北京宏志中学2014年高二数学(文科)寒假作业——导数答案

数学寒假作业（六）测试范围：导数使用日期：正月初四 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(0，2)D ．(－∞，0)3．函数y ＝ax 3＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18B.14C.1627D.4274．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．55．曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为( ) A ．x ＋πy －π＝0 B ．πx ＋y －π＝0 C ．x －πy －π＝0 D ．πx －y －π＝06．给出下列四个命题：①函数f (x )＝x 2－5x ＋4(－1≤x ≤1)的最大值为10，最小值为－94； ②函数f (x )＝2x 2－4x ＋1(－2＜x ＜4)的最大值为1，最小值为－1；③函数f (x )＝x 3－12x (－3＜x ＜3)的最大值为16，最小值为－16；④函数f (x )＝x 3－12x (－2＜x ＜2)既无最大值，也无最小值．其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝08．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如右图所示[其中f ′(x )是函数f (x )的导函数]，则y ＝f (x )的图象大致是下面四个图象中的( )9．若0＜x ＜π2，则2x 与3sin x 的大小关系( ) A ．2x ＞3sin x B ．2x ＜3sin x C ．2x ＝3sin x D ．与x 的取值有关10．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．3e 2 C ．e 2 D.e 2211．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．312．曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．y ＝x cos x 在x ＝π3处的导数值是_________． 14．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是__________、_________．15．若曲线y ＝h (x )在点P (a, h (a ))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则h ′(a )与0的大小关系是h ′(a )________0(填“>”、“<”、“＝”)．16．已知函数f (x )＝3x ＋a x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]的最值．18．(12分)已知曲线f(x)＝x3＋x2＋x＋3在x＝－1处的切线恰好与抛物线y2＝2px(p ＞0)相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．19．(12分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间．20．(12分)已知函数f(x)＝23x⎝⎛⎭⎪⎫x2－3ax－92(a∈R)．(1)若函数f(x)图象上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，求m的值；(2)若函数f(x)在(1，2)内是增函数，求a的取值范围．21．(12分)已知函数f(x)＝13x3＋a－22x2－2ax－3，g(a)＝16a3＋5a－7.(1)a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2，0]上不单调，且x ∈[－2，0]时，不等式f (x )＜g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3是否恒成立，并说明理由．家长签字： 日期数学寒假作业（六）答案1、B2、C3、D4、D 解析：依题意，得f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5.5、A 解析：先求导，y ′＝（sin x ）′x －x ′sin x x 2＝x cos x －sin x x 2， 根据导数的几何意义得到切线的斜率k ＝y ′|x ＝π＝－1π，代入直线的点斜式方程，得 y －0＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0. 6、B 解析：分别计算四个函数的最值，得知③④正确．7、D 解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，于是切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)，因为点(－1，0)在切线上，可解得x 0＝0或－2，代入可验证D 正确．8、C 解析：由函数y ＝xf ′(x )的图象可知：当x ＜－1时，xf ′(x )＜0，f ′(x )＞0，此时f (x )递增；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＜0，此时f (x )递减；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，f ′(x )＜0，此时f (x )递减；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＞0，此时f (x )递增．9、D 解析：令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x .当cos x >23时，f ′(x )＜0；当cos x ＝23时，f ′(x )＝0；当cos x <23时，f ′(x )＞0. 即当0＜x ＜π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－3＞0. 故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与sin x 的大小关系与x 取值有关．10、D 解析：可以求得切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，则得切线与两坐标轴的交点分别是(1，0)以及(0，－e 2)，所以，所求三角形的面积为e 22. 11、A 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2b 1a＋c ＝0， ∴3a ＋2b a＋c ＝0，∴ac ＋2b ＝－3，故选A. 12、C 解析：设B (x 0，x 30)，由于y ′＝3x 2，故切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 032＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－2x 032＋(x 30－0)2， 当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 40＝13，故x 20＝33，直线l 的斜率为3x 20＝3， 故直线l 的倾斜角为60°.13、解析：直接计算，即知所求的导数值为12－36π. 答案：12－36π 14、解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.故f (x )的极大值、极小值分别为f (－1)＝3，f (1)＝－1，而f (－3)＝－17，f (0)＝1.故函数f (x )＝x 3－3x ＋1在[－3，0]上的最大值、最小值分别是3、－17.答案：3 －1715、解析：∵曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处的切线的斜率为h ′(a )，而已知切线方程为2x ＋y ＋1＝0，即斜率为－2，故h ′(a )＝－2，∴h ′(a )＜0.答案：<16、解析：由题可知，函数f (x )＝3x ＋a x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f ′(x )＝3（x ＋2）－（3x ＋a ）（x ＋2）2＝6－a （x ＋2）2在(－2，＋∞)上小于零，解得a ＞6. 答案：(6，＋∞)17、解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3＞0，∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0，∴f ′(x )在[－1，1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )min ＝－12；x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.18、解析：∵f (－1)＝2，∴曲线y ＝f (x )上的切点为A (－1，2)．∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋1，∴f ′(－1)＝2.∴切线方程为y －2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋4.设抛物线上的切点为B (x 0，y 0)，显然抛物线上的切点在抛物线的上支．抛物线上支的方程为y ＝2px ，则y ′＝2p 2x， ∴y ′|x ＝x 0＝2p2x 0＝2，得p ＝8x 0.① 又∵点B 在切线上，∴2px 0＝2x 0＋4.②由①②求得p ＝16，x 0＝2，∴y 0＝8.故所求抛物线方程为y 2＝32x ，所求的切点为(2，8)．19、解析：依题意有f (1)＝－2，f ′(1)＝0，而f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋c ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－2c －3. 从而f ′(x )＝3x 2＋2cx －(2c ＋3)＝(3x ＋2c ＋3)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－2c ＋33. 由于f (x )在x ＝1处取得极值，故－2c ＋33≠1，即c ≠－3. (1)若－2c ＋33<1，即c >－3， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2c ＋33时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ＋33，1时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2c ＋33和[1，＋∞)；单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ＋33，1.(2)若－2c ＋33＞1，即c ＜－3，同上可得，f (x )的单调增区间为(]－∞，1，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2c ＋33，＋∞；单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1，－2c ＋33. 20、解析：(1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3.则过P (1，m )的切线斜率为k ＝f ′(1)＝－1－4a .又∵切线方程为3x －y ＋b ＝0，∴－1－4a ＝3.即a ＝－1.∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x . ∵P (1，m )在f (x )的图象上，∴m ＝－13. (2)∵函数f (x )在(1，2)内是增函数，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3≥0对于一切x ∈(1，2)恒成立，即4ax ≤2x 2－3，∴a ≤x 2－34x， 由于x 2－34x在(1，2)上单调递增， ∴x 2－34x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，58，即a ≤－14. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 21、解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－12x 2－2x －3，定义域为R ， f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＞0，得x ＜－1，或x ＞2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2，或x ＝－a .∵函数f (x )在区间[－2，0]上不单调，∴－a ∈(－2，0)，即0＜a ＜2.又∵在(－2，－a )上，f ′(x )＞0，在(－a ，0)上，f ′(x )＜0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )在[－2，0]上有唯一的极大值点x ＝－a .∴f (x )在[－2，0]上的最大值为f (－a )．∴当x ∈[－2，0]时，不等式f (x )＜g (a )恒成立，等价于f (－a )＜g (a )．∴－13a 3＋a －22×a 2＋2a 2－3＜g (a )． ∴16a 3＋a 2－3＜16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4＜0，解得1＜a ＜4.综上所述，a 的取值范围是(1，2)．22、解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得f ′(x )＝x －a x (x ＞0)，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝（x －a ）（x ＋a ）x. ∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，当x ＞a ，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x ＞1) 则g ′(x )＝2x 2－x －1x. ∵当x ＞1时，g ′(x )＝（x －1）（2x 2＋x ＋1）x＞0， ∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴g (x )＞g (1)＝16＞0. 即23x 3－12x 2－ln x ＞0， ∴12x 2＋ln x ＜23x 3， 故当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立．。

高二数学导数试题答案及解析1.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。

【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。

2.已知，则＝【答案】【解析】因为，，所以，，＝2e.【考点】导数的计算点评：简单题，利用导数的运算法则，求导数，求导函数值。

3.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。

选A。

【考点】导数的运算法则，应用导数研究函数的单调性。

点评：中档题，在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。

比较大小问题，常常应用函数的单调性。

4.设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为【答案】-1【解析】由于函数是偶函数，所以曲线在点处的切线的斜率与该曲线在点处的切线的斜率互为相反数，故该曲线在点处的切线的斜率为-1【考点】导数的几何意义点评：本题结合偶函数的对称性及导数的几何意义的求解。

5.函数的单调减区间为_____ _【答案】【解析】因为，，所以，，由可得，函数的单调减区间为。

【考点】应用导数研究函数的单调性。

点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。

6.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为【答案】【解析】设矩形的一边长为xcm，则另一长为(10-x)cm 则圆柱体积(0<x<10)则(0<x<10) 6分令得或（舍）易知为函数唯一极大值点。

所以 2分【考点】函数模型，圆柱体体积公式，利用导数研究函数的最值。

北京宏志中学2014学年高二数学（理科）寒假作业——直线与圆 复数及逻辑#印出的是必做题，百度文库里面的文档里有选做题#1． 1 ．10y -+=的倾斜角为A ．0150B ．0120 C ．060 D ．0302．以A （１，３）和Ｂ（－５，１）为端点的线段AB 的中垂线方程是A ．380x y -+=B ．340x y ++=C ．260x y --=D ．380x y ++=3．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=4 ．直线过点P （0，2），且截圆224x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为A ．32± B．．．5 ．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离6 ．圆1622=+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是A ．223 B ．2234- C ．2234+ D ．07 ．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=8 ．直线l ：b x y +=与曲线c ：21x y -=有两个公共点，则b 的取值范围是A ．22<<-bB ．21≤≤bC ．21<≤bD ．21<<b9 ．已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是（ ）A :2p x x ⌝∀∈≤R ，B :2p x x ⌝∃∈<R ，C ．:2p x x ⌝∀∈≤-R ，D ． :2p x x ⌝∃∈<-R ， 10．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A ． 真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数11 ．设集合A={x |1xx -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12．“若p ，则q ”为真命题，则p ⌝是q ⌝的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．不等式x 2-2x-3<0成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．-1<x<3B ．0<x<3C ．-2<x<3D ．-2<x<114．（命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是：（ ）A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B.若11<<-x ，则12<x C.若11-<>x x ，或，则12>x D.若11-≤≥x x ，或，则12≥x15．已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是：( )A ．,sin 1x R x ∃∈≥ B.,sin 1x R x ∀∈≥ C.,sin 1x R x ∃∈> D.,sin 1x R x ∀∈>16．“若R y x ∈,且022=+y x ，则y x ,全为0”的否命题是（ ）A.若R y x ∈,且022≠+y x ，则y x ,全不为0 B ．若R y x ∈,且022≠+y x ，则y x ,不全为0 C ．若R y x ∈,且y x ,全为0，则022=+y x D ．若R y x ∈,且0≠xy ，则022≠+y x.17．若不等式x a -<1成立的充分条件为04<<x ，则实数a 的取值范围为（ ） A [)3，+∞ .B [)1，+∞ .C (]-∞，3 .D (]-∞，118．已知复数)()65(167222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数； 当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。

专题12 导数的概念与运算学一学------基础知识结论1.瞬时变化率设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应地改变)()(0x f x x f y -∆+=∆，如果当x ∆趋近于0时，平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00趋近于一个常数c （也就是说平均变化率与某个常数c 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c 称为函数)(x f 在点0x 的瞬时变化率。

平均变化率：一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为1212)()(x x x f x f --3.导数（1）导数的概念：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

（2）导函数的定义：如果)(x f 在开区间),(b a 内每一点x 都是可导的，则称)(x f 在区间),(b a 可导。

这样，对开区间),(b a 内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '。

于是，在区间),(b a 内，)(x f '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(x f y =的导函数。

记为)(x f '或y '（或x y '）。

4.导数的四则运算法则：（1）几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e x x a a log 1)(log ='(7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' （2）导数的四则运算法则若f(x)、g(x)均为可导函数，则(1) [f(x)＋g(x)]′＝f ′(x)＋g ′(x )；(2) [f(x)－g(x)]′＝f ′(x)－g ′(x)；(3) [cf(x)]′＝cf ′(x)(c 为常数)；(4) [f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；(5) )()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡（3）复合函数的导数设函数)(x u ψ=在点x 处有导数)(x u x ψ'=',函数)(u f y =在点x 的对应点u 处有导数)(u f y u '=',则复合函数f y =)]([x ψ在点x 处有导数,且x u xu y y '⋅'='. 温馨提醒：运用复合函数的求导法则x u x u y y '⋅'=',应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后， (3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，学一学------方法规律技巧 1．导数的运算求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数法则以及复合函数的导数法则，先转化为常见函数的导数问题，再利用导数公式来求解即可．例1、求下列函数的导数：例2、设函数f(x)＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.【答案】π62. 利用导数的几何意义解题由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

高二数学文 寒假作业14一、选择题 1．函数sin y x =在点3(,)32π处的切线的斜率为（ ） A ．32 B ．22C ．12D ．1 2．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--3．过曲线21x y x+=（0x >）上横坐标为1的点的切线方程为 A.310x y +-= B. 350x y +-= C.10x y -+= D. 10x y --=4．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( )． A ．极小值 B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在5．已知函数x x x f 12)(3-=，若)(x f 在区间)1,2(+m m 上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11≤≤-mB ．11≤<-mC ．11<<-mD ．11<≤-m6．设点p 是曲线3233y x x =-+上的任意一点，p 点处切线倾斜角为a ，则角a 的取值范围是（） A ．2[0,)[,)23πππ⋃ B ．5[0,)[,)26πππ⋃ C ．2[,)3ππ D ．5(,]26ππ二、填空题7．13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = _____. 8．曲线x x y ln 312-=在点)3ln 211,3(-处切线的倾斜角的大小是 _____. 9．．曲线x x y sin =在点)0,(πM 处的切线的斜率是_______；10．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．三、解答题11．已知函数31()3f x x ax b =++，(,)a b R ∈在2x =处取得极小值43-。

高二14年数学寒假作业题及答案高二14年数学寒假作业题及答案下面查字典数学网为大家整理了14年数学寒假作业题及答案，希望大家在空余时间进行复习练习和学习，供参考。

预祝同学们暑期愉快。

作业1 直线与圆的方程(一) 命题：1.(09年重庆高考)直线与圆的位置关系为( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a、b、c的值依次为( )A.2、4、4;B.-2、4、4;C.2、-4、4;D.2、-4、-43(2019年重庆高考)圆心在轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A. B.C. D.4.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为( )A. B.4C. D.25. M(x0，y0)为圆x2+y2=a2(a0)内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.相切或相交6、圆关于直线对称的圆的方程是( ).A.B.C.D.7、两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的连心线方程为( ).A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=08.过点的直线中,被截得最长弦所在的直线方程为( )A. B.C. D.9. (2019年四川高考)圆的圆心坐标是10.圆和的公共弦所在直线方程为_ ___.11.(2019年天津高考)已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为.12(2019山东高考)已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆的标准方程为____________13.求过点P(6，-4)且被圆截得长为的弦所在的直线方程.14、已知圆C的方程为x2+y2=4.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程;(2)圆C上一动点M(x0，y0)，ON=(0，y0)，若向量OQ=OM+ON，求动点Q的轨迹方程人的结构就是相互支撑，众人的事业需要每个人的参与。

专题15 导数及其运算1．导数的几何意义2．基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0；(2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1；(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；(5)若f(x)＝a x，则f′(x)＝a x ln a；(6)若f(x)＝e x，则f′(x)＝e x；(7)若f(x)＝log a x，则f′(x)＝1x ln a；(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝1 x.3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f xg x]′＝f′x g x－f x g′x[g x]2(g(x)≠0)．例1 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处切线方程为y ＝4x ＋4.求a ，b 的值．变式1 若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ＋1e x －1；(2)y ＝1＋ln x x. 变式2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ＋2cos x ；(2)f (x )＝1－x 1＋x 2e x .例3 已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4变式3 已知函数f (x )满足f (x )＝f ′1e e x －f (0)x ＋12x 2，求f (x )的解析式．A 级1．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋1，则f ′(0)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则在A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．8D ．63．点P (1,1)是曲线y ＝x 2－a ln x 上一点，若曲线在点P 处的切线是直线y ＝x ，则a 等于( )A ．1 B.22 C. 2 D. 34．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 225．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(3,9)B ．(－3,9)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 D ．(1,1)6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 7．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．B 级8．函数y ＝x1－cos x的导数是( ) A.1－cos x －x sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x 1－cos x 2C.1－cos x ＋sin x 1－cos x 2D.1－cos x ＋x sin x 1－cos x 2 9．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12C ．－12D ．－210．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋f (x 2－x ＋1)＝e x ，则f ′(1)的值为________．13．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．详解答案典型例题例1 解 f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，解得a ＝b ＝4.变式1 12 解析 y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12. 例2 解 (1)方法一 y ′＝e x ＋1′e x －1－e x ＋1e x －1′e x －12＝e x e x －1－e x ＋1e xe x －12＝－2e xe x －12.方法二 y ＝e x ＋1e x －1＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1，y ′＝－2e x e x －12. (2)y ′＝1x ·x －1＋ln xx 2＝－ln x x2. 变式2 解 (1)y ′＝(x 2sin x )′＋(2cos x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＋2(cos x )′＝2x sin x ＋x 2cos x －2sin x .(2)f ′(x )＝ －1＋1－x e x ·1＋x 2－1－x e x ·2x 1＋x 22＝x e x ·－3－x 2＋2x 1＋x 22. 例3 D [f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝－2，于是f ′(x )＝2x －4，所以f ′(0)＝－4.] 变式3 解 f ′(x )＝f ′1e e x －f (0)＋x ，令x ＝1，得f (0)＝1.所以f (x )＝f ′1e e x －x ＋12x 2.令x ＝0，得f ′(1)＝f (0)e ＝e.故f (x )的解析式为f (x )＝e x －x ＋12x 2.强化提高1．B2．D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝6x 2.∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]3．A [y ′＝2x －ax，所以y ′|x ＝1＝2－a ＝1，所以a ＝1.]4．D 5.C 6.3 7.(e ，e) 8.B 9.D10．[2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. 11．－3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －bx 2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2， 则a ＋b ＝－3.12．e －1解析 令x ＝0，得f (1)＝1；令x ＝1，得f ′(1)＋f (1)＝e ，故f ′(1)＝e －1.13．解 (1)由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )∵y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切．∴f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0且b ＝f (a )， 则a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.∴当x >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)递增．当x <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上递减． ∴f (x )的最小值为f (0)＝1.由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．。

北京宏志中学2014学年高二数学（理科）寒假作业——直线与圆 复数及逻辑1． 1 ．10y -+=的倾斜角为A ．0150 B ．0120 C ．060 D ．0302．以A （１，３）和Ｂ（－５，１）为端点的线段AB 的中垂线方程是A ．380x y -+=B ．340x y ++=C ．260x y --=D ．380x y ++=3．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-=Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=4 ．直线过点P （0，2），且截圆224x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为A ．32±B ．C ．D ．5 ．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离6 ．圆1622=+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是A ．223 B ．2234- C ．2234+ D ．0 7 ．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=8 ．直线l ：b x y +=与曲线c ：21x y-=有两个公共点，则b 的取值范围是A ．22<<-bB ．21≤≤bC ．21<≤bD ．21<<b9 ．已知命题:p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是（ ）A:2p x x ⌝∀∈≤R ， B:2p x x ⌝∃∈<R ， C ．:2p x x ⌝∀∈≤-R ，D ． :2p x x ⌝∃∈<-R ，10．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）A ． 真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数C .真命题的个数一定是偶数 D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数11 ．设集合A={x |1xx -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的( ) A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件12．“若p ，则q ”为真命题，则p ⌝是q ⌝的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．不等式x 2-2x-3<0成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．-1<x<3B ．0<x<3C ．-2<x<3D ．-2<x<114．（命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是：（ ）A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B.若11<<-x ，则12<x C.若11-<>x x ，或，则12>x D .若11-≤≥x x ，或，则12≥x15．已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是：( )A ．,sin 1x R x ∃∈≥ B.,sin 1x R x ∀∈≥ C .,sin 1x R x ∃∈> D.,sin 1x R x ∀∈>16．“若R y x ∈,且022=+y x ，则y x ,全为0”的否命题是（ ）A.若R y x ∈,且022≠+y x ，则y x ,全不为0 B ．若R y x ∈,且022≠+y x ，则yx ,不全为0C ．若R y x ∈,且y x ,全为0，则022=+y x D ．若R y x ∈,且0≠xy ，则022≠+y x.17．若不等式x a -<1成立的充分条件为04<<x ，则实数a 的取值范围为（ ） A [)3，+∞ .B [)1，+∞ .C (]-∞，3 .D (]-∞，118．已知复数)()65(167222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数； 当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。

1.（2014海淀期末）18.（本小题共13分）已知关于x 的函数()(0)exax af x a -=≠ （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 取值范围.18．（本题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围．（18）（本小题共13分）已知a ∈R ，函数1()ln f x x ax x=++． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()f x 在区间上是单调函数，求a 的取值范围．[2,)+∞18．（本小题满分13分）已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然对数的底数，. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.a ∈R（2014海淀期末）18.（本小题共13分）已知关于x 的函数()(0)exax af x a -=≠ （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 取值范围.解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R .------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分 （Ⅱ）(2)'()'()e xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10eaF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分 因为(2F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分所以此时函数()F x 总存在零点.--------------------------------------------13分综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<.（2014朝阳期末） 18．（本题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+． 令()0f x '=，得1ex =． 当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立．由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤． 因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21e x =． 当时，，为减函数； 当21(,)ex ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以在上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e -∞- …… 13分（2014东城期末） （18）（本小题共13分）已知a ∈R ，函数1()ln f x x ax x=++． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()f x 在区间上是单调函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当0a =时，（0x >）， ． 所以，当时，；当时，． 所以，当时，函数有最小值． ……………６分（Ⅱ）． 当时，在上恒大于零，即，符合要求． 当时，要使()f x 在区间上是单调函数，当且仅当时，恒成立．即恒成立． 21(0,)ex ∈()0g x '<()g x ()g x ()0,+∞[2,)+∞1()ln f x x x=+22111'()x f x x x x-=-=01x <<'()0f x <1x >'()0f x >1x =(1)1f =222111'()ax x f x a x x x+-=-+=0a ≥12-+x ax [2,)x ∈+∞0)(>'x f 0a <[2,)+∞[2,)x ∈+∞210ax x +-≤21xa x -≤设， 则32'()x g x x-=， 又，所以，即在区间上为增函数， 的最小值为，所以． 综上， a 的取值范围是，或．……………13分（2014西城期末） 18．（本小题满分13分）已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然对数的底数，. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由. （Ⅰ）解：因为()()e x f x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. (7)21()xg x x -=[2,)x ∈+∞'()0g x ≥()g x [2,)+∞()g x 1(2)4g =-14a ≤-14a ≤-0a ≥a ∈R分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分当0x ≠时，方程可化简为ex ax -=. 设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-， 令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分。

高二数学寒假作业（二）一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.“1x >”是“11x<”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.命题“Z x ∈，使022≤++m x x ”的否定是（ ） A.Z x ∈，使m x x ++22＞0 B. 不存在Z x ∈，使m x x ++22＞0 C. Z x ∈，使022≤++m x x D. Z x ∈，使m x x ++22＞03.在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 4．若a 、b 、c b a R >∈,，则下列不等式成立的是A ．b a 11<B ．22b a >C ．1122+>+c b c aD ．||||c b c a >5.已知A （1，－2，11），B （4，2，3），C （6，－1，4）为三角形的三个顶点，则ABC ∆是A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形6.已知(121)-，，A 关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（ ） Ａ．(0)，4，2 Ｂ．(0)，4，0 Ｃ．(042)--，， Ｄ．(2)，0，-27.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．)+∞D ． )+∞ 8.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线214x y =的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的方程为 （ ）A 、224515y x -= B 、22154x y -= C 、22154y x -= D 、225514y x -= 9.设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB1的点P 的个数为 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题10.”）使（“01ax 1,1-x 2≥-∈∃为真命题，则a 的取值范围是____▲______. 11.等比数列{}n a 的各项均为正数，且1651=a a ，则 2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________ 。

第15练 导数的综合应用1．已知函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若函数()e e 2x xg x -=--的零点为0x ，则0(())g f x =A ．1e 2e -- B ．2- C ．1e 2e--D ．221e 2e -- 【答案】B【解析】由题可得e 0()ex xg x -'=+>在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增，又0(0)e e 220g =--=-<，11(1)e e 20g -=-->， 所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =，所以00()[]0f x x ==，所以0(())(0)2g f x g ==-． 故选B ．2．（甘肃省天水市一中2019-2020学年高三上学期第三阶段考试）函数2()2e 1f x x x m =-++-，函数2e ()(0)g x x x x=+>（其中e 为自然对数的底数，e 2.718≈），若函数()()()h xf xg x =-有两个零点，则实数m 取值范围为 A ．2e 2e 1m <-++ B ．2e 2e 1m >-+ C ．2e 2e 1m >-++D ．2e 2e 1m <-+【答案】C【思路分析】先分离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果．【解析】令()0h x =，可得22e 12e 1(0)m x x x x=+-++>，令22e ()12e 1(0)s x x x x x=+-++>，则222e e()212e (e)(2)x s x x x x x+'=+--=-+，所以当e x >时，()0s x '>，2()(2e e 1,)s x ∈-++∞，当0e x <<时，()0s x '<，2()(2e e 1,)s x ∈-++∞，因此当2e 2e 1m >-++时，函数()()()h x f x g x =-有两个零点， 故选C ．3．（四川省成都石室中学2019-2020学年高三上学期期中）设函数2()ln f x x x x =-，2()g x x a x =++，对任意的11[,2]4x ∈，存在2[2,4]x ∈，使12()()1f x g x -<成立，则实数a 的取值范围是A ．7(4ln 2,)2--+∞ B ．9(,)2-+∞ C ．211(ln 2,)48-++∞D ．(3,)-+∞【答案】B【思路分析】原问题等价于max max ()()1f x g x <+，再利用导数求函数的最值即可得解． 【解析】因为对任意的11[,2]4x ∈，存在2[2,4]x ∈，使12()()1f x g x -<成立， 即12()()1f x g x <+，所以max max ()()1f x g x <+． 当[2,4]x ∈时，函数()g x 在[2,4]为增函数， 则max 29()442g x a a =++=+， 又()12ln f x x x x '=--，设()12ln h x x x x =--，1[,2]4x ∈， 则()2ln 3h'x x =--，又()h'x 在1[,2]4上单调递减，所以11()()2ln 34ln 23044h'x h'≤=--=-<， 所以()f x '在1[,2]4上单调递减，由于(1)0f '=，所以()f x 在1[,1)4上单调递增，(1,2]上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==，所以9112a <++，所以92a >-， 所以实数a 的取值范围是9(,)2-+∞． 故选B ．4．已知函数21ln (0)2()f x a x x a =+>，若对任意两个不相等的正实数1x ，2x ，1212()()2f x f x x x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是______________．【答案】[1,)+∞【解析】因为对任意两个不相等的正实数1x ，2x ，1212()()2f x f x x x -≥-恒成立，所以2()f 'x ≥恒成立，因为)(a'f x x x=+≥2≥，即1a ≥． 故实数a 的取值范围是[1,)+∞．5．（北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中）已知函数22(0)()e 1(0)x x x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，若对x ∀∈R ，不等式()f x ax ≥成立，则a 的取值范围是______________． 【答案】[2,1]-【思路分析】分0x ≤与0x >两种情况分别讨论研究恒成立问题即可． 【解析】当0x ≤时，由2()2f x x x ax =-≥，可得2(2)0x a x -+≥， 解得2x a ≤+，即2a x ≥-，所以2a ≥-；当0x >时，()e 1xf x =-，()e x f x '=，0(0)e 1f '==，所以过点(0,0)的切线方程为y x =， 由()f x ax ≥，可得1a ≤，所以21a -≤≤，所以a 的取值范围是[2,1]-． 故答案为[2,1]-． 6（1）当1a =时，探究函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()0f x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减；（2）[2,)+∞．0x >， 令0()f 'x >，解得02x <<，令0()f 'x <，解得2x >， 所以函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减．（2 当0a ≤时，0()f 'x >，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以当,()1x ∈+∞时，()1)0(f x f >=，与题意不符； 当2a ≥在(1,)+∞上恒成立，函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以当,()1x ∈+∞时，()1)0(f x f <=，即()0f x <在(1,)+∞上恒成立； 当02a <<时，由0()f 'x >，可得21x <<，由0()f 'x <，可得2x a>，综上，2a ≥，故实数a 的取值范围为[2,)+∞．7．已知函数2()f x x x =-，e (1)x g x ax =--，其中e 为自然对数的底数． （1）讨论函数()g x 的单调性；（2）当0x >时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）e 1-． 【解析】（1）e ()xg x a =-'．①若0a ≤，则0()g x '>，()g x 在R 上单调递增；②若0a >，当(,ln ]x a ∈-∞时，0()g x '<，()g x 单调递减； 当,()ln x a ∈+∞时，0()g x '>，()g x 单调递增．综上，当0a ≤时，函数()g x 在R 上单调递增；当0a >时，函数()g x 在(,ln ]a -∞R 上单调递减，在(ln ),a +∞R 上单调递增．（2）当0x >时，2e 1xx x ax -≤--，即令2()()e 11(0)xx x x x ϕ=--+>，则e ()()2xx x ϕ'=-．当0,()ln2x ∈时，0()x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当ln2(),x ∈+∞时，0()x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 又(0)0ϕ=，0(1)ϕ=，所以当1()0,x ∈时，0()x ϕ<， 即0()h x '<，所以函数()h x 单调递减；当,()1x ∈+∞时，1(e )0(1)()xx x x ϕ=--->，即0()h x '>，所以函数()h x 单调递增， 所以min 1e 1()()h x h ==-，所以e 1a ≤-， 故实数a 的最大值为e 1-．【解题技巧】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．()f x a ≥恒成立只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立只需max ()f x a ≤即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．8．已知函数2e ,()()()x x bx a x a xf b ++=∈R ．（1）若曲线()y f x =在点((1,()1)f 处的切线方程为3e e y x =-，求a ，b 的值；（2）若0b =，且函数()()f g 'x x =在区间(0,1)上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0a =，1b =；（2）(0,)+∞． 【解析】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且223222e ()e (2)e ()[]()e [(1)]x x x x x bx a x b x x bx a x b x ax a x x f x'++++-+++-=++=， 因为曲线()y f x =在点((1,()1)f 处的切线方程为3e e y x =-，所以()(12e 1)3e 'f f =⎧⎨=⎩，即e(1)2e e[1(1)]3e b a b a a ++=⎧⎨+++-=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩．（2）当0b =时，由（1）可得322e [(])()x x x ax a gf x x x'++-==， 令32–()h x x x ax a =++，[0,1]x ∈，因为函数()()f g 'x x =在区间(0,1)上有且只有一个零点， 所以函数()h x 在区间(0,1)上有且只有一个零点， 易得23(2)h'x x x a =++，①当0a >时，0()h'x >在区间(0,1)上恒成立，即函数()h x 在(0,1)上单调递增，而0(0)h a =-<，2(1)0h =>， 根据零点存在定理，可知函数()h x 在区间(0,1)上有且只有一个零点， 所以函数()()f g 'x x =在区间(0,1)上有且只有一个零点；②当0a ≤时，由1()0,x ∈，可得3232––1()()0h x x x ax a x x a x =++=+>+恒成立， 故函数()()f g 'x x =在区间(0,1)上没有零点． 综上所述，0a >，故实数a 的取值范围为(0,)+∞．9．（东北三省三校2019-2020学年高三第一次联合模拟）已知函数27ln ,0()2,0x x x x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪-≤⎩，令函数()g x =3()2f x x a --，若函数()g x 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A ．9(,e)16B ．(,0)-∞C ．9(,0)(,e)16-∞D ．9(,0)[,e]16-∞ 【答案】C【思路分析】构造新函数3()()2F x f x x =-，原问题转化为()y F x =与y a =有两个交点，作出函数()F x 的图象，利用数学结合思想即可求得结果．【解析】令22ln ,03()()32,02x x x x F x f x x x x x ->⎧⎪=-=⎨--≤⎪⎩，当0x >时，函数()2(ln 1)1ln F'x x x =-+=-，由()0F'x >，可得1ln 0x ->，即ln 1x <，解得0e x <<， 由()0F'x <，可得1ln 0x -<，即ln 1x >，解得e x >， 当x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大，即当e x =时，函数()F x 取得极大值为(e)2e eln e 2e e e F =-=-=， 当0x ≤时，22339()2416()x F x x x =--=-++，是二次函数，在对称轴处取得最大值为916， 作出函数()F x 的大致图象如下图所示，要使()F x a =（a 为常数）有两个不相等的实根，只需0a <或9e 16a <<， 所以实数a 的取值范围是9(,0)(,e)16-∞． 故选C ．10．（云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中）已知函数21()(e,e ef x x ax x =-≤≤为自然对数的底数）与()e xg x =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】1[1,e ]e+【思路分析】函数()f x 与()g x 的图象上存在关于直线y x =对称的点，等价于函数()f x 与函数()ln h x x =的图象有交点，即21ln (e e)x ax x x -=≤≤有解，利用导数法，可得实数a 的取值范围．【解析】因为函数()f x 与()g x 的图象上存在关于直线y x =对称的点， 所以函数()f x 与函数()ln h x x =的图象有交点， 所以21ln (e e )x ax x x -=≤≤有解，即ln 1(ee)x a x x x =-≤≤有解， 令ln 1()(e e )x t x x x x =-≤≤，则221ln ()x xt'x x-+=， 当1e1x ≤<时，()0t'x <，函数()t x 单调递减， 当1e x <≤时，()0t'x >，函数()t x 单调递增， 故当1x =时，函数()t x 取最小值为1，又11()e ee t =+，1(e)e e t =-，所以max 1e()e t x =+， 故实数a 取值范围是1[1,e ]e+．故答案为1[1,e ]+．11．已知点P 与2()ln 32(0)g x a x b a =+>图象的公共点，若以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为______________．【解析】由题可得2()'x f x a =+，2()3a g'x x=，设00(),P x y ，因为以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切， 所以00()()f x g x =，00()()f x g'x '=，20032a x a x +=，0x a =（负值舍去），于是当213l 0()n t t ->，即时，0()h't >； 当213l 0()n t t -<，即时，0()h't <，所以()h t在于是()h t 在(0,)+∞上的最大值为b12．设函数2()e ln x f x a x =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时，2()2ln f x a a a≥+． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为(0+)，，2()=2e (0)xaf x x x． 当0a时，()0f x ，()f x 没有零点；当0a 时，因为2=e x y 单调递增，ayx单调递增， 所以()f x 在(0+)，上单调递增．又()0f a ，当b 满足04ab且14b 时，()0f b ， 故当0a时，()f x 存在唯一零点．（2）由（1），可设()f x 在(0+)，上的唯一零点为0x ．当0(0)xx ,时，()0f x ；当0(+)x x ，时，()0f x ．故()f x 在0(0)x ,上单调递减，在0(,)x 上单调递增，所以当0x x 时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ． 由于0202e=0x ax ，所以02000022()=e ln 2ln2ln2x a f x a x ax a a a x aa， 当且仅当0022aax x ，即012x =时，等号成立．故当0a时，2()2ln f x a a a．13．已知函数2()()ln f x x a x =-，a ∈R ．（1）若e x =是()y f x =的极值点，求实数a 的值；（2）若函数2()4e y f x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）e a =或3e ；（2）(,3e)-∞．【解析】（1）由题可得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x-'=-+=-+-，由e x =是()f x 的极值点，所以(e)0f '=，解得e a =或3e a =． 经检验，e a =或3e a =符合题意，所以e a =或3e a =；（2）由已知得方程2()4e f x =只有一个根，即曲线()f x 与直线24e y =只有一个公共点．易知()(,)f x ∈-∞+∞，设()2ln 1a h x x x=+-，①当0a ≤时，易知函数()f x 在(0,)+∞上是单调递增的，满足题意；②当01a <≤时，易知()h x 是单调递增的，又()2ln 0h a a =<，(1)10h a =-≥，∴00(,1),()0x a h x ∃∈=，当0x a <<时，()()(2ln 10a f x x a x x'=-+->）， ∴()f x 在(0,)a 上是单调递增，同理()f x 在0(,)a x 上单调递减，在0(),x +∞上单调递增，又极大值()0f a =，所以曲线()f x 满足题意；③当1a >时，(1)10,()2ln 0h a h a a =-<=>，∴00(1,),()0x a h x ∃∈=，即0002ln a x x x -=，可得()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(),x a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增又()0f a =，若要函数()f x 满足题意，只需20)(4e f x <，即2200(ln 4e x a x -<）． ∴23200ln e x x <，由01x >，知23()ln 0g x x x =>，且在[1,)+∞上单调递增，由2(e)e g =，得01e x <<，因为002ln a x x x =+在[1,)+∞上单调递增，所以13e a <<；综上可知，实数a 的取值范围为(,3e)-∞．14．已知函数()2cos sin f x x x x =+，2()3sin 3cos sin g x x x x x x =-++．（1）求证：函数()f x 在区间(,0)-π上存在唯一零点；（2）令()()()(0)h x af x g x a =->，若当(,)x ∈-ππ时函数()h x 有最大值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）3[,)4π+∞． 【解析】（1）由题可得()sin cos f x x x x '=-+，令()sin cos t x x x x =-+，则()sin t'x x x =-，当0x -π<<时，sin 0x x -<恒成立，所以函数()t x 在(,0)-π上单调递减，所以当0x -π<<时，()(0)t x t >=0，即()0f x '>，所以函数()f x 在(,0)-π上单调递增，易得()2f -π=-，(0)2f =，所以由零点存在定理可知函数()f x 在区间(,0)-π上存在唯一零点．（2）由题可得2()2cos sin 3sin 3cos sin h x a x ax x x x x x x =++--，所以()()(sin cos )h'x x a x x x =--，令()sin cos x x x x ϕ=-，则()sin cos ()x x x x f x ϕ'=-=-，因为()()x x ϕϕ=--，所以由（1）可知函数()x ϕ在(,)-ππ上单调递增， 又(0)0ϕ=，所以函数()x ϕ在(,)-ππ上有唯一零点0x =，当a ≥π，x -π<<π时，令()0h'x >可得x -π<<0；令()0h'x <可得0x <<π，所以函数()h x 在(,0)-π上单调递增，在(0,)π上单调递减，所以当x -π<<π时，max ()(0)h x h =，符合题意；当0a <<π，x -π<<π时，令()0h'x >可得x -π<<0或a x <<π； 令()0h'x <可得0x a <<，所以函数()h x 在(,0)-π上单调递增，在(0,)a 上单调递减，在(,)a π上单调递增， 因为(0)2h a =，()32h a π=π-，当(,)x ∈-ππ时函数()h x 有最大值， 所以322a a π-≤，解得34a π≥，所以34a π≤<π． 综上，34a π≥，故实数a 的取值范围为3[,)4π+∞。