL 2222122334(1)n T n n =++++´´´Þ+LL 111111112(1)2(1)2233411n n n T n Þ=´-+-+-++-=-++LL 1111120111212n n N n n n T *Î\+³\<£\-³\³++Q 命题得证.。

等比数列的性质例1（2021·武汉期末） 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝________．【解析】方法一 a 3a 11＝16，即a 1·22·a 1·210＝16，又a 1＞0，所以a 1＝412，a 5＝a 1·24＝1．方法二 由等比数列的性质，知27a ＝a 3a 11＝16．又数列{a n }的各项都是正数，所以a 7＝4．又a 7＝a 5×q 2，则a 5＝44＝1．【答案】1例2（重庆高考题） 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是（ ）A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列【解析】方法一 23a ＝（a 1·q 2）2＝241a q ，a 1·a 9＝21a ·q 8，当q ≠±1时，23a ≠a 1a 9，故A 错误；23a ＝（a 1·q 2）2＝241a q ，a 2·a 6＝21a ·q 6，当q ≠±1时，23a ≠a 2·a 6，故B 错误；24a ＝（a 1·q 3）2＝261a q ，a 2·a 8＝21a ·q 8，当q ≠±1时，24a ≠a 2·a 8，故C 错误；26a ＝（a 1·q 5）2＝a 3·a 9＝21a ·q 10，故D 正确．方法二 从项的序号寻找规律，序号成等差数列，对应的项成等比数列．由于3，6，9成等差数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．事实上，设等比数列的公比为q ，则36936a a q a a ＝＝． 【答案】D。